Leikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro

Transkriptio

1 Lsätehtävä 1. Erään yrtyksen satunnasest valttujen työntekjöden possaolopäven määrät olvat vuonna 003: 5, 3, 1, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4,, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19, 17, 14, 7 a) Luokttele havannot tasavälsest sten, että luokkaväln ptuus on 4. Estä possaolopäven frekvenssjakauma taulukkona. b) Muodosta jakaumasta sellanen tlastokuvo, jonka perusteella vot arvoda medaann. Mkä on medaanarvo? Kuvale myös lyhyest arvonttapaas. c) Laske jakauman artmeettnen keskarvo, keskhajonta ja varaatokerron.. Sanomalehtpapern nelömetrpanoja tutkttaessa saatn panon frekvenssjakaumaks eräässä otoksessa seuraava: pano (g/m ) lukumäärä a) Määrtä panojakauman medaan ja kvartlväl esm. sopvan kuvon avulla b) Määrtä panojakauman keskarvo ja keskhajonta c) Kuvale määrttämes tunnuslukujen avulla jakauman muotoa. 3. Metsäntutkmuslatoksen koealalta mtattn kovujen läpmttaa (rnnankorkeudelta) ja huomattn sen olevan normaaljakautunut odotusarvolla 0.5 cm ja varanssna.5 cm. a) Kunka monta prosentta kovusta on läpmtaltaan anakn 18 cm? b) Määrtä rnnankorkeusläpmtan alakvartl. 4. Seuraavaan rstntaulukkoon on kerätty tehtaassa valmstettujen tomven ja e-tomven lekkjunen lukumäärät er työvuorossa: Lekkjunan kunto tomva e-tomva Työvuoro aamuvuoro pävävuoro 50 ltavuoro Laske sellasen tlastollsen rppuvuustunnusluvun arvo, jonka perusteella vot päätellä, onko työvuorolla ja lekkjunan kunnolla yhteyttä. Mtkä ovat johtopäätökses? 5. Kuluttajavrasto on jälleen joulun alla testannut lelujen turvallsuutta. Tutkmukseen valttn myymälöstä sattumanvarasest 101 lekkkalua. Testatusta lelusta 9 täytt turvallsuusvaatmukset (Lähde: YLEn uutset, ). Muodosta sellanen 95 %:n luottamusväl, jonka avulla vot arvoda, kunka monta prosentta kaksta myytävstä lekkkalusta on turvallsuusvaatmukset täyttävä.. Ohesessa taulukossa on estetty kolmen kulutusmuuttujan tlastollsa tunnuslukuja vuodelta 000. Havantoaneston tlastoyksköt ovat Euroopan mata (Lähde: Tlastokeskus, Maalma numerona.) Tulktse tuloksa ja vastaa seuraavn kysymyksn.

2 Statstcs N = havantojen määrä Mean = keskarvo Medan = medaan Mode = mood Std. Devaton = keskhajonta Varance = varanss Skewness = vnous Kurtoss = hupukkuus Mnmum = penn arvo Maxmum = suurn arvo Percentles = fraktlt a. Multple modes exst. The smallest value s shown Vnn kulutus Oluen kulutus Väkeven kulutus ,333 7,111,81 0,000 59,00 1,900 7,9 3,5 a,4 15, ,03 1, , ,935,1770,48,70 1,175 -,58,37,10 1,0 3,5,5 5,0 10,0 5, 9,700 37,100 1,00 0,000 59,00 1,900 33,00 95,400,800 = Moodeja on useta. Nstä estetään penn. a) Onko muuttujan Oluen kulutus jakauma normaaljakauma? Perustele vastaukses. b) Mkä keskluku sop nyt kuvaamaan muuttujan Oluen kulutus jakauman keskkohtaa? Perustele vastaukses. c) Onko muuttujan Vnn kulutus jakauma symmetrnen? Perustele vastaukses. d) Mkä on muuttujan Väkeven kulutus kvartlväln ptuus? e) Mllä muuttujalla on absoluuttsest penn hajonta? Perustele vastaukses. f) Mllä muuttujalla on suhteellsest suurn hajonta? Perustele vastaukses. 7. Tetyllä alueella suortettn kalloperän nkkelptosuuden selvtystyötä. Alueelta valttn 5 kvnäytettä, joden nkkelptosuuden keskarvo ol 10. % ja keskhajonta 3.1 %. a) Määrtä ko. alueen keskmääräselle nkkelptosuudelle 95 %:n luottamusväl. b) Määrtä ko. alueen keskmääräsen nkkelptosuuden 99 %:n luottamusväl, kun valttuja kvnäyttetä ols ollutkn 40 kpl (keskarvo ja keskhajonta pysyvät samona). 8. Wnnfear Oy:n johtaja on knnostunut stä, onko umapukujen myynnllä (y) ja kesäkuun päven kesklämpötlalla (x) yhteyttä. Vuosen varrelta on saatu seuraava tetoja: x y Laske Pearsonn korrelaaton arvo. (Avuks x 138, x 308, y 4380, y 30000, x y ) 9. Itkota nsee juhannuskokon ympärllä. Akasempen juhannuskokemusten perusteella tedät, että todennäkösyys slle, että saat tapetuksa yhden tkan on 0.4. Kokon ympärllä nsee 100 tkkaa. Mllä todennäkösyydellä saat tapettua nstä anakn 35? (Vot arvoda sopvalla jakaumalla.) 10. Yrtys lmott valmstavansa kasvsrasvan markknaosuudeks 13. %. Klpalja tutk vätettä pommalla er puollta maata 1 myymälän otoksen, jossa ko. rasvan keskmääränen markknaosuus ol 1..% ja markknaosuuksen keskhajonta 3. %. Testaa merktsevyystasolla 0.05, onko valmstajan lmotus okea, kun oletetaan, että markknaosuuden jakauma on normaaljakauma.

3 Vastauksa Tehtävä 1. a) Luokkaväln ptuus 4, joten luokka vs: päven lkm työntekjälkm Yhteensä 3 b) useta vahtoehtoja, esm. frekvensshstogramma, summakäyrä ta runkolehtkuvo ja medaan n. 5 (kuvosta rppuen arvo vo olla hukan sompkn) c) x = 7.39 ja s =.11 ja V = 0.88 Tehtävä. a) Esm. summakäyrästä katsottuna Md non 45. ja kvartlväl non (44.3, 4.4) b) m f m f m x = 45.3 ja s = 1.5 c) Koska keskarvo ja medaan ovat lähes samat, on jakauma melko symmetrnen. Koska kvartlväl on melko kapea, on muuttuja-arvojen keskttymnen melko vomakasta. Tehtävä 3. a) P(x > 18) = 1- P(x < 18) = 1- ( ) = 1- [ ; 84%.5 b) Standardodun normaaljakauman alakvartl on -0.7, koska (0.7) 0.75 ja edelleen symmetran taka (-0.7) 0.5. Kun satunnasmuuttujan x yläkvartl Q 1 standardodaan: Q täytyy sen.5 vastata luku -0.7 el saadaan yhtälö Q = -0.7, josta Q 1 =

4 Tehtävä 4. Rppuvuuslukuna vodaan käyttää kontngensskerronta. Seuraavassa taulukossa on teoreettset frekvensst Lekkjunan kunto tomva e-tomva Yhteensä Työvuoro aamuvuoro pävävuoro ltavuoro Yhteensä C Kontngensskertomen arvo nn lähellä lukua 0, että kunnolla ja työvuorolla e ole yhteyttä. Tehtävä 5. n = 101 Otoksessa turvallsa leluja ol P = = 8.3 %; = 0.05, z = %:n luottamusväl turvallsten lelujen prosenttosuudelle on (59., 77.4) Tehtävä. a) e ole, koska jakauma e ole symmetrnen, vaan okealle loveneva el postvsest vno (vnous > 0.5) b) medaanarvo 59. (koska jakauma e ole symmetrnen) c) kohtalasen symmetrnen, koska vnous välllä (-0.5, 0.5) d) kvartlväln ptuus =.8 1. = 1. e) keskhajonta mttaa absoluuttsta hajaantumsta, ja penn keskhajonta on väkeven kulutuksella f) suhteellsta hajaantumsta mttaa varaatokerron ( keskhajonnan ja keskarvon suhde) ja suurn varaatokerron (0.5) on vnn kulutuksella Tehtävä 7. Sekä a) että b) kohdssa e tunneta populaatovaranssa, joten luottamusväl populaaton keskarvolle määrtetään sen estyksen avulla, mssä käytetään t-jakaumaa. a) n = 5, x = 10. ja s = 3.1; = 0.05, t 0.05 (5-1) = %:n luottamusväl koko alueen keskmääräselle nkkelptosuudelle on sten ( , ) = (8.9, 11.5) 5 5 b) n = 40, x = 10. ja s = 3.1; = 0.01, t (40-1) t (40) =.704

5 99 %:n luottamusväl koko alueen keskmääräselle nkkelptosuudelle on sten ( , ) = (8.9, 11.5) Tehtävä r = Kesklämpötlan ja umapukujen myynnn välllä on postvsta lneaarsta rppuvuutta, ja sehän tarkottaa, että mtä lämpmämp kesäkuu on ollut, stä enemmän on umapukujakn myyty. Tehtävä 9. x = tapettujen tkoden lkm, tarkkana jakaumana Bn(100, 0.4) Lkman jakaumana N(40, 4) P(x > 35) = 1- P(x < 35)= 1- ( ) Tehtävä 10. Yhden otoksen keskarvotest, populaatovaranss tuntematon n = 1, x = 1., s= 3. Hypoteest: H 0 : = 13. H 1 : 13. = 0.05, t 0.05 (1-1) =.01 ja krttnen alue C ={ t t >.01} t = / 1 = Testsuureen arvo e ole krttsellä alueella, joten nollahypotees hyväksytään. Valmstajan lmotus näyttää okealta.