Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Transkriptio

1 Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e välttämättä korkojakson välen. Nyt kun osaamme laskea artmeettsten ja geometrsten sarjojen summa osaamme myös laskea tostuven suortusten loppuarvoja. Palataan johdattelevn esmerkkehn edellsestä osasta ja vedään laskuja loppuun ast. Esmerkk 1: Jokasen kuukauden lopussa alkaen tammkuusta tllle latetaan 100 euroa. Korkokanta on 6% ja se maksetaan vuoden lopussa. Korot määräytyvät saksalasen tavan mukaan. Paljonko tlllä on raha vuoden lopussa? Ratkasu: Kuten olemme akasemmn huomanneet yksttästen talletusten loppuarvot korkoneen muodostavat artmeettsen jonon a 1 a... a 1 jossa a 1 = 100( ) = on joulukuun talletus korkoneen a = 100( ) = 101 = on marraskuun talletus korkoneen jne. Tässä jonossa erotusvako on d = 0 5 joka on tse asassa yhden suortuksen (100 euroa) yhden kuukauden koron suuruus. Kokonassaldo vuoden lopussa on tämän artmeettsen jonon summa. Koska tunnemme arvoja a 1 = d = 0 5 ja n = 1 vodaan laskea S 1 = na 1 + n(n 1) d = Nän paljon rahaa tlllä on vuoden lopussa =

2 Tonen ratkasutapa - huomataan että suortusten korot muodostavat oman artmeettsen jononsa 0 5; 1; 1; 1 5;.... Tässä jonossa n = 1 d = 0 5 a 1 = 0 5. Nän olleen pelkät korot ovat yhdessä = 39. Talletuksa on 1 ja jokanen on sadan euron suurunen joten talletusten arvo = 100. Yhdessä = 139 saadaan sama lopputulos. Samalla tavalla vodaan artmeettsen jonon summan kaavan avulla laskea tostuven (samansuurusten) suortusten kokonaskorot ta loppuarvo kun korot maksetaan anoastaan kerran korkoajan lopussa (el kyseessä yksnkertanen korko) suortuksa tehdään tasavälen ja korkopäven laskutapa on 30/360. Tällön 1) sekä suortukset korkoneen että suortusten korot erkseen molemmat muodostavat artmeettsa jonoja ) kummankn jonon erotusvako on yhden suortuksen korko per yks akaväl. Edellä tarkastellussa esmerkssä kyse on tostuvasta suortuksesta mutta e jaksollsesta suortuksesta sllä suortusten akaväl e ole sama kun korkojakso (joka ol esmerkssä tasan yks vuos). Sen sjaan esmerkssä kyse on jaksollsesta suortuksesta. Sen kokonaskorko ja loppuarvo lasketaan geometrsen sarjan summana. Esmerkk Kasvutullle talletetaan euroa 10 vuoden akana ana jokasen vuoden alussa. Tln nettokorkokanta on %. Korko lsätään vuoden lopussa laskutavalla 30/360. Paljonko tlllä on rahaa 10 vuoden päästä (10.vuonna vuoden lopussa)? Ratkasu: Suortukset korkoneen muodostavat geometrsen jonon kääntesessä järjestyksessä - vmesen vuoden suortus kasvaa arvoon toseks vmesen - arvoon ja nn edelleen. Jonossa on n = 10 jäsentä ensm. jäsen a 1 = ja suhdeluku q = 1 0. Summaks saadaan

3 kaavalla S 10 = = Ylesest jaksollsten suortusten loppuarvo n kokonasen korkojakson jälkeen saadaan kaavalla S 1 = k (1 + ) (1 + )n 1 mssä on korkokanta k yksttäsen suortuksen arvo (joka edellytetään olevan vako) ja n on korkojaksojen lukumäärä. Jaksollsen suortuksen loppuarvo het vmesen suortuksen tapahduttua on S = (1 + )n 1 k Tässä ero edellseen on se että vmenen suortus e ehd kasvattaa korkoa. Edellsessä esmerkssä se vastas 10. vuoden tammkuun 1. pävän tlannetta jollon vmenen euron talletus on jo tehty mutta e velä ehtnyt kasvata mtään korkoa. Huomaa että krjassa tarkastellaan van tätä tapausta. Nämä kaavat tomvat van jaksollsten suortusten kohdalla el tapauksessa jossa suortuksa tehdään täsmälleen korkojakson välen. Esmerkssä 1 yllä nähtn mten hodetaan tapausta jossa korkoa ltetään van kerran suortusten lopussa. Tällön tarvtaan artmeettsten jonojen teoraa. Tarkastellaan velä kaksta ylesntä tapausta jossa joudutaan turvautumaan molempn menetelmn samassa laskussa. Esmerkk: Tllle talletetaan 100 euroa kerran kuukaudessa kuukauden lopussa neljän (kalenter)vuoden ajan. Nettokorkokanta on % vuodessa ja se maksetaan jokasen vuoden lopussa. Paljonko tlllä on raha vmesen suortuksen tapahduttua 4. vuoden joulukuun lopussa (koron lttämsen jälkeen)? Ratkasu: Tarkastellaan ensn erkseen yhden vuoden suortuksa ja lasketaan kunka 3

4 suureks ne kasvavat yhdessä saman vuoden lopussa. Koska nyt suortuksa tehdään kuukauden lopussa ensmmänen suortus kasvattaa korkoa van 11 kuukauden verran ja vmenen suortus e kasvattaa korkoa olleenkaan (huom tässä suhteessa esmerkk ss eroaa heman esmerkstä 1 jossa suortuksa tehtn kuukauden alussa). Jos suortuksa korkoneen tarkastellaan taas kääntesessä järjestyksessä saadaan artmeettnen jono a 1 = 100 (vmenen suortus e ehd kasvattaa korkoa ollenkaan) a = a 1 = (ensmmänen suortus korkoneen). 1 Jonossa ss 1 jäsentä ensmmänen jäsen 100 ja erotusvako on yhden kuukauden korko Artmeettsen jonon summan kaavalla saadaan S 1 = = 111. Nän paljon ss jokasen vuoden suortukset tuottavat vuoden lopussa korkoneen. Tämä pääoma kasvattaa stten seuraavna vuosna koronkorkoa Tlanne ss vastaa täydellsest jaksollsa suortuksa jossa jokasen vuoden lopussa tllle talletetaan 111 euroa 4 vuoden ajan nettokorkokannalla %. Tällasten suortusten loppuarvo het vmesen suortuksen tapahduttua saadaan kaavalla S = (1 + )n 1 mssä nyt k = 111 n = 4 ja = 0 0. Neljän vuoden päästä tlllä on S = k 111 = euroa. 4

5 Laskuja Jaksollsten suortusten loppuarvo kun vmenen suortuskn on ehtnyt kasvattaa korkoa saadaan kaavalla S 1 = k (1 + ) (1 + )n 1 ja het vmesen suortuksen tapahduttua kaavalla S = k (1 + )n 1 Edellsessä osossa nätä kaavoja sovellettn suoraan loppuarvon laskemseen. Jos kaavossa esntyvstä suuresta tunnetaan kakk pats n (suortusten lukumäärä) se vodaan ratkasta käyttämällä logartmeja ta tosen kaavan tapauksessa S 1 = k (1 + ) (1 + )n 1 (1 + ) n 1 = S 1 k(1 + ) (1 + ) n = S 1 k(1 + ) + 1 log(1 + ) n S 1 = log( k(1 + ) + 1) S 1 n log(1 + ) = log( k(1 + ) + 1) n = log( S 1 + 1) k(1+) log(1 + ) n = log( S 1 k + 1) log(1 + ). Jos tuntemattomana on k el jokasen suortuksen arvo se saadaan kaavalla k = S 1 (1 + ) (1+)n 1 5

6 ta k = S rppuen stä mstä tlanteesta on kyse. Jos kutenkn esm. yhtälöstä (1+) n 1 S 1 = k (1 + ) (1 + )n 1 (ta tosesta yhtälöstä jossa lasketaan S ) halutaan ratkasta el korkokanta se e onnstu lman numeersa menetelmä. Nykyään tällasa ongelma ratkastaan tetokoneella ta rttävän kehttyneellä laskmella - kyseessä on polynomyhtälö :n suhteen. Mtään valmta kaavoja ta analyyttsa menetelmä tällasen ongelmaan ratkasemseen e ole olemassa. Esmerkk: Säästäjä tallettaa 5000 euroa vuosttan tllle jonka korkokanta on 3 55%. Kunka monen talletuskerran jälkeen tlllä on vähntään euroa? Ratkasu: Ollaan knnostunesta stä mnkä suortuksen jälkeen tlllä on vähntään euroa joten käytetään kaavaa josta S = k (1 + )n 1 n = log( S 1 k + 1) log(1 + ). Sjottamalla kaavaan S 1 = k = 5000 = saadaan n joten ensmmästä kertaa sadantuhannen euron raja yltetään het 16 tallennuksen jälkeen. 6