9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

Transkriptio

1 lueto9.ppt S Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa :llä rakkasella palveljalla Kuk palvelja palvelee keskm. opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkaa palveluaka Järjestelmässä o m asakaspakkaa vähtää palvelupakkaa ja korketaa m odotuspakkaa Estyvät asakkaat jode saapuessa järjestelmä o täys meetetää Äärelle määrä palveljota < ääretö määrä palvelupakkoja m e odotuspakkoja PS-jookur Jos systeemssä o korketaa asakasta x jokasella asakkaalla o oma palveljasa. Jos asakkata taas o eemmä x > kokoaspalvelu jaetaa tasa kakke asakkade keske. Asakkaa saama palvelutesteett o ste m{/x} Yhtäkää asakasta e meetetä ekä keekää tarvtse edes odottaa palveluu pääsyä. Ss estoto järjestelmä. Tosaalta asakkade palvelu vvästyy stä eemmä mtä eemmä systeemssä o asakkata. Vve ss kostava suure. m 3 4

2 M/M/-PS joo 5 Tarkastellaa seuraavalasta ykskertasta lkeeteoreettsta malla: ääretö määrä rppumattoma käyttäjä k saapumste välajat IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvoaa / saapumsprosess o ss Posso-prosess testeettää yks palvelja palveluvaatmukset IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvoaa / ääretö määrä asakaspakkoja p jookur: PS. Kakka systeemssä oleva asakkata ss palvellaa yhtakaa tasapuolsest että palvelukapasteett jaetaa tasa kakke asakkade keske. Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M/-PS joomall Merktä: / lkeekuorma 6 Tlasrtymäkaavo Tasapaojakauma Tark. järjestelmässä oleve asakkade lkm:ää Xt aja t fuktoa Oletetaa että Xt jollak hetkellä t Lyhyellä akavälllä t th] vo tapahtua seuraavaa: t:llä h oh systeem saapuu uus asakas aheuttae tlasrtymä jos > t:llä /h oh h oh joku palvelussa oleva asakkaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selvästk Markov-prosess tlasrtymäkaavoaa Huom. Kyseessä o ss täsmällee sama pelkstymätö sk-prosess äärettömällä tla-avaruudella S {...} ku M/M/-FIFO joolla 7 Lähdetää lkkeelle lokaalesta tasapaoyhtälöstä: LBE K N jos < Sovelletaa stte jakaumaehtoa: 8

3 Tasapaojakauma Keskmääräe vve Stabllle systeemlle ss ku < systeemssä oleve asakkade lkm X oudattaa tasapaotlateessa ss geometrstä jakaumaa: < X Geom P{ X } K X ] D [ X ] Huom. Isestvsyys palveluaja jakauma suhtee Itse asassa PS-jookur tapauksessa tulos pätee ylesemmk: ekspoetaalse palveluaka-jakauma sjasta vodaa palveluajalle valta mkä tahasa jakauma joka odotusarvo o / Vomme ss M/M/-PS mall sjasta tarkastella ylesempää M/G/-PS malla 9 Merktää D:llä asakkaa koko systeemssäoloakaa el vvettä Koska keskmääräe systeemssäoleve lukumäärä X] o sama kaklle työsälyttävlle jookurelle sama pätee Lttle kaava ojalla myös keskmääräselle vveelle. Vodaa ss käyttää FIFO-jookurlle lueolla 8 johdettua tulosta: Keskmääräe vve kuorma fuktoa Suhteelle läpäsyopeus Huom. Vvee ykskköä käytetty keskmäärästä palveluvaatmusta Asakkaa kokemaa palvelu laatua kuvaa suhteelle läpäsyopeus /: kuorma

4 Suhteelle läpäsyopeus / kuorma fuktoa / kuorma 3 4 M/M/-PS joo Tlasrtymäkaavo Tarkastellaa seuraavalasta ykskertasta lkeeteoreettsta malla: Tark. järjestelmässä oleve asakkade lkm:ää Xt aja t fuktoa ääretö määrä rppumattoma käyttäjä k Oletetaa että Xt jollak hetkellä t saapumste välajat IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvoaa / Lyhyellä akavälllä t th] vo tapahtua seuraavaa: saapumsprosess o ss Posso-prosess testeettää t:llä h oh systeem saapuu uus asakas äärelle määrä palveljota < aheuttae tlasrtymä palveluvaatmukset IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvoaa / jos > t:llä m{/}h oh m{}h oh joku palvelussa oleva asakkaa palvelu päättyy ääretö määrä asakaspakkoja p aheuttae tlasrtymä jookur: PS. Jos systeemssä o korketaa asakasta jokasella asakkaalla o oma palveljasa. Jos asakkata taas o eemmä > Prosess Xt o selvästk Markov-prosess tlasrtymäkaavoaa kokoaspalvelu jaetaa tasa kakke asakkade keske. Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M/-PS joomall Merktä: Huom. Kyseessä o ss täsmällee sama pelkstymätö sk-prosess / lkeekuorma palveljaa koht 5 äärettömällä tla-avaruudella S {...} ku M/M/-FIFO-joolla 6

5 7 7 Tasapaojakauma Lokaalt tasapaoyhtälöt tapauksessa < : Lokaalt tasapaoyhtälöt tapauksessa : LBE K LBE K 8 Tasapaojakauma Jakaumaehto: Merktä : jos N < 8 9 Tasapaojakauma 3 Stabllle systeemlle ss ku < el < systeemssä oleve asakkade lkm: X tasapaojakauma o ss seuraavalae: Huom. Isestvsyys palveluaja jakauma suhtee Itse asassa PS-jookur tapauksessa tulos pätee ylesemmk: ekspoetaalse palveluaka-jakauma sjasta vodaa palveluajalle valta mkä tahasa jakauma joka odotusarvo o / Vomme ss M/M/-PS mall sjasta tarkastella ylesempää M/G/-PS malla < K K } { X P Keskmääräe vve Merktää D:llä asakkaa koko systeemssäoloakaa el vvettä Koska keskmääräe systeemssäoleve lukumäärä X] o sama kaklle työsälyttävlle jookurelle sama pätee Lttle kaava ojalla myös keskmääräselle vveelle. Vodaa ss käyttää FIFO-jookurlle lueolla 8 johdettua tulosta: mssä p w vttaa todeäkösyytee ] [ p W D E } * { W X P p

6 Keskmääräe vve kuorma fuktoa Suhteelle läpäsyopeus Huom. Vvee ykskköä käytetty keskmäärästä palveluvaatmusta kuorma Asakkaa kokemaa palvelu laatua kuvaa suhteelle läpäsyopeus /: [ ] E D : : Suhteelle läpäsyopeus / kuorma fuktoa / kuorma 3 4

7 Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla Läpmeo θ kuorma fuktoa M/M/-PS-mall soveltuu elastse datalketee kuvaamsee vuotasolla asakas TCP-vuo uuse vode saapumstesteett vuota per akayks. r yksttäse vuo ltytälk opeus datayks. per akayks. C r vode jakama lk bttopeus datayks. per akayks. L] keskmääräe vuo koko datayks. / L]/r keskmääräe vuo lähetysaka ltytäopeudella / kuorma Palvelu laatua mttaa vuo läpmeo el keskmäär. lähetysopeus L] r r θ C Huom. Läpmeo ykskköä käytetty täyttä lkkopeutta C r C.8.6 r C/ läpmeo θ.4 r C/3. r C/ r C/ kuorma 5 6 M/M//k/k-PS joo 7 Tarkastellaa seuraavalasta ykskertasta lkeeteoreettsta malla: äärelle määrä rppumattoma asakkata k < asakkaat o-off-tyyppsä ss välllä joutlata ja välllä palvelussa jouteoloajat IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvolla / yks palvelja palveluvaateet IID oudattae Exp-jakaumaa odotusarvolla / jokasella asakkaalla oma asakaspaka p k jookur: PS Huom. Kedall merköllä kyseessä o M/M//k/k-PS joomall O-off tyyppe asakas: joutlaaa palvelussa 8

8 Tlasrtymäkaavo Tasapaojakauma Tark. järjestelmässä oleve asakkade lkm:ää Xt aja t fuktoa Oletetaa että Xt jollak hetkellä t Lyhyellä akavälllä t th] vo tapahtua seuraavaa: jos < k t:llä k h oh joku joutlaa olevsta asakkasta srtyy palveluu aheuttae tlasrtymä jos > t:llä /h oh oh joku systeemssä oleva asakkaa palvelu päättyy aheuttae tlasrtymä Prosess Xt o selvästk Markov-prosess tlasrtymäkaavoaa k k k k Lähdetää jällee lkkeelle lokaalesta tasapaoyhtälöstä: k k k k k k K LBE Huom. Prosess Xt o pelkstymätö sk-prosess äärellsellä tla-avaruudella S { k} 9 3 Tasapaojakauma Sovelletaa stte jakaumaehtoa: k k k k k k k k k k k k k k k N 3