13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

Transkriptio

1 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta merktsemme C( I ), ss b C( I). Ratkasuja haetaa yt fuktoavaruudesta (2) C ( I) = { x: I x jatkuvast dervotuva} Homogeese yhtälö (3) x () t = A() t x () t ratkasuavaruus o leaarkuvaukse. (4) L : C ( I) C ( I), Lx= x Ax yd el (5) H = Ker L= { C ( I) L = 0} Tämä o avaruude (2) alavaruus. x x. Lause. (Olemassaolo- ja ykskästtesyyslause) Yhtälöö () ltetyllä alkuarvoprobleemalla (6) x () t = A() t x() t + b(), t x(0)= x 0 o olemassa ykskästtee ratkasu koko välllä I jokasella x0.

2 69 Kute kohta osotetaa, avaruude H dmeso o. Tätä eakode kutsumme jokasta H: kataa x, x yhtälö perusjärjestelmäks. Matrsa X(t) = [x (t),...,x (t)] saotaa dfferetaalyhtälösysteem fudametaalmatrsks el perusmatrsks. Tämä o sarakkede leaarse rppumattomuude asosta käätyvä. Perusmatrs determatt (7) Wt ( ) = det Xt ( ), o systeem () Wrosk determatt. Lause 2. Wrosk determatlle o vomassa melvaltaselle kteälle t 0 I tr( A( s)) ds t0 (8) Wt () = Wt ( ) e. 0 t Todstus: Käyttäe hyväks determat omasuuksa saadaa (9) d d Wt () = det () t () t det () t () t det () t () t dt dt x x = x x + + x x = det Ax ( t) x ( t) + + det x ( t) Ax ( t). Tämä saadaa purettua auk tarkastelemalla karakterstse polyom lauseketta: ( ) p( λ) = ( ) det( λi A) = ( ) λ (tr A) λ + + ( ) deta, josta det (( λi AX ) ) = det( λi A)det X= ( λ (tr A) λ + + ( ) det A) det X ja tosaalta det ( λi A ) X = det( λx AX ) = det λx,, Ax λx Ax ( ) [ ]

3 = λ det X λ det A,,, + + det,,, A + + ( ) det Adet X ( ) x x2 x x x2 x Vertaamalla potess λ kertoma ja ratkasemalla esmmäse kertaluvu dfferetaalyhtälö (9) saadaa väte. Seurauksea o tulos Lause 3. Wt ( ) 0 t I Wt ( 0) 0 jossak t0 I. Nällä työvälellä saamme leaarse rppumattomuude test: Lause 4. Yhtälö (3) ratkasufuktot x,, x ovat leaarsest rppumattoma täsmällee sllo, ku de Wrosk determatt o ollasta eroava jossak väl I psteessä: Wt ( ) 0 jossak t I. 0 0 Nyt vodaa stte osottaa päätulos: Lause 5. Yhtälö (3) ratkasuavaruude H dmeso o. Ratkasufuktosta koostuva matrs Xt () = x() t x() t o yhtälö (3) perusmatrs täsmällee sllo, ku se determatt el Wrosk determatt o 0 jossak väl I psteessä (jollo se o 0 koko välllä I) ja yhtälö (3) ylee ja täydelle ratkasu o muotoa (0) x() t = cx() t + + cx(), t c, =,,. 70 Todstus: Lausee ojalla alkuarvotehtävllä () x () t = A() t x(), t x (0)= e, =,, o ykskästtee ratkasu jokasella, mssä e o : luoolle katavektor. Näde ratkasuje fudametaalmatrs ollassa X(0) = I, jote Wrosk determatt W (0) =. Ss ratkasut x,, x ovat leaarsest rppumattoma. Olkoo stte y sellae ratkasu, joka toteuttaa alkuehdo y(0) = c. Sllo myös x() t = cx() t + + cx() t o ratkasu, joka toteuttaa sama alkuehdo, koska x(0) = cx(0) + + cx(0) = ce+ + ce = c, jote ykskästtesyyde perusteella y = x. Ss vektort x,, x vrttävät alavaruude H, jote e muodostavat H: kaa.

4 7 Leaarse homogeese systeem x'(t)=ax(t) ylee ratkasu muodostuu ss mstä hyväsä :stä leaarsest rppumattomasta ratkasusta x,..., x de leaarkombaatoa: (2) x(t) = c x (t) c x (t). Alkuarvoprobleema melvaltae alkutla x 0 saadaa sopvlla kertomlla c yhtälöstä (3) c x (0) c x (0) =x 0. (Vektort x (0),, x (0) ovat leaarsest rppumattoma ja tä o kappaletta, jote e muodostavat avaruude kaa.) Kerroyhtälö o matrsmuodossa (4) [x (0),...,x (0)]c =x 0, mssä c=[c,...,c ] T. Kerromatrs o e-sgulaare, koska se sarakkeet ovat leaarsest rppumattoma. Ss kerroyhtälöllä o ykskästtee ratkasu c. Tästä saadaa se leaarkombaato c x (t) c x (t) kertomet, joka o alkutla x 0 määräämää ratkasu dfferetaalyhtälösysteemlle. Fudametaalmatrsa käyttäe ylee ratkasu(2) vodaa esttää muodossa (5) x(t) = X(t)c.

5 72 Fudametaalmatrs e ole ykskästtee, sehä raketuu valtusta :stä leaarsest rppumattomasta ratkasusta. Use kutek asetetaa ehto X(0)=I. Sllo alkuehdo x(0)=x 0 toteuttava ratkasu o (6) x(t) = X(t)x 0. Ylesest, yhtälö (4) matrsmuodosta (7) X (0) c= x 0 saadaa alkuehdo x(0)=x 0 toteuttavalle ratkasulle muoto (8) x() t = X() t X(0) x. 0

6 73 4. Leaarset esmmäse kertaluvu vakokertomset systeemt Seuraavassa tarkastellaa autoomste vakokertomste homogeeste dfferetaalsysteeme ratkasemsta aalyyttsest (umeers meetelm e tässä yt puututa). Systeem o muotoa () x'(t) = Ax(t) ja haettavaa o fudametaalmatrs, ja se avulla ylee ratkasu ta alkuehdo x(0)=x 0 toteuttava ratkasu. Matrs A o kokoa oleva vakomatrs (ss ajasta t rppumato) ja tlavektor x(t). Koska yt okea puole dervaatta o vakomatrs A, olemassaolo- ja ykskästtesyyslause o vomassa koko avaruudessa ( I= ). Ku = el systeem o yksulottee x'( t) = ax( t), yleseks ratkasuks at saat aemm x( t) = e c ja alkuehdo x(0) = x0 toteuttavaks ratkasuks x() t = e at x0. Osottautuu, että tämä muoto ratkasulle pätee myös korkeammssa dmesossa. Sllo a: tlalla o matrs A ja e At o matrs At (=ta) matrsarvoe fukto. Matrsekspoettfukto e A vodaa määrtellä e x : sarjakehtelmä avulla sjottamalla luvu x pakalle elömatrs A. (Katso Harjotus 6.) Mutta tässä vaheessa tyydymme ykskertasempaa tapauksee ja oletamme A: oleva reaalse dagoalsotuva matrs. Dagoalsotuvalle matrslle A o olemassa e-sgulaare matrs Q =[v,...,v ] ste, että (2) A = QDQ -, mssä lävstäjämatrs D=dag(λ,..., λ ) lävstäjällä o A: omasarvot. Tällö

7 74 A k = QD k Q -. Edellee tämä avulla vodaa osottaa, että vastaava pätee jokaselle polyomlle p: p(a) = Qp(D)Q -, mssä p(d) = dag(p(λ ),...,p(λ )). Kute sarjateorassa todetaa, sarjat ovat polyome (osasumme) raja-arvoja. O ss luotevaa määrtellä dagoalsotuva matrs A ekspoettfukto yhteydellä (3) e A = Qe D Q -, mssä e D = dag(exp(λ ),...,exp(λ )). Tämä määrtelmä vodaa osottaa sarjateora avulla estettävssä olevaa ylesempää määrtelmää yhteesopvaks. Alkuarvotehtävä (4) x'(t) = Ax(t), x(0) = x 0 ratkasuks saadaa yt vektorfukto (5) x(t) = e At x 0. Dervomalla todetaa, että kyseessä o ratkasu: x'(t) = d/dt (Qe Dt Q - )x 0 = Q(d/dte Dt )Q - x 0 = Q(De Dt )Q - x 0 = QDQ - Qe Dt Q - x 0 =Ae At x 0 =Ax(t). Koska tämä toteuttaa myös alkuehdo x(0)=x 0, o se olemassaolo- ja ykskästtesyyslausee mukaa alkuarvotehtävä ykskästtee ratkasu.

8 75 Näemme ss, että dagoalsotuva matrs tapauksessa ykskästtesyyslausee ojalla e At o fudametaalmatrs: (6) X(t) = e At, X(0)=I. Ylee ratkasu vodaa ss esttää myös muodossa (7) x(t) = e At c. Jos v o omasarvoa λ vastaava omasvektor, dervomalla todetaa, että x ( ) t t = e λ vo yhtälö x ( t) = Ax ( t) eräs ratkasu. Jos matrslla A o täys määrä omasvektoreta v, saadaa ästä rakeettua kata ratkasuavaruudelle, ja fudametaalmatrs Xt. ( ) Sllo ylee ratkasu saa muodo (8) x( t) = X( t) d el λ t λ t λ t (9) x() t = d e v + d e v + + d e v. Tässä olevat yleset vakot evät ole samoja ku kaava (7).

9 76 Esm. x' = 4 x Matrs A = 4 omasarvot ovat 3 ja -, sekä vastaavat omasvektort [ 2] T ja [ -2] T. Ylee ratkasu o sllo x(t) = ce t + ce 2 2 3t 2 (muotoa 9) = e e 3t e 3t 2 2 t e t c (muotoa 8 ) 3t t ce + ce 2 = 3t 2ce 2ce 2 t (ratkasu kompoetetta).