Mka Haapanen mphaapan@ccju Matemaattnen taloustede II Jväsklän lopsto TODNNÄKÖISSLASKNNASTA Satunnasmuuttuja Satunnasmuuttuja on unkto jonka arvo perustuu todennäkösksn todennäkössjakaumaan Satunnasmuuttujaa kutsutaan dskreetks jos sen mahdollsten arvojen joukko on äärellnen ta numerotuva Vastaavast jatkuva satunnasmuuttuja vo saada mtä tahansa reaallukuarvoja tetllä välllä Satunnasmuuttujalla vodaan mallntaa lmötä joka muodostuu ta anakn peraatteessa vos muodostua satunnastetun kokeen tuloksena Satunnasmuuttujn vodaan tlastollsest mallntamaan hvn monnasa lmötä Satunnasmuuttujan parametrsonnlla el tlastollsen jakauman määrttelllä prtään shen että havattu lmö ja satunnasmuuttuja vastasvat mahdollsmman hvn tosaan Satunnasmuuttuja kannattaakn kättää kun taloudellsen lmön mallntamseen ltt jonknlasta epävarmuutta joka vodaan rttää melekkääst hallta todennäkössjakauman avulla Satunnasmuuttujlla on sten kättöä sekä teoreettsessa että emprsessä mallntamsessa esmerkks epävarmuuden valltessa tapahtuva päätöksenteon teoreettnen mallntamnen ta arvopapern tuoton emprnen mallntamnen Todennäkösslaskennan perusteden tuntemnen on tlastomenetelmen kätön ehdoton edellts koska kakk ksnkertasta kuvalua monmutkasemmat tlastoteteellset menetelmät perustuvat satunnasmuuttujen jakaumen omnasuuksn Satunnasmuuttujan jakauma Satunnasmuuttujan jakauma kertoo mten muuttujan mahdollset arvot jakautuvat sen arvoalueelle Dskreetn satunnasmuuttujan thesunkto määrtellään todennäkössjakaumana P mssä P on todennäköss että satunnasmuuttuja saa arvon Todennäkösden aksoomat vaatvat että P ja P Jatkuvan satunnasmuuttujan tapauksessa todennäkösdet määrtellään thesunkton avulla välnä Sopvaa taustamateraala lukuun ovat mm Lndgren 976 Greene 997 ja Salvatore Musta mös määrtelmät determnstnen el määrätnt ja stokastnen el satunnasuutta ssältävä
Pr a a d mssä ja thesunkton ntegraal l kakken :n arvojen on oltava ks el d Satunnasmuuttujan kertmäunkto määrtellään thesunkton avulla seuraavast: F P t dt jos on jatkuva jos on dskreett Kertmäunkto kertoo mllä todennäkösdellä satunnasmuuttuja on penemp ta htä suur kun Jatkuvan muuttujan thesunkto vodaan laskea mös kertmäunkton dervaattana F Vastaavast dskreetn satunnasmuuttujan thesunkton arvo kohdassa saadaan erotuksena F F mkäl :t on järjestett kasvavaan järjestkseen Sekä jatkuva että dskreetn muuttujan tapauksessa kertmäunktolle tulee päteä seuraavat omnasuudet: F Jos > F F F lm F ja v F lm F Nän ollen jatkuvalle satunnasmuuttujalle pätee Pr a Pr a < Pr a < Pr a < < F F a a t dt sllä jatkuvalla muuttujalla hden psteen todennäköss on nolla Dskreetlle muuttujalle vodaan kättää kaavaa Pr a < F F a smerkk Todennäkösksen laskemnen thesunktolla Oletetaan että kuluttajaneuvontaan sotettujen puheluden lukumäärä tunnssa on Posson jakautunut satunnasmuuttuja el sen thesunkto on muotoa λ e λ! mssä λ on neuvontaan sotettujen puhelujen määrä keskmäärn tunnssa λ > Akasempen havantojen perusteella on päätelt että λ 6 Lasketaan todennäköss että neuvontaan tulee kolme puhelua alle kaks puhelua ja kaks puhelua ta enemmän tunnn akana
Ratkasu: 6 6 e 6 6 e P 9! 6 6 e 6 e 6 6 P < 6 e 75!! P P < 75 965 smerkk Normaaljakauman thes ja kertmäunkto Normaaljakauman thesunkto on muotoa µ N µ µ ep R π mssä µ on jakauman keskarvo ja on varanss ks ltteessä oleva kuvo Mkäl µ ja jakaumaa kutsutaan standardoduks normaaljakaumaks ja merkntään usen φ ta N Integromalla thesunktota saadaan normaaljakauman kertmäunkto t µ F µ ep dt R π Standardodun normaaljakauman kertmäunktota merktään leensä Φ Tunnuslukuja Satunnasmuuttujen unktona tunnusluvut ovat tsessään satunnasmuuttuja Nden tarkotuksena on antaa tvstett kuvaus satunnasmuuttujan ta sen jakauman omnasuukssta Lokaato el sjanttunnuslukuja ovat mm odotusarvo keskarvo medaan ja mood Dsperso el hajontatunnuslukuja ovat mm varanss keskhajonta ja keskvrhe Satunnasmuuttujan odotusarvo lasketaan seuraavast: d jos on jatkuva jos on dskreett Huomaa että dskreetn satunnasmuuttujan odotusarvo on ss p mssä p on todennäköss P Lstataan odotusarvojen laskusääntöjä: [ c] c [ c ] c[ ] [ cg ] c[ g ] c g c g ] c [ g ] c [ g [ ]
[ g ] g d g jos on jatkuva jos on dskreett mssä c c ja c ovat vakota on satunnasmuuttuja ja g g ja g ovat reaalarvosa unktota Lsäks on huomattava että leensä [ ]! Medaanlla tarkotetaan muuttujan keskmmäsntä havantoa Se on ertsen kättökelponen sjanttunnusluku vnost jakautunelle muuttujlle Mood on muuttujan lesn arvo Satunnasmuuttujan varanss var lasketaan var [ µ ] µ µ µ d jos on jatkuva jos on dskreett mssä satunnasmuuttujan odotusarvoa on merktt µ :lla Keskesä varanssn laskusääntöjä ovat var a var a a var var a a var var a cov mssä a ja ovat vakota ja ja ovat satunnasmuuttuja Kovaranss cov tulee määrtellks heman möhemmn Keskhajonta on varanssn nelöjuur joten keskhajonnalla on sama mttakskkö kun muuttujaa tseään Keskhajonnalle laskettua emprstä estmaatta kutsutaan usen keskvrheeks smerkk Tasajakauman odotusarvo ja varanss Jatkuva satunnasmuuttuja on tasajakautunut mkäl sen thesunkto on a ; a - jos a muullon mssä parametrvakot a ja vovat saada arvoja varanssks saadaan tällön < a < < Odotusarvoks ja [ ] d a a var[ ] [ a ] [ ] a a a a a a d a a a a a a a a
smerkk Bernoull jakauman odotusarvo ja varanss Dskreett satunnasmuuttuja on Bernoull jakautunut mkäl sen thesunkto on p p jos ta ; p muullon mssä parametrvako p vo saada arvoja p Odotusarvoks ja varanssks saadaan tällön [ ] p p p var[ ] [ ] [ ] p p p p p smerkks kolkkoa hetettäessä tulema kruuna ta klaava on Bernoull jakautunut satunnasmuuttuja p 5 Huom! Tunnusluvut perustuvat satunnasmuuttujasta tehthn jakaumaoletuksn Nhn pohjautuvat päätelmät tarkasteltavasta reaalmaalman lmöstä ovat sten tulkntoja jota e pdä esttää eksaktena matemaattsna tuloksna hdollssta jakaumsta hdollnen jakauma määrtellään ehdollsa todennäkösksä kättäen smerkks satunnasmuuttujan :n ehdollnen jakauma ehdolla määrtellään mssä d jos on jatkuva jos on dskreett htälössä on satunnasmuuttujen ja htesthesunkto ja on :n reunajakauma Vastaavast satunnasmuuttujan :n ehdollnen jakauma ehdolla määrtellään mssä d jos on jatkuva jos on dskreett Muuttujat ovat rppumattoma jos ja van jos htesjakauma on sama kun nden reunajakaumen tulo el kaklla Tällön ehdollset jakaumat ovat samoja kun reunajakaumat el ja Mkäl ja ovat dskreettejä satunnasmuuttuja 5 P
6 smerkk 5 htesthesunkto reunajakaumat ja rppumattomuus Oletetaan että jatkuven satunnasmuuttujen ja htesthesunkto on muullon ja jos tstään ja :n reunajakaumat ja tutktaan rppumattomuutta Reunajakaumat lasketaan ntegromalla d d Määrtelmällsest ja ovat rppumattoma jos ja van jos kaklla ja :n arvolla Nt ja evät ole rppumattoma koska ta koska esmerkks Reunajakaumsta vomme laskea mös esmerkks todennäkösdet d P ta 5 d P Muuttujen välstä suhdetta htesvahtelua mtataan kovaransslla [ ] cov Mttaksköden vahtelun elmnomseks kovaranss skaalataan usen tulomomenttkorrelaatokertomeks Pearsonn korrelaatokerron: ρ cov Tonen usen kätett korrelaatokäste on Spearmann järjestskorrelaatokerron jolla tutktaan er muuttujen havantokskötten järjestksen samuutta Huom! Vodaan osottaa että rppumattomen muuttujen kovaranss on nolla mutta kovaranssn ta korrelaaton puuttumnen kovaranss nolla e välttämättä merktse rppumattomuutta
7 Musta mös että korrelaaton perusteella vodaan tehdä päätelmä samansuuntasesta lkkumsesta lneaarsessa melessä mutta stä e vo mssään tapauksessa ptää osotuksena kausaalsuhteesta klassnen esm on hakarat ja sntvs Tanskassa smerkk 6 Kovaranssn laskemnen jatkuvat muuttujat Tarkastellaan kovaranssn laskemsta edellsen esmerkn avulla Lasketaan ensn ja :n odotusarvo nden reunajakauma kättäen ja stten :n odotusarvo: 7 d d d 6 7 d d d 5 d d dd dd dd Saatujen tulosten perusteella kovaranssks saadaan 7 7 7 9 7 6 7 7 5 cov Huomaa että ja :n välnen korrelaatokerron ρ cov saatasn laskettua jakamalla kovaranss keskhajonnolla: [ ] d µ [ ] d µ Laskutomtusten suorttamnen jätetään harjotustehtäväks smerkk 7 Kovaranssn laskemnen dskreett muuttujat Oletetaan että satunnasmuuttujen ja htesthesunkto on - - /6 /9 /9 /9 /6 / /9 /6 Nt :n reunajakauma el P on / / 9 / 6 / 9 / 9 / 9 /
/ 9 / 6 / 6 ja :n reunajakauma el P on 7 / 5 / / joten ja :n odotusarvot ovat / 9 / / 9 / 9 / 9 7 / 5 / / / / 9 / 9 / 9 / 6 / 6 / 6 Nän ollen kovaranssks saadaan / 6 / 9 / cov / 6 / 9 / / Lte Normaaljakauma er keskarvolla ja varanssella 5 6 7 N- N N 6 Krjallsuutta - - - - Greene W H 997 conometrc Analss rd edton Prentce Hall New Jerse Lndgren BW 976 Statstcal Theor rd edton New ork Salvatore D Schaum s Outlnes Statstcs and conometrcs nd edton McGraw Hll: Blacklck OH