Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Transkriptio

1 Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut ja tarkstettuna Hyväksytty Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro PL 200, 0205 TKK marko.hannonen@tkk.f Tvstelmä. Tässä artkkelssa tarkastellaan vkasetosta mallntamsmenetelmää, kolmvahesta MM-estmonta, maanhntojen ekonometrsessä analyysssa. Kysenen menetelmä on laskentantenstvnen, jossa. vaheessa lasketaan regressoestmaatt, joka on tarkentuva ja omaa korkean murtumspsteen, mutta joka e välttämättä ole tehokas. 2. vaheessa estmodaan vrheden hajonta, joka perustuu. vaheen jäännöksn. 3. vaheessa lasketaan regressokerronten M-estmaatt soveltaen kaksospanotettua kohdefunktota. MM-estmontteknkka e ole herkkä pokkeavlle ta vakutusvaltaslle havantopstelle ja täten kestää hyvn tettyä määrää epätyypllsä ta erheellsä havantoarvoja. Emprnen tarkastelu osott, että estmotujen hedonsten maanhntamallen ssästä tarkkuutta votn selväst parantaa molemmlla analysodulla hnta-anestolla (Espoo ja Nurmjärv), kun srryttn penmmän nelösumman kenosta MM-estmontn. Lsäks ennustustarkkuutta votn kasvattaa penemmän systemaattsen ennustevrheen muodossa Espoon hnta-anestolla, kun hntamall estmotn MM-teknkalla. Avansanat: vkasetosuus, regresso, maan hnta, pokkeavat havannot. Johdanto Ekonometrset menetelmät ovat usen välttämättömä vaatvmmssa kntestöjen arvonttehtävssä, jotta systemaattnen arvontvrhe votasn objektvsest mnmoda, ja jotta tarpeellset hntojen laatukorjaukset votasn määrttää osuvast ja luotettavast. Maanhntojen ekonometrsessa mallntamsessa on vähntään vs merkttävää peruskysymystä. Nätä ovat () hntojen ajallnen vahtelu, (2) hntojen spataalnen vahtelu, (3) mallspesfkaato-ongelma, (4) pokkeavat ja vakutusvaltaset havannot ja (5) epävarmuuden luonteva kontroll. Hntojen akaulottuvuuden analyysssä on oleellsta ymmärtää, että maanhntojen käyttäytymnen on pääsääntösest epästatonaarsta. Tämä on tyypllnen taloudellsn akasarjohn lttyvä omnasprre, joka tarkottaa, että havantoaneston tuottamsprosess (mekansm, joka tuottaa havatun hnta-aneston)

2 6 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta muuttuu ajassa, ekä täten ole vakoprosess. Ajan aheuttama hntavakutus on lsäks monulottenen: Usen vodaan perustellust erottaa tosstaan ptkän ajanjakson hntakehtys (hntatrend), hntojen suhdannekerto (hntasykl), kausvahtelu ja tlapänen el satunnanen hntojen vahtelu. Maanhntojen epästatonaarnen luonne ja ajallnen monulottesuus tekevät pätevästä hntamallntamsesta erttän haasteellsen tehtävän. Perntesest maanhntojen ajallnen vahtelu on pyrtty palauttamaan elnkustannusndeksn ta asuntojen hntandeksn arvojen vahteluun, jota on käytetty hntamallssa akaa selttävänä tekjänä (ks. esm. Hltunen 2003). Myös nk. luokkamuuttujateknkka on ollut suosttu ratkasuvahtoehto (usen käytetään vuosluokkamuuttuja). Nähn kakkn lttyy ongelma enssjasest sks, että ne evät välttämättä kykene kuvaamaan todellsta ajallsta vahtelua käytännössä rttävällä tarkkuudella. Rakenteellset akasarjamallt (ks. Hannonen 2005) ja ns. aalloke-muunnokset el wavelet-muunnokset (ks. Hannonen 2006a) soveltuvat sen sjaan lähtökohtasest huomattavast paremmn monmutkaseen epästatonaarseen mallntamseen. Maanhntojen spataalnen vahtelu vodaan jakaa spataalseen heterogeensuuteen ja spataalseen rppuvuuteen. Spataalnen heterogeensuus osottaa, että hntamalln funktonaalnen muoto ja parametren arvot vahtelevat sjannn muuttuessa, kun taas spataalnen rppuvuus osottaa, että hntojen vahtelu on etäsyyden funkto. Spataalnen rppuvuus vodaan usen ratkasta hyväksyttäväst ssällyttämällä sjanta ta etäsyyttä kuvaava termejä hntamalln selttäväks tekjöks. Sen sjaan spataalnen heterogeensuus on usen ongelmallsemp kysymys. Yks ratkasuvahtoehto ols rajata havantoanesto hyvn suppealle osa-alueelle, jollon tarkotuksena on homogensoda tutkttavaa lmötä rttävässä määrn, mutta tätä tomenpdettä e ole ana mahdollsta luotettavast toteuttaa havantoaneston nukkuuden vuoks. Joustavat mallntamsteknkat ovatkn usen paremp vahtoehto, jotka omaavat spataalsen adaptaatokyvyn ja täten eksplsttsest huomovat pakallsen heterogeensuuden asettamat vaatmukset. Mallspesfkaato-ongelmaa vodaan lähestyä kolmella er tavalla: () parametrsest, (2) sem-parametrsest ja (3) e-parametrsest. Parametrnen mallntamnen on klasssest sovellettu lähestymstapa kntestötalouden ja -arvonnn ekonometrsssa sovelluksssa (Kantola 982 ja 983). Se on luonteeltaan teoravetosta ja snä etukäteen knntetään malln funktonaalnen rakenne. E-parametrset mallntamsmenetelmät ovat puolestaan anestovetosa, hyvn joustava teknkota, ja sem-parametrset teknkat yhdstävät omnasprtetä sekä parametrsesta että e-parametrsesta mallntamsesta. Täsmällsestä tutkmusongelmasta rppuu, mtä mallntamsen vtekehkkoa kannattaa soveltaa. Pääsääntösest e-parametrset menetelmät ovat ertysen sopva työvälnetä sllon, kun muuttujen välset rppuvuussuhteet ovat monmutkasa (hyvn epälneaarsa) ja teoreettsest tuntemattoma. Parametrset mallt taas soveltuvat hyvn vähemmän komplekssn mallntamstlantesn, jossa on selkeää etukätestetämystä käytettävästä mallrakenteesta. Lähestymstavasta rppumatta mallspesfkaato-ongelmassa joudutaan etsmään vastausta hntamalln raken-

3 Maanmttaus 8:-2 (2006) 7 neosan funktonaalsen estysmuodon, mallmuuttujen ja vrhejakauman määrtyksen osalta. Lsäks ana on huomattava, että tutkmustulokset rppuvat käytetystä usen mplsttsestä mttakaavasta. Pokkeavat ja vakutusvaltaset havannot ovat hyvn tyypllsä maanhntaanestossa, jotka saattavat olla atoja, vrheettömä havantopstetä, mutta joden olosuhtesn lttyy jotan epätyypllsä tekjötä, jotka hekentävät havantoaneston edustavuutta, ta ne vovat ssältää erlasa vrhetä (kuten tallennusja mttausvrhetä, väärä osajoukko, jne.). Pernteset mallntamsteknkat, ertysest tavallsest sovellettu klassnen penmmän nelösumman keno, ovat hyvn herkkä pokkeavlle havantopstelle; jopa yksttänen pokkeava havantopste saattaa oleellsest muuttaa tuloksa ja väärstää tulkntaa. Itse asassa yksttänen rttävän pokkeava havantopste rttää, että penmmän nelösumman estmaattor murtuu täydellsest tuottaen tulknnallsest epäluotettava ja epänformatvsa tuloksa. Vkasetoset (robustt) työvälneet evät sen sjaan ole herkkä pokkeavlle ta vakutusvaltaslle havantopstellä ja täten kestävät hyvn tettyä määrää epätyypllsä ta erheellsä havantoarvoja lman, että estmaattor murtuu ja tuottaa vrheellsä tuloksa. Epävarmuuden laskenta ja tämän upottamnen luonnollsella tavalla osaks analyysa on tärkeä tlastollnen aspekt, sllä talousagentten tomnta maamarkknolla vodaan ylesest ymmärtää päätöksenteoks epävarmuuden valltessa. Epävarmuutta (perntesen satunnasuuden sjasta) vodaan kontrolloda nk. bayeslästen menetelmen avulla. Teorassa harhaton ja tehokas maanhntamall pystyy huomomaan legtmodust ta anakn lkmääräsest kakk edellä mantut vs osaongelmaa. Käytännön mallntamstlantessa on kutenkn usen vakeata samanakasest huomoda kakka vttä ongelma-aluetta ja jotakn analyysa yksnkertastava lähtöolettamuksa joudutaan pakostakn knnttämään. Vkasetoset työvälneet ovat tällasssa tlantessa, jossa mallntamsen lähtöolettamukset evät täysn toteudu vaan ovat anoastaan lkmääräsest vomassa, erttän varteenotettava vtekehkko maanhntoja tutkttaessa hedonsen hntateoran puttessa ekonometrsest. Perussääntönä on, että hedonsen hntateoran mukaset lähtöolettamukset ovat ana tetyssä määrn dealsotuja evätkä sellasenaan toteudu käytännön ekonometrsessa maanhntatutkmuksessa.. Tutkmusongelma ja metodkka Tässä artkkelssa kesktytään maanhntojen vkasetoseen (el robustn) parametrseen ekonometrseen mallntamseen; tutkmusongelma on spesfnen tarkasteltaven osamarkknoden ja maankäyttölajn osalta, mutta käytetty analyyttnen metodkka on ylenen ja sovellettavssa laajemmnkn kntestömarkknolla. Heman tosn lmastuna tässä artkkelssa yhtäältä kesktytään pokkeaven ja vakutusvaltasten havantopsteden problematkkaan hntamalleja parametrsest estmotaessa ja sovellettaessa maamarkknolla sekä tosaalta paneudutaan tulknta- ja päätöksentekotlantesn maamarkknolla, kun hedonsen hntateoran lähtöolettamukset ovat anoastaan lkmääräsest pakkansaptävä. Artkkelssa tarkastellaan parametrsta erttän vkasetosta maanhnto-

4 8 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta jen mallntamsta soveltamalla kolmvahesta MM-estmontteknkkaa (ks. Yoha 987; Marazz 993, s. 20). Sovellettavan menetelmän nk. murtumspste (pste, jossa estmaattor murtuu tuottaen hyödyttömä tuloksa) on korken mahdollnen el 50 %, ts. puolet havantoanestosta vo olla plaantunutta ennen kun estmaattor tuottaa täysn hyödyttömä tuloksa. Heman täsmällsemmn lmastuna estmaattorn murtumspsteellä tarkotetaan stä havantoaneston määrää, joka vo saada äärettömän suura arvoja ja kutenkn samanakasest estmaattor sälyy arvoltaan rajotettuna. Nän ollen estmaattorn murtumspste on luonnollnen vkasetosuuden mttar. Kysenen menetelmä on hyvn laskentantenstvnen, jossa. vaheessa lasketaan regressoestmaatt, joka on tarkentuva ja omaa korkean murtumspsteen, mutta joka e välttämättä ole tehokas. 2. vaheessa estmodaan vrheden hajonta, joka perustuu. vaheen resduaalehn (jäännöksn). 3. vaheessa lasketaan regressokerronten M-estmaatt soveltaen kaksospanotettua kohdefunktota el lasketaan uus regressokertomen vektor panotetun havannon. Maanhntamallntamsen lähestymstapa on tässä artkkelssa parametrnen (ja e-spataalnen): Maanhntamalln rakenneosan funktonaalseks estysmuodoks on valttu tavallnen tulomuotonen joustomall, jonka oletetaan huomovan muuttujen välsen epälneaarsen käyttäytymsen rttävällä tarkkuudella. Tosn sanoen maanhntojen mallrakenteeks on valttu y k s s β γ jdj ε β γ d 0 β β2 β k j e e = e x x xk e = 2 K j = j = β 0 j = e xj j j e ε n. () mssä on k kappaletta jatkuva muuttuja x j ja s kappaletta luokkamuuttuja d j. β j ja γ j ovat tuntemattoma hedonsa hntoja el tuntemattoma estmotava regressokertoma. Emprnen Box-Cox -muunnos tukee myös tätä mallrakennetta. Pelkstävää normaaljakaumaoletusta e ole tarpeen vkasetosessa mallntamsessa tehdä vrheden osalta; vrhejakauma vokn olla yhtäältä hupukas ja tosaalta vno. Heman täsmällsemmn lmastuna vrhetermt ε oletetaan nyt rppumattomast ja denttsest jakautuneks satunnasmuuttujks, joden odotusarvo on nolla el E(ε ) = 0. Tavallsta tulomuotosta hntamallrakennetta on sovellettu ylesest maanhntatutkmuksssa (ks. Hltunen 2003), koska tällä on lukusa etuja. Se on ensnnäkn yksnkertanen (estmonnn kannalta lneaarnen mall), vähäparametrnen (toteuttaa Occamn partavets -peraatteen) ja helpost tulkttava mallrakenne (estmodut hedonset hnnat ovat vakosa hntajoustoja, jolla on selkeä taloudellnen tulknta). Toseks se huomo rakenteessaan mallmuuttujen monulottesen, epälneaarsen yhdysvakutuksen. Kolmanneks estmonta varten snä skaalataan muuttujat sten, että estmodut hedonset hnnat ovat rppumattoma käytetystä mttayksköstä. Neljänneks se sall perusmuodossaan heteroskedastsen vrhevaranssn tapauksen. Lsäks malln rppuvuussuhteet ovat tyypllsest helpost lnearsotavssa kaksoslogartmmuunnoksella, jossa luonnollnen logartm otetaan sekä tutkttavan muuttujan että mttaastekollssten selttäjen havantoarvosta, ja jonka jälkeen lneaarsten mallen estmontteoraa vodaan tehokkaast hyödyntää.

5 Maanmttaus 8:-2 (2006) 9.2 Akasemp tutkmus Vkasetosa regressoteknkota on sovellettu yllättävän vähän kntestömarkknolla ja laajemmnkn taloustetessä. Synä tähän ovat olleet (Zaman ym. 200): vrheellnen uskomus, että suur otoskoko tekee vkasetossta työvälnestä tarpeettoma, uskomus, että pokkeavat havannot vodaan karsa pos anestosta vsuaalsest ta käyttämällä penmmän nelösumman resduaaleja tähän tarkotukseen, useden ertyyppsten vkasetosten teknkoden olemassaolo lman selkeää ohjestusta, mkä nästä menetelmstä on tarkotuksenmukasn, tottumattomuus vkasetosen analyysn tulosten tulknnassa, tetämättömyys vkasetosten työvälneden hyödystä todellslla anestolla. Kntestömarkknoden alan julkasussa löyty anoastaan kaks selkeää tutkmusta, jossa kesktyttn vkasetosten menetelmen tutkmseen kntestömarkknoden lmöden mallnnuksessa. Kntestömarkknolla Janssen ym. (200) sovelsvat vkasetosta penmmän nelömedaann menetelmää, jossa mnmodaan jäännösten nelöden medaan perntesen jäännösnelösumman sjasta, Tukholman kantakaupungssa vuosna myytyjen asunkntestöjen hnta- ja tuottosuhteden määrtykseen. Nmenomasest bruttopääomtusaste dentfotn käyttäen tavallsta tulomuotosta joustomalla ja sovelletun penmmän nelömedaann tehokkuutta pyrttn parantamaan yksvahesella uudelleen panotetun penmmän nelösumman kenolla. Johtopäätöksenä he totesvat, että hedän käyttämänsä regressot ovat luotettava sekä tarkempa kun perntesen penmmän nelösumman kenon estmaatt. Thorson (994) tutk penmmän nelömedaann kenoa pokkeaven havantojen dentfontn Illnosssa vuosna tehtyjen maa-aluekauppojen hnta-anestossa. Johtopäätöksenä hän totes, että muutamalla penmmän nelömedaann kenon melessä pokkeavalla havantopsteellä (standardotu jäännös on suuremp kun 2,5) on merkttävä vakutus estmonnn tulokseen: Estmotujen regressokerronten suuruus ja myös suunta muuttuvat useassa tapauksessa, kun pokkeaven havantojen vakutusta arvotn. Käytetty mallrakenne ol puollogartmnen hntamall. Klasssen penemmän nelösumman mukasa maanhntatutkmuksa on Suomen markknolla julkastu useta, jotka ovat myös relevantteja lähdevttetä vkasetosessa mallntamsessa. Nätä tutkmuksa ovat mm. Leväsen (99), Henosen (993) ja Hltusen (2003) maanhntatutkmukset, joden perusteella vodaan todeta, että tontten tärkempä hntatekjötä ovat keskustaetäsyys, rakennusokeus, tontttehokkuus, pnta-ala, alueen asukasluku, alueen tulotaso, sjant suhteessa vesstöön, tonttlaj ja kaupanteon ajankohta. Panotetun penmmän nelösumman kenoa maanhnnan mallntamsessa Suomen markknolla on tutkttu mm. Hannosen (2006b) artkkelssa, jossa hntamalleja estmotn

6 0 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta ko. teknkalla joustavast el e-parametrsest, ja jossa tuloksen vkasetosuutta parannettn tosessa vaheessa hyödyntämällä M-estmonnn muunnelmaa. Hannosen (2006b) artkkelssa käytetty tutkmusmenetelmä on ss e-parametrnen vkasetonen estmontmenetelmä. Yhteenvetona tästä tutkmuksesta vodaan todeta, että joustava ja vkasetonen mallntamnen joht selväst elnvomasempn, sekä seltysvomakkuudeltaan että ennustuskyvyltään parempn mallehn tosella käytetystä hnta-anestosta. Panotetun penmmän nelösumman menetelmää on tutkttu myös mm. McMllenn (996) ja Wallacen (996) artkkelessa..3 Vkasetosesta mallntamsesta Vkasetosen tlastoteteen päämääränä on tutka (parametrsten) estmaattoren käyttäytymstä, kun mallntamsen lähtöolettamukset (lneaarsuus, rppumattomuus, normaalsuus, jne.) evät pdä täsmällsest pakkaansa vaan ovat vomassa anoastaan lkmääräsest. Heman tarkemmn lmastuna, vkasetosen mallntamsen perustavotteta ovat (Hampel ym. 986, s. ): määrttää mallrakenne, joka sovttuu optmaalsest pääosaan anestosta, dentfoda pokkeavat havannot (outlert) ja pokkeavat havantoaneston osarakenteet tarkempaa analyysa varten, dentfoda ja varottaa mahdollssta vakutusvaltassta havantopstestä (nk. vpupstestä), ottaa huomoon mahdollset pokkeamat oletetusta vrheden korrelaatorakentesta. Käytännössä tlastollsten mallen lkmääränen luonne on ptkält seurausta karkeden vrheden olemassaolosta, mallen emprsestä luonteesta el anestovetosuudesta sekä teoreettsten olettamusten van osttasesta pakkansaptävyydestä. Ertysest kntestömarkknolla sjant on tekjä, jossa e voda tyhjentäväst määrtellä kakka kysyntä- ja tarjontapuolen vakutuksa erkseen. Vkasetonen tlastotede vodaan määrtellä ja ymmärtää anakn kahdella er tavalla. Yhtäältä se tutk sellasa tlastollsa teorota, jotka lttyvät pokkeamn dealsodusta mallntamsen lähtöolettamukssta (Huber 2004, s. ; Hampel ym. 986, s. 6 7) ja tosaalta heman rajotetummn vkasetosuus vodaan kästtää lkmäärästen parametrsten mallen tlastoteteeks. Oleellsta molemmsta lähestymstavossa on se, että vkasetoset työvälneet korvaavat oletetun (parametrsen) malln tämän täydellsellä ympärstöllä. Tlastollnen estmontmenetelmä on vkasetonen, jos (ks. Huber 2004, kappale ): se on kohtuullsen harhaton ja tehokas, penet pokkeamat mallntamsen lähtöoletukssta evät hekennä tlastollsen malln suortuskykyä merkttäväst, suuremmat pokkeamat evät kokonaan tuhoa malln elnvomasuutta.

7 Maanmttaus 8:-2 (2006) 2 MM-estmont 2. Lneaarnen regressomall Tässä osossa käydään läp artkkelssa sovellettavan MM-estmonnn kannalta keskeset asat. Tarkastellaan tavallsta parametrsta lneaarsta regressomalla: y = β x + ε, n, (2) mssä havatut hnnat y R, omnasuusvektor x R p p ja β R on tuntemattomen regressokertomen vektor (nk. hedonnen hntavektor). ε on rppumattomast ja denttsest jakautunut stokastnen vrheterm. Penmmän nelösumman estmaatt määrtellään parametrn β arvoks, joka mnmo jäännös- nelösumman: n 2 r = mssä havatut vrheet r (β ) määrtellään: S( β ) = ( β ), (3) r ( β ) = β x. (4) y Kun vrheet ovat normaaljakautuneta, nn estmaatt. Tällön β on tehokas. β on suurmman uskottavuuden 2.2 MM-estmaatt Hajonnan (mttakaavan) M-estmaatt vodaan määrtellä (Huber 2004; Yoha 987) seuraavast. Olkoon ρ reaalarvonen funkto, joka toteuttaa seuraavat lähtöolettamukset: () ρ ( 0) = 0 el funkto saa arvon 0 orgossa. () ρ ( ε) = ρ( ε) el funkto on parllnen. () 0 ε υ ρ( ε) ρ( υ) el funkto on kasvava. (v) ρ on jatkuva. (v) Olkoon a = sup ρ( ε), jollon 0 < a <. (v) Jos ρ (ε) < a ja 0 ε < υ, nn ρ ( ε) < ρ( υ). Hajonnan estmaatt s (ε ) määrtellään s :n arvoks, joka on ratkasu yhtälöön: n ε ρ = b n s, (5) = mssä b vodaan määrtellä E ( ρ(ε) ) = b φ ja mssä φ kuvaa standardnormaaljakaumaa. Nyt MM-estmaatt vodaan määrtellä kolmvahesest seuraavast:

8 2 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta. Laske tarkentuva ja korkean murtumspsteen (mahdollsest 0,5) omaava estmaatt β 0. Estmaatn e tarvtse olla tehokas. ( 2. Laske vrheet r β ) 0 = y β 0 x, n, ja laske kaavan (5) määrttelemä M-hajonta s r ( β 0 ) käyttäen vakota b sten, että b = 0, 5, mssä a a = max ρ 0 ( ε) (ja mssä hajonnan estmonnssa käytetty funkto on ρ 0 ). 3. Olkoon ρ tonen funkto, joka toteuttaa lähtöolettamukset () (v) ja että ρ( ε) ρ0 ( ε) sekä sup ρ ( ε) = sup ρ0 ( ε) = a. Olkoon ψ = ρ. Tällön MM-estmaatt β on mkä tahansa ratkasu yhtälöön: joka toteuttaa: mssä: ja mssä ρ ( 0 0 ) 0. = n = r ( β ) ψ = 0 s x, (6) ( 0 S β ) S( β ), (7) n = r S ( β ) ( β ) ρ (8) s = Tässä tutkmuksessa ρ :ks on valttu kaksospanotettu kohdefunkto (ks. esm. Fox 997, s. 408): 2 k { [ ( ) ] } = r 2 3 k, kun r k ρ 6, (9) 2 k 6, kun r > k mssä k on nk. henosäätövako. Mtä penemp k on, stä vkasetosempa estmodut hedonset hnnat ovat. MM-estmaatt ss saadaan, kun. vaheessa lasketaan regressoestmaatt, joka on tarkentuva ja omaa korkean murtumspsteen, mutta joka e välttämättä ole tehokas. 2. vaheessa estmodaan vrheden hajonta, joka perustuu. vaheen jäännöksn. 3. vaheessa lasketaan regressokerronten M-estmaatt soveltaen kaksospanotettua kohdefunktota el lasketaan uus parametren kerronvektor panotetun havannon. 2.3 Laskenta-algortm Tässä tutkmuksessa käytettävä MM-estmaatn laskenta-algortm on muunnos M-estmaatn laskentaan sovellettavasta terotuvasta uudelleenpanotetusta penmmän nelösumman kenosta. Iterotuvaa ratkasuvahtoehtoa tarvtaan, koska panot rppuvat resduaalesta, resduaalt rppuvat estmodusta hedonsta hn-

9 Maanmttaus 8:-2 (2006) 3 nosta ja estmodut hedonset hnnat rppuvat panosta. Oletetaan, että mellä on käytettävssä alkuestmaatt β 0 ja tähän lttyvän hajonnan estmaatt s. (Vaheet ja 2 on ratkastu soveltaen nk. S-estmonta (ks. Rousseeuw ja Yoha 984).., 2. ja 3. vaheen estmont on suortettu käyttäen tlastollsta lmasohjelmaa R.) Määrtellään kaklle β R p panot: r ( β ) ψ s w ( β ) = r ( β ) s. (0) Määrtellään seuraavaks: n n r g w r x ( β ) ( β ) = ( β ) ( β ) = ψ x 2 s s s () ja: = n w ( β ) 2 s = = M( β ) = x x. (2) - g(β ) on S (β ) :n gradentt. Tarpeellset teraatokaavat vodaan nyt krjottaa muodossa: β j+ = β j + ( β j ), (3) k 2 mssä ( β ) = M ( β ) g( β ) (4) ja mssä kokonasluku k valtaan sten, että vasen puol epäyhtälöstä: S β j + ( β j ) S( β j ) ( β j ) g( β j ) k δ k (5) 2 2 on mnmssään ja 0 < δ <. 3 Hntamallen emprnen estmont 3. Havantoanesto Emprsten maanhntatutkmuksen tulokset ja johtopäätökset ovat tunnetust herkkä havantoaneston muutokslle. Valtaosa kysesestä herkkyydestä selttyy hntojen ajalls-pakallslla muutokslla: mallrakenne ja parametrt muuttuvat sjannn funktona ja evät täten ole homogeensä läp koko havantoaneston, kun taas ajallsest muuttuvat markknatlanteet aheuttavat, että havantoaneston tuottamsprosess on epästatonaarnen. Lsäks tulosten herkkyyttä lsäävät tyypllsest pokkeavat ja vakutusvaltaset havannot, jota on tunnetust vakea tyydyttäväst kästellä perntesn menetelmn. Otosrppuvuuden vähentämseks tässä tutkmuksessa tarkastellaan kahta erllstä havantoanestoa, jotka sjatse-

10 4 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta vat er osamarkknolla, ja jotka lttyvät osttan tosstaan pokkeavn ajanjaksohn. Maankäyttötyypp on sen sjaan knntetty, jotta tarpeetonta maanhntaaneston heterogeensuutta votasn vähentää. Maankäyttötyypp edustaa detaljkaava-alueen ulkopuolsa, rakentamattoma rakennuspakkoja, jotka evät ole saavuttaneet korkenta ja parasta käyttötarkotusta, ja jotka on osotettu yleskaavassa asunrakennustarkotuksn. Ensmmänen maanhnta-anesto lttyy Espoon osamarkknohn, jossa hnta- ja omnasuustedot ovat kerätty vuosen välseltä ajanjaksolta kokonastutkmuksena (el mtään varsnasta otantaa e ole suortettu). Havantoaneston koko on 400 havantoja, josta vmesen vuoden 200 havannot (yhteensä 39 kappaletta) on jätetty syrjään estmonnsta ennustustutkmusta varten. Laadullsest kysenen hnta-anesto on korkeatasonen, sllä se on tarkastettu etukäteen vrhetä varten ja analysotu akasemmn hntamalltutkmuksessa. Taulukossa on estetty tyypllsä otostunnuslukuja Espoon havantoaneston muuttujlle. Tonen maanhnta-anesto lttyy Nurmjärven kunnan osamarkknohn, mssä kauppahnta-aneston hnta- ja omnasuustedot ovat kerätty lähes 20 vuodelta alkaen. tammkuuta 985 ja päättyen maalskuuhun Havantoaneston koko on yhteensä 793 havantoa. Nurmjärven kunnan hnta-anestossa on kolme selvää osakeskusta (krkonkylä, Klaukkala ja Rajamäk), john kuhunkn on mtattu suoravvaset etäsyydet Helsnk-etäsyyden ohella. Vmesen (non) vuoden havannot, jota on yhteensä 50 kappaletta, on jätetty syrjään estmonnsta ennustustarkasteluja varten. Laadullsest tämä hnta-anesto e ole yhtä korkeatasonen kun Espoon hnta-anesto, sllä stä e ole ertysest tarkastettu ekonometrsta maanhnta-analyysa varten etukäteen. Taulukossa 2 on estetty tavallsa otostunnuslukuja Nurmjärven havantoaneston muuttujlle.

11 Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Taulukko. Tavallsa otostunnuslukuja Espoon hnta-anestossa. Artmeettnen Mnmarvo Maksmarvo Otoshajonta Muuttuja (ykskkö) keskarvo Kokonashnta ( ) 59 26, , , ,88 Nelöhnta ( /m 2 ) 22,99 0,24 27,55 9,09 Pnta-ala (m 2 ) 4 207,49 000, , ,75 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan (km) Omakotkntestöjen neljännesvuosttanen hntandeks (pääkaupunkseutu) Koko (kntestö = 0 / määräala = ) luokkamuuttuja; luokkamuuttujan %-osuus 7,22 7,6 27,29 4,34 54,06 6,80 87,30 22, Taulukko 2. Tavallsa otostunnuslukuja Nurmjärven hnta-anestossa. Artmeettnen Mnmarvo Maksmarvo Otoshajonta Muuttuja (ykskkö) keskarvo Kokonashnta ( ) 22 09,03 673, , ,25 Nelöhnta ( /m 2 ) 3,80 0,34 22,83 3,27 Pnta-ala (m 2 ) 7 387,36 000, , ,66 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan (km) Etäsyys Nurmjärven krkonkylään (km) 33, 22,28 44,9 5,22 8,55 0,32 6,06 3,37 Etäsyys Klaukkalaan (km) 9,33 0,50 2,44 5,00 Etäsyys Rajamäkeen (km),86 0,43 20,92 4,58 Omakotkntestöjen neljännesvuosttanen hntandeks (pääkaupunkseutu) Koko (kntestö = 0 / määräala = ) luokkamuuttuja; luokkamuuttujan %-osuus 54,30 00,00 226,00 32,

12 6 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Taulukko 3. Penmmän nelösumman regresson tulokset (Espoo; pokkeavat havannot mukana). Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan,25 0,7 7,5 0,00 Asuntojen hnta-ndeks 2,52 0,0 25,70 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,37 0,08 4,7 0,00 Seltysaste (keskstämätön mall) 0,58 Regresson keskvrhe 0,7 Taulukko 4. Penmmän nelösumman regresson tulokset (Espoo; pokkeavat havannot postettu). Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan,38 0,3 0,40 0,00 Asuntojen hnta-ndeks 2,54 0,08 32,70 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,30 0,06 4,83 0,00 Seltysaste (keskstämätön mall) 0,68 Regresson keskvrhe 0,56 Taulukko 5. MM-estmonnn tulokset (Espoo). Muuttuja Regressokerron Keskvrhe t-arvo p-arvo Pnta-ala 0,79 0,05 5,90 0,00 Muuttuja Regressokerron Keskvrhe t-arvo p-arvo Pnta-ala 0,75 0,04 8,90 0,00 Muuttuja Regressokerron Keskvrhe t-arvo p-arvo Pnta-ala 0,80 0,03 23,40 0,00 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan,4 0, 0,00 0,00 Asuntojen hnta-ndeks 2,48 0,07 36,60 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,26 0,05 4,83 0,00 Seltysaste (keskstämätön mall) Regresson keskvrhe 0,43

13 Maanmttaus 8:-2 (2006) Emprsen estmonnn tulokset 3.2. Espoon hntamallt Taulukossa 3 on dokumentotu penmmän nelösumman mukasen regressoanalyysn tulokset Espoon maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on käytetty tavallsta joustomalla, ja kun pokkeava havantoja e ole kontrollotu lankaan. Estmodun malln elnvomasuus on ylesest ottaen varsn hekko: hntamalln seltysaste on 58 % ja jäännöskeskhajonta 0,7; molemmat ekonometrset perustunnusluvut selväst huonompa kun kntestöarvonnssa ylesest sovelletut raja-arvot. Hedonsen malln jäännökset evät ole normaaljakautuneta, vaan resduaaljakauma on selväst hupukas sekä vrhevaranss saattaa olla heteroskedastnen. Lsäks RESET-test, jolla testataan malln mahdollsa spesfontvrhetä, osottaa, että mallmuuttujen välsssä rppuvuussuhtessa on havattavssa epälneaarsuutta, jota tavallnen joustomall e kykene täysn päteväst ottamaan huomoon. Estmodut hedonset hnnat näyttäsvät olevan stableja ajan osalta, josta Helsnk-etäsyyden ja asuntojen hntandeksn vakutus näyttäs olevan yljoustavaa (el ao. parametren tsesarvot ovat suuremp kun ) ja pnta-alan sekä luokkamuuttujan vakutus aljoustavaa (el ao. parametren tsesarvot ovat penempä kun ). Joustomallssa kukn estmotu hedonnen hnta antaa vastauksen kysymykseen, kunka monta prosenttykskköä vaste muuttuu, jos selttäjän arvo muuttuu tetyn prosenttmäärän. Taulukossa 3, 4, 6 ja 7 regresson keskvrhe kuvaa tavallsta jäännöskeskhajontaa regressopnnan ympärllä. Taulukossa 4 on dokumentotu penmmän nelösumman mukasen regresson tulokset Espoon maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on käytetty tavallsta joustomalla, ja kun pokkeavat havantopsteet ovat postettu analyysssa kokonaan. Tässä pokkeaven havantopsteden krteernä on sovellettu standardodun jäännöksen arvoa 2,5, jota suuremmat arvot osottavat, että kysenen pste on muukalanen; tämä raja-arvo 2,5 on usen sovellettu kntestömarkknolla (ks. esm. Thorson 994). Pokkeava havantopstetä vodaan dentfoda kolme kappaletta ja estmodut regressokertomet ja näden tlastollnen merkttävyys muuttuvat heman taulukon kolme hedonseen malln verrattaessa. Nän saadun malln seltysaste nousee selväst (suhteellnen parannus n. 7 % ja absoluuttnen parannus 0 %) ja regresson keskvrhe laskee oleellsest (suhteellnen parannus n. 2 % ja absoluuttnen parannus n. 5 %). Malln jäännöstermen tarkastelu osottaa, että nden jakauma on velä heman hupukkaamp kun normaaljakauman tapauksessa, ja että vrhetermt olsvat heteroskedastsa. RESET-test kertoo, että mallmuuttujen välsssä rppuvuussuhtessa on havattavssa epälneaarsuutta, jota käytetty mallrakenne e täysn pysty huomoon ottamaan. Lsäks estmodut hedonset hnnat näyttäsvät olevan varsn epästableja. Helsnk-etäsyyden ja asuntojen hntandeksn vakutus näyttäs olevan yljoustavaa ja pnta-alan sekä luokkamuuttujan vakutus aljoustavaa.

14 8 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Taulukossa 5 on estetty 3-vahesen MM-estmodun hedonsen hntamalln tulokset Espoon maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on käytetty tavallsta joustomalla, ja kun pokkeavat havannot ovat kontrollotu panottamalla havantopstetä havattujen vrheden mukaan. Pokkeava havantopstetä e ss ole postettu MM-estmonnssa, mutta rttävän pokkeavat äärarvot saavat panon nolla, jollon efektvsest jodenkn havantojen vakutus on sama, kun jos nämä ols postettu hnta-anestosta. Parametren arvot ja näden tlastollnen merktsevyys muuttuvat jossan määrn; ertysen selväst erottuvat nyt asuntojen hntandeksn ja pnta-alan tlastollset vakutukset (t-arvot ovat korkeat: 36,6 ja 23,4, vastaavast). Regressomalln keskvrhe on suhteellsest lähes 40 % penemp ja absoluuttsest 28 % penemp kun taulukon 3 maanhntamallssa ja suhteellsest non 23 % penemp ja absoluuttsest 3 % penemp kun taulukon 4 mukasessa hntamallssa, ts. hedonsen malln ssänen tarkkuus näyttäs kasvavan oleellsest vkasetosessa vahtoehdossa. Seltysaste e ole tavallsessa melessä laskettavssa, kun MM-estmonta käytetään. Regresson keskvrhe on taulukossa 5 ja 8 tosessa vaheessa estmotujen jäännösten hajonta. Helsnk-etäsyyden ja asuntojen hntandeksn vakutus näyttäs edelleen olevan yljoustavaa ja pnta-alan sekä luokkamuuttujan vakutus aljoustavaa Nurmjärven hntamallt Taulukossa 6 on dokumentotu penmmän nelösumman mukasen regresson tulokset Nurmjärven kunnan maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on käytetty tavallsta joustomalla, ja kun pokkeava havantoja e ole kontrollotu lankaan. Estmodun malln elnvomasuus on ylesest ottaen hekko: Hntamalln seltysprosentt on alhanen (44 %) ja jäännöskeskhajonta on korkea (0,56). Heman täsmällsemmn lmastuna molemmat tunnusluvut kertovat, että hntojen havatusta vahtelusta valtaosa ols satunnasvahtelua. Vrheden jäännöstarkastelu osottaa, että vrheden jakauma on hupukkaamp kun normaaljakauma ja, että vrheet olsvat heteroskedastsa. RESET-test e paljasta, että selttämätöntä epälneaarsuutta ols havattavssa estmodussa mallrakenteessa. Estmodut hedonset hnnat näyttävät lsäks olevan kohtuullsen stableja ajan suhteen. Anoastaan asuntojen hntandeksn (ja vakomuuttujan) vakutus nelöhntohn on yljoustavaa ja muden muuttujen vakutus on puolestaan aljoustavaa. Taulukossa 7 on dokumentotu penmmän nelösumman mukasen regresson tulokset Nurmjärven kunnan maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on käytetty tavallsta joustomalla, ja kun pokkeavat havantopsteet ovat postettu analyyssta kokonaan käyttäen raja-arvona havatun vrheen standardotua arvoa 2,5. Tällön pokkeava havantopstetä vodaan dentfoda anoastaan yks kappale. (Se, että pokkeava havantoja dentfodaan anoastaan yks kappale Nurmjärven anestolla saattaa johtua stä, että pokkeavat havannot estävät tosaan näkymästä.) Estmodut regressokertomet ja näden tlastollnen merkttävyys muuttuvat heman taulukon 6 hedonseen malln verrattaessa. Sen sjaan estmodun malln seltysaste ja regresson keskvrhe pysyvät suunnlleen

15 Maanmttaus 8:-2 (2006) 9 muuttumattomna. Jäännösten jakauma on heman hupukkaamp kun normaaljakauma ja vrheet näyttäsvät olevan myös heteroskedastsa. RESET-test e paljasta, että selttämätöntä epälneaarsuutta ols havattavssa estmodussa mallrakenteessa. Estmodut hedonset hnnat näyttävät lsäks olevan kohtuullsen stableja ajan suhteen. Anoastaan asuntojen hntandeksn (ja vakomuuttujan) vakutus nelöhntohn on yljoustavaa ja muden muuttujen vakutus on puolestaan aljoustavaa. Taulukossa 8 on estetty kolmvahesen MM-estmodun hedonsen hntamalln tulokset Nurmjärven kunnan maanhnta-anestolla, kun mallrakenteena on sovellettu tavallsta tulomuotosta joustomalla, ja kun pokkeavat havannot ovat kontrollotu panottamalla havantopstetä havattujen vrheden mukaan. Estmodut hedonset hnnat muuttuvat verrattuna taulukoden 6 ja 7 arvohn. Muuttujen regressokertomen vakutukset näyttäsvät kasvaneen (ertysest pnta-alan ja vakotermn vakutus) lukuun ottamatta luokkamuuttujaa, jonka vakutus on nyt heman penemp. Myös muuttujen tlastollsessa merkttävyydessä on selvä eroja verrattaessa taulukoden 6 ja 7 arvohn. Regressomalln keskvrhe on suhteellsest lähes 25 % penemp ja absoluuttsest n. 4 % penemp kun taulukon 6 ja 7 mukasssa hntamallessa, ts. hedonsen malln ssästä tarkkuutta vodaan oleellsest parantaa vkasetosessa vahtoehdossa. Anoastaan asuntojen hntandeksn (ja vakomuuttujan) vakutus nelöhntohn on yljoustavaa ja muden muuttujen vakutus on puolestaan aljoustavaa. Kuvassa on estetty kunkn havannon suhteellnen pano Espoon ja Nurmjärven kunnan maanhnta-anestossa; nämä ovat MM-estmonnn kullekn havannolle antamat panot lukuväln [0, ] joukossa. Espoon hnta-anestossa on kymmenen havantopstettä, jotka efektvsest saavat panon nolla ta arvon, joka on hyvn lähellä nollaa. Sen sjaan Nurmjärven hnta-anestolla kysesä havantopstetä on 6 kappaletta. Kuvasta lmenee, että valtaosa havantopstestä molemmlla hnta-anestolla saa arvon yks el normaaln penmmän nelösumman mukasen panon. Kuva. Panot Espoon (vas.) ja Nurmjärven (ok.) havantoanestolla.

16 20 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Taulukko 6. Penmmän nelösumman regresson tulokset (Nurmjärv; pokkeavat havannot mukana). Muuttuja Keskvrhe t-arvo p-arvo Vako 2,87 0,76 3,78 0,00 Pnta-ala 0,63 0,03 8,80 0,00 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan 0,95 0,3 7,22 0,00 Etäsyys Nurmjärven krkonkylään 0,24 0,04 5,39 0,00 Asuntojen hnta-ndeks,5 0, 3,90 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,20 0,04 4,5 0,00 Seltysaste 0,44 Regresson keskvrhe 0,56 Taulukko 7. Penmmän nelösumman regresson tulokset (Nurmjärv; pokkeavat havannot postettu). Muuttuja Keskvrhe t-arvo p-arvo Vako 2,74 0,77 3,55 0,00 Pnta-ala 0,6 0,03 8,0 0,00 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan 0,93 0,3 6,95 0,00 Etäsyys Nurmjärven krkonkylään 0,23 0,04 5,5 0,00 Asuntojen hnta-ndeks,48 0, 3,40 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,20 0,04 4,54 0,00 Seltysaste (keskstämätön mall) 0,42 Regresson keskvrhe 0,57 Taulukko 8. MM-estmonnn tulokset (Nurmjärv). Muuttuja Regressokerron Regressokerron Regressokerron Keskvrhe t-arvo p-arvo Vako 3,70 0,66 5,60 0,00 Pnta-ala 0,77 0,03 26,7 0,00 Etäsyys Helsngn ydnkeskustaan 0,9 0, 7,95 0,00 Etäsyys Nurmjärven krkonkylään 0,23 0,04 5,93 0,00 Asuntojen hnta-ndeks,57 0,09 6,63 0,00 Koko kntestö / määräala dummy 0,4 0,04 3,69 0,00 Seltysaste (keskstämätön mall) Regresson keskvrhe 0,43

17 Maanmttaus 8:-2 (2006) 2 4 Ennustustarkkuuden tarkastelu Ennustustarkkuus on tyypllsest krttnen tekjä hedonsen malln emprsen pätevyyden arvonnssa käytännön sovelluksssa. Ennustustarkkuutta vodaan mtata lukuslla erlaslla ndkaattorella (esm. Case ym. 2004), ja hedonsten mallen suhteellnen suortuskyky vahtelee käytettyjen tunnuslukujen mukaan. Kutenkaan kakka tunnuslukuja, jotka lttyvät ennustustarkkuuden mttaamseen, e voda ptää yhtä nformatvsna hedonsessa malltarkastelussa: Enssjasen tärketä mttareta ovat ne krteert, jotka lttyvät keskvrheen tarkasteluun (el keskmääräsen vrheen arvontn, joka mttaa malln tulosten osuvuutta), ja krteert, jotka tuottavat nformaatota tlastollsen yhteyden vomakkuudesta ennusteden ja todellsten arvojen välllä. Varansspohjaset ndkaattort vakkakn ylesest käytettyjä ovat usen tosarvosa monssa käytännön maanarvonttlantessa. Keskmäärästä ennustevrhettä on arvotu tässä osossa keskmääräsellä artmeettsella ennustevrheellä, medaanennustevrheellä, panotetulla keskmääräsellä vrheellä, panotetulla medaanvrheellä, vrhekeskpsteellä, suhteellsella keskmääräsellä vrheellä ja suhteellsella medaanvrheellä. Sääntönä on, että mtä penempä arvoja ao. keskvrheen krteert tuottavat, stä paremmasta tlastollsesta mallsta on kysymys. Keskarvopohjasten osuvuusndkaattoren käyttö on usen maanhntatutkmuksssa varteenotettavamp vahtoehto kun medaanpohjasten kesklukujen soveltamnen, sllä jälkmmäset mttart panottavat lan vomakkaast tyypllsä vrhetä suhteessa suurn ta penn vrhesn, koska nämä jättävät huomoon ottamatta relevantta nformaatota vrheden välsstä etäsyyksstä. Suur ongelma käytettäessä absoluuttsa kesklukuja on, että näden tulokset rppuvat käytetystä mttakaavasta, jollon vertalu erlasten mallrakenteden välllä saattaa muodostua ongelmaks. Sks kaks suhteellsta keskvrheen mttara suhteellnen keskmääränen vrhe ja suhteellnen medaanvrhe on dokumentotu myös taulukossa 9 ja 0. Kolme er mttara tlastollsen yhteyden vomakkuudesta malln ennusteden ja todellsten arvojen välllä on raportotu. Ensnnäkn on laskettu tavallnen Pearsonn korrelaatokerron, joka on hyödyllnen tlastollsen relaaton mttar, kun vrheet ovat normaaljakautuneta ja huomo on vrheden yhtesvahtelulla. Mtä korkeamp Pearsonn korrelaatokerron on ennusteden ja todellsten arvojen välllä, stä paremp on tlastollnen mall. Merkttävä ongelma klasssen korrelaaton käytölle maanhntatutkmuksssa on tämän vomakas rppuvuus normaaljakaumaoletuksesta, joka e tyypllsest pdä pakkaansa johtuen pokkeavsta vrhetermestä, jotka nelödään korrelaatokertomen nmttäjässä. Tämä puolestaan johtaa samansuurusn hajontalukuhn er mallvahtoehtojen välllä. Nän ollen klasssen korrelaatokertomen käyttö tuottaa, e anoastaan epäpätevä tuloksa, mutta myös tuloksa, jota on vakea asettaa paremmuusjärjestykseen. Skaalatun ssätulon käyttö on suosteltavamp vahtoehto, joka mttaa ennusteen vomakkuutta todellsten hntojen suunnassa (ssätulolla mtattuna), ja joka on skaalattu keskstämättömen hntojen kokonashajonnalla. Mtä kor-

18 22 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta keamp skaalattu ssätulo on, sen paremp tlastollnen mall on kyseessä. Skaalatun ssätulon käytön on emprsest huomattu tomvan hyvn tlastollsen yhteyden vomakkuuden mttarna malln ennusteden ja todellsten arvojen välllä (ks. tarkemmn Hannonen 2006b). Se tuottaa osuvampa tuloksa, jotka evät ole vomallsest rppuva tetystä jakaumaoletukssta. Myös gravtaato (McMllen 200) on raportotu, mkä saadaan jakamalla malln ennusteden ja todellsten havantopsteden panollnen ssätulo näden eukldsella etäsyysmtalla. Mtä suuremman arvon gravtaato saa, stä paremp tlastollnen mall on kyseessä, koska tällön yhteys ennusteden ja todellsten arvojen välllä on vomakkaamp kun alhasemman gravtaaton tapauksessa. Gravtaato näyttää olevan elnvomanen yhteyden vomakkuuden mttar, joka tuottaa tyypllsest skaalatun ssätulon kanssa yhteneväsä tuloksa. Juurkesknelövrhe (RMSE) on kentes tavallsmmn käytetty numeersen ennustetarkkuuden ndkaattor, joka pääsääntösest kontrollo ennusteden luotettavuutta (relablteetta), e tosasallsta ennusteden osuvuutta (valdteetta). Lsäks tämä tunnusluku on äärmmäsen herkkä pokkeavlle havannolle. Kysenen tunnusluku näyttää lottelevan ennustusvrheden varanssa tapauksssa, jossa esntyy jotakn suura ennustevrhetä (mkä on tyypllstä maanhntatutkmuksssa). Tämä herkkyys äärarvolle saattaa myös aheuttaa, että juurkesknelövrhe tuottaa tuloksa, jota on vakea asettaa paremmuusjärjestykseen. Keskmääränen absoluuttnen vrhe (MAE) on ylesest tarkotuksenmukasemp ennusteden luotettavauusndkaattor, joka soveltuu pokkeaven ennustevrheden kästtelyyn. Yksnkertanen ja hyödyllnen ennusteden luotettavuusndkaattor on ennusteväl: Mtä lyhyemp väl on, stä vähemmän vahtelua ennustessa on odotettavssa el stä luotettavamp tlastollnen mall on. Laajast sovellettu ennustetarkkuuden mttar on suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe (MAPE), mkä on raportotu yhdessä vkasetosen muunnelman kanssa. Nätä on myös krtsotu epäsymmetrsyys- ja epästablsuusongelmsta, kun havantoanesto saa penä arvoja. Mtä penempä arvoja juurkesknelövrhe, keskmääränen absoluuttnen vrhe ja suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe sekä näden medaanvastneet (juurmedaannelövrhe, medaannen absoluuttnen vrhe ja suhteellnen medaannen absoluuttnen vrhe) tuottavat, stä paremmasta tlastollsesta mallsta on kysymys. Taulukossa 9 on estetty kolmella er perusteella estmodun hedonsen malln ennustustarkkuutta kuvaava tunnuslukuja. PNS # vttaa penmmän nelösumman kenolla estmotuun tavallseen joustomalln, mssä pokkeavat havannot ovat mukana estmodussa mallssa, ekä nätä ole täten kontrollotu mllään ertysellä tavalla. PNS #2 kuvaa penmmän nelösumman kenolla estmotua tavallsta joustomalla, mssä pokkeavat havantopsteet on postettu mallsta. Pokkeavks havantopsteks on määrtelty tapaukset, joden standardotu penmmän nelösumman mukanen resduaal on suuremp kun 2,5. Taulukon 9 tulokset kertovat selkeäst, että MM-estmont parantaa malln tulosten osumatarkkuutta huomattavast, sllä kakk setsemän valdteettpohjasta ndkaattora (keskmääränen artmeettnen ennustevrhe, medaanennustevrhe,

19 Maanmttaus 8:-2 (2006) 23 panotettu keskmääränen vrhe, panotettu medaanvrhe, vrhekeskpste, suhteellnen keskmääränen vrhe ja suhteellnen medaanvrhe) ovat selväst alhasempa kun mussa mallntamsvahtoehdossa. Taulukko 9. Ennustustarkkuuden arvont er hntamallella Espoon hntamall. Hedonnen mall Ennustustarkkuuden mttar MMestmont PNS # PNS #2 Keskmääränen artmeettnen ennustevrhe 0,36 0,40 0,3 Medaanennustevrhe 0,4 0,8 0,07 Panotettu keskmääränen vrhe 2,98 3,28,06 Panotettu medaanvrhe,3,48 0,6 Vrhekeskpste 0,36 0,40 0,3 Suhteellnen keskmääränen vrhe 3,52 4,83 4,99 Suhteellnen medaanvrhe 5,04 6,54 0,63 Ennusteväl [mn, max] [ 2,44, 0,90] [ 2,46, 0,84] [ 2,6,,0] Keskmääränen absoluuttnen vrhe 0,5 0,52 0,54 Medaannen absoluuttnen vrhe 0,24 0,24 0,29 Suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe 65,74 66,7 69,83 Suhteellnen medaannen absoluuttnen vrhe 8,74 9,42 0,23 Juurkesknelövrhe 0,78 0,79 0,82 Juurmedaannelövrhe 0,24 0,24 0,29 Korrelaato (Pearson) 0,85 0,85 0,84 Skaalattu ssätulo,04,05,04 Gravtaato 4 590, , ,86 Ertysest keskmääränen artmeettnen ennustevrhe, panotettu keskmääränen vrhe ja vrhekeskpste ovat jokanen n. 64 % alhasempa kun seuraavaks parhaassa vahtoehdossa (PNS #) sekä suhteellnen keskmääränen vrhe n. 63 % alhasemp kun seuraavaks parhaassa vahtoehdossa (PNS #). Medaanpohjasssa keskluvussa systemaattsen ennustevrheen pudotus on veläkn selvemp MM-estmonnn kohdalla. Sen sjaan varansspohjasssa ndkaattoressa (ennusteväl, keskmääränen absoluuttnen vrhe, medaannen absoluuttnen vrhe, suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe, suhteellnen medaannen absoluuttnen vrhe, juurkesknelövrhe ja juurmedaannelövrhe), jotka mttaavat ennusteden luotettavuutta, on anoastaan penä eroja er lähestymstapojen välllä; pääsääntösest PNS # näyttäs tuottavan heman (muutaman prosenttykskön verran) luotettavampa tuloksa, sllä kakk setsemän relablteettmttara tuottavat heman alhasempa arvoja PNS #:n kohdalla. Tlastollsen yhteyden vomakkuutta ennusteden ja todellsten arvojen välllä kuvaavat tunnusluvut (korrelaatokerron, skaalattu ssätulo ja gravtaato) sen sjaan kertovat, että optmaalsn lähestymstapa ols joko PNS # ta PNS #2 MM-estmonnn sjasta. Ertysest gravtaato on non 5 % penemp MM-estmonnn kohdalla.

20 24 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Taulukossa 0 on dokumentotu PNS #, PNS #2 ja MM-estmonnn ennustustarkkuutta kuvaavat tunnusluvut Nurmjärven kunnan hnta-anestolla. Nyt optmaalsen lähestymstavan valnta on heman ongelmallsemp kun taulukon 9 tapauksessa. Tarkemp kokonasarvont kutenkn paljastaa, että MMestmont tuottaa nyt hekompa tuloksa kun muut vahtoehdot. Ertysest malln tulosten osuvuutta kuvaavssa vrhekeskluvussa on selkeää hekennystä keskmääräsen artmeettsen ennustevrheen, panotetun keskmääräsen vrheen, vrhekeskpsteen ja suhteellsen keskmääräsen vrheen osalta. Esmerkks, kun verrataan PNS # ja MM-estmonta keskenään, nn ensmmäsessä lähestymstavassa keskmääränen artmeettnen ennustevrhe on n. 65 % penemp, panotettu keskmääränen vrhe n. 60 % penemp, vrhekeskpste n. 60 % penemp ja suhteellnen keskmääränen vrhe n. 66 % penemp. Sen sjaan medaanpohjasssa ndkaattoressa on varsn penä eroja PNS #2 eduks. Kutenkn medaanpohjasa tunnuslukuja vodaan ptää sekundäärsnä, sllä nämä hukkaavat arvokasta nformaatota etäsyyksstä evätkä huomo rttävässä määrn suura ja penä vrhetä, jotka ennusteanestossa on luonnollsest oletettava todellsks arvoks. Taulukko 0. Ennustustarkkuuden arvont er hntamallella Nurmjärven hntamall. Hedonnen mall Ennustustarkkuuden mttar MMestmont PNS # PNS #2 Keskmääränen artmeettnen ennustevrhe 0,052 0,06 0,5 Medaanennustevrhe 0,04 0,029 0,04 Panotettu keskmääränen vrhe 0,54 0,6,36 Panotettu medaanvrhe 0,36 0,26 0,35 Vrhekeskpste 0,060 0,070 0,5 Suhteellnen keskmääränen vrhe 3,57 4,8 0,4 Suhteellnen medaanvrhe 2,92 2,04 2,90 Ennusteväl [mn, max] [ 2,30,,05] [ 2,3,,03] [ 2,36, 0,9] Keskmääränen absoluuttnen vrhe 0,43 0,43 0,40 Medaannen absoluuttnen vrhe 0,25 0,26 0,23 Suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe 382,65 393,90 46,86 Suhteellnen medaannen absoluuttnen vrhe 8,45 7,87 3,89 Juurkesknelövrhe 0,65 0,65 0,64 Juurmedaannelövrhe 0,25 0,26 0,23 Korrelaato (Pearson) 0,67 0,67 0,68 Skaalattu ssätulo 0,86 0,87 0,93 Gravtaato 99,47 9, ,00 Mallen luotettavuutta kuvaavssa varansspohjasssa ndkaattoressa on havattavssa anoastaan penä eroja. Ennusteväl on heman kapeamp MMestmonnn tapauksessa ja keskmääränen absoluuttnen vrhe on n. 7 % penemp kun PNS # ja PNS #2 tapauksssa. Myös ylesest sovellettu juur-

21 Maanmttaus 8:-2 (2006) 25 kesknelövrhe on,5 % alhasemp MM-estmonnn tapauksessa. Sen sjaan suhteellnen keskmääränen absoluuttnen vrhe on heman korkeamp MM-estmaattoren kohdalla. Tlastollsen yhteyden vomakkuutta ennusteden ja todellsten arvojen välllä kuvaavsta tunnusluvusta oleellsmmat el skaalattu ssätulo ja gravtaato ovat MM-estmonnn tapauksessa korkeampa (skaalattu ssätulo n. 7,5 % ja gravtaato n. 8,5 %). Ennustetarkastelu ss paljast varsn selväst, että MM-estmont tuott Espoon anestolla parhaan tuloksen, koska ertysest keskmäärästä ennustevrhettä votn selväst penentää penmmän nelösumman kenohn (tapaus : pokkeavat havantopsteet mukana mallssa ja tapaus 2: pokkeavat havantopsteet postettu mallsta) verrattuna. Sen sjaan Nurmjärven hnta-anestolla ennustetarkastelussa parhaan tuloksen tuott penmmän nelösumman keno, jossa hntamallsta e oltu postettu pokkeava havantopstetä. 5 Johtopäätökset Lneaarset penmmän nelösumman mukaset estmaatt hedonslle hnnolle saattavat käyttäytyä e-optmaalsest, kun vrheet evät ole normaaljakautuneta, ja ertysest, kun vrheden jakauma on hupukas, mkä on tyypllnen tlanne maanhnta-anestossa. Vkasetosa mallntamsmenetelmä, jotka evät ole herkkä pokkeavlle havantopstelle, on lukusa er vahtoehtoja, jolle kaklle on kutenkn yhtestä, että nämä antavat penemmän panon epätyypllslle havannolle kun tavallnen penmmän nelösumman mukanen keno. Tässä artkkelssa on tarkasteltu hyvn vkasetosta ja laskentantenstvstä estmontmenetelmää, kolmvahesta MM-estmonta, maanhntojen ekonometrsessä analyysssa. Tutkmustulokset ovat ertysä tarkasteltujen markknoden ja maankäyttölajn osalta, mutta sovellettu tutkmusmenetelmä on ylenen ja sovellettavssa laajemmnkn erlasssa kntestöarvonnn ja -markknoden analyysssa. Emprnen maanhntojen mallntamnen paljast selväst, että estmotujen mallen ssästä tarkkuutta regresson keskvrheen melessä votn parantaa (suhteellsest non %) molemmlla hnta-anestolla, kun srryttn MMestmontn perntesen penmmän nelösumman sjasta. Emprnen ennustustarkastelu paljast selkeäst Espoon hnta-anestolla, että systemaattsta ennustevrhettä vodaan merkttäväst penentää, jos käytetään MM-estmontteknkkaa tavallsen penmmän nelösumman kenon sjasta. Samaa johtopäätelmää systemaattsen ennustevrheen penentymsestä e voda kutenkaan tehdä Nurmjärven kunnan hnta-anestolla. Se, että ennustetulokset ovat erlaset Espoon ja Nurmjärven osamarkknoden välllä kertoo selväst, että maan hnnan muodostumnen ko. osamarkknolla on tosstaan pokkeavaa ja spesfstä kullekn osamarkkna-alueelle. Nän ollen yhden alueen ennustetarkastelua koskevat tutkmustulokset evät ole ylestettävssä tosella osamarkkna-alueelle. Hntatekjöstä pnta-alan ja asuntojen hntandeksn tlastollnen vakutus vomstu molemmlla anestolla, kun sovellettn MM-estmonta.

22 26 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Lähdeluettelo Case, B., J. Clapp, R. Dubn and M. Rodrquez (2004). Modellng Spatal and Temporal House Prce Patterns: A Comparson of Four Models. Journal of Real Estate Fnance and Economcs, Vol. 29, No. 2, Fox, J. (997). Appled Regresson Analyss, Lnear Models and Related Methods, Sage Publcatons. Hampel, F. R., E. M. Ronchett, P. J. Rousseeuw and W. A. Stahel (986). Robust Statstcs: The Approach Based on Influence Functons. Wley Seres n Probablty and Mathematcal Statstcs. Hannonen, M. (2005). An Analyss of Land Prces: A Structural Tme-Seres Approach. Internatonal Journal of Strategc Property Management, 9, Hannonen, M. (2006a). An Analyss of Trends and Cycles Usng Wavelet transforms. Internatonal Journal of Strategc Portfolo Management, Vol. 0, No., 2. Hannonen, M. (2006b). Forecastablty of Land Prces: A Local Modellng Approach. Nordc Journal of Surveyng and Real Estate Research (to appear). Henonen, T. (993). Asunpentalo- ja rvtalotontten hnta ja hntakehtys Suomen kaupungessa v Maanmttaushalltuksen julkasu n:o 70. Hltunen, A. (2003). Rakentamattomen pentalokntestöjen hnnanmuodostuksesta; Analyys asunpentalokntestöjen kauppahnnosta erällä Suomen seutukunta-aluella. Kntestöopn ja talousokeuden julkasuja, Espoo. Huber, P. J. (2004). Robust Statstcs. John Wley & Sons. Janssen, C., B. Soderberg and J. Zhou (200). Robust Estmaton of Hedonc Models of Prce and Income for Investment Property. Journal of Property Investment and Fnance, Vol. 9, No. 4, Kantola, J. (982). Johdatus ekonometrsn kntestöarvonnn sovellutuksn. Otapano, Espoo. Kantola, J. (983). Ekonometrnen kntestönarvont Suomessa. Otapano, Espoo. Levänen, K. I. (99). A Calculaton Method for a Ste Prce Index. The Assocaton of Fnnsh Ctes. McMllen, D. P. (996). One Hundred Ffty Years of Land Values n Chcago: A Nonparametrc Approach. Journal of Urban Economcs, 40, McMllen, D. P. (200). Nonparametrc Employment Subcenter Identfcaton. Journal of Urban Economcs, 50, Marazz, A. (993). Algorthms, Routnes and S Functons for Robust Statstcs. Wadsworth & Brooks/Cole Publshng Company. Rousseeuw, P.J. and V. J. Yoha (984). Robust Regresson by Means of S-estmators. In Robust and Nonlnear Tme Seres (eds. Franke J., W. Hardle and D. Martn). Lecture Notes n Statstcs 26, , Sprnger-Verlag.

23 Maanmttaus 8:-2 (2006) 27 Thorson, J. A. (994). The Use of Least Medan of Squares n the Estmaton of Land Value Functons. Journal of Real Estate Fnance and Economcs, 8, Yoha, V. J. (987). Hgh Breakdown-Pont and Hgh Effcency Robust Estmates for Regresson. The Annals of Statstcs, Vol. 5, No. 20, Wallace, N. E. (996). Hedonc-Based Prce Indexes for Housng: Theory, Estmaton and Index Constructon. Economc Revew, Vol. 3, Zaman, A., P. J. Rousseeuw and M. Orhan (200). Econometrc Applcatons of Hgh- Breakdown Robust Regresson Technques. Economc Letters 7, 8.