1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

Transkriptio

1 Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10 kappaletta. Kolmkkojen summen summa on 10 3 n = 165, n=1 joten summen keskarvo on 16, 5. Väte seuraa nyt kyyskyslakkaperaatteesta, kuten luennolla estetyssä esmerkssä, jossa todettn jonkun luvun olevan suuremp kun keskarvo (Esmerkk 2.5(2)): Numerodaan kolmkoden summat a 1 = , a 2 = ,, a 9 = , a 10 = Määrtetään funkto f : {1,, 165} {1,, 10} seuraavast f(n) = mn { : n a a }. Nyt kyyhkyslakkaperaatteen mukaan on olemassa sten että f({} 1 ) 16+1 jollekn. Tämä ss tarkottaa että on olemassa sten että a 1 + +a 1 < n a 1 + +a vähntään 17:sta luvulle n. Tämä edelleen ss tarkottaa että a on vähntään Kunka monta erlasta sanaa on mahdollsta muodostaa sanan matematkka krjamsta järjestämällä ne uudelleen? Monessako nästä on krjamet verekkän? Ratkasu. Sanassa matematkka on 12 krjanta. Kahdentosta krjamen sanaan vodaan kaks krjanta m sjottaa ( ) 12 2 tavalla. Kun nälle kahdelle on valttu pakka, vodaan jäljelle jäänehn 10:een pakkaan sjottaa kolme a krjanta ( ) 10 3 :lla tavalla. Nän jatkamalla todetaan että sanoja vodaan muodostaa ( )( )( )( )( )( ) = = erlasta. Jos krjanten on oltava verekkän, tämä vodaan ajatella yhdeks krjameks, jollon tomtaan samalla tavalla, mutta 11 krjamen kanssa, ja -krjan on ss käytössä van kerran (mkä lmenee alla kohdassa ( 3 1) ). Tällasa sanoja on ss erlasta. ( 11 2 )( 9 3 )( )( )( )( )

2 2 3. Osota, että kaklle x, y R ja n N. (x + y) n = =0 x y n, Ratkasu. Todstetaan nduktolla luvun n suhteen. Olkoot x, y R knntetty. Kun n = 1, tlanne on selvä bnomkertomen määrtelmän nojalla. Tehdään stten ndukto-oletus: väte pätee jollakn n. Tarkastellaan nyt tapausta n + 1: =0 (x + y) n = (x + y) n (x + y) = (x + y) (x +1 y n + x y n +1 ) = y n+1 + x n+1 + ndukto-oletuksen ja Pascaln kaavan nojalla. =0 ( n ) x y n = (1) ( ) ( ) n n ( + )x y n +1 1 (2) n+1 = x y n+1 =0 (3) =1 4. Osota, että kaklla n N. ( 1) = 0 =0 Ratkasu. Edellsen tahtävän nojalla ( 1) = ( 1) 1 n = (1 1) n = 0 =0 =0 5. Osota että äärellsellä epätyhjällä joukolla on yhtä monta parllsalkosta osajoukkoa kun partonalkosta osajoukkoa. Ratkasu. Olkoon A äärellnen joukko ja A = n. Lasketaan parllsalkoset joukot ja partonalkoset joukot. Parllsalkosa on. parllnen

3 3 Vastaavast partonalkosa osajoukkoja on parllnen parton Nyt vodaan vähentää nämä tosstaan jollon saadaan = ( 1) = 0, edellsen tehtävän nojalla. parton ( n ). =0 6. Osota, että { } n = n 1 kaklla n N \ {1}. 2 Ratkasu. Huomataan, että n-alkosen joukon n 1-ostus tulee ykskästtesest määrättyä kun kaks-alkonen osa on valttu (muut osat ssältävät van yhden alkon). Kahden alkon osajoukkoja on täsmälleen ( n 2) kappaletta. 7. Jonoa (x 1,, x k ) sanotaan monotonseks jos (se on kasvava, el) x x +1 kaklla = 1,, k 1 ta (se on laskeva, el) x x +1 kaklla = 1,, k 1. Osota että n mttasella jonolla (x 1,, x n 2 +1) on olemassa n + 1 ptkä monotonnen osajono (x 1,, x n+1 ). 1 Ratkasu. Tehdään kuten vnkssä neuvottn: Määrtellään a = psmmän x :hn päättyvän (x 1, x ):n kasvavan osajonon ptuus ja b = psmmän x :hn päättyvän (x 1,, x ):n laskevan osajonon ptuus. Määrtellään lsäks kuvaus f : {1,, n 2 + 1} {1,, n 2 + 1} 2 asettamalla f() = (a, b ). Huomataan ensks että jos a n + 1 ta b n + 1, nn haluttu osajono on ss olemassa. Tehdään ss anttees, että haluttua jonoa e ole, el oletetaan että f : {1,, n 2 + 1} {1,, n} 2. Ertoten kyyhkyslakkaperaatteen mukaan tällön on olemassa (k, l), sten että f({(k, l)}) 1 2. Seuraavaks huomataan, että jos x :hn päättyvän psmmän kasvavan jonon ptuus on k ja x :hn päättyvän psmmän laskevan jonon ptuus on l, nn täytyy olla f( + 1) = (k + 1, l), f() = (k, l + 1) ta f( + 1) = (k + 1, l + 1) sllä x +1 x 1 Vnkk: Tutk lukujapareja (a, b ), mssä a = psmmän x :hn päättyvän (x 1, x ):n kasvavan osajonon ptuus ja b = psmmän x :hn päättyvän (x 1,, x ):n laskevan osajonon ptuus ja kuvausta f() = (a, b ) ja käytä kyyhkyslakkaperaatetta

4 4 ta x +1 x. Tästä seuraa että kuvauksen f : {1,, n 2 + 1} {1,, n} 2 ptäs olla njekto. Tämä on kutenkn rstrta kyyhkyslakkaperaatteen nojalla, joten haluttu osajono on olemassa.

5 Johdatus dskreettn matematkkaan Ohjaus 3, Kahvla myy kymmentä erlasta levosta. Kunka monella er tavalla nästä vo valta kolme? Ratkasu. 2. Olkoon A {1,, 9} sten, että A = 6. Osota, että x + y = 10 jollekn x, y A. Ratkasu. 3. Määrtellään symmetrnen erotus asettamalla A B = (A \ B) (B \ A) jokaselle joukolle A ja B. Osota, että kaklle äärellslle joukolle A ja B. Ratkasu. A B = A + B 2 A B 4. Olkoot A ja B äärellsä joukkoja. Kunka monta a) kuvausta, b) njektota, c) surjektota, d) bjektota, on joukolta A joukolle B? Ratkasu. 5. Kunka monessa joukon {a, b, c, d, e, f, g} ostuksessa alkot a ja g ovat er joukossa? Entä kunka monessa alkot a, d ja g ovat kakk er joukossa? Ratkasu.

6 6 6. Osota että jokasella äärellsellä osttan järjestetyllä joukolla on (vähntään yks) mnmaalnen 2 alko. Ratkasu. Tehdään anttees: On olemassa äärellnen osttan järjestetty joukko A, jonka koko on A = n ja osttanen järjestys sten, että e ole olemassa mnmaalsta alkota. Valtaan ss melvaltanen alko a. Koska tämä e ole mnmaalnen, täytyy olla alko b a jolle b a. Koska tämäkään e ole mnmaalnen, täytyy olla b 2 b jolle b 2 b. Huomaa myös että e vo olla a = b 2, koska muuton antsymmetrsyyden taka ols myös a = b. Nän vodaan jatkaa, löytyy edelleen uusa alkota b jolle pätee b +1 b. Ertoten löytyy alko b n, mkä on rstrta koska tällön alkota on jo n + 1 kappaletta. Sspä mnmaalsen alkon täytyy olla olemassa. Tonen todstus: Merktään jokaselle a A joukkoa L a = {y A : y a}. Valtaan x jolla L x L a kaklla a A. (Tosn sanoen valtaan se L a jossa on penn määrä alkota. Nätä joukkoja on äärellnen määrä ja kakssa on äärellnen määrä alkota joten tämä onnstuu.) Jos L x = 1, nn mnmaalnen alko on löydetty. Osotetaan että e vo olla L x > 1. Jos nän ols, löytys b L x jolle b x ja b x. Tällön L b < L x mkä on rstrta sen kanssa mten x valttn. 7. Osota, että jokanen osttanen järjestys äärellsellä joukolla X vodaan täydentää järjestykseks joukolla X. (Tosn sanoen, on olemassa järjestys, sten että ehdosta x y seuraa x y kaklla x, y X. Velä tosn sanoen, on olemassa järjestys sten että karteessen tulon osajoukkona X X.) Ratkasu. Todstetaan nduktolla joukon X koon suhteen. Kun X = 1, homma on selvä. Oletetaan että väte pätee kun X = n. Olkoon nyt x 0 X mnmaalnen alko ja X = n. Merktään X = X \ {x}. Merktään lsäks relaaton rajottumaa joukkoon X (karteessen tulon osajoukkona tämä tarkottaa ss = (X X )). Indukto-oletuksen mukaan nyt on olemassa järjestys jolle pätee että ehdosta a b seuraa a b. Nyt vodaan määrttää relaato joukolla X seuraavast x 0 x kaklla x X, a b jos a b. Selväst ehdosta a b seuraa a b. Osotetaan velä että kyseessä on järjestys. Refleksvsyys nähdään :n vastaavasta omnasuudesta ja ensmmäsestä määrtelevästä 2 alko x X on mnmaalnen osttasen järjestyksen suhteen, jos ehdosta y x seuraa y = x

7 ehdosta jonka mukaan ertoten x 0 x 0. Antsymmetrsyys ja transtvsuus seuraa myös vastaavasta omnasuudesta ja ensmmäsestä määrttelevästä ehdosta. Koska lsäks jokanen alko on edellä annetun määrttelyn mukaan selväst relaatossa jonkn alkon kanssa on ss järjestys. 7