7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

Transkriptio

1 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden ylestys, mutta modulen teora pokkeaa melko paljon vektoravaruuksen teorasta. Ylesellä modullla e esmerkks välttämättä ole kantaa, ja vakka olskn, kannan ptuus e ole välttämättä ykskästtenen, jollon dmensota kästettä e voda määrtellä. Tosaalta jokaselle vahdannaselle ryhmälle vodaan määrtellä luonnollnen modulrakenne, mssä alkota kerrotaan kokonasluvulla, mstä johtuen modulen teora on myös suurelta osn vahdannasten ryhmen teoraa Modult ja lneaarkuvaukset. Määrtelmä 7.1. Olkoon R rengas. Vahdannasta ryhmää (M, +), jossa on määrtelty renkaan R lneaarnen tomnta, nmtetään modulks. Renkaan lneaarnen tomnta on renkaan kertolaskumonodn (R, ) tomnta, joka toteuttaa seuraavat ehdot kaklla a, b R ja x, y M: (M1) 1.x = x (M2) (ab).x = a.(b.x) (M3) (a + b).x = a.x + b.x (M4) a.(x + y) = a.x + a.y. Rengasta R kutsutaan moduln kerronrenkaaks, ja sen tomntaa skalaarkertolaskuks. Modula, jossa kerronrenkaana on R, vodaan nmttää R-modulks. Aksoomat (M1) ja (M2) määrttelevät renkaan kertolaskumonodn tomnnan, aksooma (M3) kertoo, mten renkaan yhteenlasku suhtautuu tähän tomntaan, ja aksooma (M4) varmstaa, että tomnta on lneaarsta (vrt. lneaarkuvauksn). Moduln aksoomsta vodaan helpost johtaa tuttuja laskusääntöjä, kuten 0.x = 0, ( 1).x = x jne. Yleensä tomntaa merktään yksnkertasest kertolaskuna jättämällä alkoden välstä pste pos. Huomaa, että renkaan tomnnan olemassaolo ptää ssällään sen oletuksen, että a.x M kaklla a R ja x M. Tämä vodaan myös lmasta sanomalla, että moduln täytyy olla suljettu skalaarkertolaskun suhteen. Tässä määrtelty renkaan tomnta on tarkast ottaen renkaan vasen tomnta, ja sks tällasta modula nmtetään joskus vasemmaks R-modulks. Vastaavast votasn määrtellä okeat modult renkaan okean tomnnan avulla. Esmerkkejä modulesta: Jos K on kunta, jokanen K-vektoravaruus on samalla K-modul, sllä moduln aksoomat ovat tällön täsmälleen samat kun vektoravaruuden aksoomat. Rengas R on tse R-modul, kun skalaarkertolaskuks otetaan renkaan oma kertolasku. 58

2 7. MODULIT 59 Jokanen vahdannanen ryhmä on Z-modul, kun skalaarkertolaskuks määrtellään monkerran ottamnen: n.x = nx = x + + x (n kertaa). Tämä on tse asassa anoa tapa, jolla Z vo toma vahdannasessa ryhmässä, sllä renkaan Z addtvnen ryhmä on alkon 1 vrttämä, ja tomnta määräytyy tällön täysn aksoomsta (M1) ja (M3). Jäännösluokkarenkaden Z n tomnta ryhmässä M on myös ykskästtesest määrätty: [k] n.x = kx (monkerta). Jotta tällanen tomnta ols hyvn määrtelty, täytyy ryhmässä M päteä nx = 0, el jokasen alkon kertaluvun täytyy jakaa luku n. Tämä toteutuu muun muassa sllon kun M = n. Kutenkn esmerkks Klenn nelryhmä on Z 2 -modul. Kun p on alkuluku, rengas Z p on kunta, ja jokanen Z p -modul on ss vektoravaruus. Olkoon K kunta. Kakk K-kertomset n n-matrst muodostavat renkaan M n (K), joka e ole vahdannanen. Tämä rengas tom matrskertolaskulla vasemmalta sarakevektoren avaruudessa K n ja okealta vastaavassa rvvektoren avaruudessa. Vektoravaruutta K n vodaan ss tarkastella joko vasempana ta okeana M n (K)-modulna. Nämä kaks struktuura ovat lsäks täysn samanlaset. Renkaan R deaalt ovat R-moduleja, kun kertolaskuna on renkaan oma kertolasku. Ideaalt ovat samalla rengasmoduln R almoduleja (määrtelmä seuraa). Alrenkaat sen sjaan evät yleensä ole almoduleja, koska ne evät ole vakata renkaan kertolaskutomnnassa. Olkoot M ja N jotan R-moduleja. Kuvausta f : M N kutsutaan R-modulhomomorfsmks ta R-lneaarkuvaukseks, jos se on skalaarkertolaskun sälyttävä ryhmähomomorfsm, el seuraavat ehdot pätevät kaklla x, y M ja a R: (L1) f(x + y) = f(x) + f(y) (L2) f(a.x) = a.f(x). Bjektvstä lneaarkuvausta nmtetään lneaarseks somorfsmks. Lneaarkuvauksen ydn on sama kun vastaavan ryhmähomorfsmn ydn, el nollan alkukuva. Lneaarsuusehdot vodaan myös yhdstää yhdeks lneaarsuuskrteerks, joka on tosnaan kätevämp tarkstaa: (LK) f(a.x + y) = a.f(x) + f(y) kaklla x, y M ja a R. Esmerkk 7.2. Vodaan osottaa, että jos rengas R on vahdannanen, kakken R-modulhomomorfsmen M N joukko on tse R-modul, kun laskutomtukset määrtellään pstettän: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ja (a.f)(x) = a.f(x). Tätä modula merktään Hom R (M, N), ta jos kerronrengas on selvä asayhteydestä, yksnkertasemmn Hom(M, N). Tarkka todstus jätetään harjotustehtäväks. Huomaa, että e ole edes tsestään selvää, että lneaarkuvausten M N joukko on suljettu annettujen laskutomtusten suhteen Al- ja tekjämodult. Moduln M almodul N on ryhmän M alryhmä, joka on vakaa kertolaskutomnnan suhteen. Kaklla x, y N ja a R (kerronrengas) täytyy ss päteä seuraavat ehdot:

3 60 (AM1) N (AM2) x y N (AM3) a.x N. Ehdot (AM1) ja (AM2) tulevat alryhmäkrteerstä. Ehdosta (AM1) ja (AM3) seuraa, että 0 M N. Melvaltasten almodulen lekkaus on ana almodul. Lneaarkuvausten kuvat ja ytmet ovat myös almoduleja. Olkoot A ja B kaks moduln M almodula. Nden summa on A + B = {a + b a A, b B}. Tämä määrtelmä on addtvnen verso alryhmen tulon määrtelmästä (katso luku 4.1). Koska modult ovat vahdannasa ryhmä, almodulen summa on ana alryhmä. Se on samalla penn alryhmä, joka ssältää summattavansa, mkä vodaan lmasta kaavalla A + B = A B. Lsäks almodulen summa on suljettu skalaarkertolaskun suhteen, koska r(a + b) = ra + rb A + B pätee kaklla a A ja b B. Summaa vodaan ylestää äärettömän monelle almodullle yllä mantun vrtysomnasuuden avulla. Olkoon (M ) I perhe 15 moduln M almoduleta. Määrtellään näden almodulen summa seuraavast: M = M. I I Tosn sanoen summa on sellasten alkoden x vrttämä alryhmä, josta kukn ssältyy johonkn almodulesta M. Summan alkot ovat ss muotoa x 1 + x x n, mssä jokanen x k ssältyy johonkn almoduln M k. Tämä vodaan lmasta myös sanomalla, että alkot ovat summa I x, mssä x M kaklla, ja x = 0 lukuunottamatta äärellstä määrää ndeksejä. Almodulen ylenen summa on ana almodul. Esmerkk 7.3. Tarkastellaan reaallukujen yhteenlaskuryhmää Z-modulna. Määrtellään kullakn alkuluvulla p joukko M p = {n/p k n Z, k N}. Joukot M p ovatz-modulnralmoduleja. Määrtetään näden almodulen summa S = p M p. Selvästkn jokasella p pätee M p Q, ja Q on moduln R almodul. Täten S Q, koska S on penn almodul, joka ssältää kakk moduln M p. Tosaalta jokanen ratonaalluku vodaan lmasta summana n =0 m /p k, mssä osottajat ovat kokonaslukuja ja nmttäjät alkulukujen potensseja. Sspä S = Q. Moduln M mkä tahansa almodul N on normaal alryhmä, koska M on vahdannanen ryhmä. Alryhmän N suhteen vodaan ss muodostaa tekjäryhmä. Tästä tekjäryhmästä tulee samalla tekjämodul, sllä svuluokken skalaarkertolasku a(x + N) = ax + N 15 Perheellä tarkotetaan kuvausta M ndeksjoukolta I johonkn almodulen joukkoon. Jos I = N, tämä on sama kun jono (M 0, M 1, M 2,... ).

4 7. MODULIT 61 on automaattsest hyvn määrtelty. Jos nmttän x = y + n jollan n N, nn ax = ay + an ay + N, sllä an N. Tekjämodula merktään tavallseen tapaan symbollla M/N. Tekjämodulelle pätee samanlanen homomorfalause kun ryhmlle ja renkalle. Lsäks Noethern somorfalauseet pätevät myös modulen tapauksessa Modulen suorat summat ja tulot. Usempen algebrallsten rakenteden tapauksessa kahden rakenteen karteesnen tulo on myös samantyyppnen rakenne (kunnat ovat pokkeus tästä). Kahden R-moduln karteessta tuloa nmtetään suoraks summaks ja merktään M N. Se on R-modul, joka koostuu paresta (m, n), mssä m M ja n N. Useamman moduln tapauksessa summaa vodaan merktä n M, =1 ja sen alkoks tulevat n-jonot (m 1, m 2,..., m n ), mssä m M kaklla. Äärettömän ndeksjoukon tapauksessa suoran summan määrtelmä pokkeaa karteessen tulon määrtelmästä. Molemmat ovat kutenkn R-moduleja, ja jälkmmästä nmtetään suoraks tuloks. Määrtelmä 7.4. Olkoon (M ) I jokn perhe R-moduleta. Modulen M suora tulo koostuu alkoperhestä x = (x ) I, mssä x M kaklla. Suora tulo on R-modul, kun laskutomtukset määrtellään pstettän: Suoraa tuloa merktään I M. (x + y) = x + y ja (ax) = ax. Suoraan tuloon ltetään kanonset projektokuvaukset π j : I M M j, jolle pätee π j (x) = x j. Projektokuvaukset ovat modulhomomorfsmeja. Modulen suora summa on nyt suoran tulon eräs osajoukko. Oletetaan jälleen, että (M ) I on jokn perhe R-moduleta. Määrtelmä 7.5. Modulen M suora summa koostuu alkoperhestä (x ) I, mssä x M kaklla ja lsäks x 0 van äärellsellä määrällä ndeksejä. Suora summa on R-modul, kun laskutomtukset määrtellään pstettän kuten suorassa tulossa. Suoraa summaa merktään I M. Suoran summan alkot ovat ss perhetä, jossa van äärellsen mon jäsen on nollasta pokkeava. Tällasta perhettä sanotaan äärellskantajaseks. Suoraan summaan ltetään kanonset njektot ι j : M j I M, jolle pätee ι j (y) = (x ) I, mssä { y, kun = j x = 0 muuten. Esmerkks jos ndeksjoukko on I = {1, 2, 3, 4} ja a M 2, vodaan krjottaa ι 2 (a) = (0, a, 0, 0). Kanonset njektot ovat modulhomomorfsmeja. Lsäks vodaan nähdä, että jokanen suoran summan alko (x ) vodaan krjottaa muodossa ι (x ). Tämä summa on äärellnen (okeammn äärellskantajanen), koska x = 0 äärellstä ndeksjoukkoa lukuunottamatta.

5 62 Kanonslle njektolle pätee seuraava lause, jota nmtetään suoran summan unversaalomnasuudeks. Lause 7.6. Olkoon (M ) perhe R-moduleja. Oletetaan lsäks, että N on R- modul ja ϕ on R-lneaarnen kuvaus M N jokasella. Tällön löytyy ykskästtenen R-lneaarnen kuvaus θ : M N, jolle pätee kaklla, el seuraava kaavo kommuto: ϕ = θ ι (7.7) ϕ M N ι θ M Todstus. Jokanen suoran summan alko x = (x ) vodaan krjottaa muodossa x = ι (x ). Nän ollen, mkäl θ on lneaarnen ja toteuttaa ehdon (7.7), täytyy kaklla x M päteä ( ) θ(x) = θ ι (x ) = (θ ι )(x ) = ϕ (x ). Tämä kaava määrttelee kuvauksen θ arvot ykskästtesest. Osotetaan stten, että yllä olevan kaavan avulla määrtelty θ toteuttaa lauseessa mantut ehdot. On helppo nähdä, että θ on R-lneaarnen. Lsäks, jos y M j, nn (ι j (y)) = 0 kaklla j. Täten kaklla j pätee θ(ι j (y)) = ϕ ( (ιj (y)) ) = ϕj (y), el kuvaus θ toteuttaa ehdon (7.7). Unversaalsuudella tarkotetaan stä, että ana kun käsllä on perhe lneaarkuvauksa johonkn tettyyn moduln, tämä perhe vodaan korvata yhdellä kuvauksella suorasta summasta kyseseen moduln. Modulen suora summa on käänkun unversaal lneaarkuvausperhe (ι ), joka vodaan täydentää lneaarkuvauksella θ vastaamaan mtä tahansa lneaarkuvausperhettä (ϕ ). Vastaavanlanen tulos pätee myös suoralle tulolle ja kanonslle projektolle. Lause 7.8. Olkoon (N ) perhe R-moduleja. Oletetaan lsäks, että M on R- modul, ja ϕ on R-lneaarnen kuvaus M N jokasella. Tällön löytyy ykskästtenen R-lneaarnen kuvaus θ : M N, jolle pätee ϕ = π θ kaklla, el ohenen kaavo kommuto. M θ ϕ N π N Todstus. Svuutetaan. Ryhmä tutkttaessa ol hyödyllstä tetää, mllon tetty ryhmä sattu olemaan somorfnen jonkn tuloryhmän kanssa. Myös modulelle saadaan vastaava tulos.

6 7. MODULIT 63 Lause 7.9. Olkoon (M ) I perhe R-moduln M almoduleja. Jos M = M ja M j M j = {0} kaklla, nn M on somorfnen suoran summan M kanssa. Todstus. Jokasella vodaan määrtellä nkluusokuvaus ϕ : M M, mssä ϕ (x) = x. Suoran summan unversaalomnasuuden perusteella löytyy eräs R- lneaarnen kuvaus θ : M M, jolle pätee θ(ι (x)) = ϕ (x) = x kaklla ja kaklla x M. Osotetaan, että θ on bjekto. ϕ M ι M θ M Todetaan ensn, että jos x = (x ) M, nn ( ) θ(x) = θ ι (x ) = ϕ (x ) = x. Surjektvsuuden osottamseks oletetaan, että y M on melvaltanen. Koska M = M, alko y vodaan krjottaa äärellsenä summana y = x, mssä x M kaklla. Nyt x = ι (x ) on suoran summan M alko, ja yllä todetun perusteella θ(x) = x = y. Oletetaan stten, että θ(x) = θ(y) jollan x, y M. Tämä tarkottaa stä, että x = y, el tosn sanoen (x y ) = 0. Edelleen, jokasella pätee (x y ) = j(x j y j ). Yhtälön vasen puol on almoduln M alko, ja okea puol taas kuuluu summamoduln j M j. Oletuksen mukaan näden lekkaus on trvaal, joten ertysest x y = 0. Koska tämä pätee kaklla, saadaan x = y kaklla, joten x = y. Tämä todstaa njektvsyyden. Edellnen lause antaa perustelun slle, mks modulen suorat summat ovat yleensä algebrassa tärkeämpä kun suorat tulot. Ajatellaan esmerkks suoraa tulomodula I R. Jos ndeksjoukko on äärellnen, kyseessä on tavallnen vektoravaruus R n. Tässä avaruudessa jokanen koordnaattaksel on almodul, joka koostuu muotoa ι (x) = (0,..., 0, x, 0,..., 0) olevsta jonosta. Avaruuden kakk psteet puolestaan saadaan summaamalla koordnaattakselen vektoreta. Koordnaattakselt ovat somorfsa moduln R kanssa, ja edellnen lause lmasee vastaavuuden ι (R) = R n. Jos ndeksjoukko kutenkn on ääretön, avaruudessa I R = RI on pstetä, jota e saada summaamalla koordnaattakselen vektoreta yhteen. Almodulen summa ι (R) on tällön ato almodul, mkä lauseen mukaan vastaa stä, että R on adost penemp kun suora tulo RI. Huomautus. Ryhmäteorassa vahdannasten ryhmen (G, +) suora summa konstruodaan samalla tavon kun modulen suora summa. Suoraks tuloks nmtetään kutenkn täsmälleen samaa konstruktota snä tapauksessa, että ryhmän

7 64 laskutomtusta merktään kertolaskuna. Kummassakn rakenteessa ss alkona ovat perheet (g ), jossa g on 0 lukuunottamatta äärellstä määrää ndeksejä. Jos tämä äärellsyysrajotus jätetään pos, saadaan modulen suoraa tuloa vastaava rakenne, jota ryhmen tapauksessa kutsutaan rajottamattomaks suoraks tuloks ta summaks, laskutomtuksesta rppuen.