FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT P

Transkriptio

1 FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 76P Espuhe Fyskassa pyrtään löytämään luonnosta lanalasuuksa, jota vodaan mtata kokeellsest ja kuvata matemaattsest. Tässä kurssssa tutustutaan yksnkertasten mttausvälneden käyttöön ja mttaustulosten analysomseen. Mttauksssa pyrtään mahdollsmman suureen tarkkuuteen, ja erlaset vrhelähteet yrtetään elmnoda. Kursslla harjotellaan myös mttausten johdonmukasta ja selkeää raportonta. Teteellsen kokeen perusperaate on sen tostettavuus, ja sen vuoks teteellsen julkasun tulee ssältää sellaset tedot, joden perusteella joku tonen vo uusa kokeen denttsssä olosuhtessa ja saada samankaltaset tulokset. Tämä on lähtökohtana myös työselostuksessa. Ertysen tärkeänä osana raportonta on vrheen arvomnen, sllä se paljastaa mttaustuloksen luotettavuuden ja er tulosten vertalukelposuuden. Luennot: Kar Kala Sähköpost: Opetuslaboratoron esmes: Seppo Alanko Sähköpost: Kurssn luennolla tutustutaan laboratorotöden teoreettseen taustaan. Tämä luentomonste pohjautuu suurelta osn Juhan Lounlan 996 laatmaan luentomateraaln sekä osaks myös Hanna Pulkksen (00) ja Tmo Askasen (006) materaalehn. Tovotan kaklle kursslle osallstuvlle nnostunutta ja utelasta meltä fyskan lmöden parssa! Vlle-Vekko Telkk

2 . Mttaustarkkuus Kakk mttaukset ovat jossakn määrn epätarkkoja. Mttaustuloksen vrhe aheutuu kolmesta tekjästä: mttausmenetelmen epätarkkuudesta mttaajasta ja mahdollsest mttauskohteen epätarkasta luonteesta Mttauskohteen epätarkka luonne tarkottaa stä, että mtattava kohde on luonteeltaan statstnen ja mtattavalle suureelle vodaan lmottaa van tlastollsest todennäkösn arvo. Tällasa suureta kohdataan esmerkks radoaktvsta hajoamsta tutkttaessa. Epätarkkuudesta johtuen mttaus pyrtään suorttamaan useta kertoja. Nän mtattavalle suureelle saadaan määrtettyä todennäkösn arvo ja arvo tuloksen luotettavuudesta. Systemaattset vrheet ovat vrhetä, jotka pyrkvät ana vakuttamaan samaan suuntaan. Ntä aheuttavat esm. väärn kalbrodut latteet ja reaktoaka ajan mttauksessa. Systemaattset vrheet muodostavat usen mttausten vakemman ja tärkemmän ongelman. Ne vodaan paljastaa esm. vahtamalla mttaajaa, mttauslatetta, mttausmenetelmää ta mttausajankohtaa. Satunnaset vrheet ovat samalla todennäkösyydellä postvsa ta negatvsa ja ne vahtelevat täysn satunnasest kokeesta toseen. Ne vovat johtua mttauslatteesta, mttausmenetelmästä ta mtattavan lmön satunnasuudesta. Satunnasten vrheden aheuttamaa epätarkkuutta vodaan penentää tostamalla mttaus useta kertoja, jollon vrheden jakauma saadaan selvlle. Mttausvrheet vodaan myös jakaa kolmeen luokkaan: karkeat vrheet systemaattset vrheet satunnaset (statstset) vrheet Karketa vrhetä aheuttavat mm. lukemavrheet (esmerkks astekon väärä tulknta), vallset mttalatteet sekä mttauksen akana esntyvät hetkellset häröt. Karketten vrhetten elmnomseks kannattaa tostaa mttaus useta kertoja. Kuva. Ulkonen ja ssänen tarkkuus.

3 Mttaustuloksen ssänen tarkkuus on hyvä, jos satunnasten vrheden osuus on pen (ks. kuva ). Tuloksen ulkonen tarkkuus on hyvä, jos systemaattsten vrheden osuus on pen. Suureen F mttauksen tulos vodaan esttää muodossa F ± ΔF, mssä Δ F on suureen absoluuttnen vrhe. Esmerkk. Bob Beamon lokkas Mexco Ctyn olympalasssa vuonna 968 nn ptkän haamuhypyn, ette stä pystytty mttaamaan optslla mttauslattella, vaan mttaamseen käytettn perntestä mttanauhaa. Tulos ol 890 cm. Jos oletetaan, että mttauksen tarkkuus ol 0,5 cm, teteellstä täsmällsyyttä noudattaen valotaululla ols tullut lostaa tulos 890,0 cm ± 0,5 cm. Suhteellnen vrhe on sen sjaan paljon suuremp (tässä %, hypyssä 0,06 %). Edellset tulokset vodaan lmottaa suhteellsten vrheden avulla muodossa 56,0 mm ± % ja 890,0 cm ± 0,06 %. Normaaljakauma Kun mttaus tostetaan useta kertoja, mttaustulosten jakauma noudattaa normaaljakaumaa, jos tuloksn vakuttaa van satunnanen vrhe. Normaaljakaumafunkto on Tässä y σ ( x x ) ( ) 0 / x e =. () σ π x 0 = jakauman hupun koordnaatt = mtatun suureen odotusarvo σ = jakauman standardpokkeama el keskhajonta. Suhteellnen vrhe on absoluuttsen vrheen ja mttaustuloksen suhteen tsesarvo: Δ F Δ F Suhteellnen vrhe =, prosenttena 00% F F Esmerkk. Bob Beamon mttas kotona vvottmella kultamtalnsa halkasjaks 56,0 mm. Mttaustarkkuus vvottmella mtattaessa on 0,5 mm, joten mttaustulos estetään muodossa 56,0 mm ± 0,5 mm. Tämän mttauksen absoluuttnen vrhe on paljon penemp kun ennätyshypyn mttauksessa (0,5 cm). Kuva. Normaaljakauma er σ:n arvolla. 3

4 Normaaljakauman pnta-ala välllä [a,b] kuvaa todennäkösyyttä, että havanto on tällä välllä. Sten tämä todennäkösyys vodaan laskea ntegromalla y(x) a:sta b:hen: P b ( x x ) ( a, b) = y( x) dx = e a σ π b a 0 / σ dx. () Tätä e vo ntegroda analyyttsest. Penellä välllä [a,b] ( a-b << σ) vodaan kutenkn approksmoda että funkto y(x) on suora, jollon a + b P( a, b) y ( b a). (3) Summaamalla yhteen verekkästen penten välen osatodennäkösyydet vodaan numeersest laskea todennäkösyys myös laajemmalla välllä. Esmerkk 3. Todennäkösyys slle, että havanto asettuu vällle [x o - c, x o + c] (merk. P(c)) saadaan asettamalla yhtälön () ntegromsrajoks a = x o c ja b = x o + c. Jos c = σ, σ ta 3σ, saadaan P(σ) 68 % P(σ) 95 % P(3σ) 99,7 % Kuva 4. Normaaljakauman vällle [x o - σ, x o + σ] jäävä alue. Kuva 3. Normaaljakauman pnta-alan laskemnen yhtälön (3) approksmaatolla. Esmerkk 4. Avaruudesta tulee maanpnnalle (kuvtteellsa) hukkasa, joden nopeus noudattaa normaaljakaumaa σ ( v v ) () 0 / v e y =, σ π mssä v o = 50 m/s ja σ = 00 m/s. 4

5 a) Mkä on nopeuden todennäkösn arvo? b) Mkä on todennäkösyys slle, että nopeus on välllä 500 m/s 50 m/s? c) Mten lasketaan todennäkösyys slle, että nopeus on välllä 300 m/s 500 m/s? Ratkasu: a) Nopeuden todennäkösn arvo on odotusarvo, 50 m/s. b) Koska väl 500 m/s 50 m/s on hyvn pen väl verrattua standardpokkeamaan σ, todennäkösyys P(500 m/s, 50 m/s) vodaan laskea hyvällä tarkkuudella yhtälöllä (3): m m P 500,50 = s s m y 500,5 s m s m m m 500,5 50 / 00 s s s m = e m 00 π s s 3 = 3,9 0 c) Väl 300 m/s 500 m/s e ole pen verrattuna standardpokkeamaan σ, joten yhtälö (3) e anna tarkkaa tulosta. Väl kannattaa jakaa standardpokkeaman suhteen penn (esm. yhden ykskön levysn) osavälehn. Kunkn osaväln todennäkösyys vodaan stten laskea yhtälöllä (3), ja koko väln todennäkösyys saadaan summaamalla osavälen todennäkösyydet. Jätetään tämä lasku kottehtäväks. 3. Mttauksen vrhe Jos tettyä suuretta mtataan n kertaa ja tulokset noudattavat normaaljakaumaa, suureen todennäkösn arvo on keskarvo n x = x. (6) n = Jakauman standardpokkeama lasketaan yhtälöllä n σ =. (7) n = ( x x) Jakauman varanss on σ. Kun mttausten lukumäärää n kasvatetaan, tlastollsest keskarvon x tarkkuus kasvaa. Sen vrherajana käytetään yleensä keskarvon standardpokkeamaa el keskarvon keskvrhettä σ Δx = n = n n ( ) ( x x) n =. (8) Tällasen mttauksen tulos vodaan ss lmottaa muodossa x tulos = x ± Δx. Tlastollsest tarkka arvo on tällä välllä 68 %:n todennäkösyydellä. 5

6 Esmerkk 5. Raatn stadonlla 0 urhelutomttajaa seuras salaa Kallen valmstautumsta arvoksohn. He kellottvat erään 00 metrn vedon ajoks 9.8, 9.79, 9.85, 9.80, 9.76, 9.8, 9.8, 9.76, 9.80 ja 9.86 s. a) Mkä on akojen keskarvo? b) Mkä on akojen keskhajonta? c) Mkä on akojen varanss? d) Mkä on keskarvon keskvrhe? e) Ilmota mttaustulos vrherajoneen. Ratkasu: Tulokset kannattaa taulukoda: t (s) t t (s) ( t t) (s ) 9,8 0,004,6E-05 9,79-0,06 0, ,85 0,044 0, ,8-0,006 3,6E ,76-0,046 0, ,8 0,04 0, ,8 0,004,6E ,76-0,046 0, ,8-0,006 3,6E ,86 0,054 0,0096 summa 98,06 0, ,06s a) Keskarvo t = = 9, 806s. 0 b) Keskhajonta σ = 0,00964s = 0, 0378s. 0 c) Varanss σ = 0,0007s. d) Keskarvon keskvrhe Δ t = σ 00349s 0 = 0,. e) Mttaustulos: t = 9,806 s ± 0,0 s. 4. Vrheenarvont Kuten edellä kuvattn, nssä tapauksssa, jossa tulokseen vakuttaa van satunnasa vrhetä, vodaan mttaustuloksen absoluuttnen vrhe laskea tlastollslla menetelmllä. Usen absoluuttseks vrheeks valtaan mttalatteen lukematarkkuus. Esmerkks vvottmesta vodaan lukea tulos mm:n tarkkuudella, joten absoluuttnen vrhe on ± 0.5 mm. Työntömttaa vodaan lukea 0. mm:n tarkkuudella, jollon absoluuttnen vrhe ± 0.05 mm. Absoluuttseks vrheeks vodaan lmottaa myös suurn pokkeama keskarvosta. Mttaustulosten perusteella vodaan laskea muta suureta. Mten näden suureden vrhe vodaan arvoda? Tarkastellaan esmerkknä ympyrän pnta-alan määrttämstä. Ympyrän halkasjaks on mtattu s = 75.0 mm ± 0.5 mm. Ympyrän pnta-ala on A = π(s/), joten arvoa 75.0 mm käyttäen saadaan tulokseks mm. Halkasjan penmmällä (74.5 mm) ja suurmmalla (75.5 mm) arvolla laskettaessa päädytään lukuhn mm ja mm. Pnta-alan A vrheeks ΔA vodaan valta näden lukujen ja alkuperäsen arvon erotus, joka on ( ) mm =

7 mm ta ( ) mm = 59. mm. Valtaan ΔA:ks nästä arvosta suuremp. Pyörstysten jälkeen pnta-ala krjotetaan muodossa A = 440 mm ± 60 mm. Peraatteessa tähän tyyln vrhe arvodaan myös sellasssa laskussa, jossa suure f rppuu useammasta muuttujasta, el f = f(x, y, z, ). Käytännössä se on kutenkn lan monmutkasta, koska ensn funkton arvo ptäs ratkasta kakken er muuttujen suurmpen ja penmpen arvojen kombnaatolla, ja stten tuloksa ptäs verrata alkuperäseen arvoon, ja vrheeks täytys valta erotukssta suurn. Vrheenarvont saadaan paljon yksnkertasemmaks erään dervaattaan perustuvan approksmaaton avulla. Tarkastellaan velä ympyrän pnta-alan laskemsta. Jos halkasja s muuttuu Δs:n verran, pnta-alan A muutos ΔA on A( s + Δs) A( s) ΔA = A( s + Δs) A( s) = Δs Δs Jos Δs on pen, osamäärä ΔA/Δs on hyvn lähellä A(s):n dervaattaa s:n suhteen: ΔA A( s + Δs) A( s) da( s) lm = lm. Δs 0 Δs Δs 0 Δs ds Tämän perusteella A(s):n vrheen ylärajaa ΔA vodaan approksmoda lausekkeella da( s) ΔA = Δs, ds mssä Δs on s:n vrheen yläraja. Funkton A = π(s/) dervaatta da/ds = πs/, joten πs ΔA = Δs. Kun s = 75.0 mm ja Δs = 0.5 mm, saadaan ΔA = 58,9 mm. Tämä on hyvn lähellä edellä laskettua ΔA:n ylärajaa (59. mm ), joten approksmaato on hyvn tarkka tässä tapauksessa. Tällasta dfferentaalmenetelmää vodaan käyttää, jos mtatun arvon s vrhe Δs on nn pen, että funktota A(s) vodaan ptää suorana alueella [s-δs, s+δs]. Oletetaan, että funkto f on monen tosstaan rppumattoman suureen x, y, z, funkto, ja näden suureden vrheden ylärajat ovat Δx, Δy, Δz,. Argumentten muutoksen Δx, Δy, Δz, aheuttamaa f(x, y, z, ):n muutosta vodaan approksmoda kokonasdfferentaallla f f f Δf = Δx + Δy + Δz (9) x y z Lausekkeessa esntyvät f/ x, f/ y ja f/ z ovat funkton osttasdervaattoja x:n, y:n ja z:n suhteen. Osttasdervaatta tarkottaa, että dervodaan anoastaan yhden muuttujan suhteen ptäen muta muuttuja vakona. Yksttäset termt yhtälössä (9) vovat olla joko postvsa ta negatvsa. Muutoksen maksm saadaan sllon, kun termt vakuttavat samaan suuntaan. Sten absoluuttsen vrheen ylärajaks saadaan f f f Δf Δx + Δy + Δz +... (0) x y z 7

8 Er termt yhtälössä (0) kertovat, mten yksttästen muuttujen vrheet vakuttavat lopputulokseen. Mttaus pyrtään suunnttelemaan sten, että enten vakuttavat muuttujat määrtetään suurmmalla tarkkuudella. Esmerkk 6. Teekkarn pallonmuotosen wappulmapallon ssällä ol heluma paneessa P = (,5 ± 0,)*0 5 Pa (non,5 atm). Teekkar mttaa pallon ympärysmtaks s = 88,0 cm ± 0,5 cm. Vappusää ol perntesen kolea, lämpötla ol T = 83 ± K (0 C). a) Mkä ol helumn anemäärä pallossa? b) Mten mttaustarkkuutta vos parantaa? Ratkasu: a) Lasketaan ensn pallon tlavuus V ja sen vrhe ΔV: s 3 3 V = πr = π = s = ( 88,0cm) 3 3 π 6π 6π 3 = 507,9cm ΔV V Δs = s = 96,578cm 3 s π Δs = ( 88,0cm) π 0,5cm Anemäärä saadaan ratkastua deaalkaasun tlanyhtälöstä PV=nRT PV,5 0 Pa 507,9 0 m n = = RT J 8,34 83K mol K = 0, mol Anemäärän vrhe: n n n Δn ΔP + ΔV + ΔT P V T V P PV = ΔP + ΔV + ΔT RT RT RT = 0,0489mol + 0,05mol + 0,0059mol = 0,0640mol Helumn anemäärä lmapallossa on ss n = 0,73 mol ± 0,07 mol. b) Suurmman vrheen aheuttaa paneen mttaus (ks. ensmmänen term kokonasdfferentaalssa), joten sen tarkkuutta kannattas yrttää parantaa. 8

9 5. Lopputuloksen esttämstarkkuus Mttauksen tulosta estettäessä otetaan mukaan kakk merktsevät numerot. Numeroa pdetään merktsevänä, jos sen epätarkkuus on enntään 5 ykskköä. Esmerkk 7. Edellsessä esmerkssä saatn anemääräks n ja sen vrheeks Δn n = 0, mol ja Δn = 0,0640 mol. Estä tulos okealla tarkkuudella. Ratkasu: Anemäärän n ensmmäsen desmaaln (7) epätarkkuus on 0,640 ykskköä => otetaan mukaan. Tosen desmaaln (3) epätarkkuus on 6,40 ykskköä => otetaan mukaan. Kolmannen desmaaln (3) epätarkkuus on 64,0 ykskköä => e oteta mukaan, koska vrhe on yl 5 ykskköä. => pyörstetty lopputulos on n = 0,73 mol (normaalen pyörstyssääntöjen mukasest) Vrheeseen otetaan mukaan yhtä monta desmaala kun lopputulokseen, mutta vrhe pyörstetään ana ylöspän. => pyörstetty vrhe on Δn = 0,07 mol. Lopputulos estetään muodossa n = 0,73 mol ± 0,07 mol. Suhteellnen vrhe Δn/n = 0,0875. Suhteellsen vrheen pyörstämseen käytetään 5 ykskön sääntöä erkseen, ja myös tämä vrhe pyörstetään ylöspän. => Δn/n 0,09 = 9 %. Lopputulos estetään nyt muodossa n = 0,73 mol ± 9 %. Esmerkk 8. Kappaleen massaks mtattn m = 8 45 kg ± 45 kg. Estä tulos okealla tarkkuudella. Ratkasu:. numeron () epätarkkuus on 0,45 ykskköä => otetaan mukaan.. numeron (8) epätarkkuus on,45 ykskköä => otetaan mukaan. 3. numeron (4) epätarkkuus on 4,5 ykskköä => otetaan mukaan. 4. numeron () epätarkkuus on 45, ykskköä => e oteta mukaan. Pyörstetty lopputulos on ss m = kg ja pyörstetty vrhe Δm = 500 kg. Lopputulos vodaan ss peraatteessa esttää muodossa m = kg ± 500 kg. Tällasesta estysmuodosta e vo kutenkaan päätellä ovatko lopussa olevat nollat merktsevä numerota va 9

10 e (elle tunneta käytettyä lopputuloksen esttämsmenetelmää). Sks tällasessa tapauksessa tulos on parasta esttää joko kymmenen potenssen ta etultteden (k, M, T ) avulla nn, että merktseven numeroden määrä näkyy tukoksesta yksselttesest. Tässä tapauksessa tulos kannattaa esttää muodossa m = 8,4 * 0 3 kg ±,5 * 0 3 kg. Tunttehtävä penkllä tehdyssä mttauksssa tuloksks saatn a = (5.0 ± 0.5 ) cm ja b = (6.5 ± 0.) cm. Laske polttoväl f ja sen absoluuttnen ja suhteellnen vrhe. Käytä kokonasdfferentaalmenetelmää. Tunttehtävä 3. Pyörstä seuraavat mttaustulokset 5 ykskön säännön mukasest. a) A = 963,597 mm ± 7,963 mm b) F =,73 N ± 0,039 N c) s = 84 m ± 4 m Tunttehtävä. (Vanha tentttehtävä) Eräästä suureesta x mtattujen havantoarvojen tedetään noudattavan normaaljakaumaa y σ ( x x ) ( ) 0 / x = e σ π standardpokkeamalla σ =,. a) Mkä on yksttäsen havantoarvon tlastollnen vrheraja? b) Mten mttaus on toteutettava, jotta tuloksen tlastollnen vrheraja ols 0,? c) Jos havantoarvoja on yhteensä 000, monko nstä on todennäkösest välllä x o ± 0.? Vhje: Välllä [x o - 0., x o + 0.] funktota y(x) vodaan ptää vakona el y(x) y(x o ) Tunttehtävä. Ohuen kuperan lnssn polttoväl f saadaan kaavasta /f = /a + /b, mssä a on esneen ja lnssn välnen etäsyys ja b on lnssn ja kuvan välnen etäsyys. Optsella 0

11 Tunttehtävä, ratkasut: a), σ b) Δx = = 0, n σ, n = = = 00 0, 0, c) a = x o - 0. ja b = x o + 0. b a + b P a, b = y x dx y b ( ) ( ) ( a) = y( x ) a = e σ π 0 0, 0, = 0,066 = 6,7%, π Tunttehtävä, ratkasut: f =,53 ± 0,5 cm f =,53 ±, % Tunttehtävä 3, ratkasut: a) A = 964 mm ± 8 mm b) F =,7 N ± 0,03 N c) s =,8 km ± 0,5 km 0 0,

12 6. PNS-menetelmä Usen törmätään tlantesn, jossa mtattuhn psteparehn [X, Y ] on sovtettava ntä mahdollsmman hyvn myötälevä funkto (esm. suora, paraabel, sn- ta eksponenttfunkto) Funkton muotoa kuvaavsta parametresta saadaan määrtettyä systeemä kuvaava fyskaalsa suureta. Tarkastellaan ensks suoran y = a + bx () sovtusta (y = y(x), a ja b ovat vakota). Esmerkks vakonopeudella v kulkevan auton pakkaa s ajan t funktona kuvaava yhtälö s = s 0 + vt on yhtälön () kaltanen suora. Tässä tapauksessa nopeus vodaan määrttää mttaamalla pakka kahdella ajan hetkellä, mutta tarkemp tulos saadaan tekemällä mttaus mahdollsmman monella t:n arvolla. Koordnaatstoon sjotettuhn psteparehn vodaan slmämääräsest prtää pstetä mahdollsmman hyvn noudattava suora. Tätä kutsutaan graafseks tasotukseks. Nopeus on suoran kulmakerron. a Kuva 5. Graafnen tasotus. Koordnaatstoon on prretty mtatut pstepart (vhreät pallot) ja ntä mahdollsmman hyvn noudattava suora. Suoran yhtälö on y = a +bx, mssä b on suoran kulmakerron ja a on vakoterm. a lmottaa suoran ja y-akseln lekkauspsteen. b vodaan määrttää valtsemalla kaks pstettä suoralta (punaset psteet) kuvan osottamalla tavalla. Slmämääränen sovtus e ole kutenkaan kovn tarkka. Jos x:n arvot ovat vrheettömä ja y:n arvohn vakuttaa van satunnasa, normaaljakauman mukasa vrhetä, ja jokasen psteen y epätarkkuus on sama, todennäkösmmät a:n ja b:n arvot (ts. nden epätarkkuus on penn mahdollnen) saadaan nn kutsutulla penmmän nelösumman (PNS) menetelmällä, johon nyt tutustumme. Suoran yhtälön avulla y :n teoreettseks rppuvuudeks X :stä saadaan y teor = a + bx. ()

13 Havantopsteden ja teoreettsen suoran välsten erotusten nelöden summa Q on Q = N = N teor ( y Y ) = ( a + bx Y ). (3) = Havantopstetä parhaten vastaava suora saadaan mnmomalla Q, ja tästä tulee nmtys penmmän nelösumman menetelmä. Mnmä vastaavat a:n ja b:n arvot löydetään asettamalla Q:n dervaatat a:n ja b:n suhteen nollks: Q = a N = ( a + bx Y ) = 0 N Q = ( a + bx Y ) X = 0. b = Nästä yhtälöstä saadaan yhtälöpar Na + b X Y = 0 a X + b X X Y = 0. Yhtälöparsta vodaan ratkasta a ja b: a = N b = X Y X N X ( X ) X Y X N X ( X ) Y X Y. (4) (5) (6) Lausekkessa esntyvät N, X, X, Y ja X Y vodaan laskea havantoarvojen perusteella. Kuva 6. Penmmän nelösumman menetelmässä tarkastellaan mttauspsteden (vhreät pallot) ja vastaaven suoran psteden (punaset pallot) y-koordnaatten erotusta. Havantopstetä parhaten noudattava suora saadaan mnmomalla erotusten nelöden summa. Joskus er havantopstellä on er epätarkkuus, jollon tarkemmlle pstelle on annettava suuremp pano. Tällön on mnmotava lauseketta Q = N = teor w ( y Y ), (7) mssä panokerron w on Y :n varanssn kääntesarvo: w = /σ. Tällön a:n ja b:n lausekkeks saadaan a = b = w X wy w X w w X ( w X w w X Y w X w w X ( w X ) w X Y ) Y w. (8) 3

14 Penmmän nelösumman menetelmällä vodaan sovttaa mutakn funktota kun suoraa havantopstesn. Esmerkks paraabeln y teor = a + bx + cx (9) kertomet a, b ja c saadaan määrtettyä asettamalla lausekkeen Q = N = ( a + bx + cx Y ) dervaatat a:n, b:n ja c:n suhteen nollks. Ylesessä tapauksessa y teor (a,b,c, ):t ovat parametren a, b, c, melvaltasa funktota. Tällön nelösumma (7) mnmodaan yleensä numeersest käyttäen terovaa tetokoneohjelmaa, joka varo parametreja a, b, c, kunnes mnm löytyy. Esmerkk 9. On maananta-ltapävä, kello lyö kaks, ja fyskaalsten mttausten luento on päättynyt. Aslaklla on kre, sllä hänen ptäs ehtä llaks Inarn, mssä ät on jo pstänyt porosopan hautumaan. Aslak lokkaa Ladaansa (vm. 985) ja kääntää vakonopeudensäätmen kaakkoon. Nopeusmttar on rkk, mutta matkamttar ja kello tomvat. Aslak krjaa (alussa nollaamattoman) matkamttarn lukeman tunnn välen: klo 5.00: 43 km; klo 6.00: 563 km; klo 7.00: 68 km, klo 8.00: 8 km. Laske Ladan kesknopeus ja matkamttarn lukema alussa. Arvo tuloksen pohjalta esmerkn uskottavuus ottaen huomoon Ladan suortuskyky. Ratkasu: Vakonopeudella kulkevalle autolle s = s 0 + vt. Kun tätä yhtälöä verrataan suoran yhtälöön (), huomataan, että a = s 0 ja b = v. Sten v ja s 0 saadaan ratkastua yhtälöstä X Y X X Y a = N X ( X ) N b = X Y X N X ( X ) sjottamalla X = t, Y = s ja N = 4. Laskemsen helpottamseks taulukodaan tulokset ja lasketaan tarvttavat tulot ja summat: t (h) s (km) t (h ) ts (kmh) summa: Sjotetaan taulukon arvot edellseen kaavaan, jollon saadaan 30h s = a = 0 Y 487km 0h 6845kmh = 308km 4 30h ( 0h) kmh 0h 487km km v = b = = h ( 0h) h 4

15 s (km) t (h) Mttaus Sovtus Kuva 7. Matka ajan funktona sekä mttauspstesn sovtettu suora (lttyy esmerkkn 9). 4π 3 T = R, GM mssä G on gravtaatovako (G = 6,67*0 - Nm /kg ). Laske edellsten perusteella Juptern massa. Esmerkk 0. Tähtteteljä Tahvo on lahjakas geometrassa ja hän omstaa hyvän kaukoputken. Näden avujen myötävakutuksella hän mttas Juptern kuden kertoajoks T ja ratojen säteks R seuraavat arvot: Kuu R (0 8 m) T (d) T (s) Io 4,8, Europa 6,7 3, Ganymedes 0,704 7, Kallsto 8,87 6, Newtonn gravtaatolan avulla vodaan osottaa, että planeettaa (massa M) kertävän kuun kertoajan T ja ympyräradan säteen R välllä valltsee relaato Kuva 8. Esmerkk 0: Juptern kuut (lttyy esmerkkn 0). Ratkasu: M:n ratkasemseks edellnen yhtälö ptäs sovttaa mttauspstesn. Yhtälöstä näkee, ette T:n ja R:n välnen relaato ole lneaarnen, joten mttauspstesn [R,T ] e kannata yrttää sovttaa suoraa. Sen sjaan [R 3, T ]-koordnaatstossa mttauspsteden ptäs olla suoralla. Vomme ss tässä koordnaatstossa sovttaa mttauspstesn suoran y = a + bx, 5

16 mssä y = T, b = 4π/GM ja x = R 3. Vakokertomen a ptäs olla nolla. Lasketaan yhtälössä () tarvttavat arvot: R 3 (0 4 m 3 ) T (0 0 s ) (R 3 ) (0 50 m 6 ) 75,045,338 56,37 7, ,5 9,408 93,53 84, ,4 38, , ,3 07, sum.: 877,05 57, T R 3 (0 35 s m 3 ) Huom. Jos mttauspsteden vrhe on vako [R, T]- koordnaatstossa, se e ole enää vako [R 3, T ]- koordnaatstossa. Koordnaatston muutos vo muuttaa er psteden epätarkkuutta huomattavastkn. Tämän vuoks suoran PNS-sovtus e annakaan enää tarkmpa a:n ja b:n arvoja. Tällasa sovtuksa tehdessä kannattaa mettä hyvn tarkkaan, plaako jodenkn psteden suur epätarkkuus koko sovtuksen. Yhtälöstä () saadaan b = 3,59*0-6 Juptern massaks saadaan 4 7 M = π =,90 0 kg. Gb s /m 3, joten,5e+ E+ T^,5E+ E+ Mttaus Sovtus 5E+ 0 0 E+7 4E+7 6E+7 R^3 Kuva 9. Kertoajan nelö ympyräradan säteen kuuton funktona sekä pstesn sovtettu suora (lttyy esmerkkn 0). 6

17 7. SI-ykskköjärjestelmä Ks. Laboratorotöden työohje LIITE 3, osa 3 (svut 3-8). 8. Harmonnen värähdyslke Jos kappaleeseen (massapsteeseen) vakuttava voma on suoraan verrannollnen psteen pokkeamaan tasapanoasemasta (x) ja sen suunta on koht tasapanoasemaa (x = 0), vomaa sanotaan harmonseks vomaks. Esmerkks tosesta päästä senään ja tosesta päästä kappaleeseen knntetty (deaalnen) massaton jous aheuttaa kappaleeseen harmonsen voman, jonka seurauksena tasapanoasemasta pokkeutettu kappale alkaa värähdellä tasapanoaseman ympärllä. Kuva 0. Harmonnen voma. Matemaattsest harmonnen voma estetään muodossa F = -kx, (0) mssä k on vomavako (ta jousvako jousen tapauksessa). k > 0, k:n mttaykskkö on [k] = N/m. Newtonn tosen lan mukaan F = ma, () mssä F on kappaleeseen vakuttaven vomen summa, m kappaleen massa ja a kappaleen khtyvyys. Kun kappaleeseen vakuttaa van harmonnen voma, sen lkeyhtälöks saadaan F = ma = kx. () Koska khtyvyys on matkan tonen dervaatta ajan suhteen, ts. dv d x a = =, dt dt (3) yhtälöstä () saadaan d x m + kx = 0. dt (4) Käyttäen merkntää ω k/m, lkeyhtälö saadaan muotoon d x + ω x = 0. dt (5) Tämän dfferentaalyhtälön ylenen ratkasu on x ( t) = Asn( ω t + φ). (6) Tässä A on lkkeen ampltud (suurn pokkeama tasapanoasemasta), ω kulmataajuus ja φ vahekulma. Vahekulma kuvaa kappaleen pakkaa ajanhetkellä t = 0 (kappale e välttämättä ole tällön tasapanoasemassa). Tulos vodaan todstaa dervomalla yhtälö (6) kahteen kertaan t:n suhteen ja vertaamalla tulosta yhtälöön (5): 7

18 () t dx = Aω cos dt d x() t = Aω sn dt = ω x( t). ( ωt + φ) ( ωt + φ) Sn- ja kosnfunkto ovat harmonsa funktota, joten lke on harmonsta. Koska snfunkton jakso on π, nn π x () t = x t + n, ω (7) mssä n on kokonasluku. Kappaleen lke on ss jaksollsta (perodsta), ts. se tostuu yhä uudelleen samanlasena. Yhteen jaksoon kuluva aka (värähdysaka) on π m T = = π, ω k (8) joten värähtelyn taajuus on k ν = =. T π m Kulmataajuus kuvaa värähtelyn nopeutta. Kulmataajuuden ω ja taajuuden (el frekvenssn) ν välllä on yhtälö ω ν =. π ν:n mttaykskkö on [ν] = /s= Hz. Kuva. Harmonnen lke. Pakka x ajan funktona er A:n ja φ:n arvolla. Taajuus ν on Hz molemmssa tapauksssa. Harmonsen värähteljän nopeus v ja khtyvyys a saadaan dervomalla yhtälöä (6) ajan suhteen: dx v = = ω Acos( ωt + φ) dt (9) dv a = = ω Asn( ωt + φ). dt (30) Nopeus on suurn tasapanoasemassa ja nolla äärasennossa. Khtyvyys taas on suurn äärasennossa ja nolla tasapanoasemassa. 8

19 9. Jousvakon mttaamnen Kun jousen päähän asetetaan punnus, (värähtelyn vamennuttua) jous asettuu tasapanotlaan, jossa jousen punnukseen kohdstama voma on yhtä suur kun maan vetovoma: F = kx = mg. (3) Kuva. Jousen venymä lman punnusta ja punnuksen kanssa. Tässä x on punnuksen aheuttama jousen venymä, m punnuksen massa ja g putoamskhtyvyys. Venymäks x saadaan mg x =. (3) k Jousvako vodaan ss määrttää mttaamalla jousen venymää punnuksen massan funktona. Nän saatuhn [m, x ] mttapstesn vodaan sovttaa PNS-menetelmällä suora, jonka kulmakerron b on yhtälön (3) perusteella b = g/k. Jousvako k on ss g k =. (33) b Latetaan punnus nyt värähtelemään tasapanoaseman x 0 = mg/k ympärllä. Jos nyt x kuvaa punnuksen pokkeamaa tästä tasapanoasemasta, punnukseen kohdstuvalle nettovomalle saadaan lauseke F = mg k(x + x 0 ) = mg kx mg = -kx. Punnukseen kohdstuu ss harmonnen voma, joten sen värähtely on harmonsta värähtelyä. Sen jaksonaka saadaan yhtälöstä (8), jos jousen massa on merktyksettömän pen. Yleensä jousen massa on kutenkn sen verran suur, että se täytyy huomoda mttauksssa. Vodaan osottaa, että tällön yhtälössä (8) m:n sjaan tulee käyttää lauseketta m + m j /3, mssä m j on jousen massa. Jakson-ajan lausekkeeks saadaan ss m j m + π T = = π 3. (34) ω k Koska 4π 4π m j T = m +, (35) k 3k jousvako ja jousen massa vodaan määrttää mttaamalla jaksonaka T massan m funktona ja sovttamalla pstesn [m, T ] PNS-menetelmällä suora. Kulmakertomen b ja vakotermn a avulla saadaan k:ks ja m:ks 9

20 ja 4π k = (36) b ka a m = 3 3 j 4π =. (37) b 0. Matemaattnen helur Matemaattseks helurks kutsutaan sellasta deaalsta helura, jossa pstemänen kappale on knntetty knteään psteeseen massattomalla ja venymättömällä langalla, ekä ktka (esm. lmanvastus) vakuta systeemn. Kuva 3. Matemaattnen helur. Olkoon helurn langan ptuus l ja kappaleen massa m. Kappaleeseen vakuttaa maan vetovoma G = mg suoraan alaspän ja langan tukvoma langan suuntasest. Kun lanka pokkeaa kulman θ verran pystysuunnasta, kappaleen radan suuntanen G:n komponentt pyrk palauttamaan kappaleen tasapanoasemaan. Palauttava voman suuruus on F = -mg snθ. (38) Lkeyhtälöks saadaan d s F = ma = m = mg snθ, dt (39) mssä s = lθ (θ radaanena) on kappaleen ja tasapanoaseman välsen l-sätesen ympyränkaaren ptuus. Jos kulma θ on pen, snθ θ, jollon lkeyhtälö tulee muotoon d θ g + θ = 0. dt l (40) Tämä yhtälö on täsmälleen samaa muotoa kun harmonsen värähteljän lkeyhtälö (5). Tässä muuttujana on x:n sjaan θ, ja parametr ω = g/l. Penen kulman approksmaaton tapauksessa matemaattnen helur on ss myös harmonnen värähteljä. Sen värähdysaka (helahdusaka) on yhtälön (8) mukasest π l T = = π. (4) ω g Tätä jaksonajan T lauseketta käytetään laboratorotyössä nro. maan vetovoman khtyvyyden g määrttämseen. Mtattuun 0

21 g:n arvoon aheuttavat systemaattsta vrhettä pääasassa seuraavat tekjät: Approksmaaton snθ θ epätarkkuus. Vodaan osottaa, että tarkka lkeyhtälö d θ/dt + (g/l)snθ = 0 johtaa helahdusakaan T = π l θ0 3 4 θ0 + sn + sn + L, (4) g 4 mssä θ 0 on helahtelun ampltud (θ:n maksmarvo). Ampltudella θ 0 = 30 ja 90 helahdusajat ovat,7 % ja 6 % suurempa kun yhtälöllä (4) lasketut ajat. Ilmanvastuksen vakutus. Htaassa lkkeessä lmanvastus on suoraan verrannollnen kappaleen nopeuteen, joten yhtälön (39) okealle puolelle on lsättävä vastusvoma -Cv = -Cds/dt. Tällön lkeyhtälöks saadaan d θ C dθ g + + θ = 0. dt m dt l (43) Käyttämällä approksmaatota snθ θ saadaan yhtälön yleseks ratkasuks θ t αt = Ae sn ω' t + φ, (44) () ( ) mssä α = C/(m) ja ω' = ω α. Yhtälö kuvaa vamenevaa helahduslkettä, jonka ampltud penenee eksponentaalsest koht nollaa ja jonka helahdusaka on π π T = =. (45) ω' g C l 4m Kasvattamalla kappaleen massaa m saadaan penennettyä lmanvastuksesta johtuvaa termä C /(4m), jollon helahdusaka lähestyy yhtälöllä (4) laskettua helahdusakaa.

22 . Sähköset mttaukset Kerrataan ensn muutama sähköprehn lttyvä peruskästtetä: Vrta I ([I] = A, ampeer). Johtmen pokklekkauksen läp kulkeva varaus sekunta kohden. Jännte U ([U] = V, voltt). Potentaalero kahden sähköprn psteen välllä. Resstanss R ([R] = Ω, ohm). Kuvaa johtmen kykyä vastustaa sähkövrran kulkua. Teho P ([P] = W, watt). Käytetyn energan määrä akaykskössä. Kapastanss C ([C] = F, farad). Kuvaa kondensaattorn kykyä ottaa vastaan varausta. Q C =, U (46) mssä Q on kondensaattorlevylle varastotunut varaus ja U on levyjen välnen jännte... Yksnkertanen vrtapr Vrtapr on umpnanen johdnslmukka ta useden slmukoden muodostama kytkös. Yksnkertasn vrtapr saadaan yhdstämällä vrtalähteen navat johtmella. Tällön johtmen päät ovat er potentaalssa ja prssä alkaa kulkea vrta. Kuva 4. Yksnkertanen vrtapr. Jänntelähteen symbol on kaks samansuuntasta vvaa. Pdemp vva merktsee postvsta napaa, lyhemp negatvsta. Vastuksen symbol on laatkko. Yksnkertasn vrtapr on estetty kuvassa 4. Olkoon lähdejänntteen jännte E ja johtmen resstanss R. Kuvassa 4 johtmen resstanss on huomotu lsäämällä prn vastus, jonka resstanss on R. Tällön vodaan ajatella, että vastuksen ja jänntelähteen välssä olevassa johtmessa resstanss on nolla. Sähkövrta kulkee postvselta navalta negatvselle navalle (elektront pänvastaseen suuntaan). Ohmn lan mukaan vastuksen päden välnen jännte on U = RI, (47) joten vastuksen läp kulkevan vrran suuruus on U E I = =. R R

23 .. Vrtaprehn lttyvä lakeja Slmukkayhtälö: Vrtaprssä jokasta slmukkaa ympär kerrettäessä vastaantuleven jänntteden summa on nolla: ΣU = 0. (48) Tarkastellaan esmerkknä kuvan 5 kytkentää. Yhtälön (48) ja Ohmn lan (47) mukaan slmukalle ja pätee E R I RI = 0 ja R I R3I 3 = 0. Kytkennän ulkokehän muodostamalle slmukalle on puolestaan vomassa E R I R I = Krchhoffn I sääntö (vrran sälymslak): Vrtaprn kuhunkn haarautumspsteeseen tuleven vrtojen I n out summa on yhtä suur kun ltoksesta lähteven vrtojen I summa: n out I I. (49) = Kuva 6. Vrran sälymslak: ltoskohtaan tuleven vrtojen summa on sama kun stä lähteven vrtojen summa. Sarjaan kytkettyjen n:n vastuksen kokonasresstanss R on yksttästen vastusten resstanssen R summa: R = R + R + + R n. (50) Kuva 7. Sarjaan kytketyt vastukset. Kuva 5. Slmukkaesmerkk. 3

24 Jos n vastusta kytketään rnnakkan, kytkennän kokonasresstanss R vodaan ratkasta yhtälöstä = (5) R R R R n R = R R R n.3. Vrran ja jänntteen mttaamnen ylesmttarlla Ylesmttarlla vodaan mtata mm. jänntettä, vrtaa, resstanssa ja kapastanssa. Mttar kytketään prn ertavolla rppuen mtattavasta suureesta. Tutkttavan latteen läp kulkevaa vrtaa mtattaessa mttar kytketään latteen kanssa sarjaan. Mttar härtsee systeemä mahdollsmman vähän, kun sen ssänen resstanss R A on mahdollsmman pen latteen resstanssn R L verrattuna. Tällön mttarn aheuttama jänntehävö on mnmssään. Kuva 8. Rnnan kytketyt vastukset. Sarjaan kytkennässä kokonasresstanss ss kasvaa kun taas rnnan kytkennässä se penenee (tarkast lmastuna kokonasresstanss on penemp kun penn yksttäsen vastuksen resstanss). Kuva 9. Vrran mttaamnen. A on vrtamttar. Jänntettä mtattaessa tehdään rnnan kytkentä. Mttar härtsee tutkttavaa systeemä mahdollsmman vähän, kun sen läp kulkee mahdollsmman vähän vrtaa, joten mttarn ssäsen resstanssn R V ptää olla mahdollsmman suur. 4

25 Kuva 0. Jänntteen mttaamnen. V on jänntemttar..4. Potentometrkytkentä Jos latteeseen halutaan jänntelähteen jänntettä penemp jännte, vodaan käyttää kuvassa estettyä potentometrkytkentää. Kuva. Potentometrkytkentä. E on jänntelähteen jännte, AB on potentometr (lukuvastus) ja L on late, johon halutaan jännte U L. Ohmn lan (48) perusteella saadaan: U = R I U L AC L = R AC I = U L (5) U CB = RCBI = E U L. ja. yhtälön mukaan I = U L /R L ja I = U L /R AC. Koska I = I + I ja R CB = R AB - R AC, 3. yhtälöstä saadaan E U = R I = R R I + I L CB ( )( ) AB = ( RAB RAC ) + U L. RL R AC Tästä saadaan ratkastua R R U L AC L E. RLRAB + RAC ( RAB RAC ) (53) Yleensä potentometrkytkennössä R L >> R AB, jollon RAC U L E. RAB (54) Jos R AC on suoraan verrannollnen ptuuteen AC x, vodaan merktä R AC = Cx ja R AB = Cl (mssä l on ptuus AB). Tällön x U L E. l (55) Jos E on vako (ts. jänntelähteen ssänen resstanss R E on nn pen, että sen aheuttama jänntehävö R E I vodaan jättää huomotta), jänntettä U L vodaan säätää lneaarsest välllä 0 E. Latteen läp kulkevan vrta on U L RAC I = = R R R + R R R E. (56) L L AB AC AC ( ) AB AC 5

26 Jos R L >> R AB, saadaan RAC x E I E =. R R l R (57) L AB L Vrtaa I vodaan ss säätää lneaarsest välllä 0 E/R L..5. Etuvastuskytkentä Jos latteen L resstanss R L on pen, kannattaa potentometrkytkennän sjaan käyttää vrran ja jänntteen säätöön kuvassa estettyä etuvastuskytkentää. Slmukkayhtälön (43) ja Ohmn lan (47) perusteella saadaan E RAC I RLI = 0, josta vodaan ratkasta E I =. (58) R L + R AC Resstanssa R AC muuttamalla vodaan ss säätää latteen läp kulkevaa vrtaa. Jänntteelle U L saadaan RL U L = RLI = R + R E. (59) L AC Kuva. Etuvastuskytkentä. Esmerkk. Oskarn avot menaavat kehahtaa fyskaalsten mttausten labratötä pähkällessä. Jäähdytystä varten hän hommaa tuulettmen. Latteen resstanss on 00 Ω ja se kestää korkentaan 5 ma vrran. Vrtalähteenä Oskarlla on käytettävssä 9 V parsto. Ptääkö parstosta tulevaa vrtaa rajottaa? Jos ptää, mten sen vos tehdä? Tuleeko tuulettmen apu lan myöhään (ts. ylttyykö kehumspste Oskarn avossa tätä laskelmaa tehdessä)? Ratkasu: Suoraan parstosta tuleva vrta I ols I = E/R = 0,09 A = 90 ma > 5 ma, joten vrtaa ptää rajottaa. Rajottamnen vodaan tehdä joko etuvastuskytkennällä ta potentometrkytkennällä. 6

27 Etuvastuskytkennällä: E I = 5mA R + R R L AC AC E R 5mA Potentometrkytkennällä: x E I 5mA l R L L = 500Ω x RL 5mA = 0,67 l E Potentometrssä väl AC saa olla ss korkentaan 6 % potentometrn kokonasptuudesta. Lsäks oletuksen R L >> R AB täytyy olla myös vomassa. Tunttehtävä 4. (Vanha tentttehtävä) Herkän vrtamttarn mttausalue on 0 5,00 ma ja sen ssänen resstanss on 50,0 Ω. Mten stä vodaan käyttää mttaamaan: a) vrtoja alueella ma ja b) jännttetä alueella 0 00 V? 7

28 Tunttehtävä 4, ratkasut: 8

29 . Puoljohteet Elektronn sähköstaattnen potentaalenerga kteessä on estetty kuvassa 3. Elektronn energan ja ydnten välssä olevan potentaalenergan maksmn välnen suhde määrttää sen, kunka vahvast elektron on stoutunut ytmeen. Atomn ssempen kuorten elektronen energa (E ) on hyvn alhanen verrattuna potentaalenergan maksmn, joten nämä elektront ovat vahvast stoutuneta ytmen lähesyyteen. Kun elektronn energa (E ) lähes yhtä suur potentaalenergan maksmn kanssa, elektront vovat tunnelotua veresten ydnten lähesyyteen ja sen vuoks ne ovat hekost stoutuneta ytmeen. Kun energa (E 3 ) on suuremp kun potentaalenergan maksm, elektront vovat lkkua kteessä suhteellsen vapaast, ja sanotaan, että ne ovat kvasvapata. Kuva 3. Elektronn sähköstaattnen potentaalenerga kteessä (punaset käyrät). Vhreät täplät kuvaavat atomen ytmä ja snset vvat elektronen dskreettejä energatloja. Kvanttmekankan mukaan N:n atomn muodostamassa kdehlassa jokanen atomn energataso jakautuu N:ks erllseks tasoks. Kteessä oleven atomen lukumäärä on hyvn suur, joten energatasot ovat hyvn lähellä tosaan ja muodostavat lähes jatkuva energavyön. Kderakenne härtsee enten atomen ulkokuorten elektroneja, joten ulompen elektronen tlosta muodostuu levemmät vyöt (ks. kuva 4). Kuva 4. Atomen elektronen energatlat (vas.) jakautuvat kteessä energavöks (ok.). Jokaselle energatasolle sop kaks elektrona (spn ylös ja spn alas), joten tettyyn energavyöhön mahtuu N elektrona (kaks elektrona atoma kohden). Atomen ssmpen elektronen tlosta muodostuneet vyöt ssältävät maksmmäärän elektroneja. Kteen omnasuudet määräytyvät ulkokuorsta muodostuneden vöden perusteella, jota mehttävät valensselektront. Jos ulon vyö on van osttan mehtetty, sanotaan stä johtavuusvyöks. Jos ulon vyö on täys, stä sanotaan valenssvyöks. Tällön sen yläpuolella olevaa (tyhjää) vyötä sanotaan johtavuusvyöks. Jos energavyö e ole täys, elektronella on runsaast tyhjä energatloja lähettyvllä, ja sähkökentän vakuttaessa ne pystyvät lkkumaan, jollon syntyy sähkövrta. Tällanen ane johtaa ss hyvn sähköä ja stä kutsutaan johteeks. 9

30 Jos energavyö on täys, elektront evät pysty lkkumaan vakka ne olsvat sähkökentässä. Koska sähkövrtaa e synny, tällasta anetta kutsutaan ersteeks. Jos ersteessä valenss- ja johtavuusvöden välnen energa-alue ΔE g on kapea (luokkaa ΔE g ev), lämpöenerga nostaa osan valenssvyön elektronesta johtavuusvyölle. Tällön sekä johtavuusvyön elektront että nden valenssvyöhön jättämät aukot vovat johtaa sähköä. Tällasta materaala kutsutaan puoljohteeks (tarkemmn: tsespuoljohteeks ta puhtaaks puoljohteeks). Koska johtavuusvyölle srtyneden elektronen lukumäärä on stä suuremp, mtä korkeamp lämpötla on, puoljohteen sähkönjohtavuus kasvaa lämpötlan kohotessa (tosn kun johtella). varauksenkuljettaja. Atomsta tulee puolestaan postvnen on. Vapautuneen elektronn pakalle jää aukko, jonka veresen atomn elektron vo täyttää. Tällön veresestä atomsta tulee postvnen on. Nän aukot käyttäytyvät sähkökentässä kuten postvnen varauksenkuljettaja. Kuva 6. P- ta germanumatomeja ssältävä tsespuoljohde. Kuva 5. Ersteden, puoljohteden ja johteden (ulommat) energavyöt. P (S) ja germanum (Ge) ovat tärkempä puoljohteta. Nden ulommalla mehtetyllä elektrontasolla on neljä elektrona, jota kutsutaan sdoselektroneks. Kteessä atomt muodostavat kovalenttset sdokset neljän naapuratomn kanssa, jollon atomn ulkokuor täyttyy (yhteensä kahdeksan elektrona, ks. kuva 6). Lämpölkkeen vakutuksesta sdoksesta vo vapautua elektron, josta tulee negatvnen Puoljohteen johtavuutta vodaan parantaa lsäämällä kteeseen pen määrä sopva epäpuhtausatomeja. Tällasta materaala kutsutaan epäpuhtauspuoljohteeks ta saostetuks puoljohteeks. Jos esmerkks S- ta Ge-kteessä osa atomesta korvataan booratomella (B), jolla on kolme valensselektrona, yks kovalenttnen sdos jää vajaaks (ks. kuva 7), ja syntyy aukko, joka ottaa helpost vastaan elektronn vereseltä atomlta. Tällasa epäpuhtausatomeja kutsutaan akseptoreks ja syntynyttä puoljohdetta P-tyypn puoljohteeks, koska enemmstö varauksenkuljettajsta on aukkoja. 30

31 Jos taas kteessä osa atomesta korvataan arseenatomella (As), jolla on vs valensselektrona, yks As-atomn ulomman kuoren elektron jää sdosten ulkopuolelle (ks. kuva 8) ja on hyvn löysäst knn atomssa, jollon se pääsee helpost vapaaks lämpölkkeen vakutuksesta. Tällasa epäpuhtausatomeja kutsutaan donoreks ja syntynyttä puoljohdetta N-tyypn puoljohteeks, koska enemmstö varauksenkuljettajsta on elektroneja. 3. Dod Kuva 7. P-tyypn puoljohde. Epäpuhtausatom (akseptor) on keskellä. Kuva 8. N-tyypn puoljohde. Epäpuhtausatom (donor) on keskellä. Kun P- ja N-tyypn puoljohteet ltetään yhteen, saadaan dod. Tällön P-puolelta srtyy dffuuson vuoks N-puolelle aukkoja ja N-puolelta P-puolelle elektroneja (ks. kuva 9). Ltoksen N-puolelle syntyy postvsest varautunut kerros ja P-puolelle negatvsest varautunut kerros. Nän syntyy potentaalero U 0, joka vastustaa elektronen ja aukkojen kulkua ltoskohdan yl. N-puolen kerroksessa aukkojen määrä penenee vähtellen elektronen täyttäessä ntä. Tosaalta P-puolelta vrtaa ana uusa aukkoja korvaamaan näytä hävnnetä aukkoja. Sen vuoks P-puolelta N-puolelle kulkee sähkövrta I (ks. kuva 9). Tosaalta N-puolella syntyy jatkuvast uusa aukkoelektron-pareja (kuten puhtaassa puoljohteessa), ja ylmääräset aukot pyrkvät vrtaamaan matalampaan potentaaln P-puolelle. Nän N-puolelta P-puolelle kulkee sähkövrta I. Vastaava tarkastelu pätee myös elektronelle, 3

32 jotka tuovat oman osuutensa vrtohn I ja I. Tasapanotlassa I = I. Kuva 9. Dod. Valkossustaset ympyrät kuvaavat aukkoja, täysn mustat elektroneja. Dodn alapuolella on estetty jännte ltosalueella ja yläpuolella vrrat I ja I. Kuva 30. Dod päästösuuntaan kytkettynä. Jos dodn kytketään jännte U sten, että postvnen napa on kytketty P-puolelle (päästösuuntaan), ltoksen potentaalero penenee (ks. kuva 30). Tällön aukkojen vrta P-puolelta N- puolelle khtyy ja vrta I kasvaa. Koska vrta I pysyy muuttumattomana, syntyy nettovrta I - I, joka kasvaa nopeast U:n kasvaessa. Jos jänntteen suunta vahdetaan, ltoksen potentaalero kasvaa. Tällön vrta I penenee vrran I pysyessä muuttumattomana, ja syntyy nettovrta I - I N-puolelta P- puolelle. Kuva 3. Dod estosuuntaan kytkettynä. 3

33 Ideaalselle dodlle nettovrta I on eu / kt I = I I = I ( e ). (60) Vrtaa I kutsutaan kyllästysvrraks. on negatvnen, lekkautuvat pos. Nän jäljelle jää van postvsen jänntteen jaksot, joden välssä jännte on nolla (kuva 33 c)). I I I U Kuva 3. Ideaalsen dodn omnaskäyrä (yhtälö (60)). Estosuuntaan kytkettynä dod päästää lävtseen van hyvn penen (negatvsen) vrran (maksmssaan -I ), joka monssa sovelluksssa vodaan approksmoda nollaks. Päästösuunnassa vrta kasvaa jänntteen kasvaessa, ja dod käyttäytyy melken kun vastus, jonka resstanss on ~ 0 00 Ω. Verkkovrta on vahtovrtaa, mutta lähes kakk elektronset latteet tomvat tasavrralla. Doda vodaan käyttää vahtovrrasta muuntamseks tasavrraks. Kuvassa 33 a) on estetty puolaaltotasasuuntauksen kytkentäkaavo. Koska dod päästää vrtaa van yhteen suuntaan, jaksot, jossa jännte Kuva 33. Puolaaltotasasuuntaus. a) Kytkentäkaavo. ~ symbolso vahtovrtaa tuottavaa jänntelähdettä ja kolmon ja vvan yhdstelmä doda (päästösuunta vasemmalta okealle). R L on latteen resstanss. b) Jänntelähteen tuottama vahtojännte. c) Jännte latteen yl puolaaltotasasuuntauksessa. 33

34 Kuvassa 34 estetyllä neljän dodn sltakytkennällä (kokoaaltotasasuuntauksella) saadaan puolaaltotasasuuntauksessa menetetty negatvsen jänntteen jakso pelattua postvseks, jollon jännte latteen yl on jänntelähteen tuottaman jänntteen tsesarvo. Nän saadaan nn sanottua tykkvää tasajänntettä, joka täytyy velä suodattaa ja vakavoda, ennen kun stä vodaan käyttää. 4. Valodod Valododn tomnta perustuu shen, että valokvantt luovuttavat energansa (hν) elektronelle, jotka sen avulla vovat ylttää PN-rajapnnan potentaalvalln. Dodn herkkyyttä valon aallonptuusalueella vodaan parantaa kytkemällä pen estosuuntanen jännte. Tämä penentää myös vrtaa, joka kulkee sllon, kun dodn e tule valoa (ns. pmeä vrta). Valododn valolle herkn alue on rajapnnalle muodostunut tyhjennysalue. Valolle herkkää aluetta saadaan suurennettua lsäämällä P- ja N-alueden väln tsespuoljohteen (puhtaan puoljohteen) kerros. Tällasta valododa kutsutaan PIN-valododks. Kuva 34. Kokoaaltotasasuuntaus. a) Postvsen jänntteen jaksolla dodt D ja D4 ovat päästösuuntaan, ja latteen läp kulkeva vrta tulee ylhäältä alas (latteen yläosa on korkeammassa potentaalssa). b) Negatvsen jänntteen jaksolla dodt D ja D3 ovat päästösuuntaan, ja myös tällä kertaa latteen läp kulkeva vrta tulee ylhäältä alas. c) Jänntelähteen tuottama vahtojännte. d) Jännte latteen yl kokoaalto-tasasuuntauksessa. Kuva 35. Valodod. 34

35 5. Kondensaattorsuodatus Kahden lähekkäsen johdekappaleen vastakkaset pnnat (levyt) muodostavat kondensaattorn. Kun kondensaattorn kytketään jännte, postvsessa potentaalssa oleva levy saa varauksen +Q ja negatvsen potentaaln levy Q (ks. kuva 36). Tällön sanotaan, että kondensaattorn varaus on Q. Varauksen suuruus on suoraan verrannollnen jänntteeseen U: Q = CU. (6) Verrannollsuuskerron C on kondensaattorn kapastanss. Se kuvaa kondensaattorn kykyä ottaa vastaan varausta. Kapastanssa vodaan kasvattaa täyttämällä kondensaattorlevyjen välnen tla jollakn ersteellä. Kondensaattorn läp e kulje vrtaa. Kondensaattoreta käytetään laajast erlasssa elektronkan sovelluksssa, koska ne vovat hyvn halltust ottaa vastaan ja purkaa varausta. Kuva 36. Jänntelähteeseen kytketty kondensaattor. Tarkastellaan, mten kondensaattorn avulla saadaan kokoaaltotasasuunnatun jänntteen (tykkvän tasajänntteen, kuva 34 d) jänntteenvahteluta tasotettua. Tämä saadaan tehtyä lsäämällä latteen rnnalle kondensaattor, jonka kapastanss on C (ks. kuva 37). Tällön kondensaattorn ja latteen päden välllä on ana sama jännte. Kuva 37. Kondensaattorsuodatus. Tykkvää tasajänntettä kondensaattorsuodattmelle tuottava osa kytkennästä on prretty mustalla, varsnanen suodatn punasella. Dodsllalta tulevan kokoaaltotasasuunnatun jänntteen kasvaessa kondensaattorn varaus kasvaa. Varaus on suurmmllaan (Q = CU p ) tulevan jänntteen saavuttaessa maksmn U p. Tulevan jänntteen alkaessa penentyä kondensaattor alkaa purkautua. Purkautumnen tarkottaa stä, että varaus kulkeutuu levyltä toselle latteen läp, jollon syntyy vrta dq I =. (6) dt Tässä dq on ajassa dt srtyneen varauksen suuruus. Mnus merkk yhtälössä (6) ottaa huomoon sen, että vrta syntyy kondensaattorn varauksen Q penentyessä. Koska Q = CU, yhtälöstä (6) saadaan du I = C. (63) dt 35

36 Koska vrta I kulkee latteen läp, nn tosaalta I = U/R L. Sjottamalla tämä yhtälöön (63) saadaan du = U () t. (64) dt RLC Tästä vodaan ratkasta U(t):ks U RLC () t U e p t =, (65) mssä U p on jännte purkautumsen alkaessa (ts. kokoaaltotasasuunnatun jänntteen maksmarvo). Ajan t nollakohta on tulevan jänntteen hupun kohdalla. Jännte ss penenee eksponentaalsest, ja mtä suuremp akavako R L C on, stä htaampaa vamenemnen on. Tämä vodaan ymmärtää fyskaalsest helpost: Jos R L on suur, late vastustaa vomakkaast vrran kulkua, joten purkautumnen on hdasta. Tosaalta, jos C on suur, varausta on hyvn paljon purettavana (Q = CU), joten purkamnen kestää ptkään. noudattaa yhtälöä (65). Nän jännte vahtelee koko ajan jänntteden U mn ja U p välllä. Näden jänntteden erotusta kutsutaan rppeljänntteeks R rp : U pt U rp = U p U mn =. (67) RLC Suodatetun jänntteen keskmääräseks arvoks U dc saadaan U p + U mn T U = U dc p. (68) RLC Suodatuksen hyvyyttä kuvataan ns. hyvyysluvulla U rp S =. (69) U dc Mtä penemp S on, stä paremp suodatus on, ts. stä tasasempaa jännte on suodatuksen jälkeen. Jos kondensaattor purkautu lähes kokonasen jaksonajan T, ja jos T << RC, nn jänntteen U mnmarvo U mn on T ( ) = = R T LC U mn U T U pe U p. (66) RLC Tässä on käytetty hyväks approksmaatota e x + x, kun x on pen. Seuraavalla jaksolla tuleva jännte kasvaa jossakn vaheessa suuremmaks kun yhtälöllä (66) estetty jännte (ks. kuva 38). Tällön kondensaattor lopettaa purkautumsen ja alkaa latautua uudelleen. Jännte kondensaattorn ja latteen yl kasvaa nopeast arvoon U p. Tämän jälkeen tuleva jännte alkaa taas penentyä ja kondensaattor purkautua, ja jännte Kuva 38. Jännte ajan funktona kondensaattorsuodatuksessa. Snnen käyrä kuvaa tulevaa tykkvää tasajänntettä. Vhreä käyrä kuvaa jänntettä kondensaattorn purkautuessa tulevan jänntteen huppujen välssä. Punanen käyrä kuvaa teoreettsta jänntteen muutosta laajemmalla akavälllä kondensaattorn purkautuessa. 36

37 6. RC-suodatus Suodatuksen hyvyyttä kondensaattorsuodatukseen verrattuna vodaan parantaa lsäämällä kytkentään vastus (resstanss R) ja tonen kondensaattor (kapastanss C ) kuvassa 39 estetyllä tavalla. Tällasta suodatnta sanotaan RCsuodattmeks. Kondensaattorsuodatuksesta saatavan jänntteen vodaan ajatella koostuvan tasajänntekomponentsta U dc ja vahtojänntekomponentsta, jonka ampltud on U rp / ja taajuus on f = /T (ks. kuva 38). RC-suodatn penentää vahtojänntekomponentta tekjällä H(f). Jos valtaan vastus R ja kondensaattor C sten, että tekjä πrc on suur, H(f):sta tulee pen, ja vahtovrtakomponentn ampltud muuttuu RCsuodatuksessa peneks, jollon saadaan hyvn suodatettua jänntettä. Tasajänntekomponentt penenee RC-suodatuksessa myös tekjällä R L /(R+R L ) vastuksessa R tapahtuvan jänntehävön vuoks. Vastus R ja kondensaattor C täytyy valta sten, että tasajänntekomponentt penenee mahdollsmman vähän ja vahtojänntekomponentt mahdollsmman paljon. Kuva 39. RC-suodatus. Tykkvää tasajänntettä tuottava osa kytkennästä on prretty mustalla, kondensaattorsuodatn punasella ja varsnanen RC-suodatn snsellä. Vodaan osottaa, että RC-suodattmessa pätee yhtälö U out = H ( f ) U n, (70) mssä U n on tuleva jännte ja U out on jännte latteen yl. H(f) on ns. srtofunkton taajuusvaste. RC-suodattmelle H ( f ) =, (7) + ( πfrc ) mssä f on taajuus (ks. kuva 40). RC-suodatus ss penentää vahtojänntekomponentta tekjällä H(f). Kuva 40. Srtofunkton taajuusvaste RC-suodattmelle. 37

38 7. Valon aaltoluonne Valo käyttäytyy tetyssä tlantessa kään kun se koostus hukkassta (fotonesta). Tosaalta tetyssä tlantessa se käyttäytyy kun sllä ols aaltoluonne. Seuraavaks kästellään muutama esmerkkejä, jotka tuovat eslle valon aaltoluonteen. Esmerkt osottavat, että valo on sähkömagneettsta sätelyä, jossa sähkö- ja magneettkentät värähtelevät harmonsest (snmuotosest) kohtsuorassa tosaan ja etenemssuuntaa vastaan (ks. kuva 4). ja aaltoa yhtälö y ( t) = A sn(π ft + φ), nn nterferovat aallot muodostavat nn kutsutun resultanttaallon, joka on yksttästen aaltojen summa: y t) = y ( t) + y ( ). ( t Kuva 4. x-suuntaan etenevä valoaalto. Sähkökenttävektor värähtelee y-suunnassa, magneettkenttävektor z-suunnassa. 7.. Interferenss Interferenss on eräs todste valon aaltoluonteesta. Interferenss on kakelle aaltolkkeelle omnanen lmö. Se tarkottaa kahden aallon, joden vahe-ero on vako, yhdstymstä nn sanotun superpostoperaatteen mukasest. Jos ss aaltoa kuvaa yhtälö y( t) = A sn(πft) Kuva 4. Aaltojen y ja y nterferenss (y on resultanttaalto). a) Aaltojen y ja y välnen vahe-ero φ = 0. b) φ = π/3. A = ja A = molemmssa kuvssa. Resultanttaallon ampltud rppuu oleellsest aaltojen välsestä vahe-erosta φ. Jos φ = 0, aallot ovat samassa vaheessa ja ne vahvstavat tosaan, jollon puhutaan konstruktvsesta nterferenssstä. Jos φ = π, aallot ovat vastakkasessa vaheessa 38

39 ja ne hekentävät tosaan. Tätä kutsutaan destruktvseks nterferenssks. Kuva 43. Aaltojen y ja y (destruktvnen) nterferenss, kun A = A = ja φ = π. y on resultanttaalto Huygensn peraate Huygensn peraate: Jokasta aaltorntaman pstettä vodaan ptää uuden alkesaallon (palloaallon) lähteenä. Interferodessaan alkesaallot muodostavat uuden aaltorntaman, joka on nden yhtenen tangenttpnta. Huygensn peraatteen avulla vodaan selttää mm. aaltolkkeen hejastumnen, tattumnen ja tapumnen el dffrakto. 7.. monokromaattsuus ja koherenss Monokromaattnen valo on sellasta valoa, joka ssältää van yhden aallonptuuden. Jos valo on monokromaattsta ja kakk valoaallot ovat samassa vaheessa, valo on koherentta. Laservalo on koherentta valoa. Luonnollset valonlähteet (Aurnko, hehkulamput jne.) antavat epäkoherentta valoa, joka ssältää kakka aallonptuuksa. Interferenss-lmötä tutkttaessa kannattaa käyttää koherentta valoa. Kuva 44. Aaltorntaman etenemnen Huygensn peraatteen mukasest. 39