d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

Transkriptio

1 TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä valnta johtaa yhtälöön ṗ = F Jos (varattu) hukkanen lkkuu suhteellsuusteoreettsest sähkömagneettsessa kentässä, mltä näyttää Lagrangen funkto sllon? Entä lkeyhtälö? Tämä on varsn selvää pässnlhaa Euler-Lagrange -yhtälö on tetenkn muotoa: d = 0, dt Katsotaan nyt komponentettan sovtaan, että {q 1, q 2, q 3 } = {x, y, z} Ensn = V = F, Toseks mssä = m 2 q = γm q, ṙ 2 1 γ = 1 ṙ 2 Tosaalta suhteellsuusteorassa lkemäärä määrtetään p = γmv, joten Euler-Lagrange -lkeyhtälöt menevät muotoon = p ṗ = F Sähkömagneettslle kentlle tulee stten tetenkn Lagrangen funktoon lsäpotentaal U = Qϕ Qṙ A, Tällön (ṙ ) 2 L = m 1 2 V (r) Qϕ + Qṙ A = V Q φ + Qṙ A = V Q φ + j A j Lsäks Otetaan kästtelyyn tuo jälkmmänen yhtälö: d = dγm q + Q da dt dt dt = γm q + QA = ṗ + Q A t + j A Yhdstellään termt: ṗ + Q A t + j A + V + Q φ j A j = 0

2 ṗ = V + QE Q j q j ( A A ) j Kun tuota jälkmmästä heman kästellään päästään muotoon: ṗ = V + Q (E + ṙ A) 2 Pstemänen kappale lkkuu avaruudessa, shen vakuttaa voma, joka vodaan johtaa seuraavasta potentaalsta U(r, v) = V (r) + σ L, mssä r on kappaleen pakkavektor suhteessa valttuun orgoon, L on kulmalkemäärä tuon psteen suhteen σ on knteä vakovektor avaruudessa (a) Johda kappaleeseen vakuttavan voman komponentt sekä karteessessa että sylnterkoordnaatstossa (b) Johda lkeyhtälöt sylnterkoordnaatstossa Otetaan tämä van sylnterkoordnaatstossa Karteesnen on van työlästä pyörtystä Koordnaatt ovat ρ, ϕ z Vastaavat nopeuden komponentt ovat v ρ = ρ, v ϕ = ρ ϕ v z = ż Kulmalkemäärän z-komponentt on L z = mρv ϕ = mρ 2 ϕ Ja jos velä valtaan z-aks σ:n suuntaseks: σ = σˆk, saadaan Lagrangen funkto Etstään ylestetyt lkemäärät vomat L = 1 2 m ( ρ 2 + ρ 2 ϕ 2 + ż 2) V (r) mσρ 2 ϕ (1) ϕ: p ϕ = ϕ = mρ2 ϕ mσρ 2 F ϕ = ϕ = 0 Koska ṗ = F, saadaan ehto p ϕ = vako Kepautetaan seltä kulmanopeus tuon vakon avulla: ϕ = σ + p ϕ mρ 2 Tosaalta L z = mρ 2 ϕ, joten L z = mσρ 2 + p ϕ, L z mρ 2 σ = p ϕ = vako (2) ρ: p ρ = ρ = m ρ F ρ = ρ = mρ ϕ2 2mσρ ϕ V ρ Lkeyhtälö: ṗ = F m ρ = mρ ϕ 2 2mσρ ϕ V ρ = p2 ϕ mρ 3 mρσ2 V ρ 3 Olkoon ψ ψ rppumattoma kenttämuuttu Lagrangen theys L = h2 ψ ψ + V ψψ + h 2m 2 ψψ ψ ψ Johda lkeyhtälö ottamalla funktonaaldervaatta Lagrangen theydestä kentän ψ suhteen Mnkä yhtälön saat? Mtkä ovat kenttämuuttujen konjugaattkentät?

3 Muodostetaan E-L -yhtälö kentlle Kenttämuuttuna ensn ψ :: nn edelleen myös y:lle z:lle Euler-Lagrange -kenttäyhtälö on tällön ψ = d dt ψ = V ψ + h 2 tψ [ t ψ ] = h 2 ψ [ x ψ ] = h2 2m xψ ( [ t ψ ] ) + d dx [ x ψ + ] Kun tähän sjotellaan järjestellään heman uudelleen saadaan tutunnäkönen yhtälö: h ψ t = h2 2m 2 ψ + V ψ 4 Tarkastele Lagrangen theyttä: L = 1 ρϕ 2 t 1 γϕ 2 x µ2 ϕ 2, 2 2 mssä ϕ = ϕ(x, t) on pakasta asta rppuva kenttämuuttu ρ, γ µ ovat vakota (a) Laske kenttää vastaava momenttkenttä (b) Johda kentän lkeyhtälöt () Jos exp [(kx ωt)] toteuttaa kentän lkeyhtälöt, mten kytkeytyvät ω k tosnsa? (Tämä kenttäyhtälö on ns Klen-Gordon -yhtälö, josta vo ratkasta aaltofunkton relatvstselle hukkaselle, jonka spn on 0) Huom merkntätapa ϕ t = ϕ t ϕx = ϕ x Ratkastaan ensn momenttkenttä (konjugaattkenttä) Π = ϕ t = ρϕ t Katsotaan stten Euler-Lagrangen yhtälötä: ϕ d d = 0 dt ϕ t dx ϕ x Mennään osa kerrallaan Joten yhtälö menee muotoon Yrte ϕ = exp ( (kx ωt)) Toteuttaa yhtälön, kun ϕ = 2µ2 ϕ d = ρϕ tt dt ϕ t d = γϕ xx dx ϕ x γ 2 ϕ x 2 ρ 2 ϕ t 2 2µ2 ϕ = 0 ω = ± γ ρ k2 + 2 ρ µ2

4 Stten SMG-teoraan: Sähkömagneettslle kentlle tyhjössä Lagrangen theys on muotoa L = 1 ɛe 2 1 B 2 = 1 ɛ ( t A + ϕ) 2 1 ( A) 2, 2 2µ 2 2µ mssä B = A E = t A ϕ Huom! t A = A t 5 Johda Lagrangen funktosta lkeyhtälöt SMG-kentälle Osota, että nästä yhtälöstä sekä vektorpotentaaln määrttelevstä yhtälöstä seuraa Maxwelln yhtälöt tyhjössä On syytä ensn krjottaa Lagrangen theys vektor- skalaarpotentaaln komponentten avulla, käyttää ntä kenttämuuttujna: L = 1 2 ɛ [ 0 ( t A x + x ϕ) 2 + ( t A y + y ϕ) 2 + ( t A z + z ϕ) 2] [ 1 2µ ( y 0 A z z A y ) 2 + ( z A x x A z ) 2 + ( x A y y A x ) 2] Stten lähdetään dervomaan kenttämuuttujen suhteen Otetaan ensn A x : Konjugaattkenttä: Edelleen muta dervaatto: Π x = Tällön Euler-Lagrange menee muotoon A x = 0 [ t A x ] = ɛ 0( t A x + x ϕ) = ɛ 0 E x [ x A x ] = 0, [ y A x ] = 1 µ 0 ( x A y y A x ) = 1 µ 0 B z [ z A x ] = 1 µ 0 ( z A x x A y ) = 1 µ 0 B y A x = d dt + d + [ t A x ] dx [ x A x ] ɛ 0 t E x + 1 µ 0 ( y B z z B y ) = 0 velä tosn sanoen ɛ 0 Ė x = 1 µ 0 ( B) x, jos tehdään sama myös komponentelle A y A z saadaan yhtälö ɛ 0 Ė = 1 µ 0 B Tämähän on tetenkn yks Maxwelln yhtälöstä tyhjössä Tostetaan nämä skalaarpotentaallle ϕ: Konjugaattkenttä: Π = Muden dervaattojen suhteen otetut dervaatat: ϕ = 0 [ t ϕ] = 0 [ x ϕ] = ɛ 0( t A x + x ϕ) = ɛ 0 E x,

5 Kun nämä hetetään Euler-Lagrangeen saadaan [ y ϕ] = ɛ 0( t A y + y ϕ) = ɛ 0 E y, [ z ϕ] = ɛ 0( t A z + z ϕ) = ɛ 0 E z ɛ 0 ( x E x + y E y + z E z ) = 0 ɛ 0 E = 0 Tämä on tonen Maxwelln yhtälö SMG-kentälle tyhjössä Loput kaks tulevat vektorpotentaaln skalaarpotentaaln määrtelmstä: B = A B = 0 E = t A ϕ E = Ḃ