1, x < 0 tai x > 2a.

Transkriptio

1 PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto (x, t) on normeerattu b) Laske odotusarvot hx a hx 2 c) Laske x:n standardpokkeama (keskhaonta) Mkä on todennäkösyys slle, että hukkanen löytyy väln (hx, hx + ) ulkopuolelta? 2 Tarkastellaan m-massasta hukkasta, oka lkkuu äärettömässä yksulottesessa potentaalkuopassa, onka leveys on a, el hukkasen potentaalenerga on ( 0, 0 apple x apple a, V (x), x < 0 ta x > a Oletetaan, että hukkasen tlafunkto (välllä x 0 a) on (x) s 30 a 5 (ax x 2 ) (a nolla muualla) a) Totea, että (x) on okeaa muotoa el että se on normeerattu a toteuttaa reunaehdot b) Laske energan odotusarvo hh Z (x)ĥ (x)dx c) Vertaa edellsen kohdan tulosta perustlan (energan omnastla, olla penn energa) energaan Kunka lähellä tosaan energat ovat? Tämän tyyppnen lähestymnen vttaa ns varaatoperaatteen käyttöön Emme ana tunne esm perustlan aaltofunktota analyyttsest, mutta vomme arvata slle okean näkösen yrtteen (ansatz) Stten laskemme energan tällä yrtteellä a mnmomme mahdollsten yrtteen parametren suhteen Jos yrte ol hyvä, saatamme päästä lähelle todellsta perustlaa 3 Tarkastellaan m-massasta hukkasta, oka lkkuu äärettömässä yksulottesessa potentaalkuopassa, onka leveys on 2a, el hukkasen potentaalenerga on ss ( 0, 0 apple x apple 2a, V (x), x < 0 ta x > 2a Hukkasen aaltofunkto on ( A sn x/a, 0 apple x apple a, (x) 0, x < 0 ta x > a a) Kunka vako A on valttava, otta aaltofunkto on oken normtettu? b) Mkä on energan mttauksen odotusarvo? c) Mtä mahdollsa tuloksa energan mttauksesta vo saada a mllä todennäkösyydellä energan mttauksesta saadaan potentaaln ensmmäsen vrtystlan energa? (Ts tla

2 olla on toseks alhasn energa) d) Jos aaltofunkto on kuten yllä a saamme energan mttauksesta tuloksena ensmmäsen vrtystlan energan, mkä aaltofunkto on het mttauksen älkeen? (Vhe: Laskeakses todennäkösyyden ollekn energan omnasarvolle snun tulee laskea todennäkösyysampltud tälle tlalle Se tarkottaa ntegraala R n (x) (x)dx, mssä n (x) on energaan E n lttyvä omnasfunkto Todennäkösyys on stten tämän ampltudn tsesarvon nelö) 4 Melä on operaattor Ô h a melvaltanen aaltofunkto, onka estys pakkaoperaattorn omnastloen kannassa on f (x) (Vastaavast ket-vektorella a on estykset (x) a (x)) Mtä seuraavat Dracn merkntätapaa käyttävät termt tarkottavat? (Krota nhn lttyvät ntegraalt, kun ne estetään pakkaoperaattorn omnastloen kannassa) a) Ô f b) hf Ô c) hf Ô f d) hf Ô e) hf ÔÔ f Kerro myös kakssa kohdssa onko term bra-vektor, ket-vektor va numero 5 a) Jos tlat ymmärretään vektorena, nn operaattort vodaan aatella matrsena Jos { a } ovat ket-vektoravaruuden kantavektort, nn osota tutkmalla kahden tässä kannassa määrtellyn tlavektorn tuloa h, että a ha Î, () mssä Î on dentteett-operaattor (el sllä operont e muuta tlaa lankaan) Tämä ns täydellsyysrelaato on tärkeä työkalu mm atkokursslla Vastaavanlasa lausekketa esntyy usen kun tomtaan vektoravaruuksen parssa, sllä anahan vo kertoa dentteettmatrslla ta muulla "hyvn valtulla ykkösellä" b) Dskreetestä muuttusta atkuvn: Jollan observaabelella, esmerkks pakalla, vo olla dskreetten omnasarvoen saan atkuva spektr, oten vo tuntua epäntutvselta puhua pakan omnastlosta vektorena Integronthan on peraatteessa penten komponentten summausta, oten ylestetään yhtälö () muotoon Z Lsäks aaltofunkto vodaan määrtellä xhx dx (2) hx a (x) (3) Perustele nyt, mks Dracn notaatolla vektoreden ssätulona krotettava h on sama asa kun aaltofunktoden tuloen ntegront Palautetaan ennen seuraavan vkon laskareden alkua Jos et pääse laskarehn, sov palautus assstentn kanssa erkseen

3 , 'Ie" "' ' ndxl A dx - 2A 'Ie* dx a e x* A b/< stixm'dx xe' " " e - 2 lot, ) A My d o # o yoddparlksen@venyksix44ldx-tixetn4dx-2tixe2kdx2tpxedx2xfkxcyidx-2ixe2txdxspxeei-2ieehdx0-ttpeixt9estcxy-ysxfysas-kryxe-o-sr-tfmaklktodnakxarexsr2ft4ldx2xicit-rr_ote2ttekxod

4

5 Laskuharotus 2 : 4 on 't keen 4 42, Aaltoknktomuuttu " het "

6 C vektor L # Harotellau, Drac 's notautota < 04 ) dx ) OH ) - hoscylf ) - 0 ) ad 4*k)fW Ket vektor ket n - numero b) Law - < flak 4 - d f4xoax ) Tnk Tyra 4 bra vektor vektor y Lflflf ) Lfl0)C4/f) dxflx)hx ) d moo or 4* fly numqo numero d) < flows dxflx) k dx numqo mero numcro g < floor ) - fly )C40)<4H ) - fdxf '' 40/ fdx ' Hx) humco

7 Tlavektort a aaltofunktot a) Täydellsyysrelaato Jos tlat hahmotetaan vektorena, nn eräs tapa hahmottaa operaattort on aatella ntä matrsena Jos { a } ovat ket-vektoravaruuden kantavektort, nn osota esmerkks tutkmalla kahden tässä kannassa määrtellyn tlavektorn tuloa h, että a ha Î () Kysenen tulos on tärkeä työkalu mm atkokursslla Vastaavanlasa täydellsyysrelaatoks kutsuttua lausekketa esntyy usen kun tomtaan vektoravaruuksen parssa, sllä anahan vo kertoa dentteettmatrslla ta muulla hyvn valtulla ykkösellä Mallratkasu Musta, että tlat a vodaan esttää superpostona Tällön: h a ha a a n a n ha n ha a a n ha n b a n ha a a n ha n b a n b a a b ha a n ha n a ha a n n n a b Tosaalta h Î h a a ha a b a a b ha a a b, b a

8 mkä on täsmälleen sama kun edellä Ss a ha Î b) Dskreetestä muuttusta atkuvn Jollan observaabelella, esmerkks pakalla, vo kutenkn olla dskreetten omnasarvoen saan atkuva spektr, oten vo tuntua epäntutvselta puhua pakan omnastlosta vektorena Integronthan on peraatteessa penten komponentten summausta, oten ylestetään () muotoon Z Lsäks aaltofunkto vodaan määrtellä xhx dx (2) hx (x) (3) Perustele nyt, mks Dracn notaatolla vektoreden ssätulona krotettava asa on käytännössä sama asa kun aaltofunktoden tuloen ntegront Mallratkasu Dskreetteä omnasarvoa vastaavlla omnastlolla votasn (a) -kohdan noalla ana krottaa h h a ha, mutta os omnasarvoen oukko (mahdollsten mttaustulosten spektr) onkn atkuva, nn vastaavast on melekkäämpää muokata ssätulolauseketta (musta, että sehän tuottaa van onkn luvun) nän: h h, Z Z Z h xhx dx (hx ) hx dx hx ' ' (x), (x) ' (x)dx ( ' (x)) '(x) 2

9 Aaltofunktot on tässä selkeyden vuoks krotettu :n a alandeksen avulla, kun taas tlavektort :n, :n a x:n avulla Käytännössä tlavektor a stä vastaava aaltofunkto ovat kutenkn nn sama asa, että usen nlle käytetään samaa merkkä: h ' Z (x)'(x)dx c) Fourern muunnoksesta Er observaabelella on er aaltofunktot, ekä esmerkks pakan tlavektorn lkemääräoperaattorlla operomnen tuota välttämättä mtään melekästä Pakan a lkemäärän aaltofunktot ovat kutenkn tostensa Fourern muunnoksa Jos esmerkks pakan aaltofunkton arvo tedetään tarkast, nn stä vodaan kuvata deltapkllä Mutta mtä tällön tapahtuu lkemäärän aaltofunktolle? Mallratkasu Lkemäärän aaltofunkto on pakan aaltofunkton Fourern muunnos, el oleellsest: p(p) / Z x(x)e px dx Jos pakka tedetään tarkast, nn sen aaltofunkto on täysn lokalsotunut ohonkn yksttäseen arvoon x 0 a vodaan ss krottaa Dracn deltafunkton avulla x (x 0 ) (x x 0 ) Tällön saadaan p(p) / Z (x x 0 )e px dx Deltafunktolla on se omnasuus, että se tuhoaa ntegraaln ättäen älelle van ntegrotavan funkton arvon snä psteessä, mssä deltafunkto e ole 0 Tällön: p(p) / e px0, mkä on koko (lkemäärä-)avaruuteen levttäytyneen tasoaallon yhtälö Jos ss pakka tedetään tarkast, lkemäärän arvo vo olla han mtä tahansa! Täysn vastaava tarkastelu vodaan tehdä myös pakan aaltofunktolle, kun lkemäärä tedetään tarkast 2 Yukawan meson Eräs fyyskko tahto laskea, mllanen hukkanen välttää vahvaa vuorovakutusta a ptää atomytmen koossa Hukkasen elnkää raottaa hänen arvonsa 3