= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

Transkriptio

1 HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske estmaator T varass ja äytä, että se o suuremp ku formaatoepäyhtälo atama alaraja Vhje Y 2 : varass laskemsee o mota tapaa, mutta ehkä suoravvas o seuraava: Y oudattaa ormaaljakaumaa perustele mks) Tämä jälkee varass laskeme palautuu ormaaljakautuee satuasmuuttuja 2 ja 4 momet laskemsee Nämä vo laskea vakka momettemäfuktota dervomalla ta katsomalla ormaaljakauma momett wkpedasta wk/normal_dstrbuto) Ratkasu: Koska Y,, Y ovat rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja, Nθ, ), Todeäkösyyslasketa II -kurss tetoje ojalla Y N θ, ) 2 }{{}}{{} θ Normaaljakautueea tämä orgomomett 2 EY 2 ) θ 2 + ja EY 4 ) θ 4 +6θ Estmaattor T Y 2 odotusarvo ET ) E Y 2 ) EY 2 ) θ2 + θ2, jote T o parametr θ 2 harhato estmaattor Estmaattor T varass vart ) var Y 2 ) vary 2 ) EY 4 ) EY 2 ) θ 4 + 6θ θ θ Materaal esmerk 27 b) ojalla log-uskottavuusfukto o lθ; y) y θ)2 2 Se toe dervaatta l θ; y) ja ste Fsher formaato θ) E l θ; Y)) E) Kute formaatoepäyhtälö 32b) mukaa ptäsk, kaklla θ pätee 4θ vart ) g θ 2 θ) 2θ)2 4θ2 Rppumattome ormaaljakautuede satuasmuuttuje summa o ormaaljakautuut, ja ormaaljakautuee satuasmuuttuja aff muuos o ormaaljakautuut Normaaljakauma parametrt saadaa sm: odotusarvosta ja varasssta 2

2 2 Jatkoa Harjotukse 3A tehtävää 3 Luetomateraal pohjalta tedämme, että tasajakaumasta havatoje tekeme e ole sääölle Sääöllslle mallelle osotettu formaatoepäyhtälo parametr θ harhattomlle estmaattorlle T vodaa krjottaa var θ T ιθ) E θ l θ; Y)) 2 Näytä että ˇθ + θ o parametr θ harhato estmaattor Laske estmaattor ˇθ varass ja vertaa tätä osamäärää /E θ l θ; Y ) Mtä tämä melestäs kertoo? Ratkasu: Harjotuksessa 3A ratkasmme, että Eˆθ θ θ Ss estmaattor o harhato + + θ, jote Eˇθ E + ˆθ +Eˆθ + Lasketaa yt estmaattor ˆθ varass käyttämällä tetoa varx) EX 2 EX jote ˆθ: varassks saadaa Eˆθ 2 ) Tästä vodaa laskea ˇθ: varass: θ t 2 ft) dt t 2 t θ dt θ t + dt θ θ / θ + 2 t+2 θ + 2 θ θ2, +2 θ2 2 + θ 2 θ ) varˇθ) + )2 2 varˆθ) + )2 θ ) ) + )2 2 θ ) ) θ Lasketaa velä E θ l θ; Y ) lθ; Y) log θ ) log θ ) logθ) l θ; Y) θ E θ l θ; Y ) 2 θ 2 Tästä ähdää, että sääöllste malle formaatoepäyhtälö alaraja hajoaa, sllä varˇθ) θ2 θ ιθ) Ss selvästk formaatoepäyhtälö tuottama alaraja harhattoma estmaattor varasslle pätee va sääöllslle mallelle

3 3 Mostee tehtävä 39) Erää elektrose kompoet kestokä oudattaa ekspoettjakaumaa, joka odotusarvo o θ/t, jossa t > o kompoet käyttölämpötla ja θ > o tutemato parametr Parametr θ estmomseks testataa kompoetta tosstaa rppumattomast lämpötlossa t,, t ja mtataa de kestoät Y,, Y Osota,että T t o parametr θ harhato mutte täystehokas estmaattor Ratkasu: Lasketaa es estmaattor odotusarvo: ET ) t E t θ t θ θ, t t jote selväst estmaattor o harhato Täystehokkuude arvomsee tarvtsemme es mall Fsher formaatota Tehdää uudelleeparametrot λ gθ) θ, jollo saadaa uskottavuusfukto ja se logartm: Lθ, y) t λexp λt y ) λ exp λ t y ) t ) lθ, y) logλ) + logt ) λ t y, josta λ: suhtee dervomalla saadaa l θ, y) λ t y l θ, y) λ 2 λ) E l θ, y)) λ 2 θ) θ 2 θ 2 )2 θ 2, mssä vmesessä yhtälössä käytett laskuharjotuksessa 2b todstettua parametr muuokse Fsher formaato kaavaa Lasketaa seuraavaks varass: vart ) var ) t vart ) θ 2 t t 2 ) t 2 t λ λ 2 t ) var Y 2 ) t 2 t θ2 vary t ) t 2 t θ2 θ) jolla {t } I jote estmaattor e ole täystehokas, sllä vodaa löytää arvot jolla vart ) > θ), esm 2, t 3, t 2 2

4 4 Jatkoa Harjotukse 3A tehtävää 4 a) Näytä, että suurmma uskottavuude estmaattor β o täystehokas b) Oletetaa, että x c kaklla, ku c > o vako Näytä, että β, T ja T 2 ovat tarketuva c) Pohd, päteekö tarketuvuus ym estmaattorelle, jos x / 2? Vmese kysymykse perustelu e tarvtse olla mtekää täsmälle, sopva äpptutumaperustelu käy maost) Ratkasu: Tehtävssä 2 b ratkast mall suurmma uskottavuude estmaatt ˆβ ˆβy) y x ) x 2 Kute samossa tehtävssä äht, havattu formaato o ja Fsher formaato jβ; y) l β; y) 2 x 2 2σ 2 x 2 σ 2 β) E[jβ; Y)] E[ l β; Y)] x 2 σ 2 Estmaattor varass o var ˆβ) ) x ) var var x ) vary x 2 x )) x 2 x 2 x 2 var ) x 2 σ 2 ) x 2 x 2 ) σ2 x 2 2 x 2 σ2, x 2 joka o mall Fsher formaato β) käätesluku Estmaattor o ste täystehokas, sllä se varass saavuttaa formaatoepäyhtälö 32 c) atama alaraja jokasella β b-kohdassa tutktaa estmaattore varassa, ss: var ˆβ) σ2 x 2 σ2 c 2 σ2 c 2, ja vart ) var ) x x ) vary 2 ) σ 2 x σ2 c σ2 c 2, /x vart 2 ) var ) var ) 2 x 2 σ2 2 x 2 ) σ2 c 2, var x ) 2 x 2 var )

5 ku Ss kakk estmaattort ovat tarketuva C-kohdassa tutktaa edellä johdettuja varasseja lma oletusta x c > Selväst yt kakssa kohdssa käytettyä epäyhtälöä e voda perustella, vaa x 2 x a < ja /x 2 x 2 2 / 2 Sjottamalla ämä arvot edells yhtälöh, saadaa lm vart Y)) >,, mssä T o -ptusesta satuasvektorsta Y laskettu estmaattor T, T 2 ta ˆβ Ss luopumalla oletuksesta x > c > jolla c R väte tarketuvuudeta e eää päde ylesest