Mat Lineaarinen ohjelmointi

Transkriptio

1 Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra ) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

2 Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot Geometra Duaalmuuttuen tulknta Yhteenveto S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

3 Tehtävä: Motvont (/) mn Ratkasu Lagrangen funktolla L: y y mn, y L(, y, ) y ( y) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

4 Motvont (/) Idea: Relaksodaan raote y Mnmodaan kustannusfunktota vaaast Sakotetaan raotteen rkkomsesta hnnalla. Jos sakko valtaan oken, on otmratkasu sama kun raotetulla tehtävällä LP-tehtävän duaal samalla dealla! S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 4

5 LP-tehtävä mn c' A Duaalfunkto g(): Motvont (/) Relaksotu tehtävä mn c' '( A) mssä * on alkueräsen tehtävän otm. g( ) mn c' '( A) c' * '( A*) g() antaa ss alaraan otmkustannukselle c * c' *, S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 5

6 Duaaltehtävä (/7) Alkuerästä tehtävää kutsutaan rmaalks Duaaltehtävä: etstään suurnta alaraaa rmaaln otmkustannukselle: ma g( ) vaaa, mssä g() mn [ c' '( A) ] LP-tehtävän taauksessa duaalfunkto g() saadaan lausuttua ekslsttsest S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 6

7 Määrtelmästä: Huomataan: Duaaltehtävä (/7) g() mn( c' ' A) mn ', [ c' '( A) ] mn( c' ' A), os c' ' A ' muuten g():tä maksmotaessa raotutaan edellseen taaukseen standardmuotosen rmaaln duaaltehtävä: ma s.e ' 'A c' vaaa S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 7

8 Duaaltehtävä (/7) Raotteet eäyhtälömuodossa? Muutetaan standardmuotoon a sovelletaan edellstä Esm. mn c' mn [ c' ' ] s.e A s s.e [ A I] s Duaal: ma ' s.e 'A c' s S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 8

9 Duaaltehtävä (4/7) Raotteet yhtälömuodossa, mutta vaaa? Määrtelmästä: Huomataan: Duaaltehtävä: g() mn( c' ' A) ma s.e mn [ c' '( A) ] ' mn( c' ' A), os, ' 'A c' vaaa c' ' A ' muuten S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 9

10 Duaaltehtävä (5/7) Ylesest: PRIMAALI mn ma DUAALI raotteet muuttuat vaaa vaaa c c c muuttuat raotteet Prmaaln muuttuaa vastaa duaalssa raote a tosnän S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

11 S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Duaaltehtävä (6/7) Duaaltehtävä (6/7) Esmerkk: vaaa mn ma vaaa

12 Duaaltehtävä (7/7) Omnasuuksa: Duaaln duaal on rmaal Prmaaln ekvvalentt muodot tuottavat ekvvalentt duaalt mn A c' vaaa ma ' ' A c' mn A s S ysteemanalyysn c' s vaaa ' s ma ' vaaa ' A c' Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

13 Duaalteoreemat: Hekko duaalsuus (/) Teoreema 4. (hekko duaalsuus): Jos on käyä ratkasu rmaallle a käyä ratkasu duaallle, ätee ' c' S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

14 S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 4 Todstus: Määrtellään mlle tahansa a : Jos a rmaal- a duaalkäyä: Ss: ( ) ( ) A c v a u ' ' v u ) ' sgn( ) sgn( ' ) sgn( ) ' sgn( ' A c A c a a c A c A v u ' ' ' ' ' ' Ks. Duaaltehtävän määrtelmä, kalvo

15 Duaalteoreemat: Hekko duaalsuus (/) Seurauslauseet 4. a 4.: a) Jos rmaaln otmkustannus on -, duaal e vo olla käyä ) Jos duaaln otmkustannus on, rmaal e vo olla käyä c) Jos a käyvät ratkasut rmaallle a duaallle a ätee c, ovat ko. ratkasut otmaalset rmaallle a duaallle Tod: c c y rmaalkäyvlle y. Vastaavast duaallle. S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 5

16 Duaalteoreemat: Vahva duaalsuus (/) Teoreema 4.4 (vahva duaalsuus): Jos LP-tehtävällä on otmratkasu, on myös sen duaallla, a vastaavat otmkustannukset ovat samat. S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 6

17 Todstus: Tarkastellaan standardmuotosta tehtävää a sen duaala: mnc' ma ' A ' A c' Olk. B rmaaln otmratkasun kantamuuttuat kannalla B. Tällön: Olk. c B B -. Tällön edellsestä seuraa: Lsäks: ' c' c B ' B c' c B ' B A ' A c' c B ' B ' c' Otmssa e negatvsa red. kustannuksa! duaalkäyä! ' c', ratkasut otmaalset! S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 7

18 Duaalteoreemat LP-tehtävässä va yks seuraavsta taaukssta mahdollnen: Löytyy otmratkasu Tehtävä on raottamaton, el otmkustannus - Tehtävä e ole käyä S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 8

19 Duaalteoreemat Prmaal- a duaalarelle saadaan ss seuraavat mahdollset komnaatot: Äärellnen otm Raottamaton E-käyä Äärellnen otm Mahdollnen Mahdoton Mahdoton Raottamaton Mahdoton Mahdoton Mahdollnen E-käyä Mahdoton Mahdollnen Mahdollnen S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 9

20 Duaalteoreemat: Täydentyvyysehdot (/6) Teoreema 4.5 (Täydentyvyys- el comlementary slackness-ehdot): Olkoot a rmaaln a duaaln käyä ratkasua. Tällön a ovat ko. tehtäven otmratkasut os a van os: ( a ' ), ( c ' A ). Ts. oko muuttua nollassa ta vastaava raote aktvsena S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

21 Todstus: Määrtellään u a v : u v ( a ' ) ( c ' A ) Kuten aemmn, rmaal- a duaalkäyvlle a ätee u a v kaklla a. Lsäks: u v ' A ' c' ' A c' Vahva duaalsuus: os a ovat otmaalsa, nn c u v kaklla a. ' Kääntäen, os u v kaklla a, nn c. Hekon duaalsuusteoreeman seurauslause kertoo, että a tällön otmaalsa (kalvo 5, c-kohta). S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

22 Duaalteoreemat: Täydentyvyysehdot (/6) ( ) Ensmmänen ehto a ' toteutuu standardmuotoselle tehtävälle automaattsest Ey-raotteet: otmssa e-aktvnen raote vodaan ostaa, oten sen rkkomsesta e ärkeä sakottaa nollasta okkeavalla hnnalla (vrt. sakko). S ysteemanalyysn 4 mn 5 Otmssa (,) s.e. < 4 4, ] ' [ 5,,. raote e aktvnen Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

23 Duaalteoreemat: Täydentyvyysehdot (4/6) Standardmuotonen rmaal, e-degenerotunut otmratkasu tunnetaan duaalmuuttuat saadaan laskettua tosesta täydentyvyysehdosta ( c ' A )! Kantamuuttuat c B(l ) ' A l,..., m ' c ' B ( l ) B ( l ) B Degenerotunut ratkasu : yks ta useam kantamuuttua nollassa, oten edellnen tomnta e onnstu. B S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

24 mn Duaalteoreemat: Täydentyvyysehdot (5/6) Standardmuotonen tehtävä a sen duaal: 5,, 6 8 ma Prmaaln otmratkasu *(,,), otmkustannus 9 Käytetään täydentyvyysehtoa duaaln otmratkasun löytämseen S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 4

25 Ehdot: Duaalteoreemat: Täydentyvyysehdot (6/6) ( a ' ) ( c ' A ),. Ylemmät OK, sllä tehtävä standardmuodossa Kantamuuttuat,, oten alemmsta ehdosta seuraa: 5 6 Ratkasu *(,) on duaalkäyä a tuottaa kustannuksen 9 ss * a * tosaan otmt! S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 5

26 S ysteemanalyysn Duaalteoreemat: Geometra (/) P: mn c' D: s.e a ',,..., m ma Merktään :ssä aktvsten raotteden ndeksoukkoa I:llä. Ehdot :n a :n otmaalsuudelle (e degenerotuvuutta): I a c a) ) a m ' s.e, c) a d) c I ' m a c Prmaalkäyyys Täydentyvyysehto Duaalkäyyys Duaalkäyyys Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 6

27 Duaalteoreemat: Geometra (/) Ts. otmsteen tulee olla rmaalkäyä, a lsäks vektorn c täytyy olla ostvnen lneaarkomnaato aktvssta raotevektoresta, I. a S ysteemanalyysn c E rmaalkäyä, c e akt. raotteden os. ln. kom. Prmaalkäyä, mutta c e akt. raotteden os. ln. kom. Prmaalkäyä, c akt. raotteden os. ln. kom otm! E rmaalkäyä, c kutenkn akt. raotteden os. ln. kom. Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 7

28 S ysteemanalyysn Duaalteoreemat: Geometra (/) Huomota edellsestä: Prmaalkäyyysehto huoleht :n käyyydestä Täydentyvyys- a duaalkäyyysehdot ovat tse asassa :n otmaalsuusehdot! c -4 c -45 c -5 c -6 c' c' c' c' [ 5 ] [ 5 5] [ 5 5] [ 5 5] c 5 Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 8

29 S ysteemanalyysn Duaalmuuttuen tulknta: Margnaalkustannus (/) Standardmuotonen tehtävä mn c' Resurssraotetta saadaan lsää d:n verran sten, että alkueräsen tehtävän otmkanta B ysyy otmaalsena Uus kustannus c' s.e. Kustannuksen muutos d A c ' c ' B ( d) '( B B B kertoo ss, mten resurssraotteen muutos vakuttaa kustannukseen ykskköä kohden d) Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 9

30 S ysteemanalyysn Duaalmuuttuen tulknta: Margnaalkustannus (/) Kakkuesmerkk: Otmkanta : mn 5 s.e ,,,4,5.5 5 () () () (,) (.5,.5) B B (,, )' 4 ' c ' B B 5 Resurssn () ykskkölsäys vähentäs ss kustannusta vdellä a resurssn () kymmenellä eurolla sllä ehdolla, että kanta B ysyy otmaalsena. Toden totta, resurssn () muutos.5 antaa saman otmkannan kustannuksella -5.5 (-5.5*(-5)). Ens luennolla lsää! Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / T

31 Duaalmuuttuen tulknta: Okea hnta (/) Deetttehtävä: valtaan ruokavalo sten, että kustannus mnmotuu a ravnteta saadaan vaadttu määrä Kala Leä Prot. Hlar 9 5 Ruoken ravnnemäärät Kala maksaa /kg, leä 4 /kg. Protena tarvtaan ävässä vähntään 6, hlhydraatta ykskköä. S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

32 Duaalmuuttuen tulknta: Okea hnta (/) Ravnnemyyän tehtävä: maksmodaan tuottoa huomoden, että hmset evät osta lsäravnteta, os saavat samat aneet ruoasta halvemmalla Merktään kalan a lhan määrää :llä (kg), roten- a hlhydraattvalmsteden hntoa :llä ( ) Deetttehtävä: mn s.e. 9 S ysteemanalyysn K K K 4 5 K L L, L L 6 Ravnnemyyä: ma s.e. 6 9 P P P 5 P, H H H H Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 4

33 Duaalmuuttuen tulknta: Okea hnta (/) Deetllä olan a ravnnemyyän tehtävät tostensa duaalt! Tehtäven ratkasut: [ ] [.5.5 ], K L [ ] [..4], Kustannus 7 P H Tuotto 7 Kustannus a tuotto kohtaavat, el lsäravnteet on hnnoteltu oken! S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 /

34 Yhteenveto Jos rmaaln a duaaln otmratkasut * a * olemassa, ätee c ** Duaal saattaa olla helom laskea * saadaan *:stä täydentyvyysehtoen avulla Duaalmuuttualla myös melenkntosa tulkntoa: Sakko raotteen rkkomsesta Margnaalkustannus Okea hnta Lsäks elteoran maalmassa rmaal- a duaalelaaatulknta, otmratkasu tasaano S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / 4