ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

Transkriptio

1 ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S Lkenneteoran perusteet - Kevät 5

2 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst

3 6. Stokastset prosesst () Markov-prosess Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella S {,,,N} ta S {,,...} Määr. Prosess X(t) on Markov-prosess, os P{ X ( tn ) xn X ( t) x, K, X ( tn) xn} P X ( t ) x X ( t ) x } { n n n n kaklla n, t < < t n a x,, x n Tätä ehtoa sanotaan Markov-omnasuudeks Jos Markov-prosessn nykytla tunnetaan, prosessn tulevasuus e mtenkään rpu prosessn aemmasta mennesyydestä (el stä, mten nykytlaan on tultu) Nykytla ss ssältää kaken atkon kannalta tarpeellsen nformaaton 3

4 6. Stokastset prosesst () Esmerkk Rppumattomen lsäysten prosess X(t) on ana Markov-prosess: X ( tn) X ( tn) ( X ( tn) X ( tn)) Seuraus: Posson-prosess A(t) on Markov-prosess Määrtelmän 3 mukaan Posson-prosessn lsäykset ovat rppumattoma 4

5 6. Stokastset prosesst () Akahomogeensuus Määr. Markov-prosess X(t) on akahomogeennen, os P { X ( t ) y X ( t) x} P{ X ( ) y X () x} kaklla t, a x, y S Tn: t P{X(t ) y X(t) x} evät ss rpu t:stä 5

6 6. Stokastset prosesst () Tlasrtymäntensteett Tarkastellaan akahomogeensta Markov-prosessa X(t) Tlasrtymäntensteett q (state transton rate), mssä, S, määrtellään seuraavast: q lm P{ X ( h) X () : h h Tlatn:t P{X(t) }, S, määräytyvät ykskästtesest srtymäntensteetestä q, kunhan ns. alkuakauma (ntal dstrbuton) el tn:t P{X() }, S, on annettu } Huom. Jatkossa raotamme tarkastelumme pelkästään akahomogeensn Markov-prosessehn 6

7 6. Stokastset prosesst () Eksponentaalsest akautuneet tlassaoloaat Oletetaan, että Markov-prosess on tlassa hetkellä t. Lyhyellä akavälllä (t, th] prosess srtyy uuteen tlaan tn:llä q h o(h) (rppumatta stä, mtä tapahtu ennen hetkeä t) Merktään q :llä kokonasntensteettä srtyä pos tlasta, ts. q : Lyhyellä akavälllä (t, th] prosess srtyy pos tlasta tn:llä q h o(h) (rppumatta stä, mtä tapahtu ennen hetkeä t) Kyseessä on selvästkn ns. unohtavasuusomnasuus Tlassa vetetty aka noudattaa ss eksponenttakaumaa ntensteettnään q q 7

8 6. Stokastset prosesst () Tlasrtymätodennäkösyydet Merktään T :llä oloakaa tlassa a T :llä sellasta (potentaalsta) oloakaa tlassa, oka päättyy srtymään tlaan : T Exp( q Sm T vodaan aatella rppumattomen a eksponentaalsest akautuneden sm:en T mnmks (ks. luennon 5 kalvo 44): ), T Exp( q ) T mnt Merk. p :llä tn:ttä, että toteutunut srtymä on tlasta tlaan. Ko. tlasrtymätodennäkösyydet (state transton probabltes) saadaan kaavalla q p P{ T T} q 8

9 6. Stokastset prosesst () Tlasrtymäkaavo Akahomogeennen Markov-prosess estetään usen ns. tlasrtymäkaavon (state transton dagram) avulla. Kyseessä on suunnattu verkko, onka solmut vastaavat prosessn tloa a ykssuuntaset lnkt vastaavat mahdollsa tlasrtymä lnkk tlasta tlaan q > Esm. Kolmtlanen Markov-prosess (S {,,}): Q q q q q 9

10 6. Stokastset prosesst () Pelkstymättömyys Määr. Tlasta pääsee tlaan ( ), os tlasrtymäkaavosta löytyy suunnattu polku :stä :hn Jos nän on, nn lähdettäessä tlasta tlassa käydään (oskus tulevasuudessa) postvsella tn:llä Määr. Tlat a kommunkovat ( ), os a Määr. Markov-prosess on pelkstymätön (rreducble), os kakk tlat kommunkovat keskenään Esmerkks edellsellä kalvolla estetty Markov-prosess on pelkstymätön

11 6. Stokastset prosesst () Tasapanoakauma a globaalt tasapanoyhtälöt Tark. pelkstymätöntä Markov-prosessa X(t) srtymäntensteeten q Määr. Olkoon (, S) tla-avaruudessa S määrtelty akauma, ts. se toteuttaa ns. normeerausehdon S (N) Jakauma on prosessn X(t) tasapanoakauma (equlbrum dstrbuton), os seuraavat globaalt tasapanoehdot (global balance equatons) ovat vomassa kaklla S: q (GBE) On mahdollsta, ette prosesslla ole tasapanoakaumaa. Kutenkn, os esm. tla-avaruus on äärellnen, tasapanoakauma on ana olemassa. Valtsemalla tasapanoakauma alkuakaumaks (ts. P{X() } ), ko. Markov-prosesssta tulee statonaarnen (statonaarsena akaumanaan ) q

12 6. Stokastset prosesst () Esmerkk Q (N) ) ( (GBE) 3 3 3,,

13 6. Stokastset prosesst () Lokaalt tasapanoyhtälöt a kääntyvyys Tarkastellaan edelleen pelkstymätöntä Markov-prosessa X(t) srtymäntensteeten q Väte. Olkoon (, S) tla-avaruudessa S määrtelty akauma, ts. S (N) Jos seuraavat lokaalt tasapanoehdot (local balance equatons) ovat vomassa kaklla, S: q nn on prosessn tasapanoakauma. Tod. (GBE):t seuravat (LBE):stä summaamalla Tässä tapauksessa ko. Markov-prosessa sanotaan kääntyväks (reversble) q (LBE) 3

14 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst 4

15 6. Stokastset prosesst () Syntymä-kuolema-prosess Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta Markov-prosessa X(t) oko tla-avaruudella S {,,,N} ta S {,,...} Määr. Markov-prosess X(t) on syntymä-kuolema-prosess (brthdeath process), os tlasrtymät ovat mahdollsa van verekkästen tloen välllä, ts. Tässä tapauksessa merktään > q q :, q :, Huom. a N (kun N < ) 5

16 6. Stokastset prosesst () Pelkstymättömyys Väte: Syntymä-kuolema-prosess on pelkstymätön, os a van os > kaklla S\{N} a > kaklla S\{} Ääretöntlasen pelkstymättömän sk-prosessn tlasrtymäkaavo: 3 Äärellstlasen pelkstymättömän sk-prosessn tlasrtymäkaavo: N N- N N N N 6

17 6. Stokastset prosesst () Tasapanoakauma () Tarkastellaan pelkstymätöntä syntymä-kuolema-prosessa X(t) Tarkotus on ohtaa tasapanoakauma ( S), mkäl sellanen on olemassa Lokaalt tasapanoyhtälöt: Nän ollen Jakaumaehto el normeerausehto: S S (LBE) (N) 7

18 8 6. Stokastset prosesst (), Tasapanoakauma () Tasapanoakauma on ss olemassa täsmälleen sllon, kun Äärellnen tla-avaruus: Ko. summa on ana äärellnen. Tasapanoakaumaks tulee Ääretön tla-avaruus: Jos ko. summa on äärellnen, nn tasapanoakaumaks tulee < S, N 8

19 9 6. Stokastset prosesst () Esmerkk Q (N) ) ( ρ ρ ρ ρ ρ (LBE) ) / : ( ρ ρ ρ 9

20 6. Stokastset prosesst () Puhdas syntymäprosess Määr. Syntymä-kuolema-prosess on puhdas syntymäprosess, os kaklla S Ääretöntlasen syntymäprosessn tlasrtymäkaavo: Äärellstlasen syntymäprosessn tlasrtymäkaavo: N N N- N Esmerkks Posson-prosess on ääretöntlanen puhdas syntymäprosess (ntensteeten kaklla S {,, }) Huom. Puhdas syntymäprosess e ole koskaan pelkstymätön (saat stten statonaarnen).