3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

Transkriptio

1 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa joko yks- ta monaskelmenetelmllä Yksaskelmenetelmssä tlayhtälöt ntegrodaan askeleen h = t +1 t yl alkutlasta x xt ) x +1 = x + t+1 t ẋdt = x + t+1 Integraaln määrttämseks askel h jaetaan k:hon osaan t fx,u, t)dt τ j = t + h ρ j, 0 ρ 1... ρ k 1 Välvaheden jälkeen saadaan joukko yksaskelmenetelmä, jota kutsutaan k-vahesks Runge-Kutta menetelmks ja joden globaal vrhe Oh p ). Määrtellään f fxt ),ut ), t ) sekä u +1 ut + h /). Eulern menetelmä eksplsttnen, k = 1, p = 1) x +1 = x + h f Hermte-Smpson menetelmä mplsttnen, k = 3, p = 4) x +1 = 1 x + x +1 ) + h 8 f f +1 ) f +1 = f x +1,u +1, t + h ) x +1 = x + h 6 f + 4f +1 + f +1 ) Puolsuunnkasmenetelmä mplsttnen, k =, p = ) x +1 = x + h f + f +1 ) Klassnen Runge-Kutta menetelmä eksplsttnen, k = 4, p = 4) k 1 = h fx,u, t ) k = h f x + 1 k 1,u +1, t + h ) k 3 = h f x + 1 k,u +1, t + h ) k 4 = h fx + k 3,u +1, t +1 ) x +1 = x k 1 + k + k 3 + k 4 ) 7

2 Eksplsttsten menetelmen etu on, että x +1 saadaan laskettua suoraan x :n sekä ohjausten funktona Eksplsttset menetelmät vovat olla tosaalta epästableja Dfferentaalyhtälön ẋ = 1000x Eulern dskretont x k+1 = x k 1000hx k x k = h) k x 0 Jotta numeernen ratkasu konvergos tarkkaan ratkasuun xt) = e 1000t x 0 0, vaadtaan h < 1, el h 1/500 Implsttsssä menetelmssä rppuvuus x +1 :stä on usen epälneaarnen Esmerkks mplsttsessä Eulern menetelmässä vaadtaan epälneaarsen yhtälön ratkasemsta ζ x +1 x + h fx +1,u +1, t +1 ) = 0 Yhtälön ratkasemseks vaadttava teraatota kutsutaan korjausteraatoks, kun taas alkuyrte tuotetaan ns. ennustusaskeleella Implsttset menetelmät ovat stableja Em. dfferentaalyhtälölle mplsttnen Eulern dskretont x k+1 = x k 1000hx k+1 x k = h) k x 0, joten menetelmä on stabl x 0 kaklla h > 0) 1 h = 1/ Implsttnen Euler Tarkka ratkasu Eksplsttnen Euler

3 Monaskelmenetelmen ylenen muoto k 1 x +k = α j x +j + h j=0 k β j f +j mssä α j ja β j ovat tunnettuja vakota. Jos β k = 0, menetelmä on eksplsttnen, muuten mplsttnen. Adamsn menetelmssä tlayhtälötä ft) approksmodaan nterpolantella pstessä {x q t ), f q t )) = l k + 1,..., l; q = 1,..., n} Lsävaatmuksa yksaskelmenetelmn nähden Monaskelmenetelmä vaat tetoa k 1 edeltävästä psteestä, joten menetelmä täytyy alustaa esm. jollan yksaskelmenetelmällä Monaskelmenetelmässä oletetaan, että askelptuus h on vako: tarkkuus? j=0 9

4 4 Johdanto kollokaatomenetelmn 4.1 Funktonaalyhtälöden ratkasemnen Olk. y : A R n, A R m, merktään y:n argumentta t:llä yt). Ratkastavana on funktonaalyhtälö Fy) = 0, mssä y kuuluu funktoavaruuteen Y 1 ja Fy) funktoavaruuteen Y. Esm. 1. Kun halutaan ratkasta dfferentaalyhtälösysteem ẋ = fx, t) kaklla t [t 1, t ], nn Fx)t) = ẋt) fx, t). Esm.. Ratkastaan arvofunktota knntetyllä ohjaukslla V x) Bellmann yhtälössä. Tällön FV )x) = V x) [gx, u)+deltav fx, u))]. Tämä on osaongelma Bellmann yhtälön numeersessa ratkasemsessa ns. poltkkateraatolla. Muodostetaan y:lle approksmaato kantafunktoden φ : A R n, = 1,..., k, avulla: ỹt) = c φ t). Tavotteena on löytää sellanen ỹ, joka ratkasee yhtälön Fy) = 0 mahdollsmman tarkast. Ss haetaan parametreja c. Arvodaan sovtuksen hyvyyttä käyttämällä krteernä resduaalfunktota Rt; c) = Fỹ)t), mssä c = c 1,...,c k ). Kollokaatomenetelmässä haetaan c sten että Rt; c) = 0 toteutuu mahdollsmman hyvn elle tarkast) valtussa kollokaatopstessä t 1,...,t p. Kollokaatomenetelmää käytettäyessä tulee 1. valta sopvat kantafunktot,. kollokaatopsteet ja 3. menetelmä c:n ratkasemseks. 1. Kantafunktoden valnta Kantafunktoden on oltava rttävän joustava tehtävän tarpesn. Funktomuodon oltava meluten sellanen, että tulokset ovat hyvä penellä määrällä kantafunktota. Kun approksmotava muuttuja on yksdmensonen, nn usen hyvä valnta on nk. Chebyshevn polynomt.. Kollokaatopsteden valnta Yksdmensosessa tapauksessa ns. Cheebyshevn kollokaatopsteet ovat usen hyvä valnta. 3. Menetelmä parametren ratkasemseks Kun kollokaatopstetä on sama määrä kun kantafunktota, vodaan kertomet c ratkasta kollokaatoehdosta syntyvästä yhtälöryhmästä. Kun kantafunktota on vähemmän kun kollokaatopstetä, vodaan c ratkasta esm. penmmän nelösumman menetelmällä. 4. Tlamuuttujan approksmont polynomella Approksmodaan tlayhtälöden ẋ = fx, t) ratkasua välllä [t 1, t ] astetta p olevalla polynomlla kantafunktot polynomeja) xt) = c 0 + c 1 t t 1 ) + c t t 1 ) + + c k t t 1 ) p, 10

5 mssä c R n ja n on xt):n dmenso. Resduaalfunto on ss Rτ; c) = d x τ) f[ xτ), τ]. dt Vaadtaan, että Rτ j ; c) = 0 toteuttuu kollokaatopstessä τ j t 1, t ), j = 1,...,k kollokaatoehdot). Lsäks vaadtaan, että xt ) x = 0. Lobatton menetelmssä väln pääte- ja ssäpsteet kollokaatopstetä Gaussn menetelmssä van ssäpsteet kollokaatopstetä Radaun menetelmssä van tonen päätepste on kollokaatopste Runge-Kutta menetelmstä puolsuunnkasmenetelmä ja Hermte-Smpson ovat Lobatton menetelmä Puolsuunnkas: p =, kollokaato alku- ja loppupsteessä Hermte-Smpson: p = 3, kollokaato alku-, kesk- ja loppupsteessä 11