Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
|
|
|
- Ari-Matti Hakala
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma, Keskee raja-arvolause, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otoshajota, Otosjakauma, Otoskoko, Otosvarass, Rppumattomuus, Stadardotu ormaaljakauma, Suhteelle frekvess, Suhteelle osuus, Todeäkösyys, Ykskertae satuasotos, Varass Otos ja otosjakaumat Ykskertae satuasotos Olkoo X 1, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x): X1, X,, X X f( x), = 1,,, Otostuusluku Olkoo X 1, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok satuasmuuttuje X 1, X,, X (mtalle) fukto. Satuasmuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuks. Oletetaa, että otokse pommse jälkee satuasmuuttujat X 1, X,, X saavat havatuks arvoksee havatoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällö tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havatuks arvoksee t fukto g arvo psteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) Ilkka Mell (006) 1/1
2 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta f(x) ja olkoo T = g(x 1, X,, X ) jok otostuusluku. Koska tuusluku T o satuasmuuttuja, sllä o todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tlastollse mall el todeäkösyysmall tuusluvu T arvoje satuasvahtelulle otoksesta tosee. Ilkka Mell (006) /
3 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat Artmeette keskarvo ja otosvarass Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o σ. Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jolla kaklla o sama odotusarvo ja varass: X 1, X,, X E(X ) = µ, = 1,,, Var(X ) = D (X ) = σ, = 1,,, Otokse omasuuksa vodaa kuvata havatoarvoje artmeettsella keskarvolla ja varasslla. Määrtellää havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo kaavalla X 1 X = 1 = Määrtellää havatoje X 1, X,, X otosvarass kaavalla 1 s = ( X X) 1 = 1 Huomaa, että sekä artmeette keskarvo X että otosvarass s ovat havatoje X 1, X,, X fuktoa satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Havatoje X 1, X,, X artmeettsella keskarvolla X o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo ja varass: E( X ) = µ σ = = Var( X) D ( X) Huomaa, että havatoje X 1, X,, X artmeettse keskarvo X varass otoksessa o aa peemp ku havatoje varass, jos otoskoko > 1. Lsäks artmeettse keskarvo varass X peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Artmeettse keskarvo X stadardpokkeamaa D( X ) = σ kutsutaa tavallsest keskarvo keskvrheeks ja se kuvaa artmeettse keskarvo otosvahtelua oma odotusarvosa µ ympärllä. Ilkka Mell (006) 3/3
4 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosvarass odotusarvo Havatoje X 1, X,, X otosvarasslla s o em. oletuste pätessä seuraava odotusarvo: E(s ) = σ Artmeettse keskarvo otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X 1, X,, X X ~ N(µ,σ ), = 1,,, Havatoje X 1, X,, X artmeette keskarvo X oudattaa em. oletuste pätessä ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : Ertysest σ X N µ, E( X ) = µ σ = = Var( X) D ( X) mkä pätee myös lma ormaalsuusoletusta. Artmeettse keskarvo approksmatve otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o σ. Tällö keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että havatoje artmeette keskarvo X oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest (asymptoottsest) ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : X a σ N µ, Ilkka Mell (006) 4/4
5 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Otosvarass otosjakauma Oletetaa, että havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö havaot X 1, X,, X ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(µ,σ ): X 1, X,, X X ~ N(µ,σ ), = 1,,, Olkoo s havatoje X 1, X,, X otosvarass. Satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa em. oletuste pätessä χ -jakaumaa vapausaste ( 1): ( 1) s χ ( 1) σ Lsäks vodaa osottaa, että artmeette keskarvo X ja otosvarass s ovat satuasmuuttuja rppumattoma: X s Ste suoraa Studet t-jakauma määrtelmä mukaa X µ t = t( 1) s/ em. oletuste pätessä. Ilkka Mell (006) 5/5
6 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Suhteellse frekvess otosjakauma Frekvess ja suhteelle frekvess Olkoo A S jok otosavaruude S tapahtuma ja olkoo p = Pr(A) q = 1 Pr(A) = 1 p Pomtaa otosavaruudesta S ykskertae satuasotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppste alkode frekvess el lukumäärä otoksessa ja f pˆ = vastaava suhteelle frekvess el osuus. Huomaa, että sekä frekvess f että suhteelle frekvess pˆ = f / ovat satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Frekvess odotusarvo, varass ja otosjakauma Frekvess f odotusarvo ja varass: E( f) = p Var( f ) = D ( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvess f oudattaa otoksessa bomjakaumaa parametre ja Pr(A) = p: f B(, p) Suhteellse frekvess odotusarvo ja varass Suhteellse frekvess pˆ = f / odotusarvo ja varass: E( pˆ ) = p pˆ pq = pˆ = Var( ) D ( ) jossa q = 1 p. Huomaa, että suhteellse frekvess ˆp varass peeee, jos otoskoo aetaa kasvaa. Suhteellse frekvess pˆ = f / stadardpokkeamaa D( pˆ ) = pq kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess keskvrheeks ja se kuvaa suhteellse frekvess otosvahtelua oma odotusarvosa p ympärllä. Ilkka Mell (006) 6/6
7 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Suhteellse frekvess otosjakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että suhteelle frekvess ˆp otoksessa oudattaa em. oletuste pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, Ilkka Mell (006) 7/7
8 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.1. (a) (b) Koe valmstaa kuulalaaker kuula, jode halkasjat vahtelevat satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 10 mm, σ = 0.01 mm Pomtaa kuule joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 10. Olkoot X ja s kuule halkasjode artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( 1)s /σ jakaumat otoksessa? Ääestäjstä 5 % kaattaa puoluetta ABC. Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = Mkä o puoluee ABC kaattaje suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 8.1. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.1. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 10 µ = 10 mm σ = 0.01 mm = mm Ste kuule halkasjode artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ,σ /), jossa µ = E( X ) = 10 mm σ = Var( X) = D ( X) = = mm 10 Olkoo s kuule halkasjode varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste 1 = 10 1 = 9 Ilkka Mell (006) 8/8
9 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (b) Olkoo A = satuasest valttu ääestäjä kaattaa puoluetta ABC Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.5 Pomtaa ääestäje joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = Puoluetta ABC kaattave ääestäje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.5 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.75 Ste puoluee ABC kaattaje suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.5 ˆ ˆ pq Var( p) = D ( p) = = = = Ilkka Mell (006) 9/9
10 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.. (a) (b) Meste ptuus eräässä maassa vahtelee satuasest oudattae ormaaljakaumaa parametre µ = 180 cm, σ = 5 cm Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 100. Olkoot X ja s ptuukse artmeette keskarvo ja otosvarass otoksessa. Mtkä ovat artmeettse keskarvo X ja otosvarass s muuokse ( 1)s /σ jakaumat otoksessa? Koee valmstamsta mutteresta 5 % o vallsa. Pomtaa mutterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko = 100. Mkä o vallste mutterede suhteellse osuude f/ approksmatve jakauma otoksessa? Tehtävä 8.. Mtä opmme? Tehtävä (a)-kohdassa tarkastellaa artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakauma. Tehtävä (b)-kohdassa tarkastellaa suhteellse osuude (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.. Ratkasu: (a) Oletukse mukaa havaot X 1, X,, X muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa = 100 µ = 185 cm σ = 5 cm = 5 cm Ste meste ptuukse artmeette keskarvo X oudattaa otoksessa ormaaljakaumaa N(µ, σ /), jossa µ = E( X ) = 185 cm σ 5 = Var( X) = D ( X) = = 0.5 cm 100 Olkoo s meste ptuukse varass otoksessa. Tällö satuasmuuttuja ( 1)s /σ oudattaa otoksessa χ -jakaumaa vapausaste 1 = = 99 Ilkka Mell (006) 10/10
11 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (b) Olkoo A = satuasest valttu mutter o valle Oletukse mukaa Pr(A) = p = 0.05 Pomtaa muuterede joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o = 100. Vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: p pq ˆ a N p, jossa ss p = Pr(A) = 0.05 q = Pr(A c ) = 1 Pr(A) = 1 p = 0.95 Ste vallste mutterede suhteelle frekvess pˆ = f / otoksessa oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa parametre E( pˆ ) = p = 0.05 kasvaa. ˆ ˆ pq Var( p) = D ( p) = = = = Ilkka Mell (006) 11/11
12 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Huomautuksa tehtäv 8.1. ja 8..: (1) Tehtäve 8.1. ja 8.. deaa o kertoa stä, mllasa ovat tavaomaste havaosta laskettave otostuuslukuje jakaumat perusjoukossa, jos havatoje jakauma perusjoukossa tuetaa. () Otostuuslukuje jakauma koskevat tulokset ovat kutek epäoperatoaalsa, koska jakaume parametreja e yleesä tueta. (3) Jos havatoje jakauma parametreja e tueta, e vodaa pyrkä estmomaa el arvomaa otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste malle parametre estmot. (4) Perusjouko parametre arvosta tehtyjä oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Tlastollste hypoteese testaus. (5) Myös perusjouko jakauma tyyppä koskeva oletuksa vodaa pyrkä testaamaa tlastollsest otoksesta saatuje tetoje perusteella; ks. lukua Yhteesopvuude, homogeesuude ja rppumattomuude testaame. Ilkka Mell (006) 1/1
13 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.3. Olkoot X, = 1,,, rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo E(X ) = µ ja varass Var(X ) = σ. Tarkastellaa seuraava todeäkösyyksä: (1) Pr(X > µ + σ) () Pr(X 1 + X + + X > (µ + σ)) (3) Pr( X > µ + σ) Tehtävät: (a) Määrää todeäkösyys (1). (b) Todsta, että todeäkösyys () o peemp ku todeäkösyys (1), jos >1. (c) Todsta, että todeäkösyys () peeee, ku +. (d) Todsta, että todeäkösyys (3) o sama ku todeäkösyys (). (e) Määrää todeäkösyys (), ku = 10. Tehtävä 8.3. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat samaa ormaaljakaumaa ja vertallaa yksttäse muuttuja, muuttuje summa ja muuttuje artmeettse keskarvo jakauma. Tehtävä 8.3. Ratkasu: Oletukse mukaa X1, X,, X X N( µσ, ), = 1,,, (a) Helpost ähdää, että X µ Pr( X > µ + σ) = Pr > 1= Pr( Z > 1) σ jossa stadardotu satuasmuuttuja Z = µ σ X oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Ilkka Mell (006) 13/13
14 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Normaaljakauma taulukode mukaa Pr( Z 1) = jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 1) = 1 Pr( Z 1) = (b)&(c) Olkoo Tällö Y = X = 1 E(Y) = µ Koska satuasmuuttujat X, = 1,,, o lsäks oletettu rppumattomks, Var(Y) = σ Ste kaklle > 1 pätee Pr( ( )) Pr Y µ Y > µ + σ = > = Pr( Z > ) < Pr( Z > 1) σ jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Todeäkösyydet Pr( Z > ) muodostavat adost väheevä lukujoo, jos + (d) Tulos o trvaalst sama ku kohdassa (c), koska Pr( X > µ + σ ) = Pr( Y > ( µ + σ )) Ilkka Mell (006) 14/14
15 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa (e) Jos = 10, (c)-kohdasta seuraa, että Pr( X1+ X + + X > ( µ + σ )) = Pr( X + X + + X > 10( µ + σ )) 1 10 = Pr( Z > 10) = Pr( Z > 3.16) jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ X 10µ Z = = σ σ 10 oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr( Z 3.16) = jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( Z > 3.16) = 1 Pr( Z 3.16) = Ilkka Mell (006) 15/15
16 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.4. Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(1,4). Määrää todeäkösyys, että havatoje artmeette keskarvo X saa suurempa arvoja ku 1.1. Tehtävä 8.4. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa artmeettse keskarvo otosjakaumaa. Tehtävä 8.4. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 1 σ = 4 Olkoo havatoje X, = 1,,, 100 artmeette keskarvo X = X = X = = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : jossa ss σ X N µ, µ = 1 σ 4 1 = = = Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr( X > 1.1) Ilkka Mell (006) 16/16
17 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst X µ 1.1 µ Pr( X > 1.1) = Pr > σ / σ / = Pr Z > / 100 = Pr > 0.5 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ / oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr(Z 0.5) = jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( X > 1.1) = Pr( Z > 0.5) = 1 Pr( Z 0.5) = = Ilkka Mell (006) 17/17
18 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.5. Oletetaa, että suomalaste meste ptuus o ormaaljakautuut parametre µ = 175 cm ja σ = 5 cm. Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 100. Määrää lukuarvo, jota suurempa arvoja havatoje artmeette keskarvoa saa todeäkösyydellä Tehtävä 8.5. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa artmeettse keskarvo otosjakaumaa. Tehtävä 8.5. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 100 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 175 σ = 5 Olkoo havatoje X, = 1,,, 100 artmeette keskarvo X = X = X = = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ ja σ / : jossa ss σ X N µ, µ = 175 σ 5 1 = = = Tehtävää o määrätä lukuarvo, jota suurempa arvoja havatoje artmeette keskarvo X saa todeäkösyydellä Koska σ X N µ, stadardotu satuasmuuttuja X µ Z = σ / oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: Z N(0,1) Ilkka Mell (006) 18/18
19 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Normaaljakauma taulukosta äemme, että Pr(Z.33) = Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa Pr(Z >.33) = 1 Pr(Z.33) = 0.01 Saamme ste epäyhtälö X µ Z = >.33 σ / josta artmeettselle keskarvolle saadaa ehto σ 5 X > µ +.33 = = Ste Pr( X ) = 0.01 Ilkka Mell (006) 19/19
20 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.6. Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(1,4). Määrää lukuarvo, jota peempä arvoja havatoje otosvarass saa todeäkösyydellä Tehtävä 8.6. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa otosvarass otosjakaumaa. Tehtävä 8.6. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 1 σ = 4 Olkoo havatoje X, = 1,,, 101 artmeette keskarvo X = X = X = = 1 ja otosvarass s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja jossa ( 1) s V = σ σ = 4 = 101 oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukuarvo, joka erottaa χ -jakauma vasemmalle häälle todeäkösyysmassa, joka koko o χ -jakauma taulukosta ähdää suoraa, että ku Pr(V ) = 0.01 V χ (100) Ilkka Mell (006) 0/0
21 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Koska ( 1) s 100s V = = = 5s σ 4 saamme epäyhtälö 5s josta otosvarasslle s saadaa ehto Ste s.803 Pr( s.803) = 0.01 Ilkka Mell (006) 1/1
22 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.7. Oletetaa, että suomalaste meste ptuus o ormaaljakautuut parametre µ = 175 cm ja σ = 5 cm. Pomtaa meste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 101. Määrää lukuarvo, jota suurempa arvoja otosvarass saa todeäkösyydellä Tehtävä 8.7. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa otosvarass otosjakaumaa. Tehtävä 8.7. Ratkasu: Oletetaa, että havaot X, = 1,,, 101 muodostavat ykskertase satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ), jossa µ = 175 σ = 5 Olkoo havatoje X, = 1,,, 101 artmeette keskarvo X = X = X = = 1 ja otosvarass s 1 X X 1 X X 101 = ( ) = ( ) 1 = = 1 Oletukssta seuraa, että satuasmuuttuja jossa ( 1) s V = σ σ = 5 = 101 oudattaa χ -jakaumaa vapausaste ( 1): V χ (100) Tehtävää o määrätä lukuarvo, joka erottaa χ -jakauma okealle häälle todeäkösyysmassa, joka koko o 0.01: χ -jakauma taulukosta ähdää suoraa, että ku Pr(V ) = 0.01 V χ (100) Ilkka Mell (006) /
23 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Koska ( 1) s 100s V = = = 4s σ 5 saamme epäyhtälö 4s josta otosvarasslle s saadaa ehto Ste s Pr( s ) = 0.01 Ilkka Mell (006) 3/3
24 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.8. Oletetetaa, että teemme 100 tosstaa rppumatota Beroull-koetta, jossa kostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäkösyys o 0.. Määrää todeäkösyys, että tapahtuma A suhteelle frekvess tostoje joukossa o suuremp ku 10. Tehtävä 8.8. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellse frekvess (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.8. Ratkasu: Olkoo f = tapahtuma A frekvess tostoje joukossa f pˆ = = tapahtume A suhteelle frekvess tostoje joukossa = tostoje lukumäärä Koska tostoje lukumäärä = 100 o melko suur, vomme melko hyv approksmoda suhteellse frekvess ˆp otatajakaumaa ormaaljakaumalla: jossa p pq ˆ a N p, p = 0. q = 1 p = 0.8 = 100 Ste stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Koska 10 1 = = tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ > 0.1) Ilkka Mell (006) 4/4
25 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst pˆ p 0.1 p Pr( pˆ > 0.1) = Pr > pq/ pq/ = PrZ > /100 = Pr >.5 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa Pr(Z.5) = jote komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa kysytty todeäkösyys o Pr( pˆ > 0.1) = Pr( Z >.5) = 1 Pr( Z.5) = = Ilkka Mell (006) 5/5
26 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Tehtävä 8.9. Oletetaa, että 30 % suomalassta kaattaa NATO:o lttymstä. Pomtaa suomalaste joukosta ykskertae satuasotos, joka koko o 100. Määrää todeäkösyys, että NATO: kaattaje suhteelle osuus otoksessa o peemp ku 0 %. Tehtävä 8.9. Mtä opmme? Tehtävässä tarkastellaa suhteellse frekvess (approksmatvsta) otosjakaumaa. Tehtävä 8.9. Ratkasu: Olkoo f = NATO: kaattaje frekvess otoksessa f pˆ = = NATO: kaattaje suhteelle frekvess otoksessa = otoskoko Koska otoskoko = 100 o melko suur, vomme melko hyv approksmoda suhteellse frekvess ˆp otosjakaumaa ormaaljakaumalla: jossa p pq ˆ a N p, p = 0.3 q = 1 p = 0.7 = 100 Ste stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Tehtävää o määrätä todeäkösyys Pr ( p ˆ < 0.0) Ilkka Mell (006) 6/6
27 Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Selväst pˆ p 0.0 p Pr( pˆ < 0.0) = Pr < pq/ pq/ = PrZ < /100 = Pr <.18 ( Z ) jossa stadardotu satuasmuuttuja pˆ p Z = pq/ oudattaa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z a N(0,1) Normaaljakauma taulukode mukaa kysytty todeäkösyys o Pr(Z.18) = Ilkka Mell (006) 7/7
1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
Ilkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
Generoidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
Todennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
Testit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
Moniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
TILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
tilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
TILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
Johdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Tilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus KE (2014) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet
Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit
Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.
5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi: