COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

Transkriptio

1 COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks Coulombn voma Koko sähkömagnetsmn peusta on Coulombn voma, ota kuvataan Coulombn lan avulla. Sen mukaan sähkösest vaatut kappaleet oko vetävät tosaan puoleensa ta hylkvät tosaan. Vaausta on kahdenlasta: tosta vaaustyyppä sanotaan postvseks vaaukseks, tosta negatvseks. Etyyppset vaaukset vetävät tosaan puoleensa, samantyyppset hylkvät. Coulombn lak kahden pstevaauksen välselle vomalle on yhtälön muodossa: Tämä yhtälö on otettu peuskussn kasta Unvesty Physcs, ekä tämä anna voman suuntaa vaan van vaattuen kappaleden välsen voman suuuuden. Sen saan luentomonsteen yhtälöt antavat myös voman suunnan: ) Tässä takottaa vektoa, oka petään pstevaauksesta pstevaaukseen. on voma, onka pstevaaus aheuttaa pstevaaukseen. Tonen estysmuoto kyseselle vomalle on: Tässä vektot a takottavat pstevaausten a pakkoa. Usean pstevaauksen tapauksessa yhtälö tulee muotoon: Tässä on kokonasvoma onka vaaukset yhdessä aheuttavat vaaukseen.

2 Sähkökenttä Koko sähkömagnetsmn dea ssältyy Coulombn lakn. Asoden matemaattstakn) kästtelyä a ymmätämstä helpottamaan on sähköopssa otettu käyttöön useta kästtetä, osta ensmmäsenä estellään sähkökenttä. Sähkökentän omnasuuksa: Sähkökenttää on sellä mssä Coulombn voma vakuttaa. Sähkökenttä on samalla tavalla vektosuue kun voma. Sähkökenttä vakuttaa e tavalla postvsest vaattuhn hukkasn kun negatvsest vaattuhn hukkasn: postvsest vaatut hukkaset pykvät sähkökentän suuntaan, negatvsest vaatut pänvastaseen suuntaan. Sähkökentän vomavakutus vaattuun hukkaseen on yhtälön avulla lausuttuna E Pstevaausten aheuttama sähkökenttä vodaan laskea yksnketaslla yhtälöllä. Jatkuvan vaauksen aheuttaman sähkökentän laskemseen käytetään useta elasa menetelmä, ota estellään tällä kusslla a otka ovat täkeä osa kussa. Nätä menetelmä ovat muun muassa ntegomsmenetelmä, Gaussn lan avulla laskemnen a sähkökentän laskemnen potentaaln gadenttna. Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Pstevaauksen sähkökentän yhtälö on peuskussn kan Unvesty Physcs mukaan: E Tämä yhtälö e anna sähkökentän suuntaa. Seuaava luentomonsteen yhtälö antaa sähkökentän suunnan: E ) Tämä yhtälö antaa pstevaausten aheuttaman sähkökentän psteessä. Alottelevan sähkömagnetsmn haastaan on oskus vakea ymmätää, että psteessä e usemmten ole vaausta. Snä vakuttaa van lähstöllä oleven vaausten aheuttama Coulombn voma a täten sähkökenttäkn.

3 Esmekk : Kolme pstevaausta, a on tasasvusen kolmon kässä. Mkä on vaaukseen kohdstuva kokonasvoma, kun =, μc a =, cm? - Ratkasu: asketaan tämä lasku kahdella tavalla. Tapa I Käytetään yhtälöä: ) Nyt ols määtettävä vekto, oka takottaa vektoa vaauksesta vaaukseen, a vekto vaauksesta - vaaukseen. Vekto on määtetty, kun tedetään sen suuuus a suunta. Näden vektoeden suuuus on. Suunta lmotetaan ykskkövektolla. Vekto on helppo tapaus, koska se on postvsen x-akseln suuntanen el ykskkövekton î el ê x ) suuntanen. Vekto on ss î.

4 - 6 o Seuaavaks määtetään vekto. Suuuus on tetenkn. Suunta katso kuvasta, nyt e tavtse tse päätellä, onko kyseessä vetovoma va postovoma) on 6 o alaspän postvsen x-akseln suunnasta. Tämän suuntanen ykskkövekto on: Jollon: cos 6 ) sn 6 ) cos6 ) sn 6 ) Nyt on kokonasvoma: ) cos 6 o o 6cos 6 ) 6sn 6 ) 6sn 6 ) 8N) ) sn 6 )

5 Tapa II Käytetään doottvamaa yhtälöä: Tässä tapauksessa kokonasvoma on: Vektot, a ovat vaausten, - a pakkavektoeta: ) sn 6 ) cos 6 N ) 8.5) 6 ) sn 6 ) cos 6 sn 6 ) cos 6 6 ) sn 6 ) cos 6 ) sn 6 ) cos 6 Tämä tapa on helpon vakka näyttää monmutkaselta), sllä e tavtse tse mettä vektoeden suunta. 6 o -

6 Esmekk : Nelä pstevaausta, -, a -) on asetettu kuvan mukasest nelön käkn. Nelön svun ptuus on. aske sähkökenttä nelön keskpsteessä. Oleta, että >. - - Ratkasu: Käytetään luentomonsteessa annettua yhtälöä: E ) Tämä yhtälö kuvaa pstevaausten ota on kappaletta) aheuttamaa sähkökenttää pakassa. Vektot ovat pstevaausten pakkoa, otka tässä tapauksessa ovat: Nyt van sotetaan vektot a vaaukset yhtälöön. Vekto on nollavekto, nänhän me koodnaatston olemme valnneet. Saamme sähkökentän ogossa:

7 ) ) ) ) ) ) ) ) ) E ) ) ) Vakka tämä menetelmä vakuttaa monmutkaselta, tämä on snä melessä helppo, että okea suunta a suuuus tulevat automaattsest. Esmekk : Tässä on velä yks esmekk, oka vodaan laskea peuskussn kassa esntyvllä kaavolla: Tämä lasku vodaan laskea usealla elasella tavalla, osta kaks estetään tässä. TAPA I asketaan ensn sähkökentten suuuudet. Jaetaan kentät x- a y-akseleden suuntasn komponenttehn a lasketaan komponentt yhteen. Vastaus vodaan antaa vektona ta lasketaan komponentesta kokonaskenttä a suunta.

8 y E E x Käytetään Anta Akon Sähkö- a magnetsmopn luentomonsteessa esntyvää pstevaauksen aheuttaman sähkökentän lauseketta asketaan molempen pstevaausten aheuttamat kokonaskentät ekseen: Jaetaan sähkökentät komponenttehn: y,6 m E y E,8 m E E x x a

9 asketaan kokonaskenttä Kentän suuuus on Kentän suunta on y E E E x TAPA II Käytetään peuskussn luentomonsteen yhtälöä asketaan sähkökentät vektomuodossa molemmlle vaaukslle a sen älkeen lasketaan kentät yhteen. Yllä olevassa yhtälössä on sähkökentän suuntanen ykskkövekto. asketaan se molempen vaausten aheuttamalle kentälle:

10 y x Tämä saadaan päättelemällä) Sotetaan nämä ykskkövektot edellä laskettuhn sähkökentän suuuuden lausekkesn asketaan molempen pstevaausten aheuttamat kokonaskentät ekseen: Kokonaskentäks saadaan Kentän suuuus on Kentän suunta on

11 Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks Edellä laskettn pstevaausten aheuttama sähkökenttä. Nyt valmstaudutaan laskemaan atkuven vaausakaumen aheuttama sähkökenttä. Vaaus vo olla akautunut tasasest aneeseen el vaausakauma on sllon vako. Tällön vaaustheys aneessa tlavuus V) on V Vastaavast os pnnalle S on akautunut tasasest vaaus, on pnta-vaaustheys: S Sähköopssa käytetään myös kästettä vaaus ptuusykskköä kohden: Myöhemmn kästellään Gaussn lak, onka avulla sähkökentän laskemnen käy käteväst. Ana Gaussn laka e vo käyttää. Sllon täytyy vaausakauma palotella vaausalkoks, ota vodaan kästellä pstevaauksna a laskea pstevaausten yhtälöllä. Integomalla saadaan koko kappaleen aheuttama sähkökenttä. Esmekk : Ptkä suoa lanka on vaattu sten, että postvnen vaaustheys langassa on vako λ. aske sähkökenttä langan tosen pään kohdalla psteessä P, onka kohtsuoa etäsyys langasta on a. a x P y Opastus: dx x / x a ) a x a

12 Ratkasu:

13 Esmekk 5: Ympyän muotosesta langasta, onka säde on R, on vaattu puolet sten, että tällä vaatulla alueella postvnen vaaustheys on vako λ. aske sähkökenttä ympyän aksellla psteessä P, onka kohtsuoa etäsyys ympyän tasosta on a. z P a y R x Ratkasu:

14