Galerkin in menetelmä

Transkriptio

1 hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan mnmn peraate, joten Galerknn menetelmää vodaan ptää nätä ylespätevämpänä ja se soveltuu myös epäkonservatvslle systeemelle. Dfferentaalyhtälöstä Dfferentaalyhtälöllä tarkotetaan matematkassa yhtälöä, jossa esntyy tuntematon yhden ta useamman muuttujan funkto sekä sen dervaattoja. Dfferentaalyhtälöllä on runsaast käyttöä mtä erlasmmssa käytännön sovelluksssa, ertysest fyskaalsten lmöden mallntamsessa, mutta sovelluskenttä jatkuu lääkeaneen postumsesta jyrsjäkantojen vahteluun. Dfferentaalyhtälöden ratkasemseen e ole olemassa mtään ylespätevää menetelmää, vaan ratkasemnen tapahtuu yleensä tunnstamalla yhtälö tetyn muotoseks ja käyttämällä tämän nmenomasen yhtälötyypn ratkasumenetelmää. Mkäl yhtälön analyyttnen ratkasemnen e ole mahdollsta, on tyydyttävä numeerseen ratkasuun, kuten elementtmenetelmään. Jos tuntematon funkto on yhden muuttujan funkto, esmerkks u(), puhutaan tavallsesta dfferentaalyhtälöstä ta van dfferentaalyhtälöstä. Esmerkkejä tavallssta dfferentaalyhtälöstä ovat σ = f, EAu EI v, = q = q z, Dfferentaalyhtälön kertaluku on sama kun korkemman snä esntyvän dervaatan kertaluku. Yllä olevsta esmerkestä ensmmänen on ensmmäsen kertaluvun dfferentaalyhtälö, tonen on tosta kertalukua ja vmenen on neljännen kertaluvun dfferentaalyhtälö. Dfferentaalyhtälö on lneaarnen, jos ratkastavaa funktota ta sen dervaattoja e ole korotettu potenssn. Sen sjaan yhtälön okealla puolella vo olla epälneaarnen etukäteen tunnettu funkto. Jos tuntematon funkto on usean muuttujan funkto, esmerkks v(, y), kyseessä on osttasdfferentaalyhtälö. Yhtälössä esntyvät dervaatat ovat tällön funkton v osttasdervaattoja muuttujen (tässä, y) suhteen. Osttasdfferentaalyhtälöden kästtely eroaa jonkn verran tavallssta dfferentaalyhtälöstä. Esmerkkejä osttasdfferentaalyhtälöstä ovat () ` f f f (, y) = f (, y) = = y f f f (, y) = = h y ()

2 hum.9.3 josta ensmmänen on aplace n yhtälö tasossa ja se on homogeennen el yhtälön okealla puolella on nolla. Jälkmmänen on Posson n yhtälö, joka on ss epähomogeennen. Sauvan dfferentaalyhtälö statkan tasapanoehtojen avulla Tarkastellaan kuvan vakopokklekkaukssta sauvaa, jonka vasen pää on knntetty. Pakkakoordnaatn orgo on asetettu sauvan vasempaan päähän. u() F Sauvan pokklekkauksen pnta-ala on A ja sen materaaln kmmokerron on E. Sauvaan kohdstuu okean pään pstevoman lsäks tlavuusvoma f. Johdetaan sauvan jänntysten dfferentaalyhtälö käyttäen sauvan dfferentaalpalasen vomatasapanoehtoa. σ() u() f d σ()dσ Vaakasuuntasten vomen summa on σ ( ) A ( σ ( ) dσ ) A f Ad = (3) josta jakamalla pnta-alalla ja ptuudella d saadaan jänntyksen tasapanodfferentaalyhtälö σ = (4), f käyttämällä sauvan suuntaselle venymälle lauseketta ε = u, (5) ja normaaljänntykselle yhteyttä σ = Eε = E u, saadaan yhtälöstä () srtymädfferentaalyhtälö EAu, q = (6) mssä on käytetty tlavuusvoman sjaan voman ptuustheyttä q = A f (7)

3 hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerkn n menetelmällä ratkastaan tutkttavassa alueessa Ω, joka edellsessä yhtälössä (6) on ], [, vomassa oleva dfferentaalyhtälö lkmääräsest. Dfferentaalyhtälö vodaan krjottaa kompaktssa muodossa u ( ) = P Ω (8) mssä u on tuntematon funkto ja on lneaarnen dfferentaaloperaattor. Esmerkks yhtälön (6) operaattor on muotoa d = EA (9) d ja ns. kuormtusterm P = q () Tarkassa ratkasussa dfferentaalyhtälö toteutuu tutkttavan alueen jokasessa psteessä. Jos yhtälö halutaan ratkasta van lkmääräsest, vodaan funkto u korvata lkmääräsellä funktolla n uɶ ( ) = Q G () = mssä G ovat tunnettuja funktota ns. kantafunktota ja kertomet Q ovat tostaseks tuntemattoma. kfunkton tulee toteuttaa myös oleellsks valtut reunaehdot, jota edellsessä sauvatehtävässä on van yks el u ɶ ( ) =. uonnollsks valtut reunaehdot hodetaan muulla tavalla, yleensä osttasntegronnlla, jollon vodaan myös leventää kantafunktoden dervotuvuusvaatmuksa. Määrtellään yhtälön vrhe (resduaal) ( ) e = uɶ P () ja kotetaan saada vrhe jollan panofunktolla kerrottana keskmäärn hävämään tarkastelualueessa. ( ) Ω = = (3) ɶ Ω W u P d n Panofunkton valnnan perusteella on olemassa useta er ratkasumenetelmä. Galerkn n menetelmässä panofunktona käytetään kantafunktota G. ( ) Ω = = (4) ɶ Ω G u P d n Eräs Galerkn n menetelmän estysmuoto on käyttää ntegraalssa (3) panofunkton pakalla yrtteen () varaatota tuntemattomen parametren Q suhteen n δ uɶ ( ) = δq G (5) =

4 hum.9.3 ( ) Ω = (6) δu ɶ uɶ P d Ω Asettamalla nyt vuorollaan kakk muut varaatot δ Qj j nollks pats δ Q, nn saadaan n kappaletta yhtälötä, jotka ovat muotoa (4) kerrottuna vakolla δ Q, joka e ole nolla, joten yhtälön (4) tulee olla nolla. Alla olevassa esmerkssä on käytetty edellä estettyä muotoa (6), joka tässä esmerkssä vodaan tulkta vrtuaalsen työn peraatteeks. Esmerkk: Sauvaa rasttaa tlavuusvoma f = ρg ja pstekuorma F = kn, materaaln kmmokerron E = MPa, teräksen theys ρ = 785 kg/m 3, g = 9.8 m/s, = m ja A =. m. Määrtä vapaan pään srtymä ja tyven jänntys. Valtaan tehtävän srtymälle knemaattsest käypä yrte: ( ) n uɶ = Q G = Q Q ( ) = δ uɶ = δq δq ja olkoon vrtuaalnen srtymä (srtymän varaato). Käytetään Galerkn n menetelmää yhtälöön (4) el u() F A σ δ uɶ d A f δu d, = ɶ. Osttasntegromalla ensmmänen term saadaan A σ ( ) δ u ɶ A u σ δ ɶ, d fδ u ɶ d =. Ottamalla huomoon, että δ uɶ () =, δuɶ ( ) = δ uɶ = δ Q δ Q, σ = E uɶ ja Aσ ( ) = F saadaan, Fδ u ɶ A E u ɶ δ u ɶ d ρ g δ u ɶ d el,, = Fδ Q A E ( Q Q ) δ Q d ρ g δ Q d = δq Fδ Q A E ( Q Q ) δ Q d ρ g δq d = δq jossa ensmmänen yhtälöstä on saatu asettamalla δ Q = ja tonen vastaavast Q Supstamalla ao. varaatolla saadaan δ =. F A E ( Q Q ) d ρ g d = F A E ( Q Q ) d ρ g d = F Q Q d = ρg d E EA ( ) F = ρ E EA ( ) Q Q d g d

5 hum.9.3 ρ g F ρ g F Q Q = Q Q = E EA E EA ρ g F ρ g F Q Q = 3Q 4Q = 3 3 3E EA E EA F ρ g F ρg Q EA E Q 4 EA E 3 4 Q = 3F ρ g Q = 3 3F ρ g EA E EA E F ρg Q EA E Q = ρg E Huomataan, että Galerknn menetelmä anto saman tuloksen kun laskuharjotuksen 3 tehtävä 3. Erona on tetyst kantafunktot ja pstevoma F, joka puuttu harjotustehtävästä. Varaatomuodosta vahvaan muotoon Tämä jatko on tarkotettu van asasta knnostunelle. Kokellaan velä, saadaanko yhtälö (6) johdetuks lähten potentaalenergan mnmn peraatteesta. neaarsest kmmosen sauvan kmmoenerga E U = d = E d = = EAu d ε ε σ ε ε ε ε, V V V (7) Ulkosen kuormtuksen (pstevoma ja tlavuusvoma) potentaal (8) W = A( ) f u( ) d F u( ) p

6 hum.9.3 Potentaalenergan mnmn peraatteesta saadaan δ Π = δ U δ W P (9) Kmmoenergan varaato EA δ U = δ u d = EAu δ u d (, ),, () joka osttasntegronnlla saadaan muotoon, jossa on srtymän u varaato δ U = EAu δu d = EAu ( ) δu( ) EAu δu( ) d,,,, () Ulkosen kuormtuksen varaato () δw = A( ) f δ u( ) d F δ u( ) p ja yhtälö (9) menee muotoon δ Π = EAu ( ) δu( ) EAu δ u( ) d A( ) f δ u( ) d F δ u( ) = (3),, ottamalla huomoon, että EAu, ( ) δu( ) F δ u( ) =, saadaan yhtälöstä (9) δ Π = ( EAu A f ) δ u( ) d = δ u, joka on mahdollsta van jos EAu, A f =