Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Transkriptio

1 Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste menetelmän matemaattnen formulont Estetyn menetelmän arvont Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 2 1

2 Panotetun L p -tehtävän kertaus Krteeravaruuden deaalpste z * : z * =mn f (x) s.e X S Panotetun L p -tehtävä on muotoa k mn ( x = 1 w f ( x) z * p ) 1/ p f 2. Z * f 1 Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 3 Panotetun L p -tehtävän hekkouksa Ihannepste e saa kuulua krteeravaruudessa käypään alueeseen Kakk käyvän alueen ulkopuolella olevat psteet, evät ole hannepstetä Käyvän alueen ulkopuolella olevat psteet, evät ole havannollsa Ihannepsteen löytämseks krteeravaruus on tunnettava tarkast Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4 2

3 Ihmsen päätöksentekoon lttyvä näkökohta Määrtelmä Kohdefunktoden f (x) arvot, jotka ovat päätöksentekjälle tyydyttävä muodostavat pyrkmystasoja Ƶ,=1,.,k Vektora Ƶ R k, joka koostuu pyrkmystasosta kutsutaan referensspsteeks. Referensspste saattaa olla krteeravaruudessa käyvässä alueessa Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 5 Uuden menetelmän deont Panotetussa metrkassa käytetty kahden psteen välsen etäsyyden mnmont on havannollnen e voda luopua Ihannepsteen tlalle otetaan referensspste, jonka päätöksentekjä saa valta tse pste vo olla mkä tahansa Ƶ R k Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 6 3

4 Tavotteet skaalaavan funkton ongelma ylesest mnmo s Ƶ (f(x)) s.e x S, jossa Ƶ on referensspste ja S päätösavaruus Sama ongelma on s.e z Z,jossa Z on krteeravaruus mnmo s Ƶ (z) (1) Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 7 Esmerkk tavotteet skaalaavan funkton ongelmasta Hekost pareto-optmaalset psteet vodaan selvttää kaklla Ƶ R k mn max[ w = 1,..., k ( f ( x ) z )] s.e x S Eroaa Tchebycheffn ongelmasta anoastaan tsesarvomerkken puuttumsen verran Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 8 4

5 Tavotteet skaalaavan funkton matemaattnen formulont Määrtelmä Funkto f : R n R on adost kasvava kun x 1 ja x 2 R n x 1 j < x2 j kaklla j=1,,n f (x1 ) < f (x 2 ) Määrtelmä Funkto f : R n R vahvast kasvava kun x 1 ja x 2 R n x 1 j x2 j kaklla j=1,,n ja x1 l < x2 l jollan l f (x 1 ) < f (x 2 ) Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 9 Määrtelmä Funkto f : R n R on ε-vahvast kasvava kun x 1 ja x 2 R n x 1 x 2 - R ε n \{0} f (x 1 ) < f (x 2 ), jossa R ε n ={x R n dst(x, R +n ) ε x } R + n tarkottaa postvstä kartota Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 10 5

6 Määrtelmä Jatkuva tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen esttävä jos se on adost kasvava z Z funkto kaklla Ƶ R k ja jos (kaklla Ƶ R k ) Määrtelmä {z R k s Ƶ (z) < 0}=Ƶ- nt R + k Jatkuva tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen aproksmova jos se on vahvast kasvava z Z funkto kaklla Ƶ R k ja jos Ƶ- R e k {z R k s Ƶ (z) < 0} Ƶ- R e k (kaklla Ƶ R k ) ja ε> ε 0 Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 11 Huomautus Jatkuvalle järjestyksen esttävälle ta järjestyksen approksmovalle tavotefunktolle s Ƶ : Z R pätee s Ƶ ( Ƶ )=0 Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 12 6

7 Lause Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on adost kasvava sllon ongelman (1) ratkasu on hekost paretooptmaalnen Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on vahvast kasvava sllon ongelman (1) ratkasu on paretooptmaalnen Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on ε-vahvast kasvava sllon ongelman (1) ratkasu on ε- paretooptmaalnen Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 13 Lause Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on kasvava ja ongelman (1) ratkasu on yksselttenen, nn sllon se on pareto-optmaalnen ratkasu Huom! Lauseet ja ovat vomassa kaklle skalarsontfunktolle,joten akasemmn estetyt panokerron-, ε-rajotusehto- ja panotetun metrkan menetelmän pareto-optmaalsuusehdot johtuvat skalarsont funktoden monotonsuudesta Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 14 7

8 Pareto-optmaalsuuden välttämättömät ehdot Lause Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen esttävä, nn mllä tahansa Ƶ R k, ongelman (1) ratkasu on hekost pareto-optmaalnen. Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen aproksmova jollan ε> ε 0, nn mllä tahansa Ƶ R k, ongelman (1) ratkasu on pareto-optmaalnen. Jos lsäks tavotefunkto s Ƶ : Z R on ε-vahvast kasvava, nn ongelman (1) ratkasu on ε- paretooptmaalnen Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 15 Pareto-optmaalsuuden rttävät ehdot Lause Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen esttävä ja z * Z on (hekost) pareto-optmaalnen, nn sllon se on ongelman (1) ratkasu ja s z *(z * )=0 Jos tavotefunkto s Ƶ : Z R on järjestyksen aproksmova ja z * Z on ε- pareto-optmaalnen, nn sllon se on ongelman (1) ratkasu ja s z *(z * )=0 Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 16 8

9 Huomo! Tavotefunkton ratkasu rpuu Lpschtzjatkuvast referensspsteestä Käytännössä ss saadun pareto-optmaalsen psteen lähenen pareto-optmaalnen pste saadaan srtämällä vähän referensspstettä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 17 Ylesä huomota menetelmästä Rttäven ehtojen avulla vodaan, mnkä tahansa psteen hekko, ε-, paretooptmaalsuus todeta helpost Kakk pareto-optmaalset psteet vodaan löytää anoastaan lkuttamalla referensspstettä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 18 9

10 Esmerkkejä tavotefunktosta Järjestyksen esttävä funkto: s ( z) = max[ w ( z z )] z = 1,..., k Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 19 Järjestyksen aproksmova funkto: ( + ρ z s z) = max[ w ( z z )] = 1,..., k, jossa ε > ρ > ε 0 k = 1 w ( z Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 20 z ) Funkto on myös ε-vahvast kasvava Lähellä Augmented weghted Tchebycheff - menetelmää sanotaan augmented weghted achevement functon :ks (laajennettu panotettu tavotefunkto) 10

11 Sakon skalarsova funkto: s 2 ( z) = z z + ρ ( z z ) + z 2 (z- Ƶ ) + on vektor, jonka komponentt on max[0, z - Ƶ ] Funkto on selväst ja vahvast kasvava kaklla mulla metrkolla pats Tchebycheff metrkalla Funkto on järjestyksen aproksmova kun ε 1/ ρ Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 21 Yhteenveto Tavotteet skaalaavat funktot ovat skalarsont funktota, jotka täyttävät tettyjä erkosvaatmuksa E tarvtse tetää hannepstettä Pystytään selvttämään Pareto-optmaalset psteet muuttamalla van referensspstettä Tulee olemaan pohjana, kun tulevasuudessa tullaan kehttämään nteraktvsa menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 22 11

12 Sanastoa Reference pont - referensspste achevement functon - tavotefunkto order representng -järjestyksen esttävä order approxmatng - järjestyksen aproksmova augmented weghted achevement functon - laajennettu panotettu tavotefunkto Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 23 Kottehtävä Olkoon tehtävän käypä alue S={(x 1, x 2 ) R 2 x 1-2 x 2-6, -3x 1-2 x 2-6, -x 1 + x 2-2, x 1 +x 2-6} ja mnmotavat krteerfunktot f 1 = x 1 +x 2 ja f 2 = -x 2 Tutk käyvän alueen nurkkapsteden (4kpl) pareto optmaalsuus käyttäen pareto-optmaalsuuden rttävää ehtoa. Käytä tavotefunktona s ( z ) = max[ w ( z z )] z = 1,..., k Käytä apuna Exceln solvera! Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 24 12