Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
|
|
- Pentti Melasniemi
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Mtä opmme? / Tässä luvussa tarkastellaa seuraava todeäkösyyslaskea kovergesskästtetä: () Melke varma kovergess () Kvadraatte kovergess () Stokaste kovergess (v) Jakaumakovergess Todeäkösyyslaskea kovergesskästtede avulla päästää tarkastelemaa satuasmuuttuj jooje asymptoottsta käyttäytymstä. Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Mtä opmme? / Melke varma kovergess ja stokastse kovergess sovelluksea tarkastelemme suurte lukuje lakeja, jotka koskevat rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje artmeettse keskarvo asymptoottsta käyttäytymstä, ku satuasmuuttuje lukumäärä aetaa kasvaa rajatta. Jakaumakovergess sovelluksea tarkastelemme keskestä rajaarvolausetta, joka mukaa rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje summa jakauma lähestyy ormaaljakaumaa, ku yhteelaskettave lukumäärä aetaa rajatta kasvaa. Keskee raja-arvolause o ehkä tärke perustelu ormaaljakauma keskeselle asemalle tlastoteteessä. Keskese raja-arvolausee seurauksa tarkastellaa bom-, hypergeometrse ja Posso-jakautuede satuasmuuttuje rajakäyttäytymstä. TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Normaaljakaumasta johdettuja jakauma Momettemäfukto ja karakterste fukto Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet: Lsätedot Suurte lukuje lak o vtattu tlastollse stablteet kästtee matemaattsea formulota seuraavssa luvussa: Todeäkösyyslaskea peruskästteet Jakaume tuusluvut Keskestä raja-arvolausetta o sovellettu luvussa Jatkuva jakauma estettäessä mte bom-, hypergeometrsta ja Posso-jakauma vodaa approksmoda ormaaljakaumalla. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 6
2 TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä >> Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Avasaat Hekko kovergess Jakaumakovergess Kvadraatte kovergess Melke varma kovergess Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Stokaste kovergess Varma kovergess TKK (c) Ilkka Mell (004) 8 Kovergesskästtetä Satuasmuuttujat Olkoo ( S, F,Pr) todeäkösyyskettä ja olkoo (mtalle) fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo R : : S R Tällö o satuasmuuttuja. Jos haluamme korostaa stä, että satuasmuuttuja o otosavaruude S kuvaus reaallukuje joukkoo R, merktsemme (s) R, s S Kovergesskästtetä Satuasmuuttujat: Kommetteja Satuasmuuttuja o fuktoa täys määrätty, mutta sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu. Satuasmuuttuja kuvaa satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa. Satuasmuuttuja lttää jokasee satuaslmö tulosvahtoehtoo reaalluvu (umeerse kood). TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (004) 0 Kovergesskästtetä Satuasmuuttuje joot / Kovergesskästtetä Satuasmuuttuje joot / Tarkastelemme jatkossa satuasmuuttuje,, 3, muodostama jooja ja de kovergessa. Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo e ole lukujoo mssää tavaomasessa melessä, vaa se o lukujooje joukko. Satuasmuuttuje,, 3, muodostamassa joossa jokasee otosavaruude alkoo s S lttyy lukujoo (s), (s), 3 (s), Lukujoo (s), (s), 3 (s), vo kovergoda, ku s A S ja hajaatua, ku s A c S Tämä havato muodostaa tose lähtökohda todeäkösyyslaskea kovergesskästtede tarkastelulle. Tose lähtökohda muodostaa satuasmuuttuje,, 3, jakaume ja de kovergess tarkastelu. TKK (c) Ilkka Mell (004) TKK (c) Ilkka Mell (004)
3 TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästtetä Varma kovergess Kovergesskästtetä Melke varma kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo varmast koht satuasmuuttujaa, jos lm ( s) = ( s) s S Huomautus: Satuasmuuttuje jooje varmaa kovergessa käytetää la rajottavaa kovergess muotoa va harvo. Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttujaa, jos Pr(lm = ) = Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (a.s.) a.s. jossa lyhee a.s. = almost surely. TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk /3 Ltetää otosavaruude S = [0, ] osaväleh todeäkösyydet seuraavalla tavalla: Pr[a, b] = b a, 0 a b Määrtellää satuasmuuttuja otosavaruudessa S kaavalla (s) = s, s S Fukto ( ) o dette kuvaus. Määrtellää satuasmuuttuje, =,, 3, joo seuraavast:, ku s = 0 ( s) = s, ku 0 < s< 0, ku s = Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk /3 Satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo : kasvaessa rajatta koht rajamuuttujaa, ku s = 0 lm ( s) = s, ku 0 < s< 0, ku s = Olkoo joukko A = {s S lm (s) (s)} de otosavaruude S = [0, ] alkode (pstede) s joukko, jossa satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo e kovergo koht satuasmuuttuja (s) arvoa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Kovergesskästtetä Melke varma kovergess: Esmerkk 3/3 Satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo koht satuasmuuttujaa (s), jos 0 < s <, mutta e kovergo koht satuasmuuttujaa (s), jos s = 0 ta s =. Ste A = {s S lm (s) (s)} = {0, } Koska Pr(A) = 0 vomme saoa, että satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo koht satuasmuuttujaa (s) muualla pats ollamttasessa joukossa A. Ste olemme todstaeet, että satuasmuuttuje (s), =,, 3, muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttujaa (s): (a.s.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttujaa, jos lm E ( ) = 0 Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (q.m.) q.m. jossa lyhee q.m. = quadratc mea. TKK (c) Ilkka Mell (004) 8
4 TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess: Esmerkk / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvot ja varasst ovat E( ) = µ Var( ) = σ Määrtellää satuasmuuttuje,, 3,, artmeette keskarvo kaavalla =, =,,3, = Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess: Esmerkk / Koska satuasmuuttujat,, 3,, oletett rppumattomks ja llä o sama odotusarvo ja varass, de artmeette keskarvo =Σ / odotusarvo ja varass ovat E( ) = µ Var( ) = σ / Koska σ E[( µ ) ] = Var( ) = 0 satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo, =,,3, kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttuje,, 3, yhtestä odotusarvoa µ: µ (q.m.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 0 Kovergesskästtetä Stokaste kovergess Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttujaa, jos kaklle ε > 0 pätee lm Pr( > ε ) = 0 Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (P) P jossa lyhee P = probablty. Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk /3 Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ) oudattava satuasmuuttuja, jode odotusarvot ja varasst ovat E( ) = µ Var( ) = σ Määrtellää satuasmuuttuje,, 3,, artmeette keskarvo kaavalla Tällö =, =,,3, = N(, / ) µ σ TKK (c) Ilkka Mell (004) TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk /3 Kaklle ε > 0 pätee Pr( µ > ε ) = Pr( µ ε < < µ + ε) ε µ ε = Pr < <+ σ / σ / σ / ε ε = Pr < Z <+ σ / σ / ε ε = Φ Φ σ / σ / 0, ku jossa Φ(z) o stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja Z kertymäfukto. Kovergesskästtetä Stokaste kovergess: Esmerkk 3/3 Koska kaklle ε > 0 pätee Pr( µ > ε) 0, ku satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo, =,,3, kovergo stokastsest koht satuasmuuttuje,, 3, yhtestä odotusarvoa µ: µ (P) TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4
5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess / Kovergesskästtetä Jakaumakovergess / Olkoo,, 3, joo satuasmuuttuja, jode kertymäfuktot ovat F (x), F (x), F 3 (x), Satuasmuuttuje,, 3, muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht satuasmuuttujaa, joka kertymäfukto o F (x), jos lm F( x) = F( x) jokasessa satuasmuuttuja kertymäfukto F (x) jatkuvuuspsteessä x el sellasessa psteessä x, jossa F (x) o jatkuva. Käytämme tällö seuraava merktöjä: lm = (L) F ( x) L jossa L = (probablty) law. Krjame L tlalla käytetää joskus krjata D: D = dstrbuto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess: Esmerkk / Olkoo,, 3, joo satuasmuuttuja, jode kertymäfuktot ovat 0, ku x < 0 x F ( x) =, ku 0 x 0, ku x> Koska x x lm = e lm F( x) = e x, x 0 Kovergesskästtetä Jakaumakovergess: Esmerkk / Fukto x F( x) = e, x 0 o ekspoettjakauma Exp() kertymäfukto. Ste satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht satuasmuuttujaa ~ Exp(): ~ Exp() TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (004) 8 Kovergesskästtetä Kovergesskästtede yhteydet / Kovergesskästtetä Kovergesskästtede yhteydet / Vodaa osottaa, että todeäkösyyslaskea kovergesskästtellä o seuraavat yhteydet: () Melke varma kovergess (a.s.) mplko stokastse kovergess (P). () Kvadraatte kovergess (q.m.) mplko stokastse kovergess (P). () Stokaste kovergess (P) mplko jakaumakovergess el heko kovergess (L). (v) Melke varma ja kvadraattse kovergess yhteydestä e voda saoa mtää ylestä. Todstamme seuraavassa kohda (). Kovergesskästtede yhteydet vodaa esttää seuraavaa kaavoa: Melke varma kovergess (a.s.) Stokaste kovergess (P) Jakaumakovergess (L) Kvadraatte kovergess (q.m.) TKK (c) Ilkka Mell (004) 9 TKK (c) Ilkka Mell (004) 30
6 TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess mplko stokastse kovergess: Todstus / Oletetaa, että satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo kvadraattsest koht satuasmuuttujaa, jollo lm E ( ) 0 = Tarkastellaa todeäkösyyttä Pr( > ε ) Markov epäyhtälöstä (ks. lukua Jakaume tuusluvut) ja kvadraattse kovergess määrtelmästä seuraa, että Pr( > ε ) E ( ) 0 ε Kovergesskästtetä Kvadraatte kovergess mplko stokastse kovergess: Todstus / Koska Pr( > ε ) 0 satuasmuuttuje, =,, 3, muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttujaa suoraa stokastse kovergess määrtelmä perusteella. TKK (c) Ilkka Mell (004) 3 Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Suurte lukuje lat Kovergesskästtetä >> Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Avasaat Hekko suurte lukuje lak Melke varma kovergess Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Stokaste kovergess Vahva suurte lukuje lak TKK (c) Ilkka Mell (004) 33 TKK (c) Ilkka Mell (004) 34 Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak / Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma ja samo jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo: E( ) = µ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = Tällö pätee vahva suurte lukuje lak: Satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje = Σ / muodostama joo kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa µ: a.s. µ Huomautus: Vahva suurte lukuje la todstus o vaatva ja svuutetaa; Se sjaa todstamme seuraavassa heko suurte lukuje la. TKK (c) Ilkka Mell (004) 35 TKK (c) Ilkka Mell (004) 36
7 TKK (c) Ilkka Mell (004) 37 Suurte lukuje lat Vahva suurte lukuje lak: Kommetteja Vahva suurte lukuje lak lmastaa use sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa rajatta muuttuje yhtestä odotusarvoa melke kakkalla el se otosavaruude S osajoukko, jossa kovergessa e tapahdu o ollamttae. Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak / Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass: E( ) = µ, D ( ) = σ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = TKK (c) Ilkka Mell (004) 38 Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak / Tällö pätee hekko suurte lukuje lak: Satuasmuuttuje,, 3,, artmeettste keskarvoje =Σ / muodostama joo kovergo stokastsest koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa µ: P µ Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak: Todstus Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass: E( ) = µ, D ( ) = σ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo: = = Tshebyshev epäyhtälö (ks. lukua Jakaume tuusluvut) mukaa σ Pr( µ > ε) ε Koska epäyhtälö okea puol 0, ku, P µ TKK (c) Ilkka Mell (004) 39 TKK (c) Ilkka Mell (004) 40 Suurte lukuje lat Hekko suurte lukuje lak: Kommetteja Hekko suurte lukuje lak lmastaa use sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa muuttuje yhtestä odotusarvoa sellasella tavalla, että pokkeame todeäkösyys satuasmuuttuje yhtesestä odotusarvosta tulee yhä peemmäks el pokkeamat tulevat yhä harvasemmks. Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Kommetteja Suurte lukuje lakeja vodaa ptää matemaattsea formulota tlastollse stablteet kästteelle (ks. lukua Todeäkösyyslaskea peruskästteet). Suurte lukuje lat koskevat satuasmuuttuje asymptoottsta käyttäytymstä samaa tapaa ku keskee raja-arvolause. Vahva suurte lukuje lak mplko heko suurte lukuje la. Suurte lukuje laesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus-ja rppumattomuusoletuksa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 4 TKK (c) Ilkka Mell (004) 4
8 TKK (c) Ilkka Mell (004) 43 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk /5 Olkoo A otosavaruude S jok tapahtuma ja oletetaa, että Pr(A) = p Tällö Pr(A c ) = Pr(A) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja :, jos A tapahtuu = 0, jos A e tapahdu Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o x x f( x) = Pr( = x) = p q,0< p<, q = p, x= 0, jote satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p (ks. lukua Dskreettejä jakauma): ~ Beroull(p) E() = p Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk /5 Tostetaa edellsellä kalvolla määrteltyä Beroull-koetta kertaa ja oletetaa, että koetostot ovat rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A sattumsta koetostoje akaa. Oletukse mukaa Pr(A) = p, Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttujat, =,,, :, jos A tapahtuu kokeessa = 0, jos A e tapahdu kokeessa Satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p):,,, ~ Beroull(p), =,,, E( ) = p, =,,, TKK (c) Ilkka Mell (004) 44 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 3/5 Olkoo Y = = satuasmuuttuje, =,,, summa. Koska luku estyy summassa täsmällee yhtä mota kertaa ku tapahtuma A sattuu : koetosto akaa, satuasmuuttuja Y kuvaa tapahtuma A estymste frekvessä el lukumäärää - kertasessa Beroull-kokeessa. Satuasmuuttuja Y oudattaa Bomjakaumaa parametre ja p (ks. lukua Dskreettejä jakauma): Y ~ B(, p) E(Y) = p Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 4/5 Satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo Y = = = kuvaa tapahtuma A estymste suhteellsta frekvessä el suhteellsta lukumäärää -kertasessa Beroull-kokeessa. Tlastoteteessä satuasmuuttujat, =,,, tulktaa havaoks sama Beroull-kokee tostosta. Tällö suhteellselle frekvesslle Y/ käytetää tavallsest merktää f pˆ = jossa f o tapahtuma A havattu frekvess, ku tarkastelu kohteea oleva satuaslmö o tostuut kertaa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 45 TKK (c) Ilkka Mell (004) 46 Suurte lukuje lat Suurte lukuje lat: Esmerkk 5/5 Vahva suurte lukuje la mukaa suhteelle frekvess pˆ = f / kovergo melke varmast el todeäkösyydellä yks koht tapahtuma A todeäkösyyttä p: a.s. pˆ = f / p = Pr( A) Koska vahva suurte lukuje lak mplko heko suurte lukuje la, tedämme, että tapahtuma A suhteelle frekvess kovergo myös stokastsest koht tapahtuma A todeäkösyyttä. Koska tapahtuma A havattu suhteelle frekvess pˆ = f / kovergo koht tapahtuma A todeäkösyyttä Pr(A) = p, ku havatoje lukumäärä kasvaa rajatta, saomme, että suhteelle frekvess tarketuu havatoje lukumäärä kasvaessa kohde tapahtuma A todeäkösyyttä. Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat >> Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa TKK (c) Ilkka Mell (004) 47 TKK (c) Ilkka Mell (004) 48
9 TKK (c) Ilkka Mell (004) 49 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause Johdato / Avasaat Approksmot Asymptootte Hekko kovergess Jakaumakovergess Kertymäfukto Normaaljakauma Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje summa Stadardotu ormaaljakauma Theysfukto Olkoo, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa N(µ, σ ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuje summa Y o ormaale: Y = = ~N( µ, σ ) Kysymys: Mtä vodaa saoa rppumattome, samaa jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakaumasta, jos ko. satuasmuuttujat evät oudata ormaaljakaumaa? TKK (c) Ilkka Mell (004) 50 Keskee raja-arvolause Johdato / Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot /3 E-ormaalste satuasmuuttuje summa e yleesä ole ormaale. Kutek, jos yhteelaskettava o tarpeeks paljo, satuasmuuttuje summa o (hyv yles ehdo) approksmatvsest ormaale. Tämä o keskese raja-arvolausee oleae ssältö. Koska moa satuasmuuttuja vodaa ptää usea rppumattoma tekjä summaa, ataa keskee rajaarvolause seltykse emprselle havaolle de ormaalsuudesta. Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo ja varass ovat E( ) = µ, =,,3, D( ) = σ, =,,3, Olkoo Y = = satuasmuuttuje, =,,, summa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 TKK (c) Ilkka Mell (004) 5 Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot /3 Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee formulot 3/3 Summa Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stadardodaa summa Y : Y µ Z = σ Aetaa Tällö satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ). Ste keskee raja-arvolause saoo, että µ = lm Pr z =Φ( z) σ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Merktä: µ = a N(0,) σ TKK (c) Ilkka Mell (004) 53 TKK (c) Ilkka Mell (004) 54
10 TKK (c) Ilkka Mell (004) 55 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus /9 Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja. Oletetaa, että satuasmuuttujlla, =,, 3, o (yhtee) momettemäfukto (ks. lukua Momettemäfukto ja karakterste fukto) jossak orgo ympärstössä. Olkoot satuasmuuttuje, =,, 3, odotusarvo ja varass E( ) = µ, =,,3, D( ) = σ, =,,3, Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus /9 Olkoo Y = satuasmuuttuje, =,,, summa. Summamuuttuja Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stadardodaa summa Y : Y µ Z = σ Stadardodu muuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( Z ) = 0 D( Z ) = TKK (c) Ilkka Mell (004) 56 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 3/9 Srrytää tarkastelemaa keskstettyjä satuasmuuttuja T = µ, =,,3 Satuasmuuttuje T odotusarvo ja varass ovat E( T ) = 0, =,,3, D( T ) = σ, =,,3, Keskstettyje muuttuje T avulla stadardotu muuttuja Z vodaa krjottaa muotoo Y µ Z = σ µ = σ = ( T+ T + + T ) σ Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 4/9 Satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto olemassaolosta jossak orgo ympärstössä seuraa kesktettyje muuttuje T = µ, =,,3 momettemäfukto olemassaolo jossak orgo ympärstössä. Olkoo mt () = E( e tt ) satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtee momettemäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 57 TKK (c) Ilkka Mell (004) 58 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 5/9 Koska rppumattome satuasmuuttuje summa momettemäfukto o summa tekjöde momettemäfuktode tulo, satuasmuuttuja Y µ Z = = ( T+ T + + T ) σ σ momettemäfukto m (t) vodaa esttää muodossa t m () t = m σ jossa ss m(t) o satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtee momettemäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 59 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 6/9 Satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtesellä momettemäfuktolla m(t) o jossak pstee t = 0 ympärstössä vomassa sarjakehtelmä α mt () = + αt+ t + tη() t jossa k α k = E( T ), k =,,3, o satuasmuuttuje T, =,, 3, k. (orgo-) momett ja η(t) 0, ku t 0. Koska α = E( T ) = 0, =,,3, α = E( T ) = D ( T) = σ, =,,3, α σ mt () = + αt+ t + tη() t = + t + tη() t TKK (c) Ilkka Mell (004) 60
11 TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 7/9 Sjotetaa satuasmuuttuje T, =,, 3, yhtese momettemäfukto m(t) sarjakehtelmä mt () = + σ t + tη() t satuasmuuttuja Y µ Z = = ( T+ T + + T ) σ σ momettemäfukto lausekkeesee t m () t = m σ Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 8/9 Saamme sjotukse tuloksea lausekkee σ t t t m () t = + + η σ σ σ t t t = + + η σ σ jossa t lm 0 η = σ jokaselle kteälle t. TKK (c) Ilkka Mell (004) 6 Keskee raja-arvolause Keskee raja-arvolause: Todstus 9/9 Ekspoettfukto omasuukse perusteella t t t t m () t = + + η e σ σ Koska t / e o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) momettemäfukto, satuasmuuttuje Y µ Z = σ muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ): L Z Z N(0,) / Keskee raja-arvolause Kommetteja /3 Keskese raja-arvolausee mukaa usea satuasmuuttuja summa o (tety ehdo) approksmatvsest ormaale (lähes) rppumatta yhteelaskettave jakaumasta. Huomautus: Yhteelaskettave e tarvtse olla edes jatkuva, vaa e vovat olla jopa dskreettejä. TKK (c) Ilkka Mell (004) 63 TKK (c) Ilkka Mell (004) 64 Keskee raja-arvolause Kommetteja /3 Keskee raja-arvolause Kommetteja 3/3 Approksmaato hyvyys rppuu yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärästä, de jakaumasta ja ertysest de jakauma voudesta. Approksmaato hyvyys paraee, ku yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärä kasvaa. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o symmetre, approksmaato o hyvä jo suhteellse pellä yhteelaskettave lukumäärllä. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o epäsymmetre, hyvä approksmaato vaat eemmä yhteelaskettava. Keskee raja-arvolause koskee satuasmuuttuje asymptoottsta käyttäytymstä samaa tapaa ku suurte lukuje lak. Keskesessä raja-arvolauseessa estyvä rajakäyttäytymse muoto o esmerkk jakaumakovergesssta el hekosta kovergesssta. Keskesestä raja-arvolauseesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa leveetää samojakautuesuus-ja rppumattomuusoletuksa. TKK (c) Ilkka Mell (004) 65 TKK (c) Ilkka Mell (004) 66
12 TKK (c) Ilkka Mell (004) 67 Keskee raja-arvolause Artmeettse keskarvo approksmatve jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa: Rppumattome samo jakautuede satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo = = o suurlle (mutta äärellslle) approksmatvsest ormaale parametreaa µ ja σ /: σ N µ, a Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause >> Keskese raja-arvolausee seurauksa TKK (c) Ilkka Mell (004) 68 Keskese raja-arvolausee seurauksa Keskese raja-arvolausee seurauksa De Movre ja Laplace raja-arvolause Avasaat Approksmot Asymptootte Bomjakauma Hekko kovergess Hypergeometre jakauma Jakaumakovergess Kertymäfukto Normaaljakauma Posso-jakauma Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje joo Satuasmuuttuje summa Stadardotu ormaaljakauma Theysfukto Olkoo B(, p) ja q = p. Ste E( ) = p Var( ) = pq Keskese raja-arvolausee mukaa p lm Pr z =Φ( z) + pq jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Tätä keskese raja-arvolausee seurausta o tapaa kutsuta De Movre ja Laplace raja-arvolauseeks. TKK (c) Ilkka Mell (004) 69 TKK (c) Ilkka Mell (004) 70 Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa bomjakaumaa B(, p) vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa µ = p σ = pq, q = p Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Jos ss B(, p) De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa suurlle b p a p Pr( a< b) Φ Φ pq pq jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 7 TKK (c) Ilkka Mell (004) 7
13 TKK (c) Ilkka Mell (004) 73 Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b+ / p a / p Pr( a< b) Φ Φ pq pq Korjaustekjä / ottame mukaa perustuu she, että dskreettä bomjakaumaa approksmodaa jatkuvalla ormaaljakaumalla. Keskese raja-arvolausee seurauksa Bomtodeäkösyydet ja ormaaljakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b+ / p Pr( b) = F ( b) Φ pq jossa F o bomjakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a+ / p a / p Pr( = a) = f ( a) Φ Φ pq pq jossa f o bomjakauma pstetodeäkösyysfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 74 Keskese raja-arvolausee seurauksa Hypergeometrse jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma / Hypergeometre jakauma HyperGeom(N, r, ) lähestyy perusjouko koo N kasvaessa rajatta bomjakaumaa B(, p) jossa p = r/n Keskese raja-arvolausee seurauksa Hypergeometrse jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma / Ste hypergeometrsta jakaumaa HyperGeom(N, r, ) vodaa suurlle N approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa r µ = N r r σ = N N TKK (c) Ilkka Mell (004) 75 TKK (c) Ilkka Mell (004) 76 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma ja ormaaljakauma Olkoo Posso(λ). Ste E( ) = λ Var( ) = λ Keskese raja-arvolausee mukaa λ lm Pr z =Φ( z) λ + λ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Posso-jakaumaa koskeva raja-arvolausee mukaa Posso-jakaumaa Posso(λ) vodaa suurlle λ approksmoda ormaaljakaumalla N(µ, σ ) jossa µ = λ σ = λ TKK (c) Ilkka Mell (004) 77 TKK (c) Ilkka Mell (004) 78
14 TKK (c) Ilkka Mell (004) 79 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma /4 Jos ss Posso(λ) Posso-jakaumaa koskeva raja-arvolausee mukaa suurlle λ b λ a λ Pr( a< b) Φ Φ λ λ jossa Φ o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma 3/4 Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b+ / λ a / λ Pr( a< b) Φ Φ λ λ Korjaustekjä / ottame mukaa perustuu she, että dskreettä Posso-jakaumaa approksmodaa jatkuvalla ormaaljakaumalla. TKK (c) Ilkka Mell (004) 80 Keskese raja-arvolausee seurauksa Posso-jakauma todeäkösyydet ja ormaaljakauma 4/4 Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b + / λ Pr( b) = F ( b) Φ λ jossa F o Posso-jakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a+ / λ a / λ Pr( = a) = f ( a) Φ Φ λ λ jossa f o Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto. TKK (c) Ilkka Mell (004) 8
1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
LisätiedotBaltian Tie 2001 ratkaisuja
Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotSuoran sovittaminen pistejoukkoon
Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedot10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
LisätiedotVarianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
Lisätiedot7. Menetysjärjestelmät
lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25 Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedot