Ilmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
|
|
- Ismo Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilmar Juva 45727R Mat Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen
2 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun kenon on olemassa jotakn tutkmuksa. Tässä työssä lähteenä käytetyssä tutkmuksssa on ollut tavotteena muodostaa mall joka elattujen ottelujen anestosta ystys ennustamaan määrätyn ottelun loutulosvahtoehtojen todennäkösyydet. Merkttävä osa-alue tällasen malln luomsessa on löytää jakauma jolla mallntaa joukkueden maalmäärät. Ylesest käytetty lähtökohta on Posson-jakauma. Tutkmustulokssta on kutenkn huomattu ettevät Posson-jakauman ennustamat loutulosten todennäkösyydet vastaa täysn toteutuneta tuloksa kaklta osn. Erlasa korjaustermejä Posson-jakaumaan on estetty aremman malln löytämseks, mutta varsnasest syytä lmölle e ole ohdttu. Aemmat tutkmukset ovat keskttyneet van ottelujen loutuloksen analysontn. Tässä työssä tutktaan loutulosten lsäks myös maalen syntymsen ntensteettä ottelun tlanteeseen ehdollstaen. Tällä lähestymstavalla seltetään loutulosten jakauman eroavasuudet Posson-jakaumasta ja muodostetaan Markovmall jolla ottelun loutulosjakaumaa vodaan mallntaa, olettaen että käytössä on arvot joukkueden ottelussa tekemen maalen odotusarvolle. Se mten tällaset arvot saadaan jätetään tämän työn tarkastelun ulkouolelle. 2 Posson-jakauma Taahtuma on Posson-jakautunut kun se esntyy satunnasn akavälen keskmäärn θ kertaa akaykskössä [7]. Esmerkk Posson-jakautuneesta satunnasmuuttujasta on johonkn alvelusteeseen tetyllä akavälllä saauvat asakkaat. Odotusarvo θ vodaan estmoda tällön aemna vastaavna ajanjaksona toteutunesta asakasmäärstä. Tonen esmerkk vos olla hajonneden komonentten lukumäärä koneessa tetyllä ajanjaksolla. Odotusarvo vodaan jälleen estmoda koneen käytössä saadusta tlastosta. Samalla tavalla jalkaallo-ottelussa vodaan joukkueden tekemät maalmäärät estmoda tlastosta esmerkks tarkasetelemalla saman tyysten otteluden aema tuloksa. Näden keskarvosta saadaan odotusarvot: kotjoukkue tekee kesk- 1
3 määrn λ maala ja verasjoukkue µ maala. Maalen syntymsen akavälen vos olettaa olevan satunnasa. Ratanen [3] toteaa että lajn luonne vttas shen että maallukujen jakauma saattas noudattaa Posson-jakaumaa. Jos joukkueden maalmäärät noudattavat Posson jakaumaa, vodaan krjottaa X P osson(λ) Y P osson(µ), mssä satunnasmuuttuja X on kotjoukkueen maalmäärä ottelussa ja Y vastaavast verasjoukkueen maalmäärä ja ne noudattavat Posson-jakaumaa odotusarvolla λ ja µ. Tällön todennäkösyys että kotjoukkueen maalmäärä ottelussa on täsmälleen x on estetty kaavassa (1), ja vastaavast todennäkösyys että verasjoukkue tekee täsmälleen y maala on estetty kaavassa (2). P (X = x) = λx e λ (1) x! P (Y = y) = µy e µ. (2) y! Kaaleessa 4.1 tutktaan vodaanko maalmäären jakauman katsoa noudattavan Posson-jakaumaa. Lsäks jos tarkotus on arvoda ottelun tulosten todennäkösyydet Posson-jakauman avulla kaavan (3) mukasest, on joukkueden maalmäären oltava rumattomat tosstaan. Tätä tutktaan kaaleessa 4.2. Jos rumattomuusehto maalmäären välllä ätee, vodaan ottelun loutuloksen x-y,jossa ss kotjoukkue tekee x maala ja verasjoukkue y maala, todennäkösyys esttää muodossa P (X = x, Y = y) = λx e λ x! µy e µ. (3) y! 3 Krjallsuuskatsaus 3.1 Varhasmmat tutkmukset Ilmesest ensmmäsen kerran Posson-jakauman soveltuvuutta jalkaallotuloksn tutkttn vuonna 1956 [3, 4]. Moroney [1] tutk tuollon maalmäärä jalkaalloottelussa ja totes Posson-jakauman olevan "adeuate ft"tulosanestoon, mut- 2
4 ta ääty negatvsen bnomjakaumaan käyttöön. Vuonna 1982 Maher [2] tutk usean er lgan maaljakauma ja totes nden noudattavan osson-jakaumaa, jotakn systemaattsa eroja lukuunottamatta. Mahern mall ol myös ensmmänen, joka e tyytynyt tutkmaan tkän ajan keskarvoja vaan yrtt mallntaa yksttäsen ottelun tulostodennäkösyyksä. Hän olett kot- ja verasmaalen olevan tosstaan rumattomast Posson-jakautuneta ja estmo ottelukohtaset odotusarvot aemmsta tulokssta suurmman uskottavuuden menetelmällä. Tämä mall ol ohjana Dxonn ja Colesn kehttämälle malllle. 3.2 Dxon ja Coles Dxon ja Coles [4] tutkvat vuosen välllä Englannn neljällä ylmmällä sarjatasolla elattujen ottelujen tuloksa ja muodostvat emrset estmaatt er loutulosvahtoehdolle. Anestosta saadut tulosten reunajakaumat kot- ja verasjoukkueen maalmäärlle noudattvat erttän tarkast Posson-jakaumaa. Maalmäären rumattomuutta tutkttn emrsen jakauman avulla laskemalla kullekn tulokselle x-y suure f(x, y) f kot (x) f veras (y), (4) jossa f on tulosten emrnen jakauma ja f kot sekä f veras kot- ja verasjoukkueen maalmäären reunajakaumat. Jos rumattomuusehto ätee, täs kysesen suureen olla lkman 1.0. Dxon ja Coles toteavat että rumattomuus ehto ätee, lukuun ottamatta tuloksa 0-0,1-0,0-1,1-1. Nästä tasaeltulokset 0-0 ja 1-1 esntyvät useammn kun kaava (3) antas odottaa, kaks muuta uolestaan harvemmn. He ottvat käyttöön korjaustermn ja määrttelvät tuloksen x-y todennäkösyyden seuraavast mssä P (X,j = x, Y,j = y) = τ λ,µ (x, y) λx e λ x! 1 λµρ jos x = y = λρ jos x = 0, y = 1 τ λ,µ (x, y) = 1 + µρ jos x = 1, y = 0 1 ρ jos x = y = 1 1 muualla. µy e µ, (5) y! (6) 3
5 Tässä mallssa ρ = 0 vastas rumattomuutta. Dxon ja Coles esttvät artkkelssaan myös Mahern malln ohjautuvan malln, jolla suurmman uskottavuuden menetelmällä estmodaan sarjan kaklle joukkuelle hyökkäys- ja uolustusarametrt, joden funktona määrteltn maalodotusarvot λ ja µ. 3.3 Ratanen Ratanen [3] tutk Englannn Valolgan tuloksa vuosen 1994 ja 1998 välseltä ajalta. Hän havats että anestossa maallukujen varanss on suurem kun keskarvo, mkä vttaa shen ette Posson-jakauma äde, sllä Posson-jakaumassa varanss on yhtä suur kun keskarvo. Hän toteaakn, tosn kun Dxon ja Coles, ette Posson-jakauma ole tyydyttävä mall maalmäären todennäkösyyksen arvontn ja ottaa käyttöön ylestetyn Posson-jakauman, jonka osottaa sovan anestoon selkeäst aremmn χ 2 -yhteensovuustestn erusteella. Rumattomuutta Ratanen tutk χ 2 -rumattomuustestllä sekä Bootstra menetelmällä. Hän toteaa että ennumerosten tulosten arvota on korjattava. Ratanen havats että Dxonn ja Colesn "korjaustermä e voda kutenkaan käyttää ylesest mulle tulokslle, koska sllon reunajakaumat muuttuvat ja todennäkösyyksen summasta tulee ersuur kun yks"[3]. Hän esttää arannellun korjaustermn, jolla vo korjata mnkä tahansa tulosten todennäkösyyttä, kun löydetään maalluvut x 1,x 2 sekä y 1, y 2 sten että x 1 -y 1 sekä x 2 -y 2 tuloksen määrä anestossa on suurem kun mall antas odottaa ja vastaavast x 1 -y 2 ja x 2 -y 1 tulosten määrä enem. Ratasen korjausterm on muotoa 1 + ρ jos x = x 1, y = y 1 ˆπ x1 + (1+ρ)ˆπ x1 y 1 ˆπ x1 y 2 jos x = x 1, y = y 2 ˆπ +y1 (1+ρ)ˆπ x1 y 1 ˆπ x2 y 1 jos x = x 2, y = y 1 ˆπ ++ {(1+ρ)ˆπ x1 y 1 +[ˆπ x1 + (1+ρ)ˆπ x1 y 1 ]+[ˆπ +y1 (1+ρ)ˆπ x1 y 1 ]} [ˆπ x2 y 2 ] jos x = x 2, y = y 2 1 muualla, (7) mssä ˆπ x1 + ja ˆπ +y1 ovat reunatodennäkösyyksä ja ˆπ ++ on neljän korjattavan tu- 4
6 loksen odotettu kokonastodennäkösyys, sekä ρ ruvuusarametr kuten kaavassa (6). Sen arvo vodaan selvttää taauskohtasest teromalla, laskemalla χ 2 - testsuure malln antamlle odotetulle frekvensselle verrattuna toteutunelle frekvensselle, ja etstään testsuureen mnmova ρ arvo. 3.4 Rue ja Salvesen Rue ja Salvesen [5] toteavat että vakka Posson oletus on järkeenkäyä, se e välttämättä dä akkaansa sllon, kun tonen joukkuesta tekee runsaast maaleja ja srtyy käytännössä tavottamattomaan johtoon. Tällanen tlanne lannstaa taolla olevan joukkueen, ja johtaa maalntekontensteetn muutokseen, joka on rstrdassa oletuksen kanssa että maal-ntensteett e ole ruvanen ottelussa aemmn tehdystä maalesta. Rue ja Salvesen muokkaavat Dxonn ja Colesn malla nn että joukkueen vdennen maaln jälkeen tehtyjä maaleja e oteta huomoon joukkueden hyökkäys- ja uolustusarametreja määrteltäessä. 4 Posson tarkastelut Tarkasteltaessa stä vodaanko ottelun loutulosten todennäkösyyksä mallntaa Posson-jakaumalla, tulee todeta kaks asaa. Ensnnäkn, ovatko loutulosten todennäkösyystaulukon reunajakaumat, el joukkuekohtaset maalfrekvensst Possonjakautuneta. Toseks, ovatko kot- ja verasjoukkueen maalt rumattoma tosstaan. Usemmat aemmat tutkmukset ovat keskttyneet Englannn lgan otteluhn, mutta tässä työssä tutktaan Italan ylmmän sarjatason, Sere A:n, otteluta vuosen välllä. 4.1 Reunajakaumen Possonsuus Dxonn ja Colesn [4] aneston reunajakaumat noudattavat tarkast Posson-jakaumaa kun taas Ratasen [3] aneston reunajakaumat evät noudata stä yhtä tarkast. Molemmat tutkvat Englannn lgan otteluta, joten eroavuus on heman yllättävä, 5
7 mutta johtunee stä että Dxonn ja Colesn otos ssältää myös alemen dvsoonen otteluta. Taulukossa 1 on estetty otteluden loutulosten reunajakaumat ts. kot- ja verasjoukkueen maalmäären havatut frekvensst n sekä kot- ja verasjoukkueden keskmäärässtä maalmäärstä Posson-jakaumalla lasketut odotetut frekvensst g. maala n kot g kot n veras g veras Taulukko 1: Maalmäären havatut ja odotetut frekvensst χ 2 -yhteensovuustestssä vodaan tutka noudattaako anesto tettyä jakaumaa [9]. Testataan ovatko havatut maalfrekvensst sousonnussa sen oletuksen kanssa että maalmäärät olsvat Posson-jakautuneta. Testsuureessa anestosta kerätty otos, tässä taauksessa joukkueden maalmäärät, muodostaa havatut frekvensst n 1,...,n k. Posson-hyoteesn mukaset odotetut frekvensst ovat uolestaan g 1,...,g k. Nyt ss n 1 on sellasten ottelujen määrä anestossa jossa joukkue on tehnyt nolla maala, n 2 sellasten ottelujen määrä jossa joukkue on tehnyt yhden maaln ja nn edelleen. g 1 on Posson-jakauman antama todennäkösyys slle että joukkue tekee nolla maala kerrottuna havantojen kokonasmäärällä n. g = n P (X = 1), = 1,..., k. (8) jossa satunnasmuuttuja X on Posson-jakautunut odotusarvolla λ kotjoukkueen maalmäärälle ja odotusarvolla µ verasjoukkueen maalmäärlle. Odotusarvona käytetään aneston keskarvoja. Havattujen ja odotettujen frekvenssen yhteensovuutta vodaan testata suureella k χ 2 (n g ) 2 0 =, (9) g =1 6
8 joka on χ 2 -jakautunut vaausarametrllä k 1. Otetaan nollahyoteesks H 0 : Maalmäärät noudattavat Posson-jakaumaa χ 2 -testsuureen arvo kotjoukkueelle on χ 2 0 = ja vastaavast verasjoukkueelle χ 2 0 = k =1 k =1 (n kot (n veras g kot ) 2 g kot g veras ) 2 g veras = 1.16 (10) = (11) -arvoks tulee kotjoukkueen kohdalla ja verasjoukkueen kohdalla Verasjoukkueen maalmäären osalta nollahyotees joudutaan ss hylkäämään. On kutenkn otettava huomoon että sarjassa elataan lähtökohdltaan hyvn erlasa otteluja. Verasjoukkueen maalmäärän odotusarvo on varmast erlanen sellasessa ottelussa, jossa sarjan kärkjoukkue kohtaa sarjan hekomman joukkueen, kun sellasessa ottelussa, jossa verasjoukkue on joukkuesta tasokkaam. Tämä saattaa väärstää tuloksen vakka Posson-oletus yksttäsessä ottelussa olskn okeutettu, kuten seuraavasta esmerkstä huomataan. Esmerkk 1 Olkoon uolet havatusta maalmäärstä Posson-jakautuneta odotusarvolla 0.5 ja tonen uol odotusarvolla 1.5. Jos nästä kootaan edellsen taulukon kokonen non 2000 havannon anesto, tulee ss kummastakn 1000 havantoa. Keskmääränen maalmäärä on 1.0 jota käytetään Possonjakauman odotusarvona odotettuja frekvensseja laskettaessa. Taulukossa 2 on estetty jakaumat josta vasemman uolenen odotettu frekvenss on ss Posson jakautunut odotusarvolla 1.00 ja okean uolenen otos on yhdstetty kahdesta edellä mantusta jakaumasta. Taulukosta huomataan ettevät havatut frekvensst vastaa tosan kovnkaan tarkast. χ 2 0 = 21.3 ja χ 2 - testsuureen -arvoks saadaan , el Posson-oletus jouduttasn tämän erusteella hylkäämään, vakka koko anesto ol nmenomaan Posson-jakaumaa käyttäen generotu. 7
9 maala Posson(1)-jakauma yhdstetty jakauma Taulukko 2: Posson(1.0) -jakauman odotetut frekvensst vs. Posson(0.5) ja Posson(1.5) jakaumsta yhdstetty jakauma On ss syytä olla tarkkana Posson-omnasuuksa tutkessa. Edellsen esmerkn valossa yrtään tarkastelemaan van lähtöasetelmltaan mahdollsmman samankaltasa otteluja. Taulukossa 3 on estetty odotetut ja havatut frekvensst rajatusta anestosta, jossa huomodaan van tasavahvojen joukkueden välset ottelut. Tasavahvojen joukkueden välnen ottelu tässä yhteydessä tarkottaa ottelua, jossa aremman joukkueen kauden akana keräämät sarjasteet ovat korkentaan 20% suuremmat kun hekomman joukkueen steet. Määrtelmä on varsn melvaltanen, mutta johonkn raja on vedettävä. maala n kot g kot maala n veras g veras Taulukko 3: Maalmäären havatut ja odotetut frekvensst tasavahvojen joukkueden ottelussa Nyt χ 2 -testsuureen -arvoks saadaan kotjoukkueen kohdalla ja verasjoukkueen kohdalla Vomme ss hyväksyä nollahyoteesn maallukujen 8
10 Posson-jakautunesuudesta. Tässäkn anestossa on velä mukana erlasa otteluja. Vakka kakk ottelut ovat lähtökohtasest tasavahvojen joukkueden välllä, jodenkn joukkueden eltyyl johtaa suuremn maallukuhn kun tosten. Jos tämäkn ystyttäsn ottamaan huomoon, saattasvat toteutuneet jakaumat noudattaa veläkn tarkemmn Posson-jakaumaa. 4.2 Kot- ja verasjoukkueen maalen rumattomuus Aemmn on kot- ja verasjoukkueen maallukujen välstä ruvuutta tutkttu van vertalemalla toteutuneden loutuloksen frekvenssejä reunajakaumen tulon antamaan odotettuun frekvenssn. Dxon ja Coles [4] laskvat kaavan 4 mukaset suureet ja keskvrheet jokaselle loutulokselle. Italan lgan anestosta on taulukossa 4 estetty havattujen loutulosten suhteellnen määrä verrattuna reunajakaumen tulona saatuun odotusarvoon, sekä 95% luottamusväl , 19 ± 0, 16 0, 78 ± 0, 14 0, 98 ± 0, 21 1, 04 ± 0, , 95 ± 0, 11 1, 13 ± 0, 12 0, 77 ± 0, 15 1, 22 ± 0, , 94 ± 0, 13 1, 03 ± 0, 14 1, 23 ± 0, 21 0, 66 ± 0, , 97 ± 0, 18 0, 93 ± 0, 18 1, 18 ± 0, 28 0, 97 ± 0, , 02 ± 0, 30 1, 04 ± 0, 31 0, 88 ± 0, 39 1, 10 ± 0, 76 Taulukko 4: Loutulosten havattujen frekvenssen ja rumattomuus ehdolla laskettujen odotettujen frekvenssen suhde Myös Italan lgan anestossa huomataan ss sama lmö jonka Dxon ja Coles sekä Ratanen havatsvat Englannn lgan anestosta. Varsnkn enmaalset tasaelt okkeavat ylösän odotetusta määrästä. Aemmssa tutkmuksssa on todettu edellä manttu lmö ja rakennettu mall jolla tämä otetaan huomoon. Sytä tlanteeseen e sen kummemmn ole ohdttu. Seuraavassa kaaleessa tutktaan nätä sytä. 9
11 4.3 Pokkeaman syyt Rue ja Salvesen [5] huomauttvat, että maalntekontensteett muuttuu kun tonen joukkuesta srtyy tavottamattomaan johtoon. On kutenkn oletettavaa että ntensteett muuttuu mussakn tlantessa, mahdollsest dramaattsestkn. Vuoksenmaa [6] toteaa että tasaelejä jalkaallossa elataan useammn kun maalmäären erusteella vos olettaa. Syy tähän on ennen kakkea sykologsssa tekjössä. "Usemmat elaajat saavat enemmän tyydytystä kahdesta tasaelstä kun yhdestä votosta ja yhdestä taosta."myös lehdstön ja kannattajen ane johtaa shen että "Kukaan e halua ottaa turha rskejä tekemällä vrheen tasatlanteessa. Pel menee todella varovaseks ja tasaeln todennäkösyys kasvaa."[6] Tosaalta taolla oleva joukkue vo ottaa kovakn rskejä tasotusmaala tavotellessaan, koska slle e ole yleensä suuremaa merktystä hävääkö se yhdellä va useammalla maallla. Tutktaan ss maalntekontensteettejä ottelussa ehdollstettuna ottelun tlanteeseen. Ensn täytyy ottaa huomoon että ottelussa jossa kotjoukkue on selväst tasokkaam, äädytään useammn tlanteeseen jossa kotjoukkue on johdossa. Nän ollen jos tarkastellaan kakka sellasa tlanteta jossa kotjoukkue on johdossa, tulee anestoon okkeuksellsen aljon juur sellasa otteluta, jossa kotjoukkue ol alun alkaen tasokkaam ja tämän taka tlasto väärstyy. Otetaan ss mukaan tutkmusanestoon van ennakkoon tasasa otteluta, kaaleessa 4.1 käytetyn krteern mukasest. Taulukossa 5 on estetty maalntekontensteetn ruvuus ottelun tlanteesta. Maalntekontensteett on yksnkertasest nden elmnuutten osuus kaksta elmnuutesta anestossa, joden akana on tehty maal: tehdyt maalt elatut mnuutt, ja yksköks tulee ss maala mnuutssa. Mahdollset tlanteet on jaettu vteen kategoraan: tasatlanne(merkntä: 0), yhden maaln johto kotjoukkueelle (+1), useamman maaln johto kotjoukkueelle (+n), sekä vastaavat verasjoukkueelle ( 1, n). 10
12 tla yht +n n yht Taulukko 5: Maalenntensteett (maala/mnuutt) er tlantessa Luottamusväl nälle vodaan laskea lausekkeesta ˆ(1 ˆ ˆ ± z α/2. n (12) Taulukossa 6 on estetty edellsen taulukon luvut ja nden 95% luottamusvält jaettuna keskmääräsellä ntensteetllä. tlanne kot veras yht +n 1.07 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± n 1.19 ± ± ± 0.26 Taulukko 6: Suhteellnen maal-ntensteett er tlantessa Huomataan että useat ntensteetestä eroavat keskmääräsestä ntensteetstä tlastollsest merktseväst. Oletusta maallukujen rumattomuudesta on ss vakea hyväksyä tämän erusteella. Snä mssä aemmat mallnnukset ovat lsälleet korjaustermejä Posson-jakaumaan komensodakseen tätä ruvuutta, kaaleessa 5 rakennetaan stokastnen mall, joka yrk ostamaan tulosten ruvuusongelman ottamalla huomoon tässä kaaleessa havatun maal-ntensteetn muutoksen ottelun tlanteesta ruen. 11
13 5 Stokastnen mall 5.1 Markov-mall Olkoon kotjoukkueen maal-ntensteett maala mnuutssa ja verasjoukkueen vastaavast maala mnuutssa. Mall on dskreett ajan suhteen, el snä oletetaan että ottelussa vo syntyä van yks maal mnuutta kohden. Tätä vodaan tää järkevänä oletuksena myös käytännön systä sllä maaln juhlmseen ja joukkueden ryhmttymseen alotusta varten kuluu akaa tlanteesta ruen useta kymmenä sekunteja. Yl 2000 ottelun havantoanestossa e ollut yhtään taausta jossa samalla mnuutlla ols tullut useama maaleja. ja ovat sten todennäkösyydet että joukkue tekee maaln tetyllä elmnuutlla. Ottelun alkaessa tlanteesta 0-0, on ss ensmmäsen mnuutn akana todennäkösyys että kotjoukkue tekee maaln ja srrytään tlanteeseen 1-0, ja todennäkösyys että verasjoukkue tekee maaln, jollon srrytään tlanteeseen 0-1. Todennäkösyys ette kumkaan tee maala kysesellä mnuutlla, el ottelu sälyy samassa tlanteessa, on tällön 1. Samalla tavon tlanteesta 0-1 srrytään määrätyllä mnuutlla tlaan 1-1 todennäkösyydellä ja tlaan 0-2 todennäkösyydellä, sekä ysytään tlassa 0-1 todennäkösyydellä 1. Kuvassa 1 on estetty maalntekorosess Markov-mallna. Kysesestä mallsta muodostettava srtotodennäkösyysmatrs ols kutenkn erttän suur. Jos ollaan knnostuneta van kotvoton, tasaeln ja verasvoton todennäkösyyksstä, mall vodaan muuttaa muotoon jossa kakk tasaelt ovat yks tla, kakk kotjoukkueen yhden maaln johdot yks tla jne. Katso kuva 2. Edelleen ongelmana on se, että teorassa tarvttasn tlat ana 90 maaln ast kumaankn suuntaan. Käytännössä kutenkn hyvn harvon joukkue ääsee yl vden maaln johtoon ottelussa, ja velä harvemmn, käytännössä e koskaan, vastustaja ystyy tuollasen eron syntyessä nousemaan takasn tasatlanteeseen, saat vottoon. Malln rajaamseks vden maaln johdot, el tlat (+5) ja ( 5) määrtellään absorbovks tloks. Katso kuva 3. Kuvan 3 rosessa vastaava srtotodennäkösyysmatrs on: 12
14 Kuva 1: Maalnteko stokastsena rosessna Kuva 2: Sueam mall, jossa tuloksa e ole eroteltu P = 1 r r r r r r r r r 1 jossa on käytetty merkntää r = 1 selkeyden taka. Kuten aemmn todettn, srtotodennäkösyydet ja evät ole samoja jokaselle tlalle. Srtotoden- 13
15 Kuva 3: Sueamman malln äärellnen verso näkösyysmatrs krjotetaan ss muotoon: P = 1 +n r +n +n +n r +n +n +n r +n +n +1 r r r 1 1 n r n n n r n n n r n n 1 jossa ja vastaavast = k kot, (13) = k veras, (14) sekä käytetään lyhennysmerkntää r = 1. Korjauskertomet k ruvat stä tlasta jossa rosess on, ja ne vodaan katsoa taulukosta 6. Matrsssa P on estetty yhden askeleen srtotodennäkösyydet. t askeleen srtotodennäkösyysmatrs P (t) saadaan laskettua korottamalla yhden askeleen srtotodennäkösyysmatrs askelten lukumäärän t otenssn [8]. P (t) = P t (15) Vektor α on rosessn alkujakauma, joka tässä taauksessa on muotoa α = ( ) 0 14
16 el tasaeltlanteen todennäkösyys alkujakaumassa on α 0 todennäkösyys α = 0. = 1, muden tlojen Nyt vodaan laskea vektor (t) jonka komonentt ovat tlatodennäkösyydet t askeleen jälkeen. (t) = αp (t) = αp t (16) Ottelun tuus on eraatteessa 90 mnuutta, mutta kummankn uolajan loussa elataan lsäks tuomarn antama lsäaka. Ensmmäsen uolajan lsäajalla tehdyt maalt merktään tlastossa 45:llä mnuutlla tehdyks, ja tosen uolajan lsäajalla tehdyt 90:llä mnuutlla tehdyks. Koska käytetyssä Italan lgaan anestossa 45. mnuutlla maaleja on syntynyt lkman kaks kertaa enemmän kun 44. mnuutlla, ja vodaan olettaa että maalntekotodennäkösyys e dramaattsest muutu näden välllä, äätellään että lsäakaa on ollut keskmäärn yks mnuutt. Vastaavast 90. mnuutlla on maaleja nelnkertanen määrä 89. mnuuttn verrattuna, joten lsäakaa on elattu keskmäärn kolme mnuutta. Koko ottelun kesto on ss non 94 mnuutta, el t = 94. loutulos = (94) = αp 94 (17) 5.2 Malln valdont Jos korjauskertomet olsvat k = 1, kaklle tuls malln vastata osson-jakaumasta saatuja todennäkösyyksä. Possonset tlatodennäkösyydet saadaan määrttelemällä kullekn tulokselle todennäkösyys Posson-jakaumasta saatujen reunajakaumen tulona, ja laskemalla yhteen kuhunkn tlaan kuuluvat tulokset. Esmerkks tlaan (0) lukeutuvat ss tulokset 0-0, 1-1, 2-2,.... Taulukossa 7 on estetty Markov-malln antamat tlatodennäkösyydet ja edellä kuvatulla tavalla lasketut tlatodennäkösyydet. Kot- ja verasjoukkueen maal- 15
17 odotusarvoks ottelussa on otettu jo aemmn käytetystä tasavahvojen joukkueden otteluden anestosta lasketut keskarvot λ = 1.55, µ = Jos oletetaan että maalt jakautuvat tasasest ottelun elajalle tehdään tetyllä mnuutlla maal todennäkösyyksllä: = λ t = = (18) = µ t = 1.02 = , (19) 94 jotka ovat, kuten olettaa so, lkman samat kun taulukossa 5 estetyt maalntenssteett samalle anestolle. +n n Posson 0,104 0,151 0,241 0,255 0,158 0,065 0,026 Markov-mall 0,104 0,152 0,241 0,253 0,158 0,066 0,026 Taulukko 7: Markov-mall vs Posson-todennäkösyydet Mall vakuttaa tulosten erusteella valdlta. Dskreetn ajan ja tlojen (+5),( 5) absorvovks muuttamsen aheuttama eätarkkuus on ahmmllaankn van 0.5 rosentn luokkaa. 5.3 Malln tomvuus Kaaleen 4.2 taulukossa 4, samon kun aemmssa tutkmuksssa, huomo knntty ertysest enmaalsten tulosten havattujen frekvenssen okkeamseen osson-malln mukassta odotetusta frekvenssestä. Tutkaksemme kunka hyvn Markov-mall ennustaa nämä okkeamat, muodostetaan rosess joka on yhdstelmä kuven 1 ja 3 rosessesta. Tulokset 0-0, 1-0, 0-1 ja 1-1 erytetään omks tlokseen, mutta multa osn detään mall kuvan 3 kaltasessa muodossa, sälyttäen tlat (+5) ja ( 5) absorvovna. Katso kuva 4 srtotodennäkösyysmatrssta P tulee nyt heman sekavam, joten se on selkeyden vuoks estetty taulukossa 8. Myös vektorn α tehdään tarvttavat lsäykset. Nän kaavasta (17) saadaan tulokseks vektor, jossa on todennäkösyydet 16
18 Kuva 4: Markov-mall, jossa ennumeroset tulokset erytetty omks tlokseen mantulle neljälle vähämaalselle tulokselle, sekä maaleron mukaan luoktellulle tlolle. On huomattava, että tlat (+1), (0) ja ( 1) evät nyt ss ssällä edellä manttuja tuloksa. Korjauskertomet on valttu taulukon 6 mukasest: k kot = 1.07 jos jos = jos = jos = jos 2 k veras = 1.28 jos jos = jos = jos = jos 2 Tlossa 0-0 ja 1-1 käytettän kerronta k 0, tlassa 1-0 kerronta k 1 ja tlassa 0-1 kerronta k 1. 17
19 r 3 r 2 r 1 r 1-0 r 1-1 r 0-0 r 0 r 0-1 r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 1 Taulukko 8: Kuvan 4 mukasen Markov-malln srtotodennäkösyysmatrs +n n Havatut frekvensst Posson 78,6 111,9 90,1 87, ,2 54,9 42,1 58,6 47,2 18,4 Dxon & Coles 78,6 111,9 90,1 101,4 42,5 72,8 68,4 42,1 58,6 47,2 18,4 Markov-mall 68, ,5 42,8 90,7 68,6 52,4 50,8 35,1 19,8 χ 2 0 -arvo Posson Dxon & Coles Markov-mall Taulukko 9: Mallen yhteensovuustest havantoaneston kanssa Taulukossa 9 on estetty er mallen antamat odotetut frekvensst sekä nden yhteensovuus aneston havattujen frekvenssen kanssa. Kaaleessa 3 estelty Dxonn ja Colesn mall saavuttaa enmmän χ 2 0 -arvon kun ρ = Markovmall on kutenkn selväst aremmn soveltuva, anakn tähän anestoon. On 18
20 kutenkn huomotava että Dxonn ja Colesn mallssa arametreja on van kolme: λ, µ ja ρ. Markov-mallssa sen sjaan arametreja on kakstosta:, sekä 10 korjauskerronta k. 5.4 Malln käyttö yksttäsen ottelun todennäkösyysarvoon Arvodaan odotusarvot λ ja µ joukkueden maalmäärllä ottelussa. Tämä vodaan tehdä esmerkks Dxonn ja Colesn [4] ehdottamalla suurmman uskottavuuden menetelmällä. Lasketaan maaltekontensteett ja kaavojen (18,19) mukasest. Katsotaan korjauskertomet k taulukosta 6, ja muodostetaan tlaruvat maalntensteett ja kaavojen (13,14) mukaset. Tämän jälkeen vodaan muodostaa srtotodennäkösyysmatrs P. Ottelun loutuloksen tlatodennäkösyysvektor on loutulos = αp 94 (20) Malla vodaan käyttää myös arvomaan loutuloksa ottelun ollessa käynnssä. Esmerkks jos ottelua on elattu t mnuutta, ja tlanne on x-y, saadaan arvo er tulosten todennäkösyykslle kaavan (21) mukasest, kun muutetaan alkujakaumavektora α sten, että tulosta x-y vastaava alko on yks ja muut nolla. loutulos = αp 94 t (21) Tällön ols kutenkn oletettava että tlakohtaset maalntekontensteett ysyvät vakona koko ottelun ajan, mkä e todennäkösest dä akkaansa. 6 Yhteenveto Tässä työssä tutkttn jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsta Posson-jakauman ja stokastsen Matrkov-malln avulla. Kuten aemmssakn tutkmuksssa, huomattn ette Posson-jakauma mallnna tarkast kakken loutulosten todennäkösyyksä, sllä joukkueden maallukujen rumattomuus e äde. Tämä osotettn loutulosjakaumen lsäks myös tutkmalla maalnteko-ntensteettä ottelun er tlantessa. Huomattn että todennäkösyys maaln syntymselle on esmerkks tasatlanteessa huomattavast, ja tlastollsest merktseväst, enem 19
21 kun muuten. Tämän havannon ohjalta kaaleessa 5.1 konstruotn Markovmall jolla tämä vodaan ottaa huomoon. Tulokssta nähdään että Markov-mall arvo anakn nyt käytetyn aneston ottelujen tulosvahtoehtojen todennäkösyydet huomattavast tarkemmn kun Posson-jakauma ta Dxonn ja Colesn Possonjakaumaan ohjautuva mall. Vtteet [1] M.J. Moroney, "Facts from Fgures", Pengun, London [2] M.J. Maher, "Modellng Assocaton Football Scores", Statstca Neerlandca, Vol. 36, No. 3, , [3] J. Ratanen, "Jalkaallo-ottelun loutuloksen tlastollnen mallntamnen", Pro Gradu -tutkelma, Tamereen Ylosto, [4] M. Dxon, S. Coles, "Modellng Assocaton Football Scores and Ineffcences n the Football Bettng Market", Aled Statstcs, Vol. 46, No. 2, , [5] H. Rue, Ø. Salvesen, "Predctng and Retrosectve Analyss of Soccer Matches n a League", The Statstcan, 49, , [6] J. Vuoksenmaa, A. Kuronen, J. Nåls, "Urheluvedonlyönt", Gummerrus, Jyväskylä, [7] P. Lannen "Todennäkösyys ja sen tlastollnen soveltamnen"otateto, [8] P. Lannen "Mat Stokastset rosesst - Luennot 93" [9] P. Lannen "Mat Tlastollsen analyysn erusteet - Vuoden 2000 tekst" 20
1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotTyöllistääkö aktivointi?
Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotA250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15
A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotIlmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa
Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja
LisätiedotKUVIEN LAADUN ANALYSOINTI
KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn
LisätiedotSuurivaltaisin, Armollisin Keisari ja Suuriruhtinas!
1907. Edusk. Krj. Suomen Pankn vuosrahasääntö. Suomen Eduskunnan alamanen krjelmä uudesta Suomen Pankn vuosrahasäännöstä. Suurvaltasn, Armollsn Kesar ja Suurruhtnas! Suomen Eduskunnan pankkvaltuusmehet
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotMaanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta
Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro
LisätiedotHanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö
Hanna-Kasa Hurme Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen (TUT) ja dosentt Esko Turunen (TUT) Tarkastajat ja ahe hyväksytty Luonnonteteden ja ympärstöteknkan tedekuntaneuvoston
LisätiedotYrityksen teoria ja sopimukset
Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotSähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen
LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotGeneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio
Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset
LisätiedotSaatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö
Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu
LisätiedotKansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely
Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotPPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp.
PP Roolkäyttäytymsanalyys Roolkäyttäytymsanalyys Rool: Krjanptäjä Asema: Laskentapäällkkö Organsaato: Mallyrtys Tekjä: Matt Vrtanen 8.0.0 Tämän raportn on tuottanut: MLP Modular Learnng Processes Oy Äyrte
LisätiedotPaikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa
Teknllnen korkeakoulu Lavalaboratoro Helsnk Unversty of Technology Shp Laboratory Espoo 2007 M-300 Tomm Arola Pakkatetotyökalut Suomenlahden merenkulun rskarvonnssa TEKNILLINEN KORKEAKOULU HELSINKI UNIVERSITY
LisätiedotKuntoilijan juoksumalli
Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall
LisätiedotMat-2.108 Sovelletun matematiikan erikoistyö. Sijoitussalkun optimointi Black-Litterman -mallilla
Mat-2.8 Sovelletu matematka erkostyö Sjotussalku optmot Black-Ltterma -malllla Kar Vatae (4753V) 9.5.24 Ssällysluettelo Johdato...2 2 Sjotussalku optmot Markowtz malllla...3 2. Sjotussalku optmot...5 2.2
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotPalkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014
Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet
LisätiedotVATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA
VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS Tarmo Räty* Juss Kvstö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotA = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:
Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotVERKKOJEN MITOITUKSESTA
J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän
LisätiedotPaperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotAINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET
N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotSegmentointimenetelmien käyttökelpoisuus
Metsäteteen akakauskrja t e d o n a n t o Rasa Sell Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa Rasa Sell Sell, R. 00. Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa. Metsäteteen akakauskrja
LisätiedotTYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN
VATT-TUTKIMUKSIA 85 VATT-RESEARCH REPORTS Juha Tuomala TYÖVOIMAKOULUTUKSEN VAIKUTUS TYÖTTÖMIEN TYÖLLISTYMISEEN Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk 2002 ISBN
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotOUTOKUMPU OY 0 K MALMINETSINTA. talta.
9 OUTOKUMPU OY 0 K MALMNETSNTA Tutkmusalueen sjant Tutkmusalue sjatsee Hyvelässä, n. 6 km:ä Porsta pohjoseen, Vaasa-ten täpuolella. Tarkemp sjant lmenee raportn etulehtenä olevalta :20 000 karw' talta.
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedot