2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0"

Transkriptio

1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) , B =, C = 1 2, E = ja F = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B Merkitään A = 1 0, B = ( ), C = Laske (mikäli mahdollista) a) AB, BA, B T A T ; b) CA, BC T, A T C T. 5. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 6. Tiedetään, että putkijärjestelmä P toimii lineaarisesti, mikä merkitsee sitä, että herätettä (input) x ja vastetta (output) y sitoo toisiinsa yhtälö Ax = y. Olkoon kuvion putkisysteemi P allakuvatun mukainen. Määrää (siirto)matriisi A, kun tiedetään mittausten perusteella seuraavaa: kun heräte on x 1 = 1 yksikkö ja x 2 = 0 yksikköä, niin vaste on y 1 = 1/7, y 2 = 3/7 ja y 3 = 3/7 (yksikköä) sekä kun heräte on x 1 = 0 yksikköä ja x 2 = 1 yksikkö, niin vaste on y 1 = 2/5, y 2 = 1/5 ja y 3 = 2/5 (yksikköä). Mikä on herätettä x 1 = 2, x 2 = 1 vastaava vaste? 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 15 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät?

2 8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2 9. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: 3x 1 + x 2 x 3 = 4 6x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 20, x 1 x 2 + 2x 3 = Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 2x 1 x 3 = x 2 2x x 2 x 3 + 2x 4 = 2x 1 x 3 + 2x 2 + x 1 + x 4 5 = 0 0 = x 1 + 3x 2 x b) x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 1, 2x 1 + 8x 2 + 8x x 4 = Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan yksikköä ruokaa A, yksikköä ruokaa B ja yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 13. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) A = b) A = Määrää matriisin käänteismatriisi Laske matriisin A = käänteismatriisi A

3 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + 3x 4 = 1 käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A Olkoon D = (d ij ) diagonaalimatriisi, missä d ii = ix + i 2 aina kun i = 1, 2,..., 150. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 17. Määrää matriisin A = se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. 18. Olkoon A = a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 0 3x x x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun b = ( ) T. 19. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 20. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 3 ja U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x 1 = 4x 3 } b) V = R 2 ja U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} c) V = P 2 ja U = {p(t) P 2 p(t):n aste on 2 } d) V = P 3 ja U = {p(t) P 3 p(0) = 0} e) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n diagonaalimatriisit. 21. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 3, 1)} b) V = R 3 ja S = {(1, 0, 1), (2, 0, 4), ( 5, 0, 2), (0, 0, 1)} c) V = P 2 ja S = {1, t + 1, t 2 2t + 3} d) V = P 2 ja S = {t + 1, t 2 + 1, t 2 t} ( ) ( ) e) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } a) Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (1, 1, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko matriisijoukko ( ) 1 1 {, 2 2 ( ) 3 2, 4 5 ( ) 0 2, 3 2 ( ) 1 1 } 0 3 vapaa ( ) reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa. 1 0

4 23. Tutki, muodostavatko vektorit (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 1, 0) ja (0, 1, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Vektorijoukko S = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, 2, 0))} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. 25. Olkoon ( M 2 2 ) reaalisten 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden M 0 a a b 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. 26. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 1. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2 π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? c) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi kierretään kulman π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin), sen jälkeen kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin) ja lopuksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi. 28. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 29. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, matriisi luonnollisten kantojen suhteen 30. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 2, x 1 x 2, 2x 1 + 3x 2 ) F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ja S 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). 31. Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.

5 32. Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että ( ) 1 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ) ( ) {,, ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } 0 2 suhteen. 33. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) , b) , c) Määrää matriisien ja B = A = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 35. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 20 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x 1 + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 1 5x 1 + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 1 sarakevektorilla b. 36. Jokaiselle matriisille B vektoriavaruus row(b) on matriisin B rivien (eli rivivektoreiden) virittämä vektoriavaruus ja R(B) on B:n kuva-avaruus. Olkoon A säännöllinen n n matriisi ja olkoon a) Selvitä onko row((a ) 1 ) = R(A). b) Määrää matriisin A nulliteetti. A = (A 1 ) T.

6 37. a) Määrää b) Määrää det(a), kun A = Sievennä pisteiden (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z = muotoon c 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 39. Olkoon A = (a ij ) = Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 40. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun A = Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. A = Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) b) ( 1 ) c) Olkoon A tehtävän 40 matriisi. Määrää matriisien A 2, A 1 ja A + 6I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 44. Olkoon A edelleen tehtävän 40 matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T.

7 45. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! A = Matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 0, 1), ( 1, 4, 0) ja (1,2,1). Määrää A. 47. Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 48. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 101, missä A = ( ) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä { x 1 (t) + 2x 1(t) 6x 2 (t) = 0 x 2 (t) + 3x 1(t) 7x 2 (t) = 0 alkuehdoilla x 1 (0) = 5 ja x 2 (0) = 3 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 50. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) x 2 (t) = x 1(t) 2x 2 (t) + x 3 (t) x 3 (t) = x 2(t) 2x 3 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 2 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 51. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 3x 1 (t) x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 150 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 52. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin A = j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 53. Laske matriisin A = itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 54. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille A =

8 55. Laske e A, kun. 56. Onko matriisi A = ( ) A = diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 57. Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 1 2 x 1(t) x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 (0) = 100 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e ta = T e td T 1, e td = diag (e λ1t, e λ2t ). 58. Sähköisen piirin kondensaattorin C 1 jännitteelle v 1 (t) ja kondensaattorin C 2 jännitteelle v 2 (t) on voimassa differentiaaliyhtälöryhmä: { v 1(t) = 3 2 v 1(t) v 2(t) v 2 (t) = v 1(t) v 2 (t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä alkuehdoilla v 1 (0) = 5 ja v 2 (0) = 4 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia e ta tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 59. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2x 3 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) x 3 (t) = 2x 1(t) + 4x 3 (t) käyttämällä hyväksi siirtomatriisia. 60. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 palauttamalla se 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 61. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 5x 2 + x 3 = 16 8x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 4x 3 = 7 Jacobin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi < 1. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin.

9 62. Ratkaise yhtälöryhmä 3x 1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, Ratkaise yhtälöryhmä { 2x 1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 64. Yhtälöryhmän 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään Jacobin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla iteraatioiden suppenemista/hajaantumista. 65. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 5 x 1 3x 3 = 7 x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 1 pienimmän neliösumman ratkaisu. 66. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun A = Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A A = Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun ( ) 3 2 A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun ( ) 1 0 A =. 3 1

10 71. Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b Olkoon A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 A = Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).

11 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { x1 2x 2 + 2x 3 x 4 = 3 3x 1 + x 2 + 6x 3 = 16 11x 4 2x 1 x 2 + 4x 3 + 4x 4 = Etsi matriisin A = käänteismatriisi ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + x 2 + 3x 3 = a x 2 + 2x 3 = b 3x 1 + 5x 2 x 3 = c ratkaisu, kun a, b, c R. 3. a) Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen, venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi, ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin).(3p) b) Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (3x 1 x 2 + 2x 3, x 1 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} ja S 2 = {( 1, 0), (1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 4k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). (3p) 4. a) Olkoon M n n reaalisten n n matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon vektorijoukko D n n kaikkien reaalisten n n diagonaalimatriisien joukko. Onko D n n vektoriavaruuden M n n aliavaruus? Perustelut. (3p) b) Olkoon W vektoreiden (1, 5, 4, 2), (1, 1, 1, 5), (2, 4, 5, 7) ja (1, 7, 5, 1) virittämä R 4 :n aliavaruus. Määrää aliavaruuden W kanta ja dimensio. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

12 MATRIISIALGEBRA Välikoe Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi A = diagonalisoituva? Jos on, diagonalisoi se. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Kappaleeseen vaikuttaa sellainen voimakenttä, että kappaleen x ja y koordinaatit ( z koordinaatti jätetään huomiotta) toteuttavat ajan t suhteen differentiaaliyhtälöryhmän: { x (t) = 4x(t) 5y(t) y (t) = 2x(t) + y(t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä, kun alkuhetken koordinaatit olivat x(0) = 2 ja y(0) = 1. Käytä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, a) Olkoon Kaavat A = Määrää matriisi cos(πa) Cayley-Hamiltonin lauseen avulla.(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2, jonka nulliteetti dimn(a) > 0. Osoita, että 0 on A:n ominaisarvo. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

13 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä 2. Etsi matriisin { z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = 12. A = LU-hajotelma ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 0 3x x x 3 = 6 ratkaisu. 3. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.(3p) b) Olkoon M( 2 2 reaalisten ) 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien 0 a muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden a b M 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

14 MATRIISIALGEBRA Välikoe Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi A = A = diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Laske matriisin A = itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 5. a) Olkoon Kaavat A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A).(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b 0 0. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:

5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet: 5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..

Lisätiedot

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104

Demorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162

Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2

Lisätiedot

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210

Matikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Lineaarialgebra (muut ko)

Lineaarialgebra (muut ko) Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Milloin A diagonalisoituva?

Milloin A diagonalisoituva? Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Lineaarialgebra, kertausta aiheita

Lineaarialgebra, kertausta aiheita Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47

Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117

Seuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot