2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0
|
|
- Eveliina Jokinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) , B =, C = 1 2, E = ja F = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB Keksi nollamatriisista poikkeavat 3 3-matriisit a) A ja B, joille AB = (=nollamatriisi). b) A, B ja C, joille AC = BC, mutta A B Merkitään A = 1 0, B = ( ), C = Laske (mikäli mahdollista) a) AB, BA, B T A T ; b) CA, BC T, A T C T. 5. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I II III Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 6. Tiedetään, että putkijärjestelmä P toimii lineaarisesti, mikä merkitsee sitä, että herätettä (input) x ja vastetta (output) y sitoo toisiinsa yhtälö Ax = y. Olkoon kuvion putkisysteemi P allakuvatun mukainen. Määrää (siirto)matriisi A, kun tiedetään mittausten perusteella seuraavaa: kun heräte on x 1 = 1 yksikkö ja x 2 = 0 yksikköä, niin vaste on y 1 = 1/7, y 2 = 3/7 ja y 3 = 3/7 (yksikköä) sekä kun heräte on x 1 = 0 yksikköä ja x 2 = 1 yksikkö, niin vaste on y 1 = 2/5, y 2 = 1/5 ja y 3 = 2/5 (yksikköä). Mikä on herätettä x 1 = 2, x 2 = 1 vastaava vaste? 7. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a)jos siellä on 15 päätä ja 40 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 40, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät?
2 8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2 9. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: 3x 1 + x 2 x 3 = 4 6x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 20, x 1 x 2 + 2x 3 = Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraavat yhtälöryhmät: a) 2x 1 x 3 = x 2 2x x 2 x 3 + 2x 4 = 2x 1 x 3 + 2x 2 + x 1 + x 4 5 = 0 0 = x 1 + 3x 2 x b) x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 1, 2x 1 + 8x 2 + 8x x 4 = Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan yksikköä ruokaa A, yksikköä ruokaa B ja yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 13. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun a) A = b) A = Määrää matriisin käänteismatriisi Laske matriisin A = käänteismatriisi A
3 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + 3x 4 = 1 käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A Olkoon D = (d ij ) diagonaalimatriisi, missä d ii = ix + i 2 aina kun i = 1, 2,..., 150. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 17. Määrää matriisin A = se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. 18. Olkoon A = a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. b) Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 0 3x x x 3 = 6 kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla. c) Ratkaise A:n LU hajotelman avulla yhtälöryhmä Ax = b, kun b = ( ) T. 19. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 20. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 3 ja U = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 2 = 0, x 1 = 4x 3 } b) V = R 2 ja U = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} c) V = P 2 ja U = {p(t) P 2 p(t):n aste on 2 } d) V = P 3 ja U = {p(t) P 3 p(0) = 0} e) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n diagonaalimatriisit. 21. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (2, 3, 1)} b) V = R 3 ja S = {(1, 0, 1), (2, 0, 4), ( 5, 0, 2), (0, 0, 1)} c) V = P 2 ja S = {1, t + 1, t 2 2t + 3} d) V = P 2 ja S = {t + 1, t 2 + 1, t 2 t} ( ) ( ) e) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } a) Selvitä onko vektorijoukko {(1, 1, 2, 2), (3, 2, 4, 5), (0, 2, 3, 2), (1, 1, 0, 3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko matriisijoukko ( ) 1 1 {, 2 2 ( ) 3 2, 4 5 ( ) 0 2, 3 2 ( ) 1 1 } 0 3 vapaa ( ) reaalisten 2 2 matriisien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu matriisi 0 0 matriisijoukon matriisien lineaarikombinaationa. 1 0
4 23. Tutki, muodostavatko vektorit (0, 1, 0, 1), (0, 0, 2, 0), (1, 0, 1, 0) ja (0, 1, 0, 2) R 4 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (1, 2, 5, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. Vektorijoukko S = {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2), (1, 0, 2, 0))} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2, 5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa. 25. Olkoon ( M 2 2 ) reaalisten 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden M 0 a a b 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. 26. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 2 ovat 4, 3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 1. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 2-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan xz-tason (=ik-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2 π verran j-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna j- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? c) Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi kierretään kulman π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin), sen jälkeen kierretään kulman π 2 verran k-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna k-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin) ja lopuksi venytetään j-akselin suunnassa 3-kertaiseksi. 28. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 29. Määrää lineaarikuvauksen F : R 2 R 4, matriisi luonnollisten kantojen suhteen 30. Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 2, x 1 x 2, 2x 1 + 3x 2 ) F (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 + x 2 3x 3, x 1 2x 2 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} ja S 2 = {(0, 1), ( 1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 3j k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). 31. Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.
5 32. Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että ( ) 1 2 F (B) = B. 3 4 Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ) ( ) {,, ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } 0 2 suhteen. 33. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) , b) , c) Määrää matriisien ja B = A = aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 35. a) Tutki onko allaolevilla yhtälöryhmillä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 20 x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x 1 + 2x 3 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 1 5x 1 + 3x 3 x 4 = 3 b) Olkoon A 5 7 matriisi, jonka aste on 5. Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b on ainakin yksi ratkaisu jokaisella 5 1 sarakevektorilla b. 36. Jokaiselle matriisille B vektoriavaruus row(b) on matriisin B rivien (eli rivivektoreiden) virittämä vektoriavaruus ja R(B) on B:n kuva-avaruus. Olkoon A säännöllinen n n matriisi ja olkoon a) Selvitä onko row((a ) 1 ) = R(A). b) Määrää matriisin A nulliteetti. A = (A 1 ) T.
6 37. a) Määrää b) Määrää det(a), kun A = Sievennä pisteiden (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 + y 2 + z 2 x y z = muotoon c 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) + c 2 x + c 3 y + c 4 z + c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 39. Olkoon A = (a ij ) = Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 40. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun A = Laske matriisin ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. A = Etsi seuraavien matriisien ominaisarvot ja -vektorit a) b) ( 1 ) c) Olkoon A tehtävän 40 matriisi. Määrää matriisien A 2, A 1 ja A + 6I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 44. Olkoon A edelleen tehtävän 40 matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T.
7 45. Olkoon Tutki, onko A diagonalisoituva. Perustelu! A = Matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1, 0, 1), ( 1, 4, 0) ja (1,2,1). Määrää A. 47. Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 48. Ratkaise matriisiyhtälö AX + I = A 101, missä A = ( ) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä { x 1 (t) + 2x 1(t) 6x 2 (t) = 0 x 2 (t) + 3x 1(t) 7x 2 (t) = 0 alkuehdoilla x 1 (0) = 5 ja x 2 (0) = 3 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 50. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1 (t) = 2x 1(t) + x 2 (t) x 2 (t) = x 1(t) 2x 2 (t) + x 3 (t) x 3 (t) = x 2(t) 2x 3 (t) alkuehdoilla x 1 (0) = 2, x 2 (0) = 0, x 3 (0) = 2 käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia. 51. Kahden kilpailevan populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) hetkellä t (t mitattu vuosina) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 3x 1 (t) x 2 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) Ratkaise x 1 (t) ja x 2 (t) (käyttämällä hyväksi kerroinmatriisin diagonalisointia), kun alkuhetkellä t = 0 ensimmäisen populaation koko on 150 ja toisen 60. Millä ajan t hetkellä populaatio S 2 häviää? 52. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin A = j j ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 53. Laske matriisin A = itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 54. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille A =
8 55. Laske e A, kun. 56. Onko matriisi A = ( ) A = diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 57. Kahden symbioosissa elävän populaation S 1 ja S 2 yksilöiden lukumäärät x 1 (t) ja x 2 (t) toteuttavat differentiaaliyhtälöryhmän { x 1(t) = 1 2 x 1(t) x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) 1 2 x 2(t). Laske populaatioiden koot hetkellä t, kun x 1 (0) = 100 ja x 2 (0) = 400. Käytä ratkaisukaavaa missä siirtomatriisi e At lasketaan kaavalla x(t) = e At x(0), e ta = T e td T 1, e td = diag (e λ1t, e λ2t ). 58. Sähköisen piirin kondensaattorin C 1 jännitteelle v 1 (t) ja kondensaattorin C 2 jännitteelle v 2 (t) on voimassa differentiaaliyhtälöryhmä: { v 1(t) = 3 2 v 1(t) v 2(t) v 2 (t) = v 1(t) v 2 (t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä alkuehdoilla v 1 (0) = 5 ja v 2 (0) = 4 käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia e ta tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 59. Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä x 1(t) = 3x 1 (t) + 2x 2 (t) + 2x 3 (t) x 2 (t) = 2x 1(t) + 2x 2 (t) x 3 (t) = 2x 1(t) + 4x 3 (t) käyttämällä hyväksi siirtomatriisia. 60. Ratkaise alkuarvotehtävä y + y 2y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 palauttamalla se 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmäksi ja käyttämällä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 61. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 5x 2 + x 3 = 16 8x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 4x 3 = 7 Jacobin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi < 1. Opastus: Vaihda ensin yhtälöryhmän yhtälöiden järjestystä, jotta saat lävistäjävaltaisen kerroinmatriisin.
9 62. Ratkaise yhtälöryhmä 3x 1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, Ratkaise yhtälöryhmä { 2x 1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 64. Yhtälöryhmän 2x + y + z = 4 x + 2y + z = 4 x + y + 2z = 4. kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään Jacobin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla iteraatioiden suppenemista/hajaantumista. 65. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 5 x 1 3x 3 = 7 x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 1 pienimmän neliösumman ratkaisu. 66. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun A = Olkoon Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A A = Laske e A Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella, kun ( ) 3 2 A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla cos (πa), kun ( ) 1 0 A =. 3 1
10 71. Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b Olkoon A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A) matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 A = Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti sekä tan( π 4 A 1 ).
11 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä { x1 2x 2 + 2x 3 x 4 = 3 3x 1 + x 2 + 6x 3 = 16 11x 4 2x 1 x 2 + 4x 3 + 4x 4 = Etsi matriisin A = käänteismatriisi ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + x 2 + 3x 3 = a x 2 + 2x 3 = b 3x 1 + 5x 2 x 3 = c ratkaisu, kun a, b, c R. 3. a) Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. Muodosta muunnoksen (kannalta E = {i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen, venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi, ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin).(3p) b) Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (3x 1 x 2 + 2x 3, x 1 + x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} ja S 2 = {( 1, 0), (1, 1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2i + 4k, missä i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) ja k = (0, 0, 1). (3p) 4. a) Olkoon M n n reaalisten n n matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon vektorijoukko D n n kaikkien reaalisten n n diagonaalimatriisien joukko. Onko D n n vektoriavaruuden M n n aliavaruus? Perustelut. (3p) b) Olkoon W vektoreiden (1, 5, 4, 2), (1, 1, 1, 5), (2, 4, 5, 7) ja (1, 7, 5, 1) virittämä R 4 :n aliavaruus. Määrää aliavaruuden W kanta ja dimensio. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
12 MATRIISIALGEBRA Välikoe Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi A = diagonalisoituva? Jos on, diagonalisoi se. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Kappaleeseen vaikuttaa sellainen voimakenttä, että kappaleen x ja y koordinaatit ( z koordinaatti jätetään huomiotta) toteuttavat ajan t suhteen differentiaaliyhtälöryhmän: { x (t) = 4x(t) 5y(t) y (t) = 2x(t) + y(t) Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmä, kun alkuhetken koordinaatit olivat x(0) = 2 ja y(0) = 1. Käytä hyväksi joko siirtomatriisia tai kerroinmatriisin diagonalisointia. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 3x1 + x 3 = 4 x 1 x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0, a) Olkoon Kaavat A = Määrää matriisi cos(πa) Cayley-Hamiltonin lauseen avulla.(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2, jonka nulliteetti dimn(a) > 0. Osoita, että 0 on A:n ominaisarvo. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
13 MATRIISIALGEBRA 1. Välikoe VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! 1. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä 2. Etsi matriisin { z 2w = 1 x + 2y 2z + 3w = 2 5x + 10y 8z + 11w = 12. A = LU-hajotelma ja määrää sen avulla yhtälöryhmän { x1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 4x x x 3 = 0 3x x x 3 = 6 ratkaisu. 3. Vektorijoukot S 1 = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 2, 3)} ja S 2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 1)} ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ja S 2 = {(1, 1), (1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F (u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5.(3p) b) Olkoon M( 2 2 reaalisten ) 2 2 matriisien muodostama vektoriavaruus ja olkoon W kaikkien 0 a muotoa, a, b R olevien matriisien joukko. Osoita, että W on vektoriavaruuden a b M 2 2 aliavaruus ja määrää W :n kanta. (3p) Kaavoja: q 1 = a 1 a 1, q = v k k v k, k = 2, 3,..., n, v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
14 MATRIISIALGEBRA Välikoe Määrää matriisin VÄLIVAIHEET JA PERUSTELUT NÄKYVIIN, KIITOS! aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta. 2. Onko matriisi A = A = diagonalisoituva? Jos on, niin laske siirtomatriisi e At. Jos ei, niin perustele miksi ei. 3. Laske matriisin A = itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1, 1, 1). Likiarvo λ (3) riittää. 4. Ratkaise yhtälöryhmä { 2x1 + 4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 järkevästi a) Jacobin, b) Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse kummassakin tapauksessa x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). c) Määrää a)-kohdan iteraatiomatriisi G ja vakiovektori r esityksessä x (k+1) = Gx (k) + r. 5. a) Olkoon Kaavat A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1 ja sin( π 2 A).(4p) b) Olkoon A n n matriisi, n 2. Olkoon A:n karakteristinen polynomi p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0. Osoita, että A 1 on olemassa täsmälleen silloin kun b 0 0. (2p) D = T 1 AT y k y k+1 y = λ (k) 1 k y k m A 1 = max 1 j n a ij i=1 n A = max 1 i m a ij j=1 A 2 = λ, A Fr = a ij 2 i j κ(a) = A A 1 x(t) = e ta x 0 f(a) = d 0 I + d 1 A + d 2 A d n 1 A n 1 q 1 = a 1 a 1, q = v k, k = 2, 3,..., n, k v k v k = a k (q T a 1 k )q 1 (qt a k 1 k )q, k = 2, 3,..., n. k 1
tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedotja F =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.
LisätiedotMATRIISIALGEBRA. Harjoitustehtäviä syksy Olkoot A =, B =
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2008 0 3 2 3. Olkoot, B =, C =. 3 2 3 2 4 0 Määrättävä A + B, 4A 2B, A T, C T, (A T ) T. 2. Jos A, B ja C ovat kuten edellisessä tehtävässä, onko a) C + C T määritelty,
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2016
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot5.1. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [0, ) jolla on ominaisuudet:
5.. Normi ja suppeneminen Vektoriavaruus V on normiavaruus, jos siinä on määritelty normi : V R + = [, ) jolla on ominaisuudet: x = x = x + y x + y, x, y V a x = a x, x V, a K (= R tai C) Esimerkki 5..
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy 2015
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMilloin A diagonalisoituva?
Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedot