1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

Transkriptio

1 BM20A Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä vakoden a, b ja c arvo()lla yhtälöryhmällä on ratkasu? (b) Olkoon D( f ) = [0,π/4] ja f (t) = cos(at). () Mtä arvoja parametr a vo saada jos f :llä tahdotaan olevan kääntesfunkto. () Mkä on funkton f f lauseke ja arvojoukko? Ratkasu: (a) Pyydetyssä matrsmuodossa yhtälöryhmä on 0 2 x a 2 5 x 2 = b x 3 c. Tehdään Gaussn elmnaato (joka sattumosn on tällä kertaa sama kun Gauss-Jordan elmnaato) 0 2 a 0 2 a 0 2 a 2 5 b 0 b 2a 0 b 2a c 0 c a b 3a + c Almmalta rvltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkasu jos ja van jos b 3a + c = 0. Ratkastaan velä yhtälöryhmä snä erkostapauksessa että b = 0, el a = 0, b = 0 ja c = 0. Tällön yln rv on x + 2x 3 = 0 ja keskmmänen on x 2 + x 3 = 0, josta x 2x 3 2 x 2 = x 3 = x 3, x 3 x 3 mssä x 3 vo olla mkä tahansa reaalluku. (b) () Päätelmät vosvat mennä esm. seuraavast. Jos tahdotaan olevan kääntesfunkto, nn yhtälöllä y = cos(at) sas olla korkentaan yks ratkasu t. Tällön at saa saada van joltan välltä joka on muotoa [nπ,(n + )π] mssä n on jokn kokonasluku. Tämän nähdäkses vot prtää vakka ykskköympyrän jossa at on vaaka-akseln ja orgosta kehälle prretyn säteen välnen kulma, ja muostamalla että cos(at) on kehän psteen vaakakoordnaatt. 2. Koska t saa arvot välltä [0,π/4] nn tulee kyseeseen van n = 0 ta n = koska muuton esm. t:n arvolla 0 e olla halutunlasella välllä (at = a 0 = 0). Ss at:n on kuuluttava ana vällle [0,π], ta vahtoehtosest ana vällle [ π,0].

2 3. Jos oltava at [0,π] nn a:lle kelpaa arvot välltä [0,4]. Jos oltava at [ π,0] nn a:lle kelpaavat arvot [ 4, 0]. Kutenkaan tapaus a = 0 e käy koska sllon ols kyse vakofunktosta f (t) = cos(at) =, mkä e ole njekto. El a [ 4,4] \ {0}. () Ensnäkn h(t) = f f (t) = f ( f (t)) = cos(a f (t)) = cos(acos(at)). Kästellään ensn helppo tapaus että a 4. Tällön at saa kakk arvot (ja mahdollsest enemmänkn) välltä [0, π] kun t saa arvot välltä [0, π/4]. Nänollen f (t) = cos(at) saa kakk mahdollset arvonsa, el arvot välltä [, ]. Nän ollen funkton f ( f ((t)) arvot vodaan määrttää etsmällä funkton f (x) = cos(ax) arvot kun x saa arvot välltä [,], ja edelleen yksnkertastamalla, etsen funkton g(α) arvot kun α [ a, a]. Mustamalla että a 4 ja huomataan että α saa ss kakk arvot välltä [ π, π] (ja enemmänkn, jollon g saa varmast kakk arvot välltä [,] (jotkut arvosta jopa useampaan kertaan). Kästellään seuraavaks tapausta jossa a ]0, 4[. Analyys menee varsn samaan tapaan kun edellä: Koska t [0,π/4] nn at saa arvot välltä [0,aπ/4] ja tällä välllähän f (t) = cos(at) adost vähenevä, ja saa sten kakk arvot välltä [cos(aπ/4), ]. Funkton f ( f (t)) arvojoukon etsntä vodaan tällön yksnkertastaa etsmällä arvojoukkoa funktolle f (x) = cos(ax) kun x [cos(aπ/4), ], ja tästä velä edelleen tutkmalla van arvojoukkoa funktolle g(α) = cos(α) mssä α [acos(aπ/4),a] = I a :. Jos a on nn so että jollekn n Z [nπ,(n+)π] I a nn g saa kakk arvot välltä [,]. Raja tälle on a π (sllon arvo n = 0 toteuttaa ehdon). 2. Jos a < π nn g saa kakk arvot välltä [cos(a),cos(acos(aπ/4))]. Tähän mennessä olemme saaneet R ( f f ) = [,] kun a π, R ( f f ) = [cos(a),cos(acos(aπ/4))] kun 0 a < π. Tapauksessa a = 0 on f ( f (t)) = f (cos(0 (t))) = f (cos(0)) = f () = cos(0 ) = cos(0) =, el R ( f f ) =. Tapausten a < 0 analysont e juurkaan eroas edellsstä, mutta se vodaan tehdä myös nopeast kosnn parllsuuden perusteella: ajatellaan että a < 0 ja merktään a = b el b > 0. Tällön f ( f (t)) = cos(a( f (t))) = cos( b( f (t))) = cos(b( f (t))) = cos(b cos(at)) = cos(b cos( bt)) = cos(b cos(b cos(t))). Tämänhän olemme jo analysoneet, el kun b π, el a π nn R ( f f ) = [,] ja kun 0 b < π, el π a < 0 nn R ( f f ) = [cos(b),cos(bcos(bπ/4))] = [cos( a),cos( acos( aπ/4))] = [cos(a),cos(acos(aπ/4))]. Kaksta edellsstä yhteenvetona R ( f f ) =, a = 0 [,], a π [cos(a),cos(acos(aπ/4))], a < π

3 2. Olkoon A = (a) Laske matrsn A omnasarvot ja omnasvektort (matrs A annettu alla). (b) Matrslla A e ole kääntesmatrsa. Mstä näet tämän? (c) Matrslla B = A I on kääntesmatrs B. Määrtä tämä kääntesmatrs ja ratkase yhtälö Bx = 0. Ratkasu: (a) 3 λ 6 8 det(a λi) = 0 0 λ 6 = (3 λ) λ λ 0 2 λ El ss λ = 3, λ 2 = 0 ta λ 3 = 2. Seuraavaks ratkastaan omnasvektort v, v 2 ja v 3 yhtälöryhmstä (A λ )v = 0, (A λ 2 )v 2 = 0 ja (A λ 2 )v 2 = 0. Otetaan nästä esmerkknä vakka tapaus (A λ 3 )v 3 = 0: A λ 3 I = = Jos merktään v 3 = [x,y,z] T nn sllon x + 6y 8z = 0 ja 2y + 6z = 0, el y = 3z ja x = 6y + 8z = 8z + 8z = 0z. x 0z 0 v 3 = y = z 3z z. = z 3. Tässä z vo ss olla mkä tahansa reaalluku. Jos tahdotaan valta yks "edustaja", vodaan valta vakkapa z =, jollon 0 v 3 = 3. Avan samon saatasn 2 v = 0, v 2 = 0 0 (b) Sen että matrslla A e ole kääntesmatrsa vo huomata mm. stä että det(a) = 0. Tämä on helppoa koska matrsn lävstäjän alapuolella kakk alkot sattuvat olemaan nolla, jollon determnnatn arvo on yksnkertasest lävstäjäalkoden tulo, el det(a) = = 0. (c) Ensnäkn B = A I = =

4 Etstään nyt kääntesmatrs: (R2-6R3 ja R +8R3) (R + 6R2) Kääntesmatrs on ss B = Yhtälön Bx = 0: Kerrotaan puolttan kääntesmatrslla, jollon saadaan x = B 0 = (a) Ratkase epäyhtälö 3x+ x+4. (b) Suora L kulkee psteen (,,2) kautta ja on vektorn u = 5 + k suuntanen. () Mkä on suoran L ja psteen P : (2, 3, ) välnen etäsyys? () Anna jokn estys tasolle joka ssältää suoran L ja psteen P. Ratkasu: (a) 3x + x x + x + 4 x + 4 x x + x 4 0 x + 4 2x 3 x Merktsemällä epäyhtälön vasenta puolta f (x):llä, saamme merkktaulukon 2x 3 x + 4 f (x)

5 el x ], 4[ [ 3 2, [. (b) Suora L kulkee psteen (,,2) kautta ja on vektorn u = 5 + k suuntanen. () Mkä on suoran L ja psteen P : (2, 3, ) välnen etäsyys? () Anna jokn estys tasolle joka ssältää suoran L ja psteen P. 5 L : r = + s 0 2 () Tetyst vos ensn etsä lähmmän psteen suoralta ja stten käyttää Pythagoraan lausetta etäsyyden laskemseks, mutta koska kysytty van etäsyyttä nn vodaan käyttää myös suoraa kaavaakn: Olkoon pste P eräs pste suoralta ja r tämän pakkavektor, vodaan valta esm. r = + j + 2k. Psteen P = (2,3,) pakkavektor r = 2 + 3j + k. Tällön d = (r r) u u ( 2j + k) (5 + k) = 5 + k 2 + 6j + 0k = 26 = () Vektor psteestä (,2,2) psteeseen P : (2,3,) on v =,,. Kysytty taso vodaan nyt lausua esm. vektormuodossa, el tason psteden pakkavektort r ovat muotoa mssä t ja s vovat olla mtä tahansa reaallukuja. 5 r = + s 0 +t 2 4. Eräässä kunnassa on tlastotu hmsten muuttoa kaupunkalueen, lähöden ja maaseudun välllä. Oletamme tässä esmerkssä, että muuttoa e tapahdu kunnasta ulos ekä ssään. Oletamme myös että syntyvyys ja kuollesuus ovat tasapanossa, joten ntä e tarvtse ottaa huomoon. Kaupunklassta muuttaa joka vuos 3% lähöhn, ja 2% maaseudulle. Lähön asukesta muuttaa vuosttan 5% kaupunkn, ja 2% maalle. Maaseudulta 8% vuodessa muuttaa lähöhn, ja % kaupunkn. Oletamme, että tällä hetkellä asuu hmstä maalla, 0000 hmstä lähössä ja 0000 hmstä kaupunkalueella. (a) Määrtä systeemä kuvaava matrs A, el sellanen matrs jolle t + = At, mssä tlavektor t ssältää asukkaden lukumäärät kullakn alueella vuotena. (b) Mtkä ovat hmsten määrät er aluella vuoden päästä? (c) Mtkä ovat hmsten määrät er aluella 0 vuoden päästä? Laskuja e tarvtse laskea loppuun, mutta merktse näkyvn lauseke josta lukuarvot saatasn kun matrsen kertolaskut suortettasn (jos käytössä ols laskn ta Matlab nn tämä ols helppoa). (d) Mten vost päätellä (lman laskemsta) että systeemä kuvaavalla matrslla e vo olla reaalsa omnasarvoja jotka ovat ykköstä suurempa?

6 Ratkasu: (a) Jos asukkaden lukumäärä kuvaavassa vektorssa yln alko on kaupunkalueen asukkaat, keskmmänen lähöden asukkaat ja aln maaseudun asukkaat nn sllon pyydetty matrs on (b) (c) x a A = x 2 = b x 3 c t = At 0 = = t 0 = At 9 = AAt 8 = AAAt 7 = = AAAAAAAAAAt 0 = A 0 t 0. (d) Jos jokn omnasarvo ols ykköstä suuremp nn asukasmäärä vos lähteä kasvamaan. Kaavatasolla tämä nähtäsn stä että jos tlavektor t 0 krjotettasn muodossa t 0 = c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 = c v, mssä vektort v ovat omnasvektoreta, nn t n = A n t 0 = A 9 At 0 = A 9 A c v = c A 9 Av c A 9 λ v ) = = c λ n v. Nän ollen jos sattus olemaan sellanen alkutla jossa kerron c j 0 kun λ j > nn arvon n kasvaessa vektorn ptuus t n räjähtäs käsn koska lm n λ j n =. Ekä nän vos käydä jolle väesto lsääntys. TENTISSÄ SALLITTU: Kakk krjallnen materaal. (Krjat, luentomonsteet, oma käsnkrjotettu materaal kuten harjotukset yms.) KIELLETTY: Kakk muu, mukaanluken LASKIMET.