HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

Transkriptio

1 HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla c > 0 paramater ollessa θ > 0 Johda Wald, Rao sekä uskottavuusosamäärä kakssuutaset testsuureet H 0 : θ θ 0, H : θ θ 0 Ratkasu: Yhtestheysfukto o f Y y; θ fy ; θ θ c θ θ+ y {y > c } Uskottavuusfuktoks vodaa valta jollo log-uskottavuusfukto o Koska Lθ; y θ c θ θ y, lθ; y log θ + θ log c θ log y l θ; y θ + log c log y 0 θ log y log c log y log c ja toe dervaatta su-estmaatt o Fsher formaato l θ; y 0 θ > 0, θ2 ˆθ log y log c θ E l θ, y E θ 2 θ 2 Nyt kakssuutaseks Wald testsuureeks saadaa wy θ 0 ˆθ θ 0 2 θ0 2 2 log y log c θ 0,

2 kakssuutaseks Rao testsuureeks uy l θ 0, y 2 θ 0 ja uskottavuusosamäärä testsuureeks θ 0 + log c log y 2 θ 2 0 ry 2lˆθ; y lθ 0 ; y 2 log ˆθ + ˆθ log c log y log θ 0 + θ 0 log c log y 2 log log y log c + log θ 0 θ 0 log c log y 2 log log y log c + log θ 0 θ 0 log c + log y Kakk testsuuresta oudattavat ollahypotees pätessä asymptoottsest χ 2 -jakaumaa 2 Pearso kh elö testsuure ta yhteesopvuustestsuure eglaks goodessof-ft o X 2 p 2 y; p p ku aesto y,, { 0,, 2,, } ja luvut p p,, p 0, Lukuje summa ja p Olkoo Y Mult, p multomjakautuut satuasvektor, joka yptf o f Y y; p p y p y y,, y Määrtellää parametr θ p,, p d Ω 0, d R d el tputetaa p p + + p d turhaa pos : Olkoo H 0 : θ θ 0 a Mtä ehtoja ätä o yhteesä ja e ovat epäyhtälötä parametrt toteuttavat? Ku d 2, prrä suurmma mahdollse avome parametravaruude kuva b Laske tämä mall uskottavuusosamäärä testsuure ry Huom yt kusaparametra e varsasest ole, jote vot ajatella, että rajotettu su-estmaatt o θ 0 Ratkasu: a Multomjakauma parametrvektor p p,, p d, p toteuttaa ehdot p 0, ja p + + p Nämä ehdot ovat yhtäptävät tlastollse mall parametra θ p,, p d koskeve d + epäyhtälö p > 0 p d > 0 p + + p d < Multomjakaumassa vos salla myös arvot p 0 ja p, kuha yhtespstetodeäkösyyde lausekkeessa käyttää sopmusta 0 0

3 kassa: Ehdosta p 0, {,, d + } ja p + + p seuraa suoraa, että p > 0 {,, d} ja p + + p d p + + p p p < Vastaavast ehdosta p > 0 {,, d} ja p + + p d < seuraa, että myös p p + +p d > 0, p p + +p d < , p < p + + p d < {,, d} Tapauksessa d 2 ehdot p > 0, p 2 > 0 ja p + p 2 < rajaavat p, p 2 - koordaatstossa pstede 0, 0,, 0 ja 0, väl jäävä avome kolmo b Uskottavuusfuktoks vodaa valta Lθ; y f Y y; θ p y p y d d p + + p d y, y,,y jollo log-uskottavuusfukto o lθ; y y log p + + y d log p d + y log p + + p d Log-uskottavuusfukto gradett lθ; y lθ; y,, p y p Tämä o ollavektor, jos ja va jos lθ; y p d y p + + p d,, y d p d y p + + p d p y y p + + p d {,, d} Yhtälöstä p + + p d y p + + p d + + y d p + + p d y y

4 y + + y d y p + + p d saadaa ratkastua, että ja ste p + + p d y + +y d y + y + +y d, y Lsäks Hesse matrs 2 H : lθ; y p p j lθ; y 0,, 0 p y y + +y d y y + y + +y d y y y + y + +y d y y,j {,,d} 2 y y + + y d + y {,, d} o egatvsest semdeftt: kaklla v R d pätee y y { j} p 2 p + + p d 2,j {,,d} 2 d d v T Hv v H,j v j j d d y y { j} v j p 2 p + + p d 2 v j d y d d v 2 y p 2 + v j p + + p d 2 v j d y v 2 y d d v p 2 p + + p d 2 v j j d y v 2 y p 2 p + + p d 2 vt v 0, sllä y 0 {,, d + } ja v T v v 2 0 Täte su-estmaatt o y ˆθ,, y d Merktää θ 0 q,, q d Uskottavuusosamäärä testsuure o yt ry 2lˆθ; y lˆθ 0 ; y 2lˆθ; y lθ 0 ; y d 2 y log y + y log d y d y log + y log q + + q d

5 d 2 y log y + y log y d y log + y log q + + q d 2 y log y d y log + y log q + + q d 3 Jatkoa tehtävää 2 a Laske tehtävä 2 tlateessa Rao pstemäärätestsuure b Näytä, että saatu Rao testsuure o ekvvalett Pearso yhteesopvuustestsuuree kassa Ratkasu: a Fsher formaatomatrs o θ E p 2 lθ; Y p p j,j {,,d} 2 Y Y E p { j} + p 2 p + + p d 2,j {,,d} 2 Ep Y E p Y { j} + p 2 p + + p d 2,j {,,d} 2 p { j} + p p 2 p 2,j {,,d} 2 { j} +, p p,j {,,d} 2 mssä p p + + p d Edellä käytett tetoa, että multomjakautuee satuasvektor Y odotusarvolle pätee EY p Fsher formaatomatrs käätesmatrs saadaa määrtettyä esmerkks Sherma-Morrso kaava 2 avulla: Merktää D p { j} ja,j {,,d} 2,, T R d Nyt ss θ D + p T Dagoaalmatrs D käätesmatrs o dagoaalmatrs D p { j},j {,,d} 2 Nyt Sherma-Morrso kaava mukasest 3 4 Fsher fromaato käätesmatrs o θ D + T p D + D T D p T D p D, { j},j {,,d} 2 + p d D, Wkpeda merköllä A D, u p ja v 4 + p T D p 0 D, D j,j p,j {,,d} 2

6 p { j} + p { j} d p p d p p + p p p { j} p p j p p 2 p { j} p p j,j {,,d} 2 p p p j p p j p 2,j {,,d} 2,j {,,d} 2,j {,,d} 2 Kute edellse tehtävä ratkasussa, merktää θ 0 q,, q d Käytetää lsäks lyheysmerktää q : q + + q d Koska y q y q 0, huomataa, että seuraavassa laskussa vodaa vahtaa summa d summaks ja sama j :llä, sllä yhteelaskettava summausdeks arvolla d + o olla 5 Rao pstemäärätestsuure o yt uy lˆθ 0 ; y T ˆθ 0 lˆθ 0 ; y d d lˆθ; y ˆθ,j lˆθ; y p p j j d d y j j y q y y q q q { j} q j { j} q j y j y q j q y j q j y q 5 Ktos tämä ovallukse kertoeelle kursslaselle! 6 Haluttuu lopputuloksee päästää lma tätä ovallustak eteemällä samalla tavalla ku seuraavassa, kylläk hema sotkusemmlla/useammlla välvahella 6 Samate ktos ovalluksesta, että tässä laskettu Rao pstemäärätestsuure vodaa ähdä /:llä kerrotuks erää satuasmuuttuja varassks: Olkoo g : {,, } R fukto g y y q Olkoo K dskreett satuasmuuttuja, jolle PK,,, Osaa varsase ratkasu laskua o laskettu ta ha va helpost ähdää, että EgK g y q, jollo uy g 2 2 g EgK 2 EgK 2 var gk EgK EgK2 g EgK 2 y 2 y y y 2 q q y 2 Varsase ratkasu lasku ok gk: avulla lmastua 2 y EgK 2 EgK 2 EgK EgK + EgK 2 EgK 2 EgK EgK 2 + 2EgK EgKEgK + EEgK 2 EgK 2 var gk + 2EgK EgK EgK + EgK 2 EgK 2 var gk }{{}}{{} 0 0

7 y y 2 q q j y y yj y q j j q q y + y 2 y y q j q 2 y y + 2 y + q y y ld + y j y q j q j q y y y + q y y 2 q y y + y 2 q q y 2 q y 2 y j y q j q y q 2 y q 2 b Koska ollahypoteesa H 0 : θ θ 0 q,, q d vastaava Pearso yhteesopvuustestsuure X 2 y; q 2, mssä q q,, q d, q q,, q d, q + + q d, o täys sama ku edellsessä kohdassa johdettu Rao pstemäärätestsuure, luoollsestk kyseset keskeää samat testsuureet ovat ekvvalett Tämä tehtävä kästtelee lukua 6 4 Mostee teht 62 Olkoot Y Y 2 ja Y Nµ, sekä Y 2 Nµ 2, Ets luvut a, b > 0 ste, että P Y µ a, Y 2 µ 2 a 095, PY µ 2 + Y 2 µ 2 2 b Aesto o y, y 2, 05 Mtkä kaks 95 %: luottamusjoukkoa saadaa yo yhtälöde perusteella parametrparlle µ, µ 2? Prrä kuva Kump luottamusjoukosta o melestäs paremp? Ohje Tarvtset jakaume N0, ja χ 2 2 taulukota Ratkasu: Stadardodaa satuasmuuttujat Y : merktää kaklle, 2 Z Y µ, jollo Z N0, Nyt rppumattomuude ojalla 095 P Y µ a, Y 2 µ 2 a P Y µ ap Y 2 µ 2 a P Z ap Z 2 a P a Z ap a Z 2 a 2Φa 2

8 Tästä vodaa ratkasta helpost pste a: a Φ Sjottamalla a tehtäväao yhtälöö saamme luottamusjoukoks Ay {µ, µ 2 : y µ a, y 2 µ 2 a} Merktää X Z 2 + Z2 2 muotoo {µ, µ 2 : y a µ y + a, y 2 a µ 2 y 2 + 2} [ 24, 324] [ 74, 274] χ 2 2 Nyt ss tehtäväao alemp yhtälö redusotuu PX b 2, mstä vodaa ratkasta b käyttämällä χ 2 2 -jakauma kvatlfuktota F χ 2 2 PX b b 2 F 095 χ 2 2 b F χ 2 2 Nyt sjottamalla b tehtäväao yhtälöö saamme toseks luottamusjoukoks By { µ, µ 2 : y µ 2 + y 2 µ 2 2 b 2} B, 05, 245, mssä B, 05, 245 o aestokeskee, säteellä 245 varustettu suljettu kuula R 2 :ssa Nelömuotose luottamusjouko A pta-ala o 4a ja ympyrämuotose B ala o πb 2 88 Ss luottamusjoukko B ataa tarkemma arvo parametrparsta µ, µ 2, vakka tosaalta elömuotosta luottamusjoukkoa o helpomp kästellä ja esttää