3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
|
|
- Kirsi Tamminen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss I Frekvenss II Frekvenss III Onko keskarvo ss hyödytön? E todellakaan, mutta yksnään se vo kyllä olla harhaanjohtava. Se, kuten muutkn hajontaa kuvaavat luvat, on van yks monsta. Stä täydentämään on kehtetty joukko hajontalukuja. Alotetaan ntten tutkmnen tarkastelemalla vahteluvälä. Vahteluvälstä Vahteluväl lmottaa, mnkä kahden arvon välssä jakauman muuttujanarvot ovat. Se on tlaston muuttujanarvojen suurmman ja penmmän arvon väl. Jos penmmästä arvosta käytetään merkntää x mn ja suurmmasta merkntää x max, nn vahteluväl merktään x mn x max. Välvva e ss merktse tässä yhteydessä vähennyslaskua. Vahteluväln ptuus on yksnkertasest nätten kahden äärarvon erotus, jota merktään krjamella R. Vahteluväl määrtellään ss yhtälöllä
2 R = x max x mn Tässä välvva on vähennyslaskun merkntä! Esmerkk 8 Taulukkolaskentaohjelmssa ja monssa laskmssa, jossa on tlastollsa tomntoja, on myös tomnto, joka hakee lukujoukon suurmman arvon ja tonen, joka hakee joukon penmmän arvon. Nssä on myös tomnto, jonka avulla kone järjestää taulukon suuruusjärjestykseen. Ohesen hpphyppästen panojen taulukon penmmän ja suurmman arvon etsmseen e tok tarvta apuvälnetä. Koska taulukon suurn pano on 08 grammaa ja penn on 76 grammaa, nn taulukon vahteluväl on 76g 08 g ja vahteluväln ptuus on 3 grammaa. Ykslö Pano [g] Vahteluväl on penmmän ja suurmman muuttujanarvon väl Vahteluväln ptuus on suurmman ja penmmän muuttujanarvon erotus ja stä merktään krjamella R. Vahteluväl kertoo van sen, mllä välllä mttausarvot ovat. Kuten Esmerkn 7 ensmmäsen ja kolmannen jakauman tlanteesta huomataan ntten vahteluväl on sama vahteluväl jättää paljon kertomatta. Joskus vahteluväln tarjoama teto rttää, mutta usen tarvtaan tarkempaa tetoa stä, mten mttausarvot jakautuvat esmerkks keskarvon suhteen. Tätä tarkotusta varten on kehtetty keskhajonta. Se on kakken enten käytetty apuvälne, kun haetaan vahteluvälä tarkempaa tetoa mttausarvojen hajonnasta. Keskhajonnasta Keskhajonnalla kuvataan mttausarvojen jakautumsta keskarvon ympärlle. Tavotteena on luku, joka kertoo, kunka kaukana keskarvosta mttausarvot yleensä ta keskmäärn ovat. Eräs keskhajonnan tärkeä omnasuus on se, että sllä on sama ykskkö kun tse anestolla ja aneston keskarvolla. Esmerkk 9 Tarkastellaan velä Esmerkn 8 taulukkoa ja lasketaan sen mttausarvojen el hpphyppäs otoksen ykslötten panojen keskarvo. Tulos on 9,0 grammaa. Yks mahdollsuus kuvata mttaustulosten jakautumsta keskarvon ympärlle ols laskea jokasen panon pokkeaman keskarvo panojen keskarvosta. Suortetaan tämä lasku ja tehdään stä taulukko. Krjotetaan taulukon ensmmäseen sarakkeeseen ykslötten panot kopodaan ne Esmerkstä 8 sekä panojen keskarvo. Toseen sarakkeeseen krjotetaan kunkn panon ja keskarvon erotus sekä nätten keskarvo. Vmeks mantun luvun krjotan otskoneen ( merveden ) vhreällä. Saatu erotusten tsesarvojen keskarvo, joka osottautu 8 grammaks, kelpas hajonnan mtaks.
3 Sen sjaan, että käytettäsn äskeseen tapaan keskarvoa laskettuna yksttästen mttausarvojen erotukssta, käytössä on luku, jota sanotaan keskhajonnaks ja joka määrtellään vähän äskestä monmutkasemmn. Keskhajonnan peraate on notten erotusten nelötten keskarvon nelöjuur. Luoktellun ja luokttelemattoman aneston keskhajonnat lasketaan käytännön systä tosstaan eroavlla, mutta tosaan vastaavlla tavolla. Pano ja keskarvo Keskarvon ja panon erotuksen tsesarvo 00 g 8 9 g 0 76 g 6 00 g 8 84 g 8 84 g 8 00 g 8 9 g 0 08 g 6 84 g 8 9,0 g Erotusten tsesarvojen keskarvo = 8,0 Keskhajontaa (standard devaton) merktään usen penellä s krjamella. Mutakn merkntöjä on. Esmerkks snun laskukoneesees se on saatettu merktä jollan muulla merkllä. Luokttelemattoman aneston keskhajonta lasketaan ss seuraavast: Määrtellään aluks merknnät: mttausarvojen keskarvoa merktään krjamella x (lue: äks vva ) ja kutakn mttausarvoa merktään x:llä, jotka numerodaan alandeksllä. Täten kolmas mttausarvo ta yhtä hyvn kolmannen hpphyppäsen pano on ss x 3. Merkntä x, = 0 tarkottaa tosaalta kutakn kymmentä mttausarvoa ja tosaalta stä, että mttausarvoja ylpäänsä on kymmenen kappaletta. Vähennetään jokanen mttaustulos vuorollaan keskarvosta ja krjotetaan erotukset taulukkoon. Lasketaan jokasen äskesen erotuksen nelö. Lasketaan nätten nelötten keskarvo. Lasketaan saadun keskarvon nelöjuur. Kun käytetään äskesä merkntöjä ja mttausarvoja on n kappaletta, luokttelemattoman aneston keskhajonta s on
4 s n = = ( x x) n. Tässä muodossa keskhajonta on tarkemmn sanottuna populaatokeskhajonta (populaton standard devaton). Kun nelöjuuren ssällä olevan nmttäjän n korvataan luvulla n, saadaan nn sanottu otoskeskhajonta (sample standard devaton), joka on ss s = n = ( x x) n. Jos n on suur, e ole välä, jaetaanko n:llä va n :llä. Valtaan selvyyden vuoks kakkn kaavohmme n. Käytetään ss yllä punasssa raamessa olevaa versota. Tämä on myös se verso, joka yleensä on laskmssa. Musta seuraavassa summan lyhennysmerkntä! Esmerkks k + f f k = f. = Luoktellun aneston keskhajonta määrtellään luokttelemattoman aneston keskhajontaa vastaavalla tavalla. Luoktellun aneston keskhajonta lasketaan seuraavast. f Määrtellään aluks merknnät: mttausarvojen keskarvoa merktään krjamella x (lue: äks vva ) ja kutakn luokkakeskusta merktään x:llä, jotka numerodaan alandeksllä. Olkoon luokken lukumäärä k. Luokkakeskukset ovat ss x, kun = k. Merktään luokan x frekvenssä krjamella f, mssä ss edelleen = k. Mttausarvoja on jälleen n kappaletta el n f + f f = k. Vähennetään jokanen luokkakeskus vuorollaan keskarvosta ja krjotetaan tulos taulukkoon. Lasketaan jokasen äskesen erotuksen nelö. Jaetaan nätten nelötten summa luvulla n. Kuten tedät, tämä e ole nelötten keskarvo avan tarkast. Lasketaan saadun keskarvon nelöjuur. Sama yhtälön avulla: luoktellun aneston keskhajonta s on s = k = f ( x x) n Esmerkk 0
5 Jatketaan Esmerkkä 9. Sen anesto on luokttelematonta. Lasketaan sen keskhajonta edellä sanallsest selostetulla tavalla ja velä uudelleen kaavaan soveltaen. Käytetään myös edellä oleva merkntöjä, jotka ovat muuallakn ylesessä käytössä. Mttausarvojen ja keskarvon erotukset mellä jo on ta tarkemmn sanoen ntten tsesarvot, mutta merkk häpyy, kun korotamme nuo erotukset nelöön. Seuraavan taulukon sarakkessa ovat mttausarvot, keskarvo, mttausarvojen ja keskarvon erotuksen nelöt sekä vmeks manttujen nelötten summa. Mttausarvot el x :t Erotusten keskarvosta nelöt el ( x x) x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 0 KA 9,0 Y.o. nelötten summa = 896 Keskhajonnasta puuttuu velä nelötten summa jaettuna mttausarvojen määrä mnus yhdellä el 9:llä sekä tämän osamäärän nelöjuur. Suortetaan nämä operaatot: , 98. Saamme keskhajonnaks ss non 0. Suortetaan velä samat laskut lman taulukkoa sjottamalla lukuarvot kaavaan. Keskhajonnan kaavamme on s = n = ( x x) n. Sjotetaan:
6 = n = ( x x) n ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) + ( x x) = ( 00 9) + ( 9 9) + ( 76 9) ( 08 9) + ( 84 9) = 9 9, 98 Vastaus: Keskhajonta on non 0 grammaa Esmerkk Luokteltu anesto Seuraavassa taulukossa on tlastollsta tetoa hpphyppästen ptuukssta senttmetrenä lmastuna. Snä annetaan sekä luokteltuna että luokttelematta erään ryhmän jäsenten tedot. Lasketaan keskarvo ja keskhajonta. Luokttelematon anesto: 4, 4, 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5, 5,3 5,6 5,7 5,9 6,0 6,0 6, 6, 6,3 6,3 6,3 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,6 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7, 7,3 7,7 7,9 8,0 8, 8, 8,4 8,6 8,7 8,7 9, 9,3 9,5 9,6 9,9 0, Luokteltu anesto: 0 3, , , , , , ,550 0,550 0,550
7 Luoktellun aneston taulukon ensmmäsessä sarakkeessa on luokan alaraja, kolmannessa on luokan yläraja, neljännessä sarakkeessa on luokan frekvenss ja vhdon vdennessä sarakkeessa luokkakeskus. Keskarvoks saadaan nän 6,85 el okeutetummalla tarkkuudella 6,9. Koska keskhajonnan kaava on nyt s = k = f ( x x) n, nn s = 7 ( 4, 55 6, 85) + 7 ( 5, 55 6, 85) + 9 ( 6, 55 6, 85) + 5 ( 6, 55 6, 85) + 6 ( 7, 55 6, 85) ja ss s =, 5. Vastaus: Aneston keskarvo on 6,9 ja keskhajonta on,5. Kun merktään mttausarvojen keskarvoa x :lla, mttausarvoja (luokttelematon anesto) ta luokkakeskuksa (luokteltu anesto) x :llä ( = n), mttausarvojen lukumäärää n:llä, luokken lukumäärää k:lla (luokteltu anesto) ja :nnen luokan frekvenssä f :llä (luokteltu anesto), nn mttausarvojen keskhajonnaks sanotaan lukua s, joka määrtellään kaavalla s = s = n = k = ( x x) n f ( x x) (luokttelematon anesto) (luokteltu anesto) n Huomautuksa
8 Yllä olevaa keskhajontaa, jonka määrttelevän yhtälön nmttäjässä on luku n sanotaan ertysest otoskeskhajonnaks. Lukua, joka saadaan, kun tämä n korvataan n :llä, sanotaan populaatokeskhajonnaks. Tällä kursslla van otoskeskhajonta on käytössä. Koska keskhajonnan laskukaavan molemmssa versossa mttausarvon ta luokkakeskuksen erotus korotettn toseen potenssn, e ole välä, kunka pän erotus lasketaan. Tosn sanoen, koska ( x x) = ( x x ), nn keskhajonnassa e ollenkaan näy, kummalla puolella keskarvoa mttausarvo on. Keskhajonta on tässä melessä symmetrnen. Täten keskhajonnalla on käyttöä van keskarvon suhteen symmetrsten jakaumen kanssa. Käytä keskhajontaa van keskarvon suhteen symmetrsten jakaumen kanssa Myös mttausarvojen ja keskarvon erotusten nelötten keskarvoa käytetään, kun mtataan mttausarvojen jakautumsta keskarvon ympärlle. Stä sanotaan varanssks ja stä merktään usen joko s :lla ta σ :lla. Sen ykskkö e kutenkaan ole sama kun mttausarvon ykskkö. Sks emme käytä stä tällä kursslla. Esmerkks laskukonees käskrja saattaa manta varanssn. Huomaa velä, että keskhajonta on varanssn nelöjuur. Tätä tetoa tarvtset anakn, jos konees lmottaa van varanssn. Normaaljakaumasta el Gaussn kellokäyrästä Kakken kuulusn keskarvon suhteen symmetrnen jakauma on Gaussn kellokäyrä ta lyhyest Gaussn käyrä. Seuraava kuva esttää sellasta Gaussn kellokäyrää, jonka mttausarvojen keskarvo x on 0 ja keskhajonta on. Se on funkton y = e π kuvaaja. Tämä yhtälö ja shen lttyvä tetoja ja taulukota on matematkan taulussa. Gaussn kellokäyrän muotosta jakaumaa sanotaan normaaljakaumaks (normal dstrbuton).
9 Jos mttausaneston frekvenssmonkulmo on symmetrnen mttausarvojen keskarvon suhteen ja on (muutenkn) Gaussn kellokäyrän muotonen, sanotaan, että anesto on normaalst jakautunut parametrena keskarvo x ja keskhajonta s. Kaavaan sjottamalla näet, että tämä nn sanottu normtettu Gaussn (kello)käyrä lekkaa y - 0 akseln y:n arvolla y( 0) = e 0, 4. π Monet arkpävän sekä luonnonteteen, teknkan ja yhteskunnan asat noudattavat normaaljakaumaa el asettuvat symmetrsest keskarvon ympärlle sten, että mtä penemp keskhajonta stä tukemmn mttausarvot keskttyvät keskarvon ympärlle ja stä kapeamp kellokäyrä kuvaa ntten hajontaa. Iso keskhajonta merktsee vastaavast leveää kellokäyrää. Anakn seuraavan luettelon jakaumat noudattavat kellokäyrää: kahden tuuman naulojen tarkat ptuudet mesten keskptuudet nasten keskptuudet lampun kestokä klon jauhopaketn tarkka ssällön määrä yo kokeden tulokset Esmerkk Tarkastellaan seuraavan taulukon anestoa. Snä on jälleen erään hpphyppästen yhtesön täyskasvusten jäsenten ptuudet senttenä. Prretään anestosta hstogramm sekä lasketaan aneston keskarvo ja keskhajonta. 3,6 4, 4, 4,6 4,7 4,7 4,8 4,9 5,0 5,0 5, 5, 5,3 5,3 5,4 5,5 5,6 5,6 5,7 5,7 5,8 5,8 5,8 5,9 5,9 5,9 6,0 6,0 6, 6, 6, 6, 6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,6 6,6 6,6 6,6 6,7 6,7 6,8 6,9 6,9 7,0 7,0 7,0 7,0 7, 7, 7, 7, 7, 7,3 7,3 7,4 7,6 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 7,8 7,8 7,9 7,9 7,9 8,0 8,0 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,4 8,4 8,6 8,6 8,7 8,7 8,7 8,9 8,9 9, 9,3 9,5 9,5 9,6 9,9 9,9 0,
10 Hstogrammn prtämstä varten anesto on luokteltava. Käytä tlasuutta hyväkses ja tarksta nämä mnun tekemän laskut! Valtaan sentn ptuset luokat nn, että ensmmänen luokka on väl [3,;4,0]. Tosn sanoen mttausarvo 3,0 on mukana luokassa, jonka luokkakeskus on 3,55, samon 4,0. Ykskkönähän on senttmetr. Luokttelun tulos on seuraavassa taulukossa. Luoktellun aneston kaavojen avulla lasketut aneston keskarvo ja keskhajonta ovat: x = 6, 930cm, s =, 45cm. Luokkak f 3,55 4,55 9 5,55 8 6,55 7 7,55 8,55 5 9,55 7 0,55,55 0 Tuloksena saamme seuraavan hstogrammn. Jos kuvttelet vvan, joka yhdstää palkken huppujen keskpsteet ja vähän pyörstät vvan kulma, saat suunnlleen kellokäyrän. Tämä johtuu stä, että kuvan pohjana on lukujoukko, jonka nmenomaan laadn nn, että sen mttausarvot ovat normaalst jakautuneet keskarvona 6,9 cm ja keskhajontana,45 cm. Frekvenssjakauma Frekvenss Luokkakeskukset, cm
11 Johtopäätös: jakauma vo olla saman muotonen kun Gaussn kellokäyrä myös mulla keskarvon ja keskjakauman arvolla kun 0 ja. Arvodaan, kunka mon Esmerkn mttausarvo on yhden keskhajonnan etäsyydellä keskarvosta. Keskarvon ja keskhajonnan summa on 6,9 +,45 el 8,35 ja erotus 6,9,45 on 5,45. Täten keskarvon yläpuolelta mukaan tulee koko se luokka, jonka keskus on 7,55 el mttausarvoa. Keskarvon alapuolelta mukaan tulee kokonaan luokka, jonka keskus on 6,55 el 7 mttausarvoa. Arvodaan luokkaa, jonka luokkakeskus on 8,55 sten, että sen mttausarvot ovat tasasesta jakautuneet epätarkkaa, mutta e nyt hattaa nn, että sen frekvenssstä 35 prosentta tulee mukaan el ss 5 mttausarvoa. Manttu 35 prosentta tulee stä, että keskhajonta yltää luokkakeskusta 8,55 vastaavan luokan alueelle non 35 prosentta luokan koko laajuudesta. Vastaavast luokkakeskuksen 5,55 frekvenssstä otetaan 55 prosentta el 0 mttausarvoa. Yhteensä ss yhden keskhajonnan päässä keskarvosta on non 64 mttausarvoa. Tämä on melken kaks kolmasosaa koko määrästä. Kuten huomaat, prosenttykskkö suuntaan ta toseen e merktse tässä mtään. Normaaljakaumaa koskeva tulos Heman pyörstäen vodaan sanoa, että keskarvon kummallakn puolella erkseen, sekä okealla että vasemmalla puolella, on kolmannes kaksta normaaljakauman mttausarvosta. Tvstetään tämä asa kuvaan, josta se on havannollsemmn luettavssa kun sanallsesta seltyksestä. Kuvan x akseln ykskkönä on keskhajonta. Tämä tarkottaa stä, että x:n arvo vastaa kahta keskhajontaa ja vastaa yhtä keskhajontaa y akseln vasemmalla puolella.
12 96% 68% % 4% 34% 34% 4% % Yllä olevan kuvon luku 96% lenee vsasta tulkta lukuna non 95% ja luku 68% kahtena kolmasosana Esmerkk 3
13 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on korkentaan 5,7 sentn ptunen? Ratkasu Kyseessä on ss ntten ykslötten ptuudet, jotka ovat joko yhden keskhajonnan päässä keskarvon alapuolella ta stä lyhyempä. Koska äsken estetyn perusteella non kaks kolmasosaa on yhden keskhajonnan etäsyydellä keskarvon ympärllä, nn keskarvon alapuolella alle yhden keskhajonnan päässä on non yks kolmasosa kaksta mttausarvosta. Tällön korkentaan yhden keskhajonnan päässä keskhajonnan alapuolella ta sen vasemmalla el penemmällä puolella on non yks kuudes osa kaksta. Yks kuudes osa 000 ykslön joukosta on non 333 ykslöä. Jos käytämme yllä manttuja oleva lukuja 4% ja %, saamme 0, = 30. Tarkstetaan asa. Mellähän on 000 ykslön ptuudet taulukossa. Seltä löytyy 39 ykslöä, jotka ovat 5,7 senttä ptkä ta stä lyhyempä. Järjestetystä anestosta löydät ne het, mutta myös järjestämättömästä anestosta ne löytyvät ohjelman tomnnolla muullakn tavalla kun järjestämällä anesto. Normttamnen Keskarvo ja keskhajonta määräävät kellokäyrän muodon ykskästtesest. Yks keskhajonnan tehokkasta prtestä, joka tästä seuraa, on että keskhajonta tarjoaa aneston mttakaavan ja keskhajonta knnttää anestonsa pakan kartalla. Otamme tämän omnasuuden nyt käyttöön. Kaks kolmas osaa koko anestosta on ss yhden keskhajonnan säteellä keskarvosta. Tätä tetoa käytmme Esmerkssä 3. Gaussn käyrän käytännöllnen ja tehokas omnasuus on, että vastaavast kun tuo kaks kolmasosaa, mkä tahansa kellokäyrän x aksellta valttu pste ja mnkä tahansa kellokäyrän x aksellta valttu pste määrää ykskästtesest sen, mkä osa anestosta on tuon psteen ala- ta yläpuolella tuossa tlastossa. Esmerkk 4 normtettu arvo Ajatellaan naulatehdasta, joka tekee kaken muun ohessa kahden tuuman ptusa nauloja. Tehtaan laaduntarkkalu on huomannut, että kakken tehtaassa valmstettujen naulojen keskarvo on hyvn tarkkaan kaks tuumaa, mutta että tosaalta kahden tuuman naulojen ptuuksen keskhajonta on mllmetr. Kuten mustat, tämä merktsee stä, että kaksta tehtaan valmstamen kahden tuuman naulojen ptuukssta kaks kolmas osaa on välllä [4,98 cm ; 5,8 cm]. Valtaan satunnanen naula. Mtattuamme sen ptuuden, huomaamme, että se on juur tasan 5,00 cm ptkä. Tämä eroaa naulojen nmellsptuudesta, joka sattuu nyt olemaan myös todellsuudessa valmstuven naulojen keskptuus, määrän 5,00 cm = 0,08 cm, joka on puolestaan 0,8 keskhajontaa: 0, 08cm 0, cm = 0, 8. Tällön sanotaan, että satunnasen naulamme ptuuden normtettu arvo on 0,8. Luku on negatvnen, koska naulamme on keskarvoa lyhyemp. Vastaavast 5,6 senttä ptkän naulan ptuuden normtettu arvo ols 0,8, koska sekn on 0,8 keskhajonnan päässä keskarvosta mutta stä ptemp.
14 Esmerkk 5 Jos tehtaan vden tuuman naulojen ptuuksen keskarvo on tasan vs tumaa ja keskhajonta on 3 mllmeträ, kunka ptkä on naula, jonka nmellsptuus on 5 tuumaa ja ptuuden normtettu arvo on a) +, b) 0,9? Ratkasu a) Koska keskhajonnaks lmotetaan 3 mm ja koska, 3mm = 3, 6mm, nn naulan ptuus on 5 tuumaa + 3,6 mllä el 3,06 cm. Vastaus: Naulan ptuus on 3,06 cm. b) Nyt naulan ptuus on 5 0, 9 3 mm =,43 mm. Vastaus: Naulan ptuus on,43 cm. Ylesest muuttujan x el mttausarvon x normtettu arvo z määrtellään kaavalla x x z =. s Huomaa vähennyslaskun järjestys: keskarvo vähennetään mttausarvosta ja tulos käytetään merkkeneen. Muuttujan x normtettu arvo z on x x z =, s kun x:n keskhajonta on s ja sen keskarvo on x. Tämän kaavan avulla normttamalla vodaan mkä tahansa normaalst jakautunut tlasto palauttaa normaaljakaumaan, jonka keskarvo on 0 ja keskhajonta on. Tärkeä tulos: Mtataan muuttujaa x, joka on normaalst jakautunut keskarvona x ja keskhajontana s el parametrena x ja s. Sllon keskhajonta s ykskkönä lmotetun säteen päässä oleven mttausarvojen osuudet kaksta mttausarvosta vodaan laskea käyttämällä normaalst parametrena 0 ja jakautuneen normaaljakauman lukuarvoja. Koska vmeks mantun jakautuman arvot on taulukota [MAOL taulukot, Seppänen et al, ] ja ne löytyvät myös monsta laskmsta, normttamnen tekee normaalst jakautuneet mttausarvot paljon helpommn kästeltävks. Seuraavat esmerkt valassevat asaa. Tutk nässä merkessä velä Esmerkkä 3!
15 Jos x on normaalst jakautunut parametrena x ja s, nn z on normaalst jakautunut parametrena 0 ja, kun määrtellään z = x x s Seuraaven kolmen esmerkn jälkeen jätämme normaaljakauman vähäks akaa. Palaamme shen kutenkn velä todennäkösyyslaskennan merkessä han kurssn lopulla. Huomaa! Jos taulukkokrjan sjasta käytät lasknta normaaljakaumaa soveltavssa tehtävssä, varmsta konees käskrjasta, että tulktset koneen antamat arvot oken pän. Tarksta laskmes avulla, että saat seuraavsta esmerkestä samat tulokset kun mnä olen saanut. Jos et saa, ota konees käskrja uudelleen eslle! Yrtän ptää huolen stä, etten tse laske ntä väärn Kunhan varmstat, että saat samat, käytä tok laskntas. Taulukkokrjasta löydät tarvttavat tedot otskon Normaaljakauman kertymäfunkto alta. Juur nyt snun e kannata välttää tuosta nmestä kertymäfunkto, e myöskään sellassta merknnöstä kun Φ ( x), jota taulukkokrjassa näet. Mtään myststä nhn e ssälly, mutta emme tarvtse ntä velä. Palaamme nhnkn todennäkösyyslaskennan osuuden lopussa. Lasken esmerkt taulukkokrjan avulla. Jos käytät lasknta, hae vastaavat ohjeet sen käskrjasta. Esmerkk 6 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on sllon ptemp kun 8,0 cm? Ratkasu Lasketaan ensn, kunka monta keskhajontaa 8,0 cm on ptemp kun 7,0 cm el normtetaan arvo 8,0 cm. x x 8, 0cm 7, 0cm Kaavan mukaan z = = = 0, 769. s 3, cm Ohesessa kuvassa on parametrena 0 ja jakautunut hajonta punasella vvalla sekä snsellä (slmämääräsest) prretty suora z = 0,769, joka taulukkokrjan merknnön z ols suora x = 0,769. Avaa taulukkokrjas kohdasta, jossa on normaaljakauman kertymäfunkton taulukko. Taulukon yläreuna on luultavast seuraavan kuvan näkönen.
16 Tämä kuva on ss van kysesen taulukon yläreuna el otskkorv, otskkosarake sekä kaks datarvä. Tovon, että tämä kuva auttaa snua löytämään okean taulukon. Tästä taulukosta, ohesta kuvaa alempaa, etstään nyt lukua 0,769 vastaavaa arvoa. Pyörstetään ensn 0,769 luvuks 0,77. Taulukon ensmmäsen sarakkeen otskkona ss x luvut 0,0; 0,; ; 3,4 ovat etsttävän luvun kokonasosa ja ensmmänen plkun jälkenen desmaal. Nnpä valtsemme rvn, joka alkaa 0,7. Stten edetään ptkn tätä rvä kunnes tullaan shen sarakkeeseen, joka alkaa seskalla el pyörstetyn lukumme seuraavalla desmaallla. Nätten rvn ja sarakkeen lekkauksessa on luku Se on kuvassa punasella rengastettuna. Pyörstn lukumme kahteen desmaaln, koska tästä taulukosta e lukuja vo etsä sen tarkemmn. Luku, joka on sen sarakkeen, joka alkaa luvulla 0 ja rvn, joka alkaa luvulla 0,0 rsteyksessä oleva luku on vähän erlanen kun muut: snä nolla ja plkku muun lsäks el snä on luku 0,5000. Musta nuo nolla ja plkku puuttuvat, koska ntä e ole vtstty tostaa. Luku, jonka löysmme, e ss olekaan 7794 vaan 0,7794. Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta lyhyempä. Täten 8 senttsä ta ptempä on 00% 77,94% =,06% el 000 ykslöstä 44. Vastaus: 000 hpphyppäsestä 44 on 8 senttä ptkä ta pdempä. Esmerkn 6 kuten mutten samankaltasten esmerkken ratkasemnen perustuu ajatukseen, että esmerkks mantun Esmerkn 6 kuvan snsen pystyvvan, punasen Gaussn käyrän ja x - akseln rajaaman alan suhteellnen osuus koko Gaussn käyrän ja x akseln rajaamasta alasta on sama kun vastaavaan normtetun käyrän kohtaan prretyn pystyvvan ja koko normtetun kellokäyrän ja x akseln rajaaman alan suhteellnen osuus kakken mttausten määrästä el koko kellokäyrän ja x akseln rajaamasta alasta. Nuo alan arvot saadaan taulukosta, jonka jakauman keskarvo on nolla ja keskhajonta on yks ja ne ovat myös monssa laskmssa. Huomaa, että mona laskma käytettäessä edellä oleva teto Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta lyhyempä täytyy krjottaa muodossa Tämä kertoo sen, että 77,94 prosentta kaksta mttausarvosta el hpphyppästen ptuukssta on 8,0 senttä ta ptempä.. Tätä tarkotn, kun edellä varotn vaarasta tulkta koneen antama lukuja väärn pän el väärään suuntaan. Taulukkokrjan taulukossa, yllä mantun otskon alla on taulukotu lukuja, jotten otskoks on krjattu x. Tuo x on nyt kutenkn medän edellä olevan punasen laatkon z. Kun ss haemme yllä laskettua muuttujan z arvoa, haemme sen taulukosta, joka on otskotu x:llä. Hämäävää! E kutenkaan hattaa paljon, kun sen mustaa! Vähän tarkemman luvun löytää nterpolomalla. Luetaan normtettuja ptuuksa 0,76 ja 0,77 vastaavat lukemat. Ne ovat 0,7764 ja 0,7794. Ntten erotus on 0,003. Koska 0, , 9 0, 003 = 0, 779, nn 77,9 prosentta on 8 senttsä ta lyhyempä ja yl 8 senttsä ols non 44 otusta 000 ykslön populaatosta. Hpphyppäsä e kutenkaan vo mtata kunka tarkast tahansa, joten tämä tarkkuus ols nässä laskussa epärealstnen.
17 Esmerkk 7 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Kunka mon 000 ykslön kokosessa populaatossa on sllon pdemp kun 5 senttä, mutta lyhyemp kun 8 senttä? Entä kunka mon on tarkalleen 8 sentn ptunen? Ratkasu Lasketaan, kunka mon on alle 5 -senttnen, kunka mon on alle 8 senttnen ja vähennetään saadut luvut tosstaan: katso Esmerkstä 6, mtä taulukkomme luvut tarkottavat. x x 5, 0 7, 0 Alle 5 senttsä: z = = =, 538. Haetaan taulukosta lukua +,538 el non +,54 s 3, vastaava arvo. Se on 0,938. Koska nyt olemme keskarvoa penemmssä arvossa, mutta tauskukossa e ole negatvsa lukuja, nn hakemalla postvsen luvun saamme etsttävän joukon joukko-opllsta komplementta kuvaavan luvun. Met asaa kellokäyrän kuvan avulla! Ss alle 5 senttsä on ( 0, 938) 000 = 4 ykslöä. Alle 8 senttsä: Esmerkn 6 nojalla = 559 ykslöä. Ykslötä, joden ptuudet ovat 5 sentn ja 8 sentn välssä on nän ollen = 435 kappaletta. Krjamellsest tarkalleen 8 senttsä e vo olla yhtään, sllä asaan lttyy ana epätarkkuutta. Jos tarkalleen 8 senttä tulktaan sten, että tarkalleen mttaus- ta lmotetun tarkkuuden puttessa, nn tarkalleen 8 senttsä ovat ne, joden ptuudeks lmotetaan 8,0 senttä. Vastaus: 5 ja 8 sentn välssä on non 559 hpphyppästä. Esmerkk 8 Oletetaan, että hpphyppästen ptuudet ovat normaalst jakautuneet keskarvona 7,0 cm ja keskhajontana,3 cm. Mnkä ptusa ovat ne hpphyppäset, jota on alle 0 prosentta kaksta? Ratkasu Kymmenen prosentta kaksta hpphyppässtä koostuu joukosta. Toseen kuuluvat ne hpphyppäset, jotka kuuluvat kakken lyhmpen vteen prosenttn ja ne, jotka kuuluvat psmpen vteen prosenttn. Koska normaaljakauma on symmetrnen keskarvon suhteen, nn nämä joukot ovat yhtä suuret. Kysymyksemme kuuluu nyt: Mkä on lyhmmän 95 prosentn ylärajaptuus. Haemme ss taulukosta taulukon merknnän mukaan lukua x, medän lukuamme z. Taulukossa on 9495 ja 9505! Nätä vastaavat ehdokkaamme ovat,64 ja,65. Koska en halua arpoa, otan luvun,645. Nän saan yhtälön x 7 = 645,, 3, josta saadaan ratkasu x = 9,. Toseen suuntaan, mutta yhtä kaukana keskarvosta, on x = 4,9. Tämä on sama asa kun korvata yhtälön,645 luvulla,645. Vastaus: Ntä ykslötä, joden ptuus on suuremp kun 9, senttä ja ntä, joden ptuus on penemp kun 4,9 senttä on yhteensä kymmenen prosentta koko populaatosta. Kvartlesta
18 Nn tehokas kun keskarvon ja keskhajonnan yhdstelmä onkn normaaln jakauman tlantessa, normaaln jakautuman kaltaset sstt tlanteet ovat sttenkn van osa totuutta elävässä elämässä. Aemmn jo vttasn shen, että vnon jakauman tapauksessa keskarvo kuvaa todellsuutta aka huonost. Apuun otn medaann ja moodn. Nyt täydennän tuota luetteloa velä yhdellä, kvartln kästteellä. Nyt aneston e ss tarvtse olla jakautunut mllään ertysellä tavalla. Se jaetaan neljään osaan, john kakkn tulee yhtä monta mttausarvoa el 5% koko määrästä kuhunkn. Kutakn 5% koko määrästä ssältävän joukon rajaa sanotaan kvartlks. Nätä rajoja nmetään kolme kappaletta. Alakvartl Q on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 5% Medaan Q on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 50% Yläkvartl Q 3 on muuttujan arvo, jota penempä arvoja anestossa on 75% Kvartlvälks sanotaan välä ( Q ; Q 3 ). Tässä välssä ovat aneston keskmmänen puolkas. Kvartlväln ptuudeks vodaan sanoa erotusta Q 3 Q. Tämä on yks mahdollsuus kuvata mttausarvojen jakautumsta varsnkn tlantessa, mssä mttausarvot evät jakaudu keskarvon suhteen symmetrsest. Huomaa, että kvartleja vodaan soveltaa vähntään järjestysluokan muuttujn. Esmerkk 9 Seuraavassa taulukossa ovat Spon tkanheton tulokset nn, että alarvllä on lueteltu kakk mahdollset yhden tkan psteet ja ylärvllä Spon toteutuneet tulokset el kunkn psteen frekvenss koko turnauksen ajalta. Jaetaan tämä anesto kvartlehn. Ratkasu Anesto täyttää selväst kakk tarvttavat Frekvenss: ehdot, joten kvartlehn jakamnen on Pste: melekäs ajatus. Anesto on valmks kvartlen etsmsen kannalta sopvast järjestetty. Helponta on turvautua taulukkolaskentaan. Täydennetään taulukko tosen kuvan mukaseks. Lsätään mukaan summafrekvenss sekä molemmat suhteellset frekvensst. Koska kolmen psteen heton rvllä suhteellnen summafrekvenss on 34% ja sen yläpuolella oleva rv 4%. täyttyy alakvartln ehto kolmen psteen rvllä. Se on merktty snsellä värllä ja vahvennuksella. Täten alakvartl on kolme pstettä. Yläkvartln ehto täyttyy kahdeksan psteen rvllä, joten yläkvartl on kahdeksan pstettä. Se on merktty tumman vhreällä ja vahvennuksella. Tähän anestoon palataan velä arvotavssa tehtävssä. Pste f f % sf sf %
19 Luoktellun materaaln kvartlt etstään kvartlluokken avulla käyttämällä suhteellsta summafrekvenssä. Esmerkk 0 Ohesessa taulukossa on jälleen erään hpphyppäspopulaaton strategsa mttoja. Tällä kertaa tutkmme porukan panoja. Samaan tapaan kun vastaavassa tlanteessa aemmn, alakvartlluokka on se luokka, jossa suhteellnen summafrekvenss saavuttaa 5 prosentn rajan. Kyseessä on luokka,5 4,4. Se on kuvassa vhreällä. Alakvartln lkarvoks otetaan luokan luokkakeskus 3,45. Yläkvartlluokka on vastaavast luokka, jossa summafrekvenss saavuttaa 75 prosentn rajan. Tämä tapahtuu luokassa 38,5 40,4, jonka luokkakeskus on 39,45. Se on merktty kuvaan snsellä. Yläkvartln lkarvo on 39,45 el luokan luokkakeskus. 4 5, 4 5,,3 5 6,3 6 7,6 3,9 9,4 0 5,3 9,4 9 36,7 0, ,4 0 0, ,4 4 5, 43 54,4 9,4 5 65,8, ,, ,6 0 0, ,6 0 0, ,6,5 57 7,, ,7 0 0, ,7 3 3,8 6 78,5 3 3,8 65 8,3 6 7,6 7 89,9 4 5, 75 94,9 4 5, 79 00,0 Joskus kvartlen tarkkuudeks rttää, että ne luetaan suhteellsen summafrekvenssn kuvasta. Laadn oheen suhteellsen summafrekvenssn kuvaajan. Katsotaan, mllaseen tarkkuuteen yllän kuvan kanssa, vakka kuvassan on van vaakasuorat astekonvvat! Tetokoneohjelman tosn auttaa tarkast vaakasuoran ja tarkast pystysuoran vvan prtämsessä. Näyttön ja slmen tarkkuuden puttessa saan samat tulokset kun laskemalla. Nn e käy ana!
20 Suhteellnen summafrekvenss Q 3 Q Q % 0,0 00,0 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,0 0,0 0,0 0,0 06,4 08,4 0,4,4 4,4 6,4 8,4 0,4,4 4,4 6,4 8,4 30,4 3,4 34,4 36,4 38,4 40,4 4,4 44,4 46,4 48,4
1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotIlmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotValmistelut INSTALLATION INFORMATION
Valmstelut 1 Pergo-lamnaattlattan mukana tomtetaan kuvallset ohjeet. Alla olevssa tekstessä on seltykset kuvn. Ohjeet on jaettu kolmeen er osa-alueeseen, jotka ovat valmstelu, asennus ja svous. Suosttelemme,
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotSähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen
LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotAquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607
046.01.00 Rev.0607 D GB NL FIN Bedenungsanletung Operatng nstructons Gebruksaanwjzng Käyttöohje 3-10 11-18 19-26 27-34 120 Automaattnen pyörvä laser kallstustomnnolla: Itsetasaus vaakasuorassa tasossa
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotPUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta
Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta
LisätiedotPalkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014
Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotLIITE 2 SUORAN SOVITTAMINEN HAVAINTOPISTEISIIN
Oulun ylopsto Fyskan opetuslaboratoro Fyskan laboratorotyöt LIITE SUORA SOVITTAMIE HAVAITOPISTEISII Tarkastelemme fyskan tössä usen eteen tulevaa tlannetta, jossa olemme mtanneet kpl pstepareja ( X, Y
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
LisätiedotSuurivaltaisin, Armollisin Keisari ja Suuriruhtinas!
1907. Edusk. Krj. Suomen Pankn vuosrahasääntö. Suomen Eduskunnan alamanen krjelmä uudesta Suomen Pankn vuosrahasäännöstä. Suurvaltasn, Armollsn Kesar ja Suurruhtnas! Suomen Eduskunnan pankkvaltuusmehet
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
Lisätiedot3D-mallintaminen konvergenttikuvilta
Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
LisätiedotKuntoilijan juoksumalli
Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1 761121P
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 76P Espuhe Fyskassa pyrtään löytämään luonnosta lanalasuuksa, jota vodaan mtata kokeellsest ja kuvata matemaattsest. Tässä kurssssa tutustutaan yksnkertasten mttausvälneden käyttöön
LisätiedotA = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:
Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto
LisätiedotTyöllistääkö aktivointi?
Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen
LisätiedotA250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15
A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60
LisätiedotKarttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö
Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotHakemikaoen on liitettävä asiakirja. Jolla valitsijayhdistys on
5 bdokaelbtojen Ttedstalallt tl Valt8lJ«yhdlstyks«a MlMdehon ta tmnmn valtuuttankma vaalltoo ManahM tul««hak««ohdokaalstan ottaaata ehdokaslstojan ybdatelayn va«8t«mn MlJHkyMntM (40) pävmm «nnen ennl MlntM
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
Lisätiedot1. YLEISKATSAUS MYYNTIPAKKAUKSEN SISÄLTÖ. ZeFit USB -latausklipsi Käyttöohje. Painike
Suom USER GUIDE YLEISKATSAUS LATAAMINEN KIINNITTÄMINEN KÄYTÖN ALOITTAMINEN TIETOJEN SYNKRONOINTI NÄYTTÖTILAT AKTIIVISUUSMITTARI UNITILA TAVOITTEET MUISTUTUKSET TEKNISET TIEDOT 6 8 10 12 16 18 20 21 22
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
Lisätiedot- Keskustelu symbolein. i
- Keskustelu symbolen Mukana KESYä kehttelemässä Anu Uuskylä, Martnnemen koulu, Oulun ylopsto Sar Haapakangas, Suomen Vanhempanltto Mar Joktalo-Trebs, Leea Paja ja Annukka Auto, Valter Ida Lndström, Jun
LisätiedotKUVIEN LAADUN ANALYSOINTI
KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn
LisätiedotAINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET
N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella
LisätiedotVERKKOJEN MITOITUKSESTA
J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän
Lisätiedotler-modern isaatio * d *r n ax* *neäemw & rffi rffi # Sch ind Schindler {4ssxisä tu\*vmisu a**r3 \mj**nt rei
ler-modern saato {4ssxsä tu\*vmsu a**r3 \mj**nt Sch nd re * d *r n ax* *neäemw & rff rff # - " Schndler e,}:r:?tr,::.}a:::.?r!=+,t:",:2-:r?:.+rp;,,..*,. 21/:4?:&rä1 1tt''f &t!:/t F:*?: Haluatko hssstäs
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
LisätiedotSaatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö
Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotLeikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro
Lsätehtävä 1. Erään yrtyksen satunnasest valttujen työntekjöden possaolopäven määrät olvat vuonna 003: 5, 3, 1, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4,, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19, 17, 14, 7 a)
LisätiedotGeneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio
Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset
LisätiedotER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto
Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals
LisätiedotSegmentointimenetelmien käyttökelpoisuus
Metsäteteen akakauskrja t e d o n a n t o Rasa Sell Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa Rasa Sell Sell, R. 00. Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa. Metsäteteen akakauskrja
LisätiedotKuorielementti hum
Kuorelementt hum.. ämä estys e kuulu kurssvaatmuksn, vaan se on tarkottu asasta knnostunelle. arkastellaan tässä yhteydessä eaarsta -solmusta AIZ (Ahmad, Irons ja Zenkewcz, 970) kuorelementtä, jonka knematkka
LisätiedotHyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä.
VUOKRASOPIMUS 1.1 Sopjapuolet Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskute 1, 89400 HYRYNSALMI Hallan Sauna Oy (y-tunnus: 18765087) CIO Tl- Tekno Oulu Oy Kauppurnkatu 12, 90100 OULU 1.2 Sopmuksen kohde
Lisätiedot- Keskustelu symbolein. i
- Keskustelu symbolen Mukana KESY:ä kehttelemässä Anu Uuskylä, Martnnemen koulu, Oulun ylopsto Sar Haapakangas, Suomen Vanhempanltto Mar Joktalo-Trebs, Leea Paja ja Annukka Auto, Valter Ida Lndström, Jun
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
Lisätiedot