Kuntoilijan juoksumalli

Transkriptio

1 Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall soveltuu kutenkn myös satunnasen kuntoljan tulosten tarkasteluun. Avansanat: juoksumall, energatasapano, pka- ja kestävyysjuoksun raja sekä aerobnen vauht Juoksun mallntamnen Fl.tr Reno Tuokko esttää krjassaan [1] koulufyskkaan perustuvan näppärän malln Juoksun dynamkka. Tuokon mall ssältää kaks fysologsta parametra: k on aerobnen parametr el hengtyslman hapen avulla kehtetty teho ja parametr A ovat hapettomast el anaerobsest kehtetty energan vakoerä. Tuokon krjan [1] jälkeen prof. Keller julkas kaks ansokasta artkkela [2] ja []. Hän käytt lmanvastukselle nopeuteen verrannollsta laka ja lasketut juoksut oletettn suortetun suoralla radalla (lman kaarteta). Kellern optmjuoksun peraatteet: ensn nopea khdytys, stten tasanen matkavauht ja lopussa hdastusvahe el energan loppumnen ovat veläkn ylesest hyväksytyt. TKK:n Mekankan latokselle muotoutunut tutkjaryhmä ([4], [5] ja [6]) ott käyttöön nelöllsen lmanvastuslan sekä mallns myös kaarrejuoksun. Mallt ([2] [6]) ssältävät neljä parametra. Mallen [2] [6] soveltamnen on melko työlästä ja vaat runsaast dataa. Tuokon kaksparametrnen mall tarkastelee peraatteessa van juoksun tasasta keskosuutta, mssä s = vt. Tuokon mall on sks epätarkka juoksun alkuvaheessa. Tutkmuksessa selvtettn, kunka Tuokon mall sop tavallsen kuntoljan satunnasten juoksutulosten tarkasteluun. Tuokon mall Juoksun dynamkka Tuokko esttää krjassaan ([1] s. 9-16) päättelyyn perustuvan johdon tasasen vauhdn energayhtälölle. Samaan kaavaan päädytään, jos lähdetään massaykskköä kohden määrtellystä perusyhtälöstä ([7] s. ja 4). 61

2 Lkeyhtälö tyynessä lmassa alkuehtoneen on dv ( ), kv T f v dt + = = Lähteden [4] ja [7] mukaan kokonasvastuskerron muodostuu jalkojen rotaatovastuksesta k R m ja juoksjan lmanvastuksesta ja k D 0.00m el kt = kr + kd m < m. Eteenpän vevä voma on f < f max 8.46 Nkg Energayhtälö alku- ja rajotusehtoneen on de = σ fv, e( 0) e0 e( t) 0 dt -1 Aerobnen kerron on σ Wkg ja anaerobsen energavaraston et () alkuehto on e Jkg. Elmnomalla voma f saadaan tehoyhtälö ( ) -1 Koska matkavauht on vako v Sevennetään tämä velä muotoon d dt 1 ( ) v + e = σ k v 2 2 T = s t, saadaan tehoyhtälöstä ntegromalla 2 () 0 = σ T σ T et e t ktv t kt s T ( ) σ e e t t + t = s k k 0 2 T Paras loppuaka saadaan, jos kakk anaerobnen energa on käytetty maallnjaa yltettäessä el et () = 0. Kun otetaan käyttöön merknnät k = σ kt ja A= e0 kt, saadaan Tuokon peruskaava ([1] s. 16) 2 kt + At = s (1) Tämän kaavan kertomen dmensot käyvät lm yllä olevasta johdosta. Käytetään laskussa SI-mttajärjestelmää. Sovtus penmmän nelösumman menetelmällä Ajatellaan, että testjuoksussa on saatu joukko aka-matka-pareja ( t, s ) täysn toteuta kaavaa (1) vaan syntyy vrhetä Muodostetaan Gaussn vrhefunkto 2. Nämä evät ε = kt + At s (2) 2 e = ε () 62

3 Sllä on mnm, kun seuraavat osttasdervaatat hävävät Nämä johtavat yhtälöryhmään ( ) 1 e ε = 2 ε εt = kt + At s t = 0 2 k k ( ) 1 e ε = ε εt = kt + At s t = 0 2 A A (4) = 0 (5) k t A t s t = 0 (6) k t A t s t Merktään yhtälöryhmän kerrondetermnantt sekä determnantt D 6 5 t 5 4 t t D = t 5 st t st t =, D 6 t st t st = Yhtälöryhmästä (5) ja (6) seuraa kaavan (1) kertomlle ratkasut (7) (8) k = D1 D, (9) A= D2 D (10) Yhtälöt (5) ja (6) votasn ratkasta myös valmsohjelmlla kuten Mathematan Solveohjelmalla. Teoran tarkastelu Lähteen [1] s mukaan, jos hengtyksen kautta saatu energa kt tulee yhtä suureks kun perusenergan vakoerä A, on saavutettu raja, jossa anaerobnen pkajuoksu ja aerobnen kestävyysjuoksu kohtaavat tosensa. Tämä raja on lähdöstä sekuntena jollon juostu matka s ja rajavauht v ovat t = A k = D D (11) 2 1 s = t k (12) 2 6

4 v = k 2 (1) Kaavasta (1) seuraa matkan lauseke ajan funktona Vauht ajan funktona, kun t > 0, on Ak = 1+ = 1+ (14) t s t k t k t t s v= = k 1 + t / t (15) t Kun aka kasvaa suureks t, lähestyy vauht (15) aerobsta raja-arvoa v s t k aer = lm = (16) t Tettyä matkaa s vastaava juoksuaka t johtaa kaavasta (14) ratkastuna suhteen τ = tt = s t v, kolmannen asteen polynomn, kun on merktty ( ) aer 2 τ + τ = 0 (17) Sen ratkasu saadaan Cardanon kaavojen avulla. Merktään p = 1 ja q= Tarkasteltavaan tapaukseen sopva ratkasu on ([8] s kaavat 7 17) 2 2 τ = q 2 + q 4 + p 27 + q 2 q 4 + p 27 1 (18) Jos τ >> 1, saadaan sarjakehtelmän avulla lkkaava Merktään laskettuja akoja T T( s ) =. t s v t (19) aer 1 Sovellutus Tutkmuksen satunnanen kuntourhelja on v syntynyt nanen. Hän juoks erptusa matkoja Otanemen urhelukentällä lman varsnasta alkuverryttelyä tselleen sopvantuntusella vauhdlla. Juoksuaka otettn sekuntkellolla ta rannekellolla. Nasten Kympllä juosten ja välllä kävellen saatu 10 km:n aka on lkmääränen. Tulokset ovat taulukossa 1. Nästä tulokssta määrtettn Gaussn penmmän nelösumman menetelmällä vakot k ja A. Näden avulla votn stten määrttää anaerobsen ja aerobsen juoksun raja. Samon votn määrttää ns. aerobnen vauht, jota juoksja pdemmllä matkolla kykenee teorassa ylläptämään. Tuokon teora ja juoksjan omat kokemukset juoksusta sopvat hyvn yhteen. Juoksja on saavuttanut seuraavat tulokset er matkolla ( s, t ) ; matka metrenä ja aka sekuntena. Lsäks on sovtuksen jälkeen laskettu aka T 64

5 Taulukko 1. Juostut matka-aka-part (, ) s t sekä kaavasta (18) laskettu aka T s[m] t[s] T [s] Kun on laskettu determnantt (7) ja (8), saadaan kaavasta (9) aerobnen kerron ja kaavasta (10) perusenerga Kaavasta (16) saadaan aerobnen vauht - k = m s -2 A = m s vaer = k = 2.19 ms 2.2 ms -1-1 Kaavosta (11) ja (12) seuraa anaerobsen ja aerobsen juoksun raja t = A k = 86.28s Vauht on tällön kaavasta (1) s A k k = = m 28m v = 2 v = 2.76 ms 2.8ms aer -1-1 Juoksja kerto, että eräässä ennätysyrtyksessä hänelle tul juoksussa tällä vauhdlla vakeuksa juur 240 m kohdalla ja hän keskeytt juoksun. Syynä ol, että vauht ol ollut aerobseen vauhtn nähden 0,6 m/s lan kova. Prretään puollogartmnen aka-matka kuvaaja jollon saadaan sen lyhyt anaerobnen alku eroon aerobsesta jälkosasta. Kuvasta 2 nähdään mten juoksuvauht vähenee s, t käyrälle (14) matkan pdentyessä Kuten kuvasta nähdään osuvat psteet ( ) 65

6 s/m t/s Kuva 1. Juoksjan puollogartmnen aka-matka kuvaaja v m s s/m Kuva 2. Juoksjan matka-vauht kuvaaja Sovtuksen tarkkuus Vrhefunkton () kuvaaja osottautuu olevan kaukalomanen pnta, jonka ptken reunojen jyrkkyyttä määrttää parametr k, kun taas parametr A määrttää kaukalon pohjan käyryyden ptuussuunnassa. Nän ollen [12] parametr k vahtelee heman mutta parametr A vo vahdella huomattavastkn. Esmerkks Mathematan FndMnmum antaa k = 10.48m s ja A = m s ja NonlnearFt antaa k = 10.1m s ja -2 A = m s Lasketaan ajan vrheden nelöllnen keskarvo el RMS-arvo, joka on hajonnan mtta n= RMS = ( t T) = 21.6s 22s (20) n 1 Koska alussa estetty sovtusmenetelmä antaa parhaan RMS-arvon, e muta menetelmä kästellä tässä enempää. = 1 66

7 Koska vrheet johtuvat yleensä monsta tekjöstä, vodaan nden olettaa noudattavan Gaussn kellokäyrää. Se antaa todennäkösyyden p, että juostu aka pokkeaa lasketusta määrän vako kertaa RMS ([9] s ). t T RMS = x, jollon todennäkösyydellä p on vomassa Merktään ( ) + r 1 x { } 2 2 P r < x<+ r = e dx=φ( r, + r) = p 2π (21) Juostu tulos t eroaa lasketusta T todennäkösyydellä p vähemmän kun ± rrms el r T rrms < t < T + rrms (22) 1 Suureen r ratkasemsta varten tarvtaan kääntestä vrhefunktota ( p) Φ = r. Sen arvo saadaan joko taulukosta ([9] s ) ta Mathematan InverseErf[p]-funktolla. Laskutulokset 95 %: n todennäkösyydelle ovat ( ) 1 r p InverseErf p =Φ = 0.95 = 2 [ = 0.95] = 1.96 rrms = s 4s (2) Yksnkertanen sovtus E käytetä Gaussn penmmän nelösumman menetelmää vaan lasketaan vakot k ja A esm. matkojen 100m ja 4000m arvosta, jotka ovat krttsen psteen molemmn puoln. Verrataan saatuja arvoja penmmän nelösumman menetelmän avulla saatuhn arvohn. Ensn saadaan parametrt k = m s < m s ja A = m s > m s. Lasketaan näden perusteella stten muut suureet. Aerobnen vauht on vaer = k = 2.17 ms 2.2 ms 2.2 ms ja krttset arvot aka, matka ja vauht ovat t = A k = 16.56s >86.28s s A k k = 2 = 7.1m 7m >28m v = = < 2 2.7ms ms ms -1 k sekä vmeks sovtuksen tarkkuus 67

8 n= RMS = ( t T) = 20.7s 20s < 22s (24) n 1 = 1 Nähdään, että aerobnen parametr k e paljonkaan muuttunut, josta syystä aerobnen vauht v aer ja krttnen vauht v pysyvät lkman ennallaan. Anaerobsen parametrn A kasvamsen myötä krttnen aka t ja matka s kasvovat huomattavast. Sovtuksen tarkkuuden RMS-arvo penen yllättäen kahdella sekunnlla, mkä on käytännössä merktyksetöntä. Tärkentä on todeta, että parametrt k ja A saatn määrtetyks melko yksnkertasest kahdesta juoksutuloksesta. Parametren k ja A muuttumsen el harjottelun vakutus Oletetaan, että juoksja ols harjotuksella lsännyt parametren k ja A arvoja el suhteellnen muutos ols ollut dk k = ε k ja da A = ε A. Mten vodaan arvoda juoksutuloksen parantumnen? Ensnnäkn parametren arvon muuttumnen vakuttaa krttseen psteeseen el suuresn t, s, v ja v aer ; kaavat (11), (12), (1) ja (16). Kaava (11) korvautuu nyt kaavalla t A 1+ ε A A = = f k 1+ ε k ( ε, ε ) A k k (25) josta näkyy myös parametren uudet lausekkeet A( + ε ) ja k ( ε ) 1 A 1+ k. Peraatteessa votasn kaavojen (17) ja (18) avulla tutka mten juoksuajat muuttuvat uuden t :n myötä. Helpommn saadaan lkmääränen vastaus seuraavast. Ptämällä matkaa s vakona ja dfferentomalla lauseke (1) vodaan johtaa kaava dt tt 1 dt k dt A = εk + εa t t t + 2 t t + 2 t t (26) Tämän kaavan avulla on mahdollsta arvoda, mten juoksutulos muuttus parametren muuttuessa. Seuraavassa taulukossa nähdään mten parametrt ja krttnen pste muuttuvat kaavan (26) mukaan ja taulukossa 4 nähdään juoksuakojen muutokset. Oletetaan esmerkks, että ε A = 0.0 ta 0.2 ja ε k = 0.0 ta 0.1. Olkoon tapaus a: ε A = 0.2 ja ε k = 0.1 f (0.2,0.1) = 1.09, tapaus b: ε A = 0.2 ja ε k = 0.0 f (0.2,0.0) = 1.20 sekä tapaus : ε A = 0.0 ja ε k = 0.1 f (0.0,0.1) = Taulukosta nähdään mten krttnen pste srtyy er tapauksssa. Ero matkossa b ja tapauksen välllä on vähän päälle 60m. 68

9 Taulukko. Testjuoksjan eräden arvojen muuttumnen parametrn k ja A muuttuessa suure tapaus test a b k A v v - m s s m s t [] [ ] [ ] [ ] s aer m m s m s Taulukko 4. Testjuoksjan juoksuakojen parannukset Δ t parametrn k ja A muuttuessa s[m] t[s] a Δt [s] b Δt [s] Δt [s] Kun dt k = dt A nn startsta on juostu akana t = tε A ε k matka s = k t ( ε A εk) 1+ εk εa jollon molemmat ajan parannukset, anaerobnen ja aerobnen ovat yhtä suuret. Sen jälkeen aerobnen domno. Tapauksessa a on tämä aka s ja matka 486.9m. Koska t :t ovat taulukon mukaan er tapauksssa er suuret, e superpononta voda käyttää. Kuten taulukosta 4 nähdään, on Δ t <Δ t +Δ t a b. Testjuoksjan sekä SE että ME ennätysten vertalu Lähteestä [10] saadaan Suomen Veteraanurheljalton (SVU) ennätykset sarjassa yl 65 vuotta. Lähteestä [11] saadaan IAAF:n vomassa olevat nasten ja mesten juoksun maalmanennätykset. Ennätykset olvat vomassa henäkuulla Lsäks lasketaan mhn päädytään Tuokon krjan [1] antamen k ja A arvojen perusteella. 69

10 Taulukko 5. Testjuoksjan, suomalasten 65v nasten ja mesten sekä nasten ja mesten maalmanennätysten vertalu ja Tuokon arvot Testjuoksja SVUN65 SVUM65 IAAFN IAAFM Tuokko - k m s A m s t [] s s [ m] v ms v aer ms RMS s kpl [] Vakka ennätykset [10] ja [11] ovat er henklöden tekemät, suortetaan nden perusteella kutenkn samat laskutomtukset kun testjuoksjalle. Keskeset tulokset näkyvät taulukossa 5. Ensmmäsessä pystysarakkeessa on testjuoksjan saavuttamat arvot. Tosessa ja kolmannessa pystysarakkeessa ovat suomalasten nasten ja mesten sarjassa 65 vuotta ennätyksstä lasketut arvot. Neljännessä ja vdennessä pystysarakkeessa ovat IAAF:n nasten ja mesten maalmanennätyksstä lasketut arvot. Kuudennessa pystysarakkeessa on Tuokon krjassaan ([1] s. 1) arvomat k ja A arvot sekä nstä lasketut muut arvot. Almmalla vaakarvllä nähdään sovtuksen tarkkuus: RMS-luku sekä kunka monesta juoksutuloksesta se on laskettu. Seuraavsta kuvsta ja 4 näkyy vertalussa ero selväst. Vasemmalta okealle: ensn IAAF:n ME-mesten ja -nasten käyrät, stten tulevat SVU 65v mesten ja nasten ennätyksstä lasketut käyrät ja lopuks tekstjuoksjan juoksemat tulokset näkyvät enten okealla olevalla käyrällä. s m t s Kuva. IAAF:n ennätysmesten ja -nasten ja SVU:n 65v ennätysmesten ja nasten sekä testjuoksjan aka-matka käyrät 70

11 v m s s m Kuva 4. IAAF:n ennätysmesten ja -nasten ja SVU:n 65v ennätysmesten ja nasten sekä testjuoksjan matka-vauht käyrät s m t s Kuva 5. SVU:n 65v ennätysnasten ja testjuoksjan puollogartmnen aka-matka kuvaaja Käyrän kulmakerron kertoo juoksuvauhdn, joka paranee okealta vasemmalle mentäessä. Kuva 4 kertoo mten juoksuvauht hpuu matkan pdentyessä maalmanennätysjuoksjolla sekä suomalaslla 65v ennätysjuoksjolla että testjuoksjalla. Kannattaa mustaa, että kuvan 4 käyrät ovat alkupäässään väärstynetä. Kakk saavuttavat lähes aerobsen vauhdn non 4000m jälkeen. Kuvan 5 puollogartmsssa aka-matka käyrssä nähdään SVU:n 65v ennätysnasten ja testjuoksjan ero. Kuten taulukosta 5 näkyy, tarkkuus on IAAF:n mesten ennätyksssä ja SVU:n 65v nasten ennätyksssä samaa suuruusluokkaa. Testjuoksjan sovtuksen tarkkuus ol RMS 22s. Ennätysmesten ja nasten sovtuksen tarkkuuden hyvä arvo johtunee stä, että ennätysjuoksjat muodostavat varsn homogeensen joukon. 71

12 Vauhdn hpumnen maratonmatkolla Taulukossa 5 lasketut arvot pohjautuvat radalla juostuhn tuloksn. Sekä puolmaraton että kokomaraton juostaan maastossa, joten maaston laatu vakuttaa hdastavast vauhtn. Lsäks tulee tankkaamsesta ynnä musta häröstä lsää hdastusta. Taulukon 5 kahden ensmmäsen vaakarvn k ja A arvoja käyttäen vodaan laskea puol- ja kokomaratonlle teoreettnen aka-arvo. Vertaamalla ntä lähtestä [10] ja [11] saatavn todellsn ennätyksn saadaan prosentuaalset hdastumset. Ne näkyvät seuraavassa taulukossa 6. Taulukosta näkyy että ME-juoksjolla meno puolmaratonlta kokomaratonlle aheuttaa naslla van yhden %-ykskön kun taas mehllä 5%-ykskön lsähpuman. MEnaset kestävät ptkään tasasta kovaa vauhta. Suomalaslla veteraanjuoksjolla puolmaratonlla hpumnen on n. 2% mutta kokomaratonlla jo selväst suuremp varsnkn naslla. Taulukko 6. Nas- ja mesjuoksjoden juoksuakojen suhteellnen hdastumnen taulukon 5 arvohn nähden maraton matkolla Matka [ km] SVUN65 SVUM65 IAAFN IAAFM % 1.6% 4.4%.4% % 6.0% 5.4% 8.4% Tulevasuuden ennustus Juoksja on päättänyt osallstua puolmaratonlle. Kaava (18) antaa ennustetun juoksuajan ja kaava (2) vahteluväln. Estmotu aka on h m s T = s ± 4s = ± 4 s (27) Ennuste on aka tukka ja juoksjan kuntoon nähden nopen teoreettnen aka. Juoksjalla tuskn on mahdollsuuksa alttaa tätä akaa. Koska harjotellutkn kuntolja yltää tavallsest van non puoleen huppujen vauhdsta, on todennäköstä, että juoksjan hpumsaste puolmaratonlla on samaa suuruusluokkaa kun SVUN65 juoksjan kokomaratonlla el non 10 %. Tämä huomoon ottaen juoksjan akaennuste on h m s h T = s = s = (28) Tämän perusteella non kolmen tunnn juoksuaka lenee mahdollnen. 72

13 Lähteestä [1] käy lm, että juoksja saavutt puolmaratonlla 21.1 km ajan h m s t = 25926, joka on juur laskelmen perusteella arvodun (28) suurunen el non kolme tunta. Juostu aka ol 12.0 % suuremp kun kaavan (27) laskettu aka. Juoksjan hpumsaste ol ss 12.0 %. Yhteenveto Tuokon mall Juoksun dynamkka sop oken hyvn testjuoksjan tulosten analysontn, sllä hän juoksee usen tasasella vauhdlla, jonka hän sovttaa aotun matkan ptuuteen. Pkajuoksun ja kestävyysjuoksun välllä oleva krttnen raja näytt tulevan myös testjuoksussa hyvn eslle sekä teorassa että käytännössä. Tämä johtu stä, että testjuoksussa puuttu varsnanen khdytysvahe nn kun Tuokon mallstakn. Jopa kahdesta testjuoksusta lasketut arvot antovat hyvän sovtuksen. Pdemmllä testmatkolla mahdollnen ns. aerobnen el hengtettyyn happeen perustuva vauht tul myöskn laskusta selväst lm. Teora e ennusta kunka ptkän matkan juoksja kykenee juoksemaan tällä tasapanovauhdlla. Luultavast maratoonareden käyttämä tankkaus matkan varrella tuls matkan pdentyessä ennen ptkää tarpeellseks. Tuokon mallssa suhde rajavauht/aerobnen vauht on v v aer = Se e vo olla juoksjosta rppumaton luonnon vako. Tuokon mall tom parhaten krttstä matkaa pdemmllä matkolla. Se e lankaan ennusta juoksjan maksmvauhta. Mutta mussa mallessa ([4] [7]) maalmanennätyksstä laskettuna suhde maksmvauht/aerobnen vauht, on VU= Tämä sama suhteen arvo ol testjuoksjallakn el v100m vaer 1.74 Ennätysjuoksjoden tulokssta lasketut arvot taulukossa 5 antavat eräänlasen ryhmäkeskarvon, joka e välttämättä päde yksttäseen ennätysjuoksjaan vakka sovtuksen tarkkuuden RMS-arvot olsvat hyvät. Vtteet [1] Reno Tuokko, Urhelja luonnonlaken kahlessa, WSOY, Porvoo-Helsnk, 1965, s. 1-6 ja [2] Keller, J.B., A Theory of Compettve Runnng. Physs Today 26 (197) 9, s [] Keller, J.B., Optmal Veloty n Rae. Ameran Mathematal Monthly 51 (1974) 5, s [4] Holmlund, U., von Hertzen, R. ja Ranta, M.A., Eräs pkajuoksun matemaattnen mall. Arkhmedes /96, s [5] Holmlund, U., von Hertzen, R., Models of Sprntng based on Newton's seond Law of Moton and ther Comparson, Journal of Strutural Mehans, Vol. 0, 1997, No 2. s [6] von Hertzen, R., Holmlund, U., Rahkanen, A. and Ranta, M. A., On the mathematal theory of ompettve runnng, Transworld Researh Network. Bomehans, 1(200), Kerala, Inda. [7] Ranta, M. A., Optmaalnen klpajuoksu, Rakenteden Mekankka, Vol 6, 200, Nro 1. s

14 [8] Myrberg, P. J., Dfferentaal- ja ntegraallaskennan oppkrja, Otava, Helsnk, 1952, s [9] Juva, Y., Todennäkösyyslaskennan alketa, Krjayhtymä, Suomalasen Krjallsuuden Krjapano Oy, Helsnk, 1966, s [10] Suomen Veteraanurhelultto, [11] Maalmanennätysjuoksut, IAAF Internatonal Assoaton of Athlets Federaton, [12] Holmlund, U., Ykstyset keskustelut ja sähköpostn vahto, 2008 [1] Espoon Rantamaraton km naset 60v (juoksjan klpalunumero 144) Matt A Ranta TKK, Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 100, 02015TKK s-post: matt.ranta@tkk.f Lala Hosa Nallenpolku 2 C Espoo s-post: lala.hosa@gmal.om 74