BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015

Transkriptio

1 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään muutettu oikeaksi. (a) Olkoon 4 6 a = 2, b = 8, c = k. 2 i. Millä vakion k arvolla/arvoilla vektori c sijaitsee vektorien a ja b virittämällä tasolla, eli milloin c pystytään esittämään vektoreiden a ja b lineaarikombinaationa? ii. Millä vakion k arvolla/arvoilla vektori c on kohtisuorassa vektoria a vastaan? Olkoon matriisin A käänteismatriisi 2 4 A = Ratkaise yhtälöryhmä Ax = [0 2 4] T. Määritä lisäksi matriisi A. 2. Tunnemme seuraavat vektorit. Vastaa alla oleviin kohtiin. Vinkki: Kannattaa muodostaa matriisi A = [u v w], ja eliminoida se redusoituun porrasmuotoon (reduced row echelon form) Gauss-Jordan eliminaatiolla. Tämän jälkeen voit vastata esitettyihin kysymyksiin vain katsomalla tätä redusoitua matriisia. 3 0 u = 0, v = 2, w = (a) Osoita että nämä kolme vektoria ovat keskenään lineaarisesti riippuvia. Etsi sellaiset kertoimet s ja t että su + tv = w. (c) Joukko jonka nämä 3 vektoria virittävät (eli näiden kolmen kaikki mahdolliset lineaarikombinaatiot) on origon kautta kulkeva taso. Perustele mistä tämä voidaan päätellä. Anna tämän tason yhtälö. Voit antaa tason yhtälön parametrimuodossa (se on paljon helpompaa). Jos kaipaat lisähaastetta, anna tason yhtälö muodossa Ax + By +Cz = D, jossa D tietenkin on tässä tapauksessa (a) Jos a ja b, ovat reaalilukuja, tiedämme että (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Olkoon nyt A ja B neliömatriiseja, eli A R n n ja B R n n. Päteekö matriiseille vastaava, eli päteekö (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? Vektorit v = [ 2 ] ja v 2 = [ 3 5 ] muodostavat R 2 :n kannan, eli niiden lineaarikombinaationa voidaan esittää mikä tahansa vektori x R 2, eli on olemassa yksikäsitteiset kertoimet a ja a 2 s.e. x = a v + a 2 v 2. Lukuja a ja a 2 kutsutaan vektorin x koordinaateiksi kannassa {v,v 2 }. Etsi vektorin [ 2 4 ] koordinaatit edellä mainitussa kannassa ja esitä se näiden kantavektoreiden v i avulla. 4. (a) Kuvassa a on esitetty nestevirtaus eräässä putkistossa. i. Probleema voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b. Kirjoita esiin probleeman lisätty matriisi. ii. Ratkaise nestevirrat x. Ratkaisuun jää vapaa parametri.

2 iii. Anna se erityisratkaisu, jolla nestevirtaus on mahdollisimman pieni (tähän tilaan systeemi hakeutuu, tottakai, koska ei vesi kitkatonta nestettä ole). Kuvassa b on esitetty liikennevirrat (autoa tunnissa) erään kiertoliittymän ympäri. i. Probleema voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b. Kirjoita esiin probleeman lisätty matriisi. ii. Ratkaise liikennevirrat x x 6. iii. Mitkä ehdot muodostuvan vapaan parametrin täytyy täyttää, jotta yhdessäkään pätkässä x x 6 autot eivät ajaisi ajosuuntaa vastaan (eli siis x x 6 eivät saa olla negatiivisia)? iv. Oletetaan nyt että tehtävä on muuten sama, mutta kiertoliittymän kiertosuunta onkin kuvassa vastapäivään eikä myötäpäivään. Ratkaise nyt tehtävä tarvittavilta osin uudestaan A x B x 80 0 B C D C A D 70 x 6 F 90 x 5 E (a) Kuva : Liikennevirtoja 5. (a) Oletetaan että meillä on lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on k yhtälöä ja n tuntematonta. Matriisimuodossa tämä yhtälö voidaan kirjoittaa Ax = b, missä siis A on k n-matriisi. Mitkä seuraavista väittämistä ovat tosia, ja mitkä epätosia? Vastausta ei tarvitse perustella, riittää että kirjoitat tosi tai epätosi. i. Jos n = k, ryhmällä on korkeintaan yksi ratkaisu. ii. Jos n > k, ryhmällä on aina ratkaisu. iii. Jos n > k, on aina olemassa nollavektorista poikkeavia vektoreita x jotka kuvautuvat nollavektoriksi. iv. Jos n < k, on olemassa sellaisia vektoreita b joilla ryhmällä Ax = b ei ole ratkaisua. v. Jos n < k, ainut ratkaisu yhtälölle Ax = 0 on x = 0. i. Olkoon A matriisi, jonka koko on 4 4 ja jonka determinantin arvo on 2. Mitkä seuraavista väittämistä ovat tosia, ja mitkä epätosia? Vastausta ei tarvitse perustella, riittää että kirjoitat tosi tai epätosi. A. Jollakin vektorilla b matriisiyhtälöllä Ax = b on yksi yksikäsitteinen ratkaisu. B. Kaikilla vektoreilla b matriisiyhtälöllä Ax = b on vähintään yksi ratkaisu. C. Jollakin vektorilla b matriisiyhtälöllä Ax = b on äärettömän monta ratkaisua. D. Jollakin vektorilla b matriisiyhtälöllä Ax = b ei ole ratkaisua. 6. Ratkaisemme kuvassa näkyvää sähköistä piiriä. Tällaisessa piirissä kulkevat virrat voidaan ratkaista mallintamalla jännitehäviöt joita tapahtuu virran kulkiessa piirissä. Tapoja muodostaa piiriä mallintavat yhtälöt on monia.

3 5Ω 2Ω 2Ω 2V A 6Ω B 5Ω C 8Ω 3Ω 4V 8V Menemättä piirianalyysiin sen syvemmälle kuvan piirille saadaan seuraavat yhtälöt: A : B : C : 5I 6(I I 2 ) 3I + 2 = 0 6(I 2 I ) 2I 2 5(I 2 I 3 ) + 4 = 0 5(I 3 I 2 ) 2I 3 8I 3 8 = 0 Jos yhtälöitä ja virtoja olisi enemmän, olisi tämä varsin työläs ratkaista käsin yhtälöitä pyörittämällä. Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa eli muodossa RI = E missä vektori I sisältää virrat ja E sisältää jännitteet ja R on kerroinmatriisi. Huom! Kun malleja rakennetaan, kannattaisi yhtälöt tietysti systemaattisesti muotoilla heti tähän matriisimuotoon jatkokäsittelyä varten. Nyt mallintaja on ollut vähän pöljä. 7. Eräs signaali on digitoitu, ja se on jaettu jakosuotimilla neljään eri taajuuskaistaan. Näin ollen meillä on neljä aikajatkuvaa signaalia, x (t), (t), (t), (t). Oletetaan että kyseessä oli äänisignaali, jolloin taajuuskaistoja on mielekästä kutsua bassoksi (x (t)), alakeskiääniksi ( (t)), yläkeskiääniksi ( (t)) ja diskantiksi ( (t)). Signaali ajetaan digitaalisen signaalinkäsittelijän läpi, joka muuttaa taajuuskaistojen äänenvoimakkuutta (tälläistä käsittelyä sanotaan ekvalisoinniksi). Tälläistä käsittelyä tarvitaan silloin, jos jokin taajuuskaista kuuluu liian hiljaa verrattuna toisiin, tai muusta syystä haluamme korostaa tai hiljentää jotakin taajuutta. Voimme nyt kirjoittaa tulosignaalin vektorina x(t) = [ x (t) (t) (t) (t) ] T ja lähtösignaalin y(t) = [ y (t) y 2 (t) y 3 (t) y 4 (t) ] T. Tällä notaatiolla voimme kirjoittaa ekvalisaattorin tekemän muunnoksen matriisiyhtälönä, y(t) = M x(t). (a) Kehitä sopiva matriisi M autopoppikuunteluun. Bassotaajuudet halutaan 2 kertaa voimakkaammiksi, ja alakeskiäänet.5 kertaa voimakkaammiksi. Muut taajuuskaistat päästetään läpi sellaisenaan. Kehitä matriisi M Studio V -ekvalisaatiolle. Basso- ja diskanttitaajuudet halutaan korostaa.5-kertaisiksi, ja keskiäänet päästetään läpi sellaisinaan. (c) Oletetaan että haluamme ohjata tulopuolen alakeskiäänet lähtöpuolen yläkeskiääniksi, ja vastaavasti tulopuolen yläkeskiäänet lähtöpuolen alakeskiääniksi. Analogiapuolella tälläistä ei voitaisi tehdä muuttamatta kytkentöjä, mutta koska meillä on digitaalinen signaali joka menee kuvaillunkaltaisen signaalinkäsittelijän läpi, voimme tehdä tämänkaltaisen tempun vain valitsemalla sopivan matriisin M. Miltä moinen matriisi näyttää? (Bassot ja diskantit päästetään läpi sellaisinaan). (d) Diskanttikaiutin hajosi. Mutta ei hätää, ohjaamme tulopuolen diskanttitaajuudet lähtöpuolen yläkeskiäänikaistalle, jolloin kuulemme vielä diskanttiäänetkin mukiinmenevällä äänenlaadulla. Halutaan siis kehittää matriisi jossa bassotaajuudet ja alakeskiäännet menevät omille kanavilleen, mutta tulopuolen sekä yläkeskiäänet että diskantit ohjataan lähtöpuolen yläkeskiäänikanavalle. Miltä näyttää se matriisi M joka hoitaa tämän? Vinkki: Matriisin sarakkeet on helppo keksiä kun antaa syötteenä x aina vektorin jossa yksi alkio on ykkönen ja muut nollia ja katsoo millainen ehto yhtälöstä Mx = y seuraa matriisin M alkioille.

4 8. Tarkastellaan tehtäviä 4, 6 ja 7. Jollet ole tehnyt tehtäviä niin niissä esiintyvät kerroinmatriisit löytyvät vastaussivulta. (a) Määritä näille matriiseille aste (rank) ja nulliteetti. Onko näillä kerroinmatriiseilla käänteismatriiseja? (c) Jos tehtävässä 4a) mitattaisiinkin nestevirtaus kussakin putkessa (eli arvot x,..., ), niin pystyttäisiikö päättelemään kuhunkin solmuun sisään ja ulos tulevien virtauksien erotus (eli nettovirtaus ulkoa solmuun) yksikäsitteisesti? (d) Jos tehtävässä 4b) mitattaisiinkin kiertoliittymän kullakin pätkällä kulkevien autojen määrää (eli arvot x,...,x 6 ), niin pystyttäisiinkö päättelemään solmuista A-F ulos/sisään lähtevien autojen määrää yksikäsitteisesti? (e) Jos tehtävässä 6 mitattaisiinkin virrat I, I 2 ja I 3 niin pystyttäisiinkö näistä (olettaen että resistanssit tunnetaan) päättelemään jännitelähteiden arvot yksikäsitteisesti? (f) Tehtävässä 7 "kultakorva"kuuntelee signaalia y. Olettaen että hän tuntee ekvivalisaattorin toiminnan (eli matriisin M) niin pystyykö hän päättelemään (yksikäsitteisesti) mikä on ollut alkuperäinen signaali x.

5 Vastauksia: Teht.#: (a) i. k = 2. ii. k = 4. Teht.#2: t =, s = 3. (c) Parametrimuodossa r = k u + k 2 v, normaalimuodossa 4x 0y + 2z = 0. Teht.#3: (a) Ei päde. 22 [ 2 ] 8 [ 3 5 ] Teht.#4: (a) i. i. ii = x , x 6 R 90 0 x x 5 x 6 iii. Pitää olla x 6 0. x 70 0 iv. = x , x 6 00 x 5 90 x 6 0 Teht.#5: Teht.#6: I I 2 = I 3 8 Teht.#7: (a) (c) (d) Teht.#8: