5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:

Transkriptio

1 5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5.. a) R ja C ovat normiavaruuksia, normina itseisarvo. b)r n ja C n ovat normiavaruuksia. Ylläolevat ehdot täyttäviä normeja ovat mm. x 2 = n n x i 2, x = x i, x = max x i i {,2,...,n} i= i= c) Funktioavaruus L 2 ((, )) = {x(t) x : (, ) R ja (x(t)) 2 dt < } on normiavaruus, jonka eräs normi on x(t) = (x(t)) 2 dt.

2 Normien ekvivalenttisuus Äärellisulotteiselle normiavaruudelle kaikki normit ovat "samanlaisia"seuraavan tuloksen perusteella. Lause 5.. Jos dim V = n <, niin kaikki V :n normit ovat ekvivalentteja. Jos ja ovat V :n normeja, niin on olemassa sellaiset luvut a, b >, että a x x b x, aina kun x V. Tod. Sivuutetaan. Matriisien normit m n-matriisien joukko M on (äärellisulotteinen) vektoriavaruus. M:llä on mm. seuraavat normit: Olkoon A = (a ij ) on m n-matriisi: A = m max j n a ij, i= n A = max i m a ij, j= A 2 = λ, λ on matriisin A T A suurin ominaisarvo, A Fr = a ij 2 i j.

3 Esimerkki Esimerkki 5.2. Määrää normit A, A ja A Fr, kun 2 2 A = Ratk. 2 2 A = m A = max j n a ij i= = max{ , , + + 2} = max{5, 9, 4} = 9 A = n A = max i m a ij j= = max{ , + +, } = max{5, 5, 8} = 8

4 2 2 A = A Fr = a ij 2 i j = = = 2 Tulon normi Huom. Kaikille em. normeille pätee AB A B.

5 Matriisijono Vektoriavaruuden V vektorijono x,..., x n,... suppenee normin suhteen kohti vektoria x V, jos lim x n x =. n Vastaavasti matriisijono suppenee normin suhteen, jos lim A n A =. n Lauseen 5.. perusteella: Jos dim V = n < (erikoisesti V = R n, M) ja x n x :n suhteen, niin x n x myös minkä tahansa muun V :n normin suhteen (ekvivalenttisuus). Matriisisarja Matriisisarja A k, A k M, suppenee (matriisinormin k= suhteen) jos osasummien S n = n k= A k jono suppenee. Voidaan osoittaa, että A k = (a (k) ij ) A = (a ij ) a (k) ij kaikilla i, j kun k. a ij

6 5.2. Muotoa x (k+) = G x (k) + r olevat iteraatiomenetelmät Iteraatiomatriisi Oletus: Yhtälöryhmän A x = b kerroinmatriisi A on säännöllinen n n-matriisi. Yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu x. Saatetaan yhtälö A x = b (jollakin tavalla) muotoon G on ns. iteraatiomatriisi. x = G x + r. G ja r voidaan valita useilla eri tavoilla jolloin saadaan eri iteraatiomenetelmiä.

7 Iteraatiokaava Muodostetaan iteraatiokaava x (k+) = G x (k) + r, k =,, 2,.... Milloin vektorijono x (k) suppenee kohti vektoria x? Tarkastellaan erotusvektoria x (k+) x. Nyt x (k+) x = (G x (k) + r) x = G x (k) + ( r x) = G x (k) G x = G( x (k) x) G x (k) x = G G x (k ) + r x = G G x (k ) G x = G G( x (k ) x) G 2 x (k ) x. G k+ x () x Jos G <, niiin G k+ x () x, kun k. Riittävä suppenemisehto Silloin, koska x (k+) x G k+ x () x, on todistettu: Lause 5.4. Jos matriisiyhtälöt A x = b ja x = G x + r ovat ekvivalentit ja G <, suppenee yhtälöllä x (k+) = G x (k) + r, k =,, 2,.... määrätty vektorijono ( x (k) ) kohti yhtälön A x = b ratkaisua x.

8 Välttämätön ja riittävä suppenemisehto Huom. Suppenemisehto G < on riittävä, mutta ei välttämätön. Toisin sanoen iteraatiojono x (k) saattaa supeta vaikka G. Voidaan osoittaa että välttämätön ja riittävä suppenemisehto on λ(g) < missä λ(g) on matriisin G spektraalisäde, λ(g) = max{ λ : λ on G : n ominaisarvo}. () Approksimaation tarkkuus Milloin x (k) tarpeeksi lähellä oikeaa ratkaisua x, eli milloin x (k) x on tarpeeksi pieni? Oikeaa ratkaisua x ei tunneta, joten arvoa x (k) x ei voi laskea. Arvioidaan miten paljon iteraatio muuttuu askeleiden välillä.

9 Approksimaation x (k) tarkkuutta voidaan arvioida seuraavasti: x (k) x = x (k) x (k+) + x (k+) x x (k) x (k+) + x (k+) x = x (k+) x (k) + x (k+) x = G x (k) + r (G x (k ) + r) + G x (k) + r x = G( x (k) x (k ) ) + G( x (k) x). G x (k) x (k ) + G x (k) x. Siis x (k) x ( G ) G x (k) x (k ) Kun G <, niin G >, joten x (k) x G G x (k) x (k ). Jacobi Jacobin menetelmä: Eräs menetelmä muuntaa yhtälöryhmä A x = b muotoon x = G x + r.

10 Esimerkki Tarkastellaan yhtälöryhmää: 4x + x 2 x = 2x + x 2 + x = 9 x x 2 + 2x =. Eli x = 4 x x + 4 x 2 = 2 x x + 9 x = 2 x + 2 x Matriisimuodossa: x x 2 = x x x 2 x , Merkitään: x = x x 2, G = x ja r = Silloin x = G x + r.

11 Esimerkki matriisimerkinnöillä Sama matriisimerkinnöin: 4x + x 2 x = 2x + x 2 + x = 9 x x 2 + 2x =. eli 4 x 2 x 2 = 2 x 9. Silloin 4 x + 2 x 2 = 2 x 9. Merkitään D = 4 ja C = 2 2. [D + C] x = 9, eli D x + C x = 9, joten D x = C x + ( 9 ) T. Nyt D = (diag(4,, 2)) = diag( 4,, 2 ) x = D C x + D (, 9, ) T x 4 x 4 x 2 = 2 x x 2 x 2 Kuten edellä: x x 2 = x x x 2 x x = G x + r.

12 Yleinen tapaus Olkoon A x = b yhtälöryhmä, missä A = (a ij ), b = (b,..., b n ) T, x = (x,..., x n ) T Siis a a 2 a a b n x a 2 a 22 a 2 a 2n. =. a n a n2 a n a x. n nn b n Valitaan Siis D = diag(a,..., a nn ), C = A D eli A = C + D. a a 2 a a n x a 22 + a 2 a 2 a 2n. a nn a n a n2 a n x n b =.. b n

13 Jos D on säännöllinen (D on olemassa, eli jokainen a ii ), niin D = diag( a, a 22,..., a nn ) A x = b (D + C) x = b D x = C x + b Kerrotaan yhtälö vasemmalta matriisilla D : D D x = D C x + D b x = D C x + D b Merkitään: x = G x + r missä G = D C, r = D b. Yhtälöryhmillä A x = b ja x = G x + r samat ratkaisut, kun G = D C, r = D b. Saadaan iteraatiokaava: x (k+) = G x (k) + r kun,g = D C, r = D b.

14 D = diag( a, a 22,..., a nn ) x (k) = (x (k),..., x n (k) ) T, x (k+) = G x (k) + r x (k+). x (k+) n eli = diag( a,..., a nn ) a 2 a n a 2 a 2n a n a n2 + diag( a,..., a nn ).. b b n x (k). x (k) n Komponenttimuodossa: x (k+) i = a ii n j= j i a ij x (k) j + a ii b i jota kannattaa käyttää ohjelmoitaessa Jacobin menetelmää. Matriisimuotoista kaavaa käytettäessä tulee turhia :lla kertomisia.