Hanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö

Transkriptio

1 Hanna-Kasa Hurme Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen (TUT) ja dosentt Esko Turunen (TUT) Tarkastajat ja ahe hyväksytty Luonnonteteden ja ympärstöteknkan tedekuntaneuvoston kokouksessa

2

3 ALKUSANAT Tämä työ on tehty Tampereen teknllsen ylopston matematkan latoksella lukuvuoden akana. Työ on osa suurempaa Tekes-projekta, Clean steels and fatgue survval wth materal mperfectons (FATE-DEFEX). Projekt kokonasuudessaan kehttää perustaa puhtaden terästen hyödyntämselle krttsssä väsyttäväst kuormtetussa komponentessa. Tässä työssä kartotetaan sulkeumen koon jakaumaa, ja ertysest suurmpen sulkeumen jakaumaa. Haluan kttää projektssa mukana olleta tahoja mahdollsuudesta olla mukana tässä melenkntosessa monalasessa projektssa. Ertysktos professor Kejo Ruohoselle työn ernomasesta ohjauksesta ja tarkastamsesta. Ktos vanhemmllen kannustavasta kasvuympärstöstä ja sskollen kelopllssta neuvosta. Ktos myös Tatulle, joka usko mnuun sllonkn, kun tse epärön. Tampere, Hanna-Kasa Hurme

4

5 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tekns-luonnonteteellnen koulutusohjelma HURME, HANNA-KAISA: Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö, 75 svua, 66 ltesvua Kesäkuu 29 Pääane: Matematkka Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen ja dosentt Esko Turunen Avansanat: tlastollnen analyys, äärarvoanalyys Teräksessä olevat sulkeumat vakuttavat ratkasevast teräksen väsymskestävyyteen. Väsytetyst kuormtetussa olosuhtessa väsymsmurtuman on todettu saavan usen alkunsa hyvn suuresta sulkeumasta. Tämän vuoks on tärkeää tuntea teräksen sulkeumen jakauma ja ertysest suurmpen sulkeumen jakautumnen. Tämä työ on tehty Tampereen teknllsen ylopston matematkan latoksella osana suurempaa Tekes-projekta Clean Steels and Fatgue Survval wth Materal Imperfectons, joka on osa Functonal materals -ohjelmaa. Työn tarkotuksena on karaktersoda tlastollnen mall sulkeumen kokojakaumalle sekä tarkastella äärarvoteoran kenon suurmpen sulkeumen jakaumaa. Lsäks työssä verrataan väsymsmurtuman aheuttaneden sulkeumen kokoa heden pnnolta määrtettyhn maksmarvohn. Tutkmuksen kohteena on kahden laakerteräksen ja yhden nuorrutusteräksen hepntojen sulkeuma-analyyst sekä tosen laakerteräsmateraaln väsytystesten murtopnta-analyyst. Sulkeumen koko- ja alkuaneanalyyst on tehty SEM/EDSlattestolla Teknllsen korkeakoulun metallurgan laboratorossa. Aneston matemaattnen kästtely on tehty Matlab-ohjelmston avulla. Jakaumen parametrt estmodaan suurmman uskottavuuden menetelmällä ja jakaumen sopvuustestenä käytetään Kolmogorov Smrnov-testejä yhdelle sekä kahdelle otokselle. Tutkmus osottaa, että sulkeumen alkuanepohjanen luokttelu parantaa jakaumen sopvuutta. Rppumatta stä, onko hepntojen sulkeumlla keskenään sama jakauma, noudattavat hepnnolta määrtetyt maksmarvot hyvn äärarvojakauma. Suurmmat sulkeumat ssältävät alumna, kalsuma ja happea. Väsymsmurtuman aheuttaneet sulkeumat ovat heden pnnolta määrtettyjä maksmarvoja huomattavast suurempa. Väsytystesten murtopnta-analyysella löydetään suurmmat sulkeumat hepntojen mttauksa tehokkaammn. Murtopnta-analyysen lsätutkmus mahdollstas myös väsymsmurtuman aheuttaneden sulkeumen kokojakauman karaktersonnn sekä Murakam Endo-malln mukasen tarkastelun.

6 v

7 v ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Master s Degree Programme n Scence and Engneerng HURME, HANNA-KAISA: Statstcal structure analyss of steel Master of Scence Thess, 75 pages, 66 Appendx pages June 29 Major: Mathematcs Examners: Professor Kejo Ruohonen and Docent Esko Turunen Keywords: statstcal analyss, statstcs of extremes Inclusons have adverse effects on the fatgue durablty of steels. It has been noted that n fatgue loaded crcumstances fatgue falure often ntates from a very large ncluson. Therefore t s mportant to know the dstrbuton of nclusons and especally the dstrbuton of the largest nclusons. Ths thess was conducted n the Department of Mathematcs of Techncal Unversty of Tampere. Ths study s a secton of a larger project Clean Steels and Fatgue Survval wth Materal Imperfecton, whch s a part of the Functonal Materals program. The am of ths thess s to characterze a statstcal model for sze dstrbuton of nclusons of steel and examne the dstrbuton of the largest nclusons wth the extreme value theory. In addton, the largest nclusons measured from the mcrosectons are compared to the nclusons determned from fracture plane. The Objects of nvestgaton are the ncluson analyses of the mcrosectons from samples of two bearng steels and one of tempered steel, as well as, the fracture plane analyses of the materal fatgue tests of the other bearng steel. The sze analyss and ultmate analyss of the nclusons were performed by SEM/EDS equpment n the Laboratory of Metallurgy of Helsnk Unversty of Technology. Mathematcal materal was prosessed wth Matlab software. The parameters of dstrbutons have been calculated accordng to the maxmum lkelhood method and the ft of dstrbuton has been tested by Kolmogorov-Smrnov-tests for one and two samples. It was notced, that the classfcaton of nclusons based on chemcal elements mproves sutablty of dstrbutons. Regardless of whether nclusons on mcrosectons have the same dstrbuton or not, the maxma measured from mcrosectons fts extreme value dstrbutons. The largest nclusons contan alumnum, calcum and oxygen. Inclusons causng fatgue fractures are notably larger than nclusons measured from mcrosectons. Fatgue tests dscovered the largest nclusons more effcently than by analyzng mcrosectons. Further research of fracture plane analyses would enable to characterze the dstrbuton of fatgue fracture ntated nclusons and to examne maxmum values usng the Murakam-Endo model.

8 v

9 v SISÄLLYS. Johdanto Joukko-oppa Tlastomatematkan kästtetä Satunnasmuuttuja ja satunnasmuuttujan jakauma Jakauman tunnuslukuja Keskenen raja-arvolause Otoksen graafnen esttämnen Emprnen theysfunkto Emprnen Kertymäfunkto Jakauma Normaaljakauma Lognormaaljakauma Gammajakauma Eksponenttjakauma χ 2 -jakauma Webulln jakauma Raylegh n jakauma Gumbeln jakauma Fréchet n jakauma Äärarvojakaumat Äärarvoteoraa Ylenen äärarvojakauma Sovellukset metallurgassa Estmont ja jakauman testaus Estmont Momenttmenetelmä Suurmman uskottavuuden estmont Vrhetyyppejä Hypoteesn testaus χ 2 -test Kolmogorov Smrnov-testt Maksmarvojakauma Murakam Endo-mall Aneston kästtely Anesto Jakaumn sovttamnen Maksmarvojakaumn sovttamnen

10 SISÄLLYS v.tulokset Laakerteräs A Laakerteräs B Nuorrutusteräs Johtopäätökset A.Laakerteräs A A. Laakerteräs A:n luokttelematon anesto A.2 Laakerteräs A:n luokteltu anesto A.3 KS-testenp-arvot laakerteräs A:lle A.4 KS2-testnp-arvot laakerteräs A:lle A.5 Laakerteräs A:n maksmarvojakaumat B.Laakerteräs B B. Laakerteräs B:n jaottelematon anesto B.2 Laakerteräs B:n luokteltu anesto B.3 Laakerteräs B:n KS-testenp-arvot B.4 KS2-testnp-arvot laakerteräs B:lle B.5 Laakerteräs B:n maksmarvojakaumat C.Nuorrutusteräs C. Nuorrutusteräksen luokttelematon anesto C.2 Nuorrutusteräksen luokteltu anesto C.3 Nuorrutusteräksen KS-testenp-arvot C.4 KS2-testnp-arvot nuorrutusteräkselle C.5 Nuorrutusteräksen maksmarvojakaumat

11 . JOHDANTO Vaatvssa väsyttäväst kuormtetussa olosuhtessa vaatmukset teräksen väsymsomnasuukslle ovat korkeat. Laajat kokeellset tutkmukset ovat osottaneet, että teräksen väsymsomnasuuksa vodaan luotettavast ennustaa suurmman esntyvän sulkeuman avulla. Arvo suurmman sulkeuman koolle saadaan analysomalla sulkeumen kokoja äärarvoteoran kenon. [22] Mona menetelmä sulkeumen arvontn on jo olemassa, mutta nden perusteella on vakea arvoda suhdetta väsymsrajan ja sulkeuman koon, tyypn ta sulkeumen jakauman välllä. Sulkeumks kutsutaan teräksen valmstuksessa metalln syntyvä ta shen jäävä partkkeleja, jotka ssältävät metallsen komponentn lsäks jotan kevytä alkuaneta. Sulkeumssa usemmn esntyvät alkuaneet ovat happ, rkk, mangaan, alumn ja typp. Sulkeumen olemassaolo vakuttaa ratkasevast teräksen väsymsomnasuuksn, mutta suurmpen sulkeumen löytämseks mkroskopalla on tutkttava suura pnta-aloja. Ulkosten tekjöden aheuttamat sulkeumat ovat usen hyvn suura ja harvnasa, mutta väsymsomnasuuksen kannalta ertysen vaarallsa. Erttän puhtalla teräslaadulla suuren sulkeumen määrä vähenee, mutta ne evät katoa kokonaan [8]. Tutkmukset ovat osottaneet sulkeumen käyttäytyvän penen vrheden (defekten) tavon, ja nden kvanttavvsta vakutusta väsymslujuuteen vodaan arvoda määrttämällä suurmman sulkeuman alan nelöjuuren arvo [25]. Tämä työ on tehty osana suurempaa Tekes-projekta, Clean steels and fatgue survval wth materal mperfectons (FATE-DEFEX). Projekt on osa laajempaa tomnnallsten materaalen Functonal Materals -ohjelmaa. Projekt kokonasuudessaan kehttää perustaa puhtaden terästen hyödyntämselle krttsssä väsyttäväst kuormtetussa komponentessa. Tämän työn tarkotuksena on karaktersoda tlastollnen jakauma, jota sulkeumen koko noudattaa sekä tarkastella äärarvoteoran kenon sulkeumen maksmarvojen jakautumsta. Lsäks tarkastellaan väsytystestessä murtuneden terästankojen murtopntoja ja ertysest murtumsen aheuttaneen sulkeuman kokoa. On huomattu, että väsytystesten kautta suuret sulkeumat löydetään muta menetelmä tehokkaammn [8]. Väsymsmurtuman on todettu alkavan usen e-metallssta sulkeumsta ta karbdpartkkelesta [9], [27]. Tosaalta hapen on todettu olevan usen väsymsmurtuman aheuttava sulkeuma [5]. On ennustettu, että murtuma alkas suurmmasta sulkeumasta ja tosaalta että murtuma etens sulkeumen kautta.

12 . Johdanto 2 Mttaukset ja analyyst kästtelevät kolmea er teräslaatua: kahta laakerteräksen ja yhtä nuorrutusteräksen anestoa. Tosen laakerteräksen mttaukset on tehty valssaussuunnassa, tosen valssaussuuntaa vasten. Sulkeumat muokkautuvat valssauksessa, jollon kahden er suuntaan analysodun laakerteräksen mttaustulokset vovat olla, ertysest ptuuden osalta, hyvnkn erlaset. Anestosta tarkasteltn alan nelöjuuren, ptuuden ja leveyden jakautumsta kentttän sekä luokteltuna ssältämensä alkuaneden mukasest kuuteen luokkaan: alumnsulkeumat, mangaansulfdsulkeumat, alumnset mangaansulfdsulkeumat, oksdset sulkeumat, ttaanntrdsulkeumat sekä sulkeumat, jotka evät kuulu mhnkään edellsstä luoksta. Luokat evät ole tosensa possulkeva, vaan sama sulkeuma vo kuulua yhteen ta useampaan luokkaan. Luoktellun aneston perusteella vodaan selvttää mtä alkuaneta suurmmat sulkeumat ssältävät. Sulkeumamttaukset ja alkuaneanalyyst on tehty SEM/EDS-lattestolla Teknllsen korkeakoulun metallurgan laboratorossa. Aneston matemaattnen kästtely on tässä työssä tehty Matlab-ohjelmston avulla. Anestolle määrtettn tunnuslukuja, kuten otoskoko, -keskarvo, -hajonta ja -maksm. Sulkeumen kokojakaumaa sovtettn yhdeksään tunnettuun ja sopvaks arveltuun jakaumaan: eksponentt-, gamma-, normaal- ja lognormaaljakaumn sekä Gumbeln, Raylegh n, Webulln, Fréchet n jakaumn ja yleseen äärarvojakaumaan. Jakauman sopvuustestenä käytettn Kolmogorov-Smrnov-testä yhdelle otokselle. Jakauma testattn tosaan vasten Kolmogorov-Smrnovn kahden otoksen testllä. Nän vodaan arvoda ovatko er kentten anestot samasta jakaumasta. Anestosta määrtettn kentttän suurmman sulkeuman arvo. Suurmpen sulkeumen arvot määrtettn kentttän myös erkseen jokasessa luokassa. Maksmarvojen jakaumaa sovtettn äärarvojakaumn: Gumbeln ja Fréchet n jakaumn sekä yleseen äärarvojakaumaan. Lsäks tarkasteltn maksmarvojen jakaumaa Gumbeln astekolla. Maksmarvojen sovtukset tehtn myös luoktellulle anestolle. Teräkselle tehtn myös väsytystestejä, joden tuloksena murtuneden teräsnäytteden pnnat analysotn. Murtopnnolta määrtettyjä maksmarvoja verrattn heden pnnolta kentttän määrtettyhn maksmarvohn. Nän vodaan arvoda, mten hyvn maksmarvojakaumlla löydetään murtuman todennäkösmmn aheuttavat suurmmat sulkeumat.

13 3 2. JOUKKO-OPPIA Joukot ovat tlastomatematkan tärkeä työvälne. Tässä luvussa kästellään tlastomatematkan kannalta keskesä joukko-opn alketa. Joukko-opn peruskästteet ovat alko ja joukko. Määrtelmä 2... Jos alkoxkuuluu joukkoona, merktäänx A. Jos alkox e kuulu joukkoona, merktäänx/ A. Perusjoukko Ω ssältää kakk mahdollset alkot. Tlastomatematkassa perusjoukkoa kutsutaan myös otosavaruudeks, jota kästellään myöhemmn. Joukko vo olla tyhjä ta epätyhjä. Määrtelmä Joukko on tyhjä joukko, jos se e ssällä yhtään alkota. Jos joukossa on vähntään yks alko, stä sanotaan epätyhjäks ta e-tyhjäks joukoks. Tyhjän joukon symbolna käytetään. Joukolla vo olla yks ta useampa osajoukkoja, joden alkot kuuluvat myös alkuperäseen joukkoon. Määrtelmä JoukkoAon joukonb osajoukko, täsmälleen sllon kun jokanena:n alko kuuluu joukkoonb el A B ={x x A x B}. Joukolla vo olla myös täysn denttset alkot, jollon joukot ovat samat ja merktään A =B. Määrtelmä JosA B jab A, nna =B Olkoon seuraavassa tarkastelussa näyteavaruudet A ja B perusjoukon Ω osajoukkoja A Ω,B Ω. Määrtelmä Joukon A komplementt A otosavaruuden Ω suhteen on A = Ω A merktään Ω\A.

14 2. Joukko-oppa 4 Määrtelmä JoukkoenAjaB yhdste (unon)a B on A B ={x Ω x A tax B}. Kaklle joukkojen yhdstelle ovat vomassa seuraavat omnasuudet: A B =B A, A A =A, A =A, A Ω = Ω. Määrtelmä Joukkojen A ja B lekkaus (ntersecton) A B on A B ={x Ω x A jax B}. Joukkojen lekkaukslle pätevät seuraavat omnasuudet. A B =B A, A A =A, A =, A Ω =A Joukkojen yhteyksä, kuten osajoukko, yhdste ja lekkaus, vodaan havannollstaa Vennn dagrammella. Joukkojen laskusääntöjä määräävät De Morgann lat. Lause 2... (De Morgann lat) A B =A B, A B =A B

15 5 3. TILASTOMATEMATIIKAN KÄSITTEITÄ 3. Satunnasmuuttuja ja satunnasmuuttujan jakauma Satunnaslmöön lttyven kokeden tulokset evät ana ole numeersessa muodossa, mkä vakeuttaa lmön matemaattsta kästtelyä. Tämän vuoks määrtellään funkto X, joka lttää reaalluvun ta reaallukuvektorn jokaseen koetulokseen. Fuktota X kutsutaan satunnasmuuttujaks. Määrtelmä 3... Satunnasmuuttuja on funkto, joka lttää reaalluvun jokaseen otosavaruuden alkoon [3, s. 44]. X : Ω R Jos satunnasmuuttujalla on numerotuva ta äärellnen määrä mahdollsa arvoja, on satunnasmuuttuja dskreett. Jatkuvalla satunnasmuuttujalla on jatkuvalla välllä ylnumerotuvast ääretön määrä mahdollsa arvoja. Usemmssa käytännön ongelmssa jatkuva satunnasmuuttuja kuvaa määrtellyn datan kakka mahdollsa arvoja, dskreett satunnasmuuttuja taas kuvaa laskettua dataa, kuten tetyn omnasuuden tapahtumakertojen lukumäärää [3, s. 45]. Konkreettsta realsotunutta näytettä merktään penellä krjamella x. Todennäkösyyslaskennassa jokaseen tapahtumaan A Ω ptää voda lttää todennäkösyys P(A). Määrtelmä Joukolle ja todennäkösyykslle tulee päteä seuraavat ehdot P(A) P(Ω) = P( j A j ) = j P(A j ). Määrtelmä 3..3 (Kolmogorovn aksoomat). [4, s. 7] Olkoon otosavaruus Ω.. JosAjaB ovat joukkoja, nn myös lekkausa B, yhdstea B ja erotus A B ovat joukkoja. 2. Tyhjä joukko on joukko ja stä merktään symbollla.

16 3. Tlastomatematkan kästtetä 6 3. Jokaseen joukkoon E ltetään e-negatvnen reaalluku P(E), jota kutsutaan joukon E todennäkösyydeks. 4.P(Ω) =. 5. Jos joukolla A ja B e ole yhtään yhtestä pstettä, nn P(A B) =P(A) +P(B). 6. Laskevast järjestetylle joukolle, A A 2 A n, jolle na n = saamme lm n P(A n ) =. Dskreett satunnasmuuttuja olettaa jokaselle alkolle tetyn todennäkösyyden. On tarkotuksenmukasempaa esttää kakken satunnasmuuttujen todennäkösyydet yhdellä kaavalla. Tätä järjestettyjen paren (x, f(x)) joukkoa kutsutaan theysfunktoks ta todennäkösyysjakaumaks. Määrtelmä [3, s. 46] Järjestettyjen paren (x, f(x)) joukko on dskreetn satunnasmuuttujan X theysfunkto ta todennäkösyysjakauma, jos kaklla x pätee seuraavat ehdot f(x) f(x) = x P(X =x) =f(x). Satunnasmuuttujan X kertymäfunkto kuvaa todennäkösyyttä, jolla satunnasmuuttuja saa tettyä arvoaxpenemmän ta yhtä suuren arvon elp(x x). Määrtelmä Dskreetllä satunnasmuuttujalla X, jonka theysfunkto on f(x), on kertymäfunkto F(x) =P(X x) = t xf(t), <x<. Jatkuvan satunnasmuuttujan todennäkösyys saada tarkalleen jokn tetty arvo on nolla. Jatkuvan satunnasmuuttujan todennäkösyysjakaumaa e voda antaa parena (x, f(x)), mutta slle vodaan määrtellä funkto. Määrtelmä Funktof(x) on jatkuvan satunnasmuuttujanx reaallukujen joukossa määrtelty theysfunkto, jos seuraavat ehdot pätevät. f(x) kakllax R f(x) dx = P(a<X<b) = b a f(x) dx

17 3. Tlastomatematkan kästtetä 7 Jatkuvan satunnasmuuttujan kertymäfunkto määrtellään seuraavast. Määrtelmä Jatkuvalla satunnasmuuttujalla X, jonka theysfunkto on f(x), on kertymäfunkto F(x) =P(X x) = x f(t) dt, <x<. Satunnasmuuttujan X kakken mahdollsten arvojen joukkoa kutsutaan otosavaruudeks el perusjoukoks Ω R p [26, s. 6]. Monulottenen satunnasmuuttuja X on vektor X R k X = [X X k ] T. Jokanen yksttänen koetulosxkuuluu otosavaruuteenx Ω. Otosavaruus on dskreett, jos se ssältää äärellsen määrän alkota. Jatkuva otosavaruus ssältää alkota äärettömän määrän. Satunnasmuuttujasta kerättyjen koetostojen arvoja kutsutaan otokseks. Otoksella tarkotetaan ss otosavaruuden osajoukkoa, joka otetaan tlastollsen tarkastelun kohteeks. Otoksen avulla pyrtään karaktersomaan koko populaaton tlastollsta jakaumaa, ja sks otos tuls valta sten, että se kuvaa mahdollsmman hyvn populaaton käyttäytymstä. Jos otos otetaan populaatosta täysn sattumanvarasest, kutsutaan stä satunnasotokseks. Satunnasmuuttujan koetostot ovat rppumattoma, jos melvaltasen tapahtuman realsotumstodennäkösyys on rppumaton muuttujan aemmn ta myöhemmn saamsta arvosta. SatunnasmuuttujatX jax 2 ovat rppumattoma, jos nden yhtestheysfunkto vodaan jakaa tekjöhn f X,X 2 (x,x 2 ) =f X (x )f X2 (x 2 ). Ylesemmn yhden satunnasmuuttujan vakutus tosen satunnasmuuttujan todennäkösyysrakenteessa on karaktersotavssa ehdollsella theysfunktolla: f X X 2 (x X 2 =x 2 ) = f X,X 2 (x,x 2 ). f X2 (x 2 ) Rppumattomlle satunnasmuuttujlle saadaan f X X 2 (x X 2 =x 2 ) =f X (x ). [4, s. 23] Satunnasmuuttujaan x lttyvä tapahtuma on karaktersotavssa otosavaruuden osajoukkona A Ω. Jos kokeen tulos osuu alueeseen A, sanotaan vastaavan tapahtuman realsotuneen.

18 3. Tlastomatematkan kästtetä Jakauman tunnuslukuja SatunnasmuuttujalleX vodaan sen todennäkösyysjakauman perusteella määrtellä tunnuslukuja. Tunnusluvut kuvaavat jakauman omnasuuksa, kuten leveyttä. Olkoon seuraavassa tarkastelussa tlastollnen havantoanestox,x 2,...,x n. Otossuure on jokn otoksesta laskettu yksttänen arvo, esmerkks keskarvo. Havantoaneston keskkohta lmotetaan usen artmeettsena keskarvona x = n x. (3.) n= Artmeettnen keskarvo on hyvä keskkohdan tunnusluku, kun havantoaneston luvut ovat mtta-astekon tasosa. Joskus on kutenkn tarkotuksenmukasempaa lmottaa panotettu keskarvox w, jossa huomodaan havantojenx,x 2,...,x n panot w,w 2,...,w n x w = n= w x n= w. Havantoaneston keskkohdan tunnuslukuna käytetään myös medaana. Jos havannot ovat kasvavassa järjetyksessäx () x (2) x (n), on medaan se arvo, jonka alapuolelle jää 5 % havannosta [ ] x(n/2) +x 2 (n/2+) kunnon parllnen Md = x ((n+)/2) kunnon parton. (3.2) Medaan sop keskkohdan tunnusluvuks hyvn sllon, kun havannot ovat järjestyslukuja. Mood el tyypparvo on havantoanestossa usemmn esntyvä arvo. Luoktellussa havantoanestossa mood vodaan määrtellä enten havantoja ssältävän luokan keskkohtana. Mood on hyvä keskkohdan mtta kvaltatvselle havantoanestolle. Keskarvon (3.) ta medaann (3.2) arvo vo olla sellanen, jota tarkasteltava suure e todellsuudessa vo saavuttaa. Odotusarvo kuvaa myös jakauman keskkohtaa. Jos deaalsta satunnasmuuttujaa realsodaannkertaa, reaalsaatosta lasketty otoskeskarvo stablotuu koht odotusarvoa. Odotusarvo määrtellään erkseen dskreetlle ja jatkuvalle jakaumalle. Määrtelmä Jos satunnasmuuttujanx theysfunktof(x) on dskreett, on X:n odotusarvo µ = E(X) = x xf(x).

19 3. Tlastomatematkan kästtetä 9 Jos satunnasmuuttujan X theysfunkto f(x) on jatkuva, on X:n odotusarvo µ = E(X) = xf(x) dx. (3.3) Jotta odotusarvo ols olemassa, ntegraaln on oltava tsesest suppeneva, el x f(x) dx<. Lause Jos satunnasmuuttujllax,...x n on odotusarvot vastaavast E(X ) ( =, 2,...,n) nn E(X + +X n ) = E(X ) + + E(X n ). Keskkohdan lsäks havantoaneston hajonta on usen knnostava tunnusluku. Tavallsmmat hajonnan tunnusluvut ovat varanssσ 2 ja keskhajontaσ. Määrtelmä Dskreetn satunnasmuuttujanx varanssσ 2 on σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = x (x µ) 2 f(x). Jatkuvan satunnasmuuttujanx varanssσ 2 on σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] = (x µ) 2 f(x). (3.4) Varanss kuvaa satunnasmuuttujan keskmäärästä nelöllstä pokkeamaa odotusarvosta µ. Varanssn avulla vodaan arvoda mten kauas odotusarvosta realsotuneet arvot hajaantuvat. Varanssn e-negatvnen nelöjuur, hajonta, antaa varanssa paremman kuvan realsotuneden arvojen hajonnasta. σ = E[(X µ) 2 ] (3.5) Dskreetn satunnasmuuttujan funktolla on odotusarvo E(g(X)). Määrtelmä Olkoon g reaalarvonen funkto ja X dskreett satunnasmuuttuja, jonka dskreett todennäkösyysfunkto on f(x ) =P(X =x ) =p, ( =, 2,...). Satunnasmuuttujan g(x) odotusarvo on vako E(g(X)) =µ g(x) = g(x )f(x ).

20 3. Tlastomatematkan kästtetä Vastaavast jatkuvan satunnasmuuttujan funkton odotusarvo määrtellään seuraavan määrtelmän mukasest. Määrtelmä Olkoon g reaalarvonen funkto ja X jatkuva satunnasmuuttuja, jonka theysfunkto on f(x). Tällön satunnasmuuttujan g(x) odotusarvo on vako: E(g(X)) =µ g(x) = g(x)f(x)dx. Havantoaneston vnous ja hupukkuus määrtellään keskarvon suhteen lasketulla otosmomentella el keskusmomentella. Määrtellään ensn momenttemäfunkto. Olkoon satunnasmuuttuja X, jonka odotusarvo m X (t) = E(exp(tX)) on olemassa kakllat ( h, +h), jossah> on vako [2, s. 53]. Funktota m X (t) kutsutaan satunnasmuuttujanx ja sen jakauman momenttemäfunktoks el momentt generovaks funktoks. Jotta momenttemäfunkto ols olemassa, on odotusarvon E(exp(tX)) oltava äärellnen. Jos momenttemäfunkto on olemassa, nn m X () = E(exp()) = E() =. Jatkuvan satunnasmuuttujanx, jonka theysfunkto onf(x), momenttemäfunkto saadaan kaavalla m X (t) = E(exp(tX)) = exp(tx)f(x) dx, kun oletetaan, että momenttemäfunkto on olemassa. Jos satunnasmuuttujan momenttemäfunkto on olemassa jossan psteen t = ympärstössä, on se ykskästtenen ja määrää täysn satunnasmuuttujan todennäkösyysjakauman. Jos ss satunnasmuuttujlla X ja Y on sama momenttemäfunkto, nn satunnasmuuttujat X jay noudattavat samaa todennäkösyysjakaumaa. Momenttemäfunktollam X (t) on kakken kertalukujen dervaatat psteessä t =. d k ( ) m X (t) dt k t= = dk d k dt E(exp(tX)) t== E k dt exp(tx) k t= = E(X k exp(tx)) t= = E(X k ) =α k, (k =, 2,...) α k =E(X k ) on satunnasmuuttujanxk.(orgo-)momentt. SatunnasmuuttujanX

21 3. Tlastomatematkan kästtetä odotusarvo ja varanss saadaan ensmmäsen ja tosen orgomomentn avulla seuraavast: 3.3 Keskenen raja-arvolause µ =α = E(X) = dm X(t) t= dt α 2 = E(X 2 ) = d2 m X (t) dt 2 t= σ 2 = Var(X) = E[(X µ) 2 ] =α 2 α. 2 Todennäkösyysjakaumalle on usen vakea esttää täsmällstä laskentaa esmerkks sks, että jakauma e ole tedossa, ta yksnkertasest sks, että vaatmukset tarkkuudelle ovat hyvn korkeat. Tällön vo olla mahdollsta approksmoda todellsta jakaumaa yksnkertasemmalla jakaumalla, joka saadaan raja-argumentlla. Tämä vaat määrtelmän satunnasmuuttujan suppenemsesta. Määrtelmä Satunnasmuuttujen jononx,x 2,..., joden kertymäfunktot ovat vastaavastf,f 2,..., sanotaan suppenevan jakaumamelessä koht satunnasmuuttujaa X, jonka kertymäfunkto on F. Kakssa F:n jatkuvuuspstessä x X d n X, josf n (x) F(x), n. Tlastollsen sovelluksen kannalta rajajakauman F etu on, että se okeuttaa approksmomaan satunnasmuuttujen jononx,x 2,... tlastollsta jakaumaax n :n jakaumalla F, kun n on suur. Tärken rajalak on keskenen raja-arvolause. [4, s. 26] Keskesen raja-arvolauseen mukaan muuttujat, jotka ovat useden osatekjöden summa, ovat approksmatvsest normaalsa, jos summassa on rttävän paljon tekjötä ekä mkään summan tekjöstä ole domnova [6, s. 73]. OlkoonX, ( =, 2,..., n), rppumattoma satunnasmuuttuja, joden odotusarvot ja varansst ovat E(X ) =µ ja Var(X ) =σ 2. Nästä satunnasmuuttujsta muodostetun uuden satunnasmuuttujanx =X +X 2 + +X n odotusarvoµon odotusarvojen summa µ =E(X) = n µ, = ja varanssσ 2 on satunnasmuuttujen varanssen summa n σ 2 = Var(X) = σ. 2 = Lause Olkoonf(x) theysfunkto keskarvollaµja varanssllaσ 2. Olkoon x f(x):stä otetun satunnasotoksen otoskeskarvo. Merktään Z:lla standardotua

22 3. Tlastomatematkan kästtetä 2 muuttujaa Z = x µ σ/ n, (3.6) jossa n on otoskoko. Tällön muuttujan Z jakauma lähestyy standardnormaaljakaumaan(, ), kunn. [, s. 6] Standardnormaaljakauma kästellään kappaleessa 5.. Ylesest otoskoolla n = 3 saadaanx:lle hyvn tarkast normaaljakauma. Jos populaatojakauma on ykshuppunen ja lähellä symmetrstä rttää penmpkn otoskoko.

23 3 4. OTOKSEN GRAAFINEN ESITTÄMINEN 4. Emprnen theysfunkto Havantoaneston kästtely ja arvont on usen havannollsempaa graafsessa muodossa. Graafsta estystä varten otosalkotx,x 2,...,x n luoktellaan usen puolavomn, tavallsest yhtä suurn välehn (c,c 2 ], (c 2,c 3 ],..., (c k,c k+ ]. Kunkn väln otosarvojen määrää, luokkafrekvenssä merktäänf,f 2,...,f k ja luokan keskkohtaa m,m 2,...,m k, [], jossa m = c +c +. 2 Otoksen kokonasmäärä, otoskoko n, on luokkafrekvenssen summa k n = f. = Otoksesta prretyn frekvensshstogrammn luokken lukumäärällelon erlasa suostuksa, esmerkks l [ 3 n, n] ta l [ 3 n, 2 3 n]. Käytännössä sopva lukumäärä luoklle löydetään usen kokelemalla. Yhdstämällä hstogrammn vaakajanojen keskpsteet saadaan frekvenssmurtovva. Kun hstogrammn molemmlle puollle prretään nollaluokat saadaan frekvenssmurtovva alkamaan vasemman puolen nollaluokasta ja päättymään okean puolen nollaluokkaan. Hstogramm ja frekvenssmurtovva rajaavat x-akseln kanssa yhtä suuret pnta-alat. Suurlla otoskolla hstogrammn luoktusta vodaan thentää ja saada frekvenssmurtovva lähestymään jatkuvaa käyrää, jonka vodaan ajatella kuvaavan tutktun omnasuuden teoreettsta jakaumaa. Erkokosa anestoja vertaltaessa on frekvensst hyvä korvata suhteellslla frekvensselläf /n, jollon saadaan suhteellnen frekvensshstogramm ja suhteellnen frekvenssmurtovva. Suhteellnen frekvenssmurtovva thenevällä luokkajaolla lähestyy jatkuvaa käyrää, jota kutsutaan emprseks theysfunktoks. Myös hstogramma käytetään emprsenä theysfunktona. Otoksesta prretty hstogramm antaa vttetä theysfunkton muodosta. Tämän perusteella vodaan valta otokseen sovtettavat tunnetut jakaumatyypt.

24 4. Otoksen graafnen esttämnen Emprnen Kertymäfunkto Emprsen theysfunkton tarkastelussa lasketusta luokkafrekvenssestä vodaan laskea edelleen summafrekvensst F =f +f 2 + +f. Tetyn luokan summafrekvenss lmasee kakken nden havantojen lukumäärän, jotka ovat penempä ta yhtä suura kun kyseessä olevan luokan yläraja. Summajakauma saadaan merktsemällä kunkn luokan summafrekvenssä vastaava pste luokan ylärajan kohdalle ja yhdstämällä psteet. Summakäyrän vodaan ajatella kuvaavan tutkttavan muuttujan teoreettsta jakaumaa. Kun summafrekvenssen sjaan lasketaan suhteellset summafrekvensstf /n, saadaan suhteellnen summakäyrä el otoskertymäfunkto []. Koska usemmat kertymäfunktot ovat muodoltaan samantyyppsä, emprsen kertymäfunkton kuvan perusteella otoksen luonteen päättely on haastavampaa.

25 5 5. JAKAUMIA 5. Normaaljakauma Normaaljakauma on tärken ja tunnetun jatkuva jakauma. Abraham DeMovre ( ) kehtt vuonna 733 normaalkäyrälle matemaattsen kaavan, joka lo pohjan monen nduktvsen tlastoteteen teoran löytämselle [3, s. 39]. Normaaljakaumaa kutsutaan usen myös Gaussn jakaumaks Karl Fredrch Gaussn ( ) mukaan, sllä hän ol myös johtanut normaaljakauman kaavan. Määrtelmä 5... Satunnasmuuttuja X on normaaljakautunut parametren µ jaσ 2, josx:n theysfunkto on f(x;µ,σ) = ( exp ) 2πσ 2σ 2 (x µ)2, kun <x<, <µ< jaσ>. (5.) Tällön merktäänx N(µ,σ 2 ). Parametrtµjaσ 2 ovat normaaljakauman odotusarvo ja varanss. Normaaljakauma on symmetrnen odotusarvonsa suhteen ja lähestyy asymptoottsest vaaka-aksela, kun srrytään odotusarvosta postvsen ta negatvsen vaaka-akseln suuntaan. Olkoon kaks normaaljakauman käyrää, jolla on sama varanssσ =σ 2, mutta er odotusarvotµ µ 2. Tällön käyrät ovat muodoltaan denttset, mutta ne ovat keskttyneet vaaka-aksellla er kohtn, kuten kuvassa 5. snsellä ja punasella prretyt theysfunktot. Vastaavast jos käyrllä on sama odotusarvoµ =µ 2, mutta er varansstσ 2 σ 2 2, nn ne ovat keskttyneet vaaka-aksellla samaan kohtaan, mutta käyren muodot ovat tosstaan pokkeavat. Käyrän ja vaaka-akseln väln jäävän alueen pnta-ala on kakssa tapauksssa yks. Osotetaan, että parametrtµjaσ 2 ovat normaaljakauman odotusarvo ja varanss. Jatkuvan jakauman odotusarvo saadaan kaavalla (3.3), kun theysfunkto f(x) on normaaljakauman theysfunkto (5.): E(X) = 2πσ ( x exp ) 2σ 2 (x µ)2 dx.

26 5. Jakauma 6 Muuttujanvahdolla z = (x µ)/σ, jollon dx = σ dz, saadaan yhtälö muotoon E(X) = 2π =µ 2π ( ) +z 2 (µ +σz) exp dz 2 ( ) z 2 exp dz + 2 σ 2π ( ) z 2 z exp dz. 2 Yhtälön okean puolen ensmmäsen termn ntegraalosa on normaalkäyrän ja vaakaakseln (x-akseln) rajaama pnta-ala. Integromalla tonen term nähdään, että se on nolla. Nän ollen E(X) =µ. Varanssn kaavalla (3.4), kun f(x) on normaaljakauman theysfunkto saadaan normaaljakautuneen satunnasmuuttujan X varanssks E[(X µ) 2 ] = 2πσ ( (x µ) 2 exp ) 2σ 2 (x µ)2 Tehdään muuttujanvahto, kuten edellä z = (x µ)/σ, dx = σ dz, jollon varanssn lauseke tulee muotoon E[(X µ) 2 ] = σ2 2π ( ) z z 2 2 exp dz. 2 dx. Osttasntegromalla saadaan E[(X µ) 2 ] = / σ2 2π ( ) z 2 z exp + 2 exp ( ) z 2 2 dz =σ 2 ( + ) =σ 2. Normaaljakauman theysfunkton ntegraal e ratkea analyyttsest, ekä kertymäfunktolle sten voda antaa eksplsttstä lauseketta. Integraal on laskettava numeersest, mkä on tehnyt välttämättömäks normaaljakauman kertymäfunkton arvojen taulukomsen nopean vertalun mahdollstamseks [3, s. 43]. Jotta kakken er parametryhdstelmen normaaljakaumen kertymäfunktoden arvot saadaan yhdestä taulukosta, on määrtelty standardnormaaljakauma. SatunnasmuuttujanZ, joka on normaaljakautunut parametren µ = ja σ =, sanotaan noudattavan standardnormaaljakaumaa, ja stä merktään Z N(, ). Standardnormaaljakauman theysfunkto on f(z) = ( ) z 2 exp,z R. 2π 2

27 5. Jakauma 7 Mllä tahansa parametren normaaljakautunut satunnasmuuttuja X vodaan standardoda satunnasmuuttujaks Z, joka on normaaljakautunut keskarvolla µ = ja varanssllsσ 2 =. Standardmuunnos on Z = X µ. (5.2) σ SatunnasmuuttujanX arvoaxvastaavaz:n arvo on ssz= (x µ)/σ. Sten jos x on vällläx [x,x 2 ], nnz-arvojen vastaavat rajat ovatz = (x µ)/σ ja z 2 = (x 2 µ)/σ. Nän ollen todennäkösyyksen vastaavuudeks saadaan P(x <X<x 2 ) = 2πσ x2 = z2 x ( exp ) 2σ 2 (x µ)2 z f(z;, ) dz =P(z <Z<z 2 ). dx = ( ) z2 z 2 exp dz 2π z 2 Satunnasmuuttuja Z noudattaa standardnormaaljakaumaa, jos X on normaaljakautunut. Tämä vodaan osottaa seuraavan lauseen mukasest: Lause 5... [26, s. 55] Josx N(µ,σ 2 ), nnz= x µ σ N(, ). Todstus: Oletetaan, että satunnasmuuttujallax R p on perusjoukko Ω ja theysfunkto f. Otetaan käyttöön uus muuttuja y, joka määrtellään yhtälön x =h(y) avulla ja jonka perusjoukko on Ω 2. Oletetaan, että funktoh:ω 2 Ω on kääntäen ykskästtenen, sten Ω 2 :n ssällä det(h (y)). Tällön uutta muuttujaa y vastaava theysfunkto on g(y) =f(h(y)) det(h (y)). Jos uus muuttuja z määrtellään yhtälön x = h(z) mukasest, jos funkton h kääntesfunkto on ykskästtesest olemassa ja josh (z), nn uuden muuttujan theysfunkto ong(z) =f(h(z)) h (z). Tässäh(z) =σz +µ jah (z) =σ. Suoralla sjotuksella normaaljakauman theysfunktoon (5.) saadaan uuden muuttujan theysfunktoks g(z) = exp ( ) 2π 2 z2 Nän ollenz N(, ). Kuvassa 5. on normaaljakauman theysfunkto neljällä er parametren µ ja σ yhdstelmällä, josta ertysest standardnormaaljakauman theysfunkto on kuvassa punasella.

28 5. Jakauma Normaaljakauma µ=,σ= µ=,σ=2 µ=2,σ= µ=3,σ= Kuva 5.: Normaaljakauma 5.2 Lognormaaljakauma Lognormaaljakaumaa vodaan käyttää mallntamaan sellasten satunnasmuuttujen jakauma, jotka evät vo saada negatvsa arvoja, mutta vovat saada mten suura arvoja tahansa. Lognormaaljakauman parametrena ovat odotusarvo µ ja keskhajonta σ. Satunnasmuuttuja X noudattaa lognormaaljakaumaa, jos satunnasmuuttuja Y = log(x) on normaaljakautunut vastaavan normaaljakauman parametren (µ, σ). Satunnasmuuttujan X theysfunkto on f(x;µ,σ) = 2πσx exp ( ) (ln(x) µ) 2, x>. 2σ 2 Lognormaaljakauman kertymäfunktota e voda esttää eksplsttsenä lausekkeena, koska lognormaaljakauman theysfunkton ntegraalfunktota e voda esttää suljetussa muodossa. Todennäkösyys, että lognormaaljakautunut satunnasmuuttuja saa arvon välllä [a, b], saadaan muuttujanvahdolla y = ln(x) standardnormaa-

29 5. Jakauma 9 ljakaumasta. P(a x b) = b a f(x) dx = b a 2πσx exp = ( ) ln(b) (y µ) 2 exp dy 2πσ ln(a) 2σ 2 ( ) ( ) ln(b) µ ln(a) µ =F F, σ σ ( ) (ln(x) µ) 2 2σ 2 dx jossa F on standardnormaaljakauman kertymäfunkto Lognormaaljakauma µ=.5,σ=.5 µ=,σ= µ=,σ=2 µ=2,σ= Kuva 5.2: Lognormaaljakauma Lognormaaljakauman odotusarvon laskemseks krjotetaan E(X) = xf(x) dx = ( ) (ln(x) µ) xx 2 exp 2πσ 2σ 2 = ( ( ) ) (y µ) 2 exp y exp dy. 2πσ 2σ 2 dx Huomataan, että ntegrand on normaaljakauman theysfunkton muotoa. Nän saadaan lognormaaljakauman odotusarvoks E(X) = exp ( µ + σ2 2 ).

30 5. Jakauma 2 Varanssks saadaan Var(X) = exp(2µ +σ 2 )(exp(σ 2 ) ). Kuvassa 5.2 on estetty lognormaaljakauman theysfunkto neljällä er parametren µ ja σ yhdstelmällä. 5.3 Gammajakauma Gammajakauma on klassnen jakauma, joka on esntynyt krjallsuudessa 9- luvun alusta lähten [, s. 294]. Gammajakauma perustuu Eulern gammafunktoon (Leonard Euler, [3, s. 25]), joka on määrtelty seuraavast. Määrtelmä [2, s. 97] Γ(α) = x α exp( x) dx, α> Osttasntegromalla gammafunkton lauseke, kunu=x α jadv = exp( x) dx, saadaan / Γ(α) = exp( x)x α + = (α ) exp( x)(α )x α 2 dx x α 2 exp( x) dx, (α>). Tämä johtaa rekursvseen kaavaan: Γ(α) = (α )Γ(α ) = (α )(α 2)Γ(α 2) = (α )(α 2)(α 3)Γ(α 3) ja nn edelleen. Ylesest, jos α = n, nn gammafunkto on Γ(n) = (n )(n 2),...,Γ(). Ertysest määrtelmän mukaan Γ() = exp( x) dx =. Nän saamme gammafunkton ylesest muotoon Γ(n) = (n )!.

31 5. Jakauma 2 Gammajakauman theysfunkto on f(x;α,β) = Γ(α)β αxα exp ( ) x, x>, α>, β>. β Gammajakauman theysfunkton ntegraala e voda esttää suljetussa muodossa, ekä sen kertymäfunktolle sten voda antaa eksplsttstä lauseketta. Gammajakauman odotusarvo vodaan laskea kaavan 3.3 avulla seuraavast: E(X) = x α exp( x/β) dx. β α Γ(α) Muuttujanvahdolla y = x/β, jollon dx = β dy, saadaan µ = E(X) = β y α exp( y) dy = Γ(α) βγ(α + ) Γ(α) =αβ Gammajakauma α=,β= α=,β=2 α=2,β= α=4,β= Kuva 5.3: Gammajakauma Odotusarvo on ensmmänen orgomomentte(x) =α. Lasketaan velä tonen orgomomentt α 2 = E(X 2 ) = x α+ exp( x/β) dx. β α Γ(α)

32 5. Jakauma 22 Kun tehdään muuttujanvahto y = x/β, kuten odotusarvon lausekkeelle, saadaan α 2 = β2 y α+ exp( y) dy = β2 (Γ(α + 2)) = (α + )αβ 2. Γ(α) Γ(α) Sten gammajakauman varanssks saadaan Var(X) =α 2 α 2 = (α + )αβ 2 α 2 β 2 =αβ Eksponenttjakauma Määrtelmä Kaksparametrsen exponenttjakauman theysfunkto on f(x;β,η) = ( ) (x η) β exp, x η, <β<, <η<. β Tällön merktäänx Exp(β,η), tax Exp(β), josη=. [, s. 9] Jos η =, eksponenttjakauman theysfunkto tulee ylesest käytettyyn muotoon, joka rpuu van parametrn β arvosta. f(x;β) = ( ) x β exp β Parametra η kutsutaan kynnysparametrks. Jos parametrlle η asetetaan tetty arvo η =η, nnx η Exp(β). Jos ss satunnasmuuttujax noudattaa eksponenttjakaumaax Exp(β,η ), nn satunnasmuuttujay =X η noudattaa jakaumaa Y Exp(β). Kertymäfunkto saadaan ntegromalla theysfunkton lauseke. y y F(x) =P(x y) = f(x) dx = exp( (x η)/β) dx β y/ = exp( (x η)/β) = exp( (y η)/β) Eksponenttjakauman odotusarvo ja varanss lasketaan orgomomentten avulla. Eksponenttjakautuneen satunnasmuuttujan momenttemäfunkto on m X (t) = E(exp(tX)) = exp(tx)f(x) dx = exp(tx) ( ) x β exp dx β = (( exp t ) ) x dx = / exp (( ) ) t β x β β β = /β /β t. t β

33 5. Jakauma 23 Momenttemäfunkton ensmmänen ja tonen dervaatta psteessä t = ovat Odotusarvoks ja varanssks saadaan dm X (t) /β t= = dt (/β t) 2 t==β d 2 m X (t) dt 2 t= = 2(/β) (/β t) 3 t== 2β 2. µ = E(X) =α = dm X(t) t= =β dt α 2 = E(X 2 ) = d2 m X (t) t= = 2β 2 dt σ 2 = Var(X) =α 2 α 2 = 2β 2 β 2 =β 2. Kun varansssta otetaan postvnen nelöjuur, saadaan hajonta el keskpokkeama. Eksponenttjakauman odotusarvo ja hajonta ovat ss yhtäsuuret. Kaksparametrsen eksponenttjakauman odotusarvo µ = β + η. Yksparametrnen (η = ) eksponenttjakauma on gammajakauman erkostapaus, kun α =. Kuvassa 5.4 on estetty eksponenttjakauman theysfunkto f(β) neljällä er parametrn β arvolla, kunη= Eksponenttjakauma β= β=2 β=4 β= Kuva 5.4: Eksponenttjakauma Lause [, s. 9] Oletetaan, että satunnasmuuttujatx, ( =,...,n), ovat

34 5. Jakauma 24 rppumattoma ja noudattavat eksponenttjakaumaax Exp(β). Tällön 5.5 χ 2 -jakauma n () Y = X Gam(β,n) = n X (2) 2 =β χ2 (2n). χ 2 -jakauma lttyy lähesest normaaljakaumaan. JosZ,...,Z n ovat rppumattoma standardnormaaljakautuneta satunnasmuuttuja, nn satunnasmuuttuja X =Z 2 + +Z 2 n onχ 2 n-jakautunutn:llä vapausasteella [4, s. 22]. Tätä merktään lyhyestx χ 2 n.χ 2 -jakauma lttyy lähesest myös gammajakaumaan, sllä jos gammajakauman parametreks valtaanα=n/2 jaβ = 2, saadaanχ 2 -jakauma. χ 2 -jakauman theysfunkto on f(x;n) = 2 n/2 Γ(n/2) x(n/2) exp( x/2), x>. χ 2 -jakauman odotusarvo ja varanss saadaan edellä osotettujen gamma-jakauman.4.2 χ 2 jakauma n= n=2 n=4 n= Kuva 5.5:χ 2 -jakauma

35 5. Jakauma 25 odotusarvon ja varanssn lausekkesta sjottamalla α = n/2 ja β = 2: µ = E(X) =αβ = n 2 2 =n σ 2 = Var(X) =αβ 2 = n 2 22 = 2n. Kun tarkastellaanχ 2 -jakaumaa vapausasteellan = 2, huomataan, että se on denttnen yksparametrsen eksponenttjakauman kanssa, jolle β = 2. Nän ss gammajakauma parametrenα=n/2,β = 2,χ 2 -jakauma vapausasteellan=2sekä eksponenttjakauma odotusarvolla µ = 2 (parametrlla β = 2) ovat kakk saman jakauman funktota. [7, s. 323] Kuvassa 5.5 onχ 2 -jakauman theysfunkto neljällä er vapausasteella n. 5.6 Webulln jakauma Webulln jakauman on estellyt vuonna 939 ruotsalanen fyyskko Walodd Webull ( ). Sen theysfunkto on f(x;α,β) =αβx β exp( αx β ), x>,α>,β Webulln jakauma α=/2,β=2 α=/2,β= α=/4,β= α=/,β= Kuva 5.6: Webulln jakauman theysfunkto er parametren arvolla Webulln jakauma parametrn β arvolla β = on denttnen yksparametrsen eksponenttjakauman kanssa. Parametrn β arvolla β > Webulln jakauma saa

36 5. Jakauma 26 kellokäyrän muodon ja mustuttaa sten normaaljakaumaa. Tosn kun normaaljakauma, joka on symmetrnen, Webulln jakauma on vno. Webulln jakauman odotusarvo saadaan ntegromalla muuttujanvahdollaz =αx β, jollonx=(z/α) /β ja dx = (/(αβ))(z/α) /β dz. E(X) = xf(x) dx = xαβx β exp( αx β ) dx = = αβ(z/α) exp( z)(/αβ)(z/α) /β dz = ( =α /β z /β exp( z) dz =α /β Γ + ) β Varanssks saadaan Var(X) =α ( 2/β Γ + 2 ) [ ( Γ + )] 2 β β. Kuvassa 5.6 on estetty Webull-jakauman neljä er theysfunktota. αβx β exp( αx β ) dx (z/α) /β exp( z) dz 5.7 Raylegh n jakauma Raylegh n jakauman theysfunkto on f(x;θ,k) = 2θk+ Γ(k ) x2k+ exp( θx 2 ), x>,θ>,k N. Raylegh n jakauma on Webulln jakauman erkostapaus, kun k =. Rayleghn jakauman odotusarvo on E(X) = Γ(k ) Γ(k + ) θ ja varanss Var(X) = (k + Γ(k + 3 ) 2 )2. θ Γ(k + ) 2 Rayleghn jakauman yksparametrnen theysfunkto vodaan määrtellä seuraavast: f(x;b) = x ( ) x 2 b exp. 2 2b 2 Yksparametrsen Raylegh n jakauman theysfunkton kuvaaja on prretty kuvaan 5.7 neljällä er parametrn b arvolla.

37 5. Jakauma Rayleght n jakauma b= b=2 b=4 b= Kuva 5.7: Rayleghtn jakauma 5.8 Gumbeln jakauma Tyypn I äärarvojakauma on kahta muuta tyyppä monpuolsemp ja se tunnetaan Gumbeln jakaumana saksalasen matemaatkon Eml Gumbeln (89-966) mukaan. Jos satunnasmuuttujalla X on Webulln jakauma nn satunnasmuuttujalla Y = ln(x) on Gumbeln jakauma. Sks tyypn I äärarvojakaumaa kutsutaan joskus myös log-webull-jakaumaks. Määrtelmä Gumbeln maksmarvojakauman theysfunkto estetään usen muodossa f(x;σ,µ) = σ exp( z e z ), jossaz= x µ σ. Parametra µ kutsutaan pakkaparametrks ja parametra σ astekko- el skaalaparametrks. Parametrella µ = ja σ = saadaan Gumbeln standardjakauma. Määrtelmä Gumbeln jakauman kertymäfunkto on F(x) = exp( e z ) = exp( exp( (x µ)/σ)).

38 5. Jakauma Gumbeln jakauma µ=,σ= µ=.5,σ= µ=,σ=.5 µ=2,σ= Kuva 5.8: Gumbeln jakauma er parametren arvolla Gumbeln jakauman odotusarvo ja varanss ovat E(X) =µ +σγ Var(X) = π2 6 σ2, mssä γ.5772 on Eulern luku, jota kutsutaan myös Euler-Mascheronn vakoks. Kuvassa 5.8 on estetty Gumbeln jakauman theysfunkto, neljällä er parametren σ ja µ yhdstelmällä. Gumbeln standardjakauma on kuvassa punasella. 5.9 Fréchet n jakauma Tyypn II äärarvojakauma, Fréchet n jakauma, on nmetty ranskalasen matemaatkon Maurce Fréchet n ( ) mukaan. Määrtelmä Fréchet n jakauman theysfunkto on f(x;α,β) = α β ( ) α+ ( ) α ) β β exp(, x>,α> x x Kuvassa 5.9 on estetty Fréchet n jakauman theysfunkto neljällä er parametrenα ja β yhdstelmällä.

39 5. Jakauma Fréchet n jakauma α=,β= α=2,β= α=.5,β= α=,β= Kuva 5.9: Fréchet n jakauma er parametren arvolla

40 5. Jakauma 3

41 3 6. ÄÄRIARVOJAKAUMAT 6. Äärarvoteoraa Äärarvoteora on tlastoteteen erllnen osa-alue, jossa tutktaan äärarvoja. Yleensä tarkastellaan muuttujan M n = max{x,...,x n } käyttäytymstä. Jonolla tosstaan rppumattoma satunnasmuuttujax,...,x n on yhtenen jakauma F. Äärarvoteorassa vodaan ana kästellä maksmarvoja, sllä mn{x,...,x n } = max{ X,..., X n }. [6, s. 4] TeorassaM n :n jakauma vodaan määrttää tarkast kakllan:n arvolla. P(M n z) =P{X z,...,x n z} =P{X z} P{X n z} (6.) ={F(z)} n Tämä menetelmä e kutenkaan ole käytännössä kovn hyödyllnen, sllä jakaumafunkto F on tuntematon. Tuntematon jakauma votasn estmoda tlastomatematkan kenon havantoaneston perusteella ja sjottaa saatu jakaumafunkto yhtälöön 6.. Valtettavast hyvn penkn muutos F:n estmaatssa aheuttaa suuren eronf n :ssä. Vahtoehtonen menetelmä on hyväksyä, ettäf on tuntematon, ja approksmoda mallaf n :lle suoraan äärarvosta. TarkastellaanF n :n jakaumaa, kun n. SallmallaM n :n lneaarnen uudelleenormalsont M n = M n b n a n vältetään jotan ongelma. Sopvast valtulla muuttujlla{a n } ja{b n }M n:n pakka ja skaala stablotuvat. Rajajakauma etstään sksm n :n sjaanm n:lle.m n:n mahdollset rajajakaumat on estetty seuraavassa lauseessa.

42 6. Äärarvojakaumat 32 Teoreema 6... [4, s. 46] Jos on olemassa vakoden jonot{a n > } ja{b n } sten, että P{(M n b n )/a n z} G(z), n, jossa G on e-degenerotunut jakaumafunkto, nn G kuuluu, parametrella a >, α >, johonkn seuraavsta luoksta: { [ ( )]} z b I :G(z) = exp exp, <z< a z b II :G(x) = exp { ( z b a ) α} z>b exp { [ ( ) α ]} z b a z<b III :G(z) = z b. (6.2) Ylenen äärarvojakauma (generalzed extreme value dstrbuton, GEV) yhdstää tyypn I, II ja III äärarvojakaumat yhdeks jakaumaperheeks. Teoreeman 6.. mukaan otosmaksm (M n b n )/a n suppenee jakaumaltaan koht muuttujaa, jonka jakauma on jokn perheden I, II ta III jakaumsta. Ylesest nätä jakauma kutsutaan tyypn I, II ta III äärarvojakaumks. Ne tunnetaan myös Gumbeln (tyypp I), Fréchet n (tyypp II) ja Webulln (tyypp III) jakaumna. Kaklla nällä äärarvojakaumlla on pakkaa kuvaava parametr b ja skaalaparametr a, Fréchet n ja Webulln jakaumlla on lsäks muotoparametrα. Teoreeman 6.. mukaan kunm n vodaan stabloda sopvlla jonolla{a n } ja{b n }, vastaavalla normalsodulla muuttujallam n on rajajakauma, jonka on oltava jokn kolmesta äärarvojakaumasta. Tämän tuloksen merkttävä omnasuus on se, että kolme manttua äärarvojakaumaa ovat anoat mahdollset rajatm n :n jakaumalle rppumatta populaaton jakaumasta F. Tässä melessä teoreema 6.. antaa keskesen raja-arvolauseen vastneen äärarvolle. 6.2 Ylenen äärarvojakauma Kappaleessa 6. estellyllä kolmella rajajakaumalla on erlaset omnasuudet rppuen otosjakaumanf hännän tyypstä. Tarkasteltaessa rajajakaumangkäyttäytymstä sen ylemmässä päätepsteessäz + huomataan, että Webulln jakauman päätepstez + on äärellnen, Fréchet n ja Gumbeln jakaumen päätepste on ääretön (z + = ). JakaumanGtheys laskee eksponentaalsest, kun kyseessä on Gumbeln jakauma ja polynomsest Fréchet n jakaumalla. Ero johtuu otosjakauman F hänten erlasesta vähenemsasteesta. Tämän vuoks kolmen er äärarvojakauman mukaset äärarvojen käyttäytymset vovat olla melko erlasa. Ensmmässsä ää-

43 6. Äärarvojakaumat 33 rarvoja kästtelevssä sovelluksssa ol tapana valta kolmesta äärarvojakaumasta yks ja estmoda slle sopvat parametrt. Tällasessa lähestymstavassa on kutenkn hekkouksa. Ensmmäseks dataan parhaten sopvan jakauman valntaan tarvtaan luotettava menetelmä. Toseks, kun päätös valtusta jakaumasta on tehty se oletetaan okeaks, ekä slle sallta epätarkkuutta, vakka epätarkkuus ols merkttävää. Paremp menetelmä on yhdstää teoreeman 6.. jakaumaperheet yhdeks jakaumaperheeks, jota kutsutaan yleseks äärarvojakaumaks. G(z) = exp { [ +ξ ( )] } z µ /ξ σ (6.3) Kuvassa 6. on ylesen äärarvojakauman theysfunkton kuvaaja er parametren yhdstelmllä. Ylenen äärarvojakauma on määrtelty joukossa{z : + ξ(z µ)/σ > }, jossa <µ<,σ> ja <ξ<, ja sllä on kolme parametra: pakkaparametr µ, astekko- el skaalaparametr σ ja muotoparametr ξ. Tyypn II äärarvojakauma vastaa ylesen äärarvon muotoa, jossa ξ >, ja tyypn III tlannetta, jossa ξ <. Kun ξ =, lähestyy G(z) Gumbeln kertymäfunktota. Kolmen jakauman.25.2 Ylenen äärarvojakauma K=.5,σ=2,µ= K=,σ=2,µ= K=.5,σ=2,µ= Kuva 6.: Ylesen äärarvojakauman theysfunkto er parametren arvolla yhdstämnen yhdeks jakaumafunktoks helpottaa merkttäväst tlastollsen tarkastelun toteuttamsta. Tarkasteltavaks e tarvtse valta van yhtä kolmesta jakaumasta, vaan estmomalla ylesen äärarvojakauman parametrt otoksesta saadaan ξ:lle estmaatt, joka kertoo, mnkä tyypn äärarvojakauma on kyseessä. Nän ollen

44 6. Äärarvojakaumat 34 teoreema 6.. vodaan krjottaa uudelleen. Teoreema Jos on olemassa vakoden jonot{a n > } ja{b n } sten, että P{(M n b n )/a n z} G(z) n e-degenerodulle jakaumafunktolle G, tällön G on ylesen äärarvoperheen jäsen. G(z) = exp { [ +ξ ( )] } z µ /ξ G(z) on määrtelty, kun{ +ξ(z µ)/σ> }, jossa <µ<,σ>ja <ξ<. Teoreeman 6.. rajan vo tulkta approksmaatoks, jota jakauma lähestyy suurlla n:n arvolla. Maksmen jakaumaa vodaan ss mallntaa ylesen äärarvoperheen jakaumlla suurlla n:n arvolla. Vakoden normalsont on käytännössä helppo ratkasta. Kun oletetaan, että σ vodaan suurlla n:n arvolla krjottaa P{(M n b n )/a n z} G(z), P{M n z} G{(z b n )/a n } =G (z), mssäg on myös ylesen äärarvoperheen jäsen. Tosn sanoen, jos teoreema 6.. mahdollstaam n:n jakauman approksmaaton ylesen äärsrvoperheen jäsenen kautta, kunnon suur, vodaanm n approksmoda saman jakaumaperheen er jäsenen kautta. Käytännön kannalta on merktyksetöntä, ettäg:lle tag :lle estmotavat parametrt ovat er suuret. Tämä argumentt johtaa mallntamaan rppumattomen havantojenx,x 2,... äärarvoja. Havannot jaetaann:n ptusn jonohn, joden maksmesta muodostetaan jonom n,,...,m n,m, johon ylenen äärarvojakauma vodaan sovttaa. Jonojen ptuus n valtaan usen vastaamaan vuoden mttasta ajanjaksoa, jollon n on havantojen lukumäärä vuoden akana ja lohkojen maksmt edustavat vuosttasa maksmeja. Vuosttasten maksmen jakauman äärarvokvantlen estmaatt saadaan kaavalla 6.3. [ µ σ ξ { ln( p)} ξ ], ξ, z p = µ σ ln{ ln( p)}, ξ =, jossag(z p ) = p. Ylesestz p :tä kutsutaan paluutasoks. Paluujaksoks kutsutaanp:n käänteslukua /p [2, s. 2].z p :n tason odotetaan ylttyvän keskmäärn

45 6. Äärarvojakaumat 35 kerran /p vuodessa.z p :n odotetaan ss olevan tetyn vuoden vuosttanen maksm todennäkösyydelläp. Määrttelemälläy p = log( p) saadaan: [ ] µ σ ξ y ξ p, ξ, z p = µ σ lny p, ξ =. Tästä seuraa, ettäz p, lny p :n funktona on lneaarnen kuvaaja, kunξ =. Kun ξ<, kuvaaja on kupera ja lähestyy asymptoottsest rajaaµ σ/ξ, kunp. Kun ξ >, kuvaaja on kovera, ekä sllä ole äärellstä raja-arvoa. Tätä kuvaajaa kutsutaan paluujakson kuvaajaks. 6.3 Sovellukset metallurgassa Tärkeä ongelma metallurgan alalla on suurmman sulkeuman koon estmont, sllä metallen väsymsmurtumat saavat tyypllsest alkunsa erttän suursta sulkeumsta. Tostuva kuormtus vo aheuttaa metallsen komponentn murtumsen tlanteessa, jossa rastuksen maksm on materaaln staattsen jänntysrajan alapuolella. Tätä lmötä kutsutaan väsymseks. Kaklla materaalella on mnm jänntysalue, jota kutsutaan väsymslujuudeks ja jonka alapuolella materaal kestää tavutustestessä rajottamattoman määrän syklejä. Teräksen väsymsomnasuudet ovat vahvast yhteydessä sulkeumen läsnäoloon teräksessä. Väsymslujuus kasvaa sulkeumen koon penentyessä, ja sks suurmman sulkeuman koko on tärkeä ndkaattor metallsen komponentn laadulle. On kutenkn mahdotonta hajottaa komponentt suurmman sulkeuman löytämseks. Sks päätelmä suurmman sulkeuman koon määrttämseks on tehtävä edustavan otoksen perusteella. Ylesest näytteet otetaan teräsnäytteen hotulta pnnalta, heeltä. Tuloksena saadaan pnnan lekkaaven sulkeumen pokkpnta-alojen koot. Tästä nousee eslle ongelma suuren sulkeumen kolmedmensonaalsen koon päättelemsestä kaksdmensonaalsesta pnnasta saadun datan avulla.