HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

Transkriptio

1 HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten kääntesluvut. N(F = {P P F deg P = 1} on astetta yks oleven pakkojen määrä. F r = F F q r on astetta r oleva vakokuntalaajennus. N r = N(F r on astetta 1 oleven pakkojen määrä funktokunnassa F r. Teoreema V.2.1 (Hassen-Weln lause. On vomassa α = q 1 2 kaklla {1,..., 2g}. Huomautus. Hassen-Weln lauseesta seuraa Remannn hypotees Algebrallsten funktokunten ζ-funktolle: Oletetaan, että ζ F (s = Z F (q s = 0. Tällön on myös L F (q s = 0, joten ss q s = } {{ } q 1 2, josta edelleen Re s = 1 2. q Re s Hassen-Weln lauseesta seuraa myös Teoreema V.2.3 (Hassen-Weln raja. Astetta yks oleven pakkojen määrälle N = N(F pätee N (q + 1 < 2gq 1 2. Todstus. Seurauksen V.1.16 mukaan on Hassen-Weln lauseen mukaan. N = q + 1 N (q + 1 = α α, joten α = 2gq 1 2 Lsäks Hassen-Weln lauseesta saadaan myös arvot N r (q r + 1 2gq r 2 kaklle kokonasluvulle r 1. 1 Typeset by AMS-TEX

2 HASSEN-WEILIN LAUSE 2 Lemma V.2.4. Olkoon r 1. Hassen-Weln lause pätee funktokunnalle F/F q sllon ja van sllon kun se pätee vakokuntalaajennukselle F r /F q r. Todstus. Polynomn L F (t juuren kääntesluvut ovat α 1, α 2,..., α 2g. Lauseen V.1.15 (f mukaan polynomn L r (t juuren kääntesluvut ovat α r 1, αr 2,..., αr 2g. Lemma seuraa nyt välttömäst: α = q 1 2 α r = (qr 1 2. Lemma V.2.5. Oletetaan, että on sellanen vako c R, että jokaselle luonnollselle luvulle r pätee N r (q r + 1 cq r 2. Sllon Hassen-Weln lause pätee funktokunnan F/F q L-polynomlle. Todstus. Seurauksen V.1.16 mukaan N r (q r + 1 = 2g α. Edelleen, oletuksen nojalla on vomassa α cq r 2 kaklle kokonasluvulle r. Tarkastellaan nyt meromorffunktota H(t = α t 1 α t, ja merktään ϱ = mn { } α 1 {1,..., 2g}. Jos H(t kehtetään potensssarjaks orgon ympärstössä, on tämän potensssarjan suppenemssäde tarkalleen ϱ, sllä tätä penemmssä orgokesksssä ympyrössä H(t on holomorfnen. Ympyrässä t < ϱ on vomassa H(t = = α t j=0 (α t j = (α t r = j=0 ( r=1 r=1 (α t j+1 α r t r. Saatu sarja suppenee, kun t < q 1 2, sllä tällön on ( α r r=1 t r cq r 2 t r = c r=1 r=1 ( q 1 2 t r. Tämän vuoks on q 1 2 α 1, josta saadaan α q 1 2 ana kun {1,..., 2g}. Tosaalta taas teoreeman V.1.15 (e mukaan on 2g 1=1 α = q g, jollon ss α = q 1 2 ana kun {1,..., 2g}.

3 HASSEN-WEILIN LAUSE 3 Hassen-Weln lauseen todstamseen rttää ss löytää sellasen postvluvut c 1 ja c 2, että epäyhtälöt N r q r c 1 q r 2 N r q r + 1 c 2 q r 2 ovat vomassa luonnollslle luvulle r jostakn rajasta r 0 alkaen. Tarkastellaan seuraavaks ylärajaa. Proposto V.2.6. Oletetaan, että q on nelö ja että q > (g Sllon astetta yks oleven pakkojen määrälle N = N(F on vomassa ja ja N < (q (2g + 1q 1 2. Todstus. Jos N = 0, on väte trvaal. Oletetaan sks, että on olemassa astetta yks oleva pakka Q. Määrtellään Olkoon q 0 = q 1 2, m = q 0 1, n = 2g + q 0 ja r = q 1 + (2g + 1q = q gq 2 + q = q (2g + q 1 2 q 1 2 = m + nq 0. T = { {0, 1,..., m}, on pakan Q napaluku}. Valtaan jokasta lukua T koht jokn sellanen u F, että (u = Q. Tällön joukko {u T } muodostaa F q -avaruuden L(mQ kannan. Tarkastellaan F q - avaruutta L = L(mQ L(nQ q 0 L(rQ. Avaruus L muodostuu nyt summsta x ν y q 0 ν, x ν L(mQ ja y ν L(nQ. Selvästkn L on vektoravaruus yl kunnan F q ja lsäks L L(rQ, sllä r = m + nq 0. Tarkotuksena on konstruoda sellanen alko x L \ {0}, että kaklle astetta yks olevlle pakolle P P F \ Q on vomassa x(p = 0. Oletetaan hetkeks, että tällanen alko x on löydetty. Sllon kakk astetta 1 olevat pakat Q:ta lukuunottamatta ovat alkon x nollakohta ja ss Tosaalta taas x L L(rQ, joten deg(x 0 N 1. (1 deg(x 0 = deg(x r = q 1 + (2g + 1q 1 2. (2 Yhdstämällä epäyhtälöt (1 ja (2 saadaan N q + (2g + 1q 1 2, joten N < (q (2g + 1q 1 2. Lemman todstamseen rttää ss löytää alko x L \ {0}, joka toteuttaa ehdon x(p = 0 ana kun P on astetta yks oleva Q:sta eroava pakka. (3

4 HASSEN-WEILIN LAUSE 4 Väte 1. Jokanen y L vodaan krjottaa ykskästtesest muodossa y = u z q 0, z L(nQ. (* Todstus. Estyksen olemassaolo seuraa suoraan vektoravaruuden L määrtelmästä. Oletetaan sks, että jollakn nollasta eroavalla avaruuden L alkolla ols kaks muotoa (* olevaa estystä. Sllon saatasn yhtälö u x q 0 = 0. Estyksessä kukn x on avaruuden L(nQ alko ja anakn yks x on nollasta pokkeava. Jos x 0, on vomassa v Q (u x q 0 = v Q(u + q 0 v Q (x v Q (u (mod q 0, ja ss v Q (u x q 0 (mod q 0. Luvut T kuuluvat er jäännösluokkn (mod q 0, koska m = q 0 1. Luvut v Q (u x q 0 ovat ss parttan ersuura, ja tarkka kolmoepäyhtälö antaa ( v Q u x q 0 = mn {v Q (u x q 0 T }. Tämä on rstrdassa sen kanssa, että u x q 0 = 0. Määrtellään nyt kuvaus λ : L L ((q 0 m + nq ehdosta ( λ u z q 0 = u q 0 z. Vätteestä 1 seuraa, että kuvaus λ on hyvn määrtelty. Suoravvasest vodaan todeta, että λ on homomorfsm vektoravaruuden L addtvselta ryhmältä avaruuden L ((q 0 m + mq addtvselle ryhmälle. Kuvaus λ e kutenkaan ole lneaarnen. Väte 2. ker(λ {0}. Rttää osottaa, että dm L > dm L ((q 0 m + nq. Ensnnäkn saadaan suoralla laskulla ja Remannn-Rochn lauseeseen nojautuen Tosaalta taas dm L = dm(mq dm(nq (m + 1 g(n + 1 g. q 0 m + n = q 0 (q (2g + q 0 = q q 0 + 2g + q 0 = 2g + q, ja ss dm L ((q 0 m + nq = qg + q + 1 g = g + q + 1. Väte seuraa välttömäst, jos on vomassa (m + 1 g(n + 1 g > g + q + 1. Suoraan laskemalla todetaan, että vmesn epäyhtälö on ekvvalentt epäyhtälön q > (g kanssa. Tämä taas on vomassa oletuksen nojalla.

5 HASSEN-WEILIN LAUSE 5 Väte 3. Olkoon x L \ {0} ker(λ, sekä P astetta yks oleva pakka ja P Q. Sllon x(p = 0. Todstus. Aluks on huomattava, että jos y L, on pakka Q alkon y anoa napa, joten y(p. Lsäks jäännösluokkarengas O P /P on kunta F q, joten y(p q = y(p. Olkoon nyt x L ja λ(x = 0. Merktään x = u z q 0. Sllon ( x(p q 0 = u (P z (P q 0 = u q 0 (P z (P q ( = u q 0 z (P = λ(x(p = 0. Väte seuraa nyt korottamalla yhtälön molemmat puolet potenssn q 0. Propostota V.2.6 modfomalla saadaan haluttu yläraja luvulle N r. Tätä ennen tarkastellaan kutenkn alarajaa. Lemma V.2.7. Tarkastellaan ryhmää G = σ G. Ryhmä G on alryhmensä σ ja G suora tulo. Oletetaan velä, että G = m, ord(σ = n ja että m jakaa luvun n. Olkoon H G sellanen alryhmä, että H = ne ja (H G = e. q0 Sllon on tarkalleen e sellasa ryhmän H alryhmä U, että U on kertalukua n oleva syklnen ryhmä ja U G = {1}. (4 Todstus. Tarkastellaan jokasta ryhmän G alkota τ koht syklstä ryhmää στ G. Koska G = στ G, on jokasella λ G ykskästtenen estys muodossa λ = σ ϱ, {0, 1,..., n 1} ja ϱ G, ja στ = τσ, ord(σ = n ja ord(τ m. Lsäks ord(στ = n, στ G = {1}, ja στ στ ana kun τ τ. Nänollen on anakn m = G alryhmää, jolla on omnasuudet (4. Alryhmä G G on normaal, ja ss suunnkassääntö antaa H/(H G = HG/G. Tällön H/(H G = ne e = n,

6 HASSEN-WEILIN LAUSE 6 joten HG = n m = G. Tällön HG = G ja ss H/(H G = G /G on kertalukua n oleva syklnen ryhmä. Valtaan jokn ryhmän H/(H G generaattor λ 0 H, jonka kertaluku modulo H G on ss n. Merktään λ 0 = σ a τ, τ G, a Z. Tällön syt(a, n = 1, sllä muuton ols sellanen luku d {1,..., n 1}, että σ ad = 1 ja ss λ d 0 = τ d H G, joten alkon λ 0 kertaluku modulo H G ols penemp kun n. On ss olemassa sellanen alkon λ 0 potenss λ = λ t 0, että λ = στ 0, τ 0 G. Olkoon H G = {ψ 1,... ψ e }, ja määrtellään U (j = στ 0 ψ j. Sllon alryhmät U (j ovat syklsä, kertalukua n, parttan erllsä ja ne toteuttavat ehdon U (j G = {1}. Velä on osotettava, että e ole muta ehdot (4 toteuttava ryhmän H alryhmä. Oletetaan, että U on tällanen alryhmä. Samon kun edellä, löydetään ryhmälle U muotoa στ 1, τ 1 oleva generaattor. Koska στ 1 H ja στ 0 H, on τ 1 0 τ 1 = (στ 0 1 (στ 1 H G = {ψ 1,..., ψ e }. Tällön on sellanen j {1,..., e}, että τ 1 = τ 0 ψ j ja tästä saadaan edelleen, että U = στ 1 = στ 0 ψ j = U (j.