Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Transkriptio

1 TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ >. Totea, että hätätodeäkösyys P(X > a), mssä a >, toteuttaa Markov epäyhtälö. Todelle hätätodeäkösyys: P( X > a) = e λa. ( X ) Markov epäyhtälö atama yläraja: P( X > a) a = λa. λa Nästä saadaa epäyhtälö e el λae λa. λa päyhtälö o todellak tos, sllä fukto e suur arvo o e <.. Opettaja lask 3 koepaper arvosaoje artmeettse keskarvo ja otoskeskhajoa. Hä sa tuloksks 7.9 ja.37 vastaavast. Tuusluvut laskettuaa hä löys pöydä alle pudoee koepaper ol arvosaa 5. Mkä o kakke 3 paper arvosaoje keskarvo ja otoskeskhajota? Vhje: Otosvarassa merktää yleesä s ja otoskeskhajota o tämä elöjuur. Ks. kaavakokoelma. = 3 3 s =.37 = = 45 (arvosaoje summa täytyy olla kokoasluku) 3 s = ( ) ( ) = ( ) = + 45 / 3 = 993 Huomaa, että myös arvosaoje elöde summa täytyy olla kokoasluku. Puuttuva paper lsäämse jälkee: = 3 3 = = 5 (arvosaoje summa täytyy olla kokoasluku) 3 = =

2 / = 8 s = = 3 s s = Radoaktvse aee sätelyä mtataa Geger-mttarlla. Mttaus tapahtuu reksterömällä mpulsse lukumäärä 6 seku akaa. Oletetaa, että mpulsse lukumäärä oudattaa Posso-jakaumaa tapahtumatesteett o mpulssa/s. a) Mkä o odotettavssa oleva mpulsse lukumäärä muut akaa? b) Mkä o keskmääräe odotusaka esmmäselle mpulsslle? c) Mllä todeäkösyydellä muutssa tulee korketaa 6 mpulssa? Impulsse lukumäärä X yhde muut akaa oudattaa Posso-jakaumaa Posso(λt), jossa λ = /s ja t = 6 s. Ste jakauma parametr λt = 6. a) (X) = λt = 6 b) Jos Posso-jakauma tapahtumatesteett o λ, esmmäse mpulss odotusaka Y ~ p(λ). Ste keskmääräe odotusaka esmmäselle mpulsslle o (Y) = /λ = / =. s. kspoettjakauma uohtamsomasuude vuoks tämä o samalla mpulsse keskmääräe välaka. c) Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X) = λt = 6 Var( X) = λt = P( X 6) = 6 = 6! e Φ =Φ (.9) =.95 6 Myös Posso-jakauma approksmossa vodaa käyttää jatkuvuuskorjausta kute bomjakauma tapauksessak. Tässä stä e ole käytetty. 4. Satuasmuuttuja X theysfukto o f ( ) =, < <. Olkoot X, X,, X 3 rppumattoma ja samo jakautueta ku X. Mllä todeäkösyydellä (lkma) summa Y = X + X + + X 3 o välllä Y? Käytä sopvaa ormaaljakaumaapproksmaatota.

3 3 ( X ) ( X) = d = = ( X ) ( X ) = d = = ( X ) ( X) ( X ) [ ( X) ] Var = Var = 9 ( Y) = 3 =, Var( Y) = 3 = Keskese raja-arvolausee ojalla Y ~ N(, 6.67). P( Y ) Φ (.77) ( ) Φ =Φ Φ = = Olkoot X, =,,, rppumattoma havatoja jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja varass o. a) Todsta, että ( X ) = µ, mssä X o havatoje X artmeette keskarvo. b) Todsta, että havatoje X artmeettse keskarvo varass o peemp ku yksttäse havao varass, jos >. a) X = ( X + X + + X ) ( X) = ( X) ( X) ( X ) = µ = µ (Tässä todstett, että artmeette keskarvo o harhato estmaattor odotusarvolle. stmota seuraa lsää myöhemm.) b) Var( X) ( X µ ) X X X µ ( X + X + + X ) µ (( X µ ) + ( X µ ) + + ( X ) µ ) ( X µ ) ( X µ ) ( X ) ( µ X µ )( Xj µ ) j = ( ) ( ) ( ) X µ X µ X µ = ( ) ( ) ( ) X µ X µ X µ = = <, jos > Huomaa, että havatoje rppumattomuude taka ( X µ )( Xj µ ) = Cov ( X, Xj) = kaklla j

4 6. Olkoot X, =,,, rppumattoma havatoja jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja X X. varass o. Todsta, että ( ) = ( X) = ( X ) [ ( X) ] Var ( X ) = ( X) + [ ( X) ] () ( ) ( ) Var X = X X = X X X = X XX + X = X XX + X = = = ( X X) X ( X ) () X X + X + + X X + X + + X X X X X X X X = = ( ) ( ) ( ) ( ) Kohda perusteella () ( X ) X = + ( µ ) ( X ) = Var( X) + ( X) = + µ Jatketaa kohdasta () : = ( X X) = + µ, jote: ( X X) X ( X ) = ( + µ ) + µ = ( ) Jote: (Tässä todstett, että otosvarass (Lase kaavakokoelma kaava 68) o harhato estmaattor varasslle. Jos elösumma ( ) X X jaetaa termllä, saadaa systemaattsest la peä estmaatteja varasslle. Tämä todstus löytyy myös hema lyhyempää Lase krjasta, luku 9.5, otskko "Varass harhato estmaatt".) Pstetehtävä. Hetetää vrheetötä oppaa kertaa. a) Mkä o odotettavssa oleva kuutoste määrä? b) Mllä todeäkösyydellä kuutoste määrä o suljetulla välllä [96, 8]? Vhje: Käytä sopvaa ormaaljakauma-approksmaatota.

5 a) Kuutoste lukumäärä X oudattaa bomjakaumaa B(, p) = ja p = /6. Ste (X) = p =. b) Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X) = p = Var( X) = p( p) P( 96 X 8) = = P Z = P(.98 Z.96) =Φ(.96) Φ(.98) =Φ(.96) ( Φ (.98) ) = =.85 Hema tarkemp tulos saadaa käyttämällä k. jatkuvuuskorjausta. Ks. Lase kaavakokoelma kaava 47. Jatkuvuuskorjaukse avulla saadaa laskettua myös approksmaatota yksttäslle pstetodeäkösyykslle. Pstetehtävä. Tehdas tuottaa trasstoreta, jode elkä o ekspoettjakautuut odotusarvoa 5 tuta. Kuka suurella todeäkösyydellä 5 trasstor yhteelaskettu elkä o yl 9 tuta? Vhje: Käytä sopvaa ormaaljakauma-approksmaatota. HUOM! kspoettjakautuede satuasmuuttuje summa e ole ekspoettjakautuut! Merktää X = "trasstore yhteelaskettu elkä". Keskese raja-arvolausee mukaa satuasmuuttuja Z = ~N(,) ( X ) = 5 = 5 5 = 75 λ Var( X ) = 5 = 5 5 = 5 λ 66.6 P( X > 9) = P( X 9) 9 75 P Z = P( Z.4) = Φ (.4) =.97 = Vertalu vuoks Markov epäyhtälöstä saadaa yläraja hätätodeäkösyydelle: ( X ) 75 P ( X a), P( X 9).83 a 9 Markov epäyhtälö atama yläraja hätätodeäkösyydelle o todella varovae.