Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Transkriptio

1 Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka Normal-Boundary Intersecton -menetelmän el NBI-menetelmän esttely Optmontopn semnaar - Kevät / 1

2 Termstön kertausta Krteeravaruuden deaalpste z : z = mn f (x) s.e. x S Utopapste z : z = z - ε Jatkossa yo. psteet oletetaan tunnetuks. Optmontopn semnaar - Kevät / 3 Panotettu L p -tehtävä Valtaan panokertomet w sten, että w ja Σw = 1. Panotettu L p -tehtävä on muotoa: sten, että x S, 1 p <. mn x w 1 =.7, w =.3 k = 1 w f (x) z p 1/p Optmontopn semnaar - Kevät /

3 Panotettu Tchebycheff -tehtävä Kun p, saadaan panotettu Tchebycheff -tehtävä mn max x = 1,...,k [ w ( f (x) z )] Dfferentotuvassa muodossa: mn α s.e. α w ( f (x) z ) = 1,...,k, x S - - w 1 =.7, w =.3 Optmontopn semnaar - Kevät / 5 Esmerkk (panotettu Tchebycheff -metrkka) w1 > w w1 = w Optmontopn semnaar - Kevät / 6 3

4 Teoreema 3..1 Panotetun L p -tehtävän ratkasu on pareto-optmaalnen, jos joko ratkasu on ykskästtenen ta kakk panokertomet w ovat adost postvsa. Kakka pareto-optmaalsa pstetä e löydetä, elle tehtävä ole konveks. Teoreema 3.. Panotetun Tchebycheff -tehtävän ratkasu on (hekost) paretooptmaalnen, jos kakk panokertomet ovat adost postvsa. Teoreema 3..3 Panotetulla Tchebycheff -tehtävällä on anakn yks paretooptmaalnen ratkasu, josta seuraa, että ykskästtenen ratkasu panotetulle Tchebycheff -tehtävälle on pareto-optmaalnen. Optmontopn semnaar - Kevät / 7 Teoreema 3..5 Jokanen Pareto-pste saadaan panotetun Tchebycheff -tehtävän ratkasuna jollan panokertomen arvolla. Huom Menetelmä genero myös hekkoja Pareto-pstetä. Paretooptmaalsuuden vo tarkstaa ykskästtesyydellä (Teoreema 3..3) ta ratkasemalla tonen optmonttehtävä: max Σε, s.e. f (x) + ε = f (x) ε x S mssä x on panotetun Tchebycheff-tehtävän ratkasu. Jos ratkasu on, x on pareto-optmaalnen. Optmontopn semnaar - Kevät / 8

5 Optmontopn semnaar - Kevät / 9 Panotetun Tchebycheff -tehtävän muunnelmat Ratkasun pareto-optmaalsuus vodaan taata myös muuttamalla sopvast tasa-arvokäyren muotoa. Jossan tapauksssa kakka pareto-optmaalsa pstetä e kutenkaan löydetä. Suosttuja menetelmä ovat ns. augmented weghted Tchebycheff -menetelmä sekä modfotu panotettu Tchebycheff -menetelmä. Molempen menetelmen ratkasut ovat pareto-optmaalsa ja lsäks jokanen pareto-optmaalnen pste vodaan löytää sopvlla parametren arvolla. Optmontopn semnaar - Kevät / 1 5

6 Augmented weghted Tchebycheff - menetelmä mn x { max {w f (x) - z } + ρσ f (x) - z } s.e. x S, mssä ρ > (ja pen). Tasa-arvokäyrät ovat muotoa: - - Optmontopn semnaar - Kevät / 11 Modfed weghted Tchebycheff - menetelmä mn x max {w ( f (x) - z + ρσ f (x) - z )} s.e. x S, mssä ρ > (ja pen). Tasa-arvokäyrät ovat nyt: Optmontopn semnaar - Kevät / 1 6

7 NBI-menetelmä Päätöksentekjälle (PT) halutaan usen antaa koko Pareto-pnta, josta PT valtsee melesensä psteen. On tärkeää pystyä generomaan koko Pareto-pnta mahdollsmman penellä määrällä optmonttehtävä. Normal-Boundary Intersecton (NBI) -menetelmässä paretooptmaalset psteet jakautuvat tasasest Pareto-pnnalle. Optmontopn semnaar - Kevät / 13 NBI-menetelmän matemaattnen dea Lasketaan deaalpste ja srretään orgo shen. Muodostetaan konveks kuor (CHIM) yksttässtä mnmpstestä x. Valtaan pste CHIM:sta. Edetään käyvässä alueessa ptkn CHIM:n normaala koht orgoa. Tuloksena paretooptmaalnen pste (tarvtaan oletuksa mm. konvekssuudesta). Optmontopn semnaar - Kevät / 1 7

8 Yhteenveto Panotetun L p -tehtävän ratkasut ovat paretooptmaalsa, mutta van konvekselle tehtävlle löydetään kakk Pareto-psteet. Panotetun Tchebycheff -tehtävän ratkasuna saadaan kakk Pareto-psteet rppumatta tehtävän konvekssuudesta. Ratkasut vovat kutenkn olla hekost pareto-optmaalsa. Hekot Pareto-psteet vodaan välttää ratkasemalla lsäoptmonttehtävä ta muuttamalla heman tehtävän tasa-arvokäyren muotoa. Optmontopn semnaar - Kevät / 15 Kottehtävä Olkoon krteeravaruuden käypä alue S = {(f 1,f ) f f 1, f 1, f }. Tällön deaalpste z = (,). Prrä esm. Mathematcalla (ta mllä vaan) augmented weghted Tchebycheff -tehtävän tasaarvokäyrä parametrellä w 1 =.6, w =. ja ρ =.. Mkä pste on yo. tehtävälle pareto-optmaalnen? (Kuvaajasta lkmääränen arvo rttää.) Eroaako ratkasu tavallsen panotetun Tchebycheff -tehtävän ratkasusta samolla panokertomlla w 1 =.6, w =.? Optmontopn semnaar - Kevät / 16 8