Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista. Yritän saaa tämän lopulliseen muotoonsa viimeistään tiistaina.. Potenssisarjat Harjoitus. Millä x:n arvolla potenssisarja c n (x + ) suppenee varmasti (kaikilla c n :n arvoilla)? Mikä on tällöin sarjan summa? Jokainen potenssisarja suppenee keskipisteessään. Tässä tapauksessa sarja suppenee, kun x =. Tällöin sarjan summa on nolla. Harjoitus 2. Etsi geometrisen sarjan Suppeneeko kyseinen sarja suppenemissäteen päätepisteissä? Tässä c n =, joten n c n c n+ x n =. Täten suppenemissäe on, eli kyseinen sarja suppenee ainakin kun x (, ). On vielä tarkistettava erikseen välin päätepisteet. Kun x =, saaaan

2 sarja n = , joka selvästi hajaantuu. Samoin, kun x =, sarja ( ) n = ei lähesty mitään tiettyä lukua, joten se hajaantuu. Täten suppenemisväli on (, ). Tämä varmistaa aikaisemmin kurssilla mainitun seikan geometrisista sarjoista: ne suppenevat, jos suheluku q <. Harjoitus 3. Etsi sarjan Suppeneeko kyseinen sarja suppenemissäteen päätepisteissä? c n+ Koska c n = /n, on c n n = /n n /(n + ) = n + n n =, joten sarja suppenee, kun x (, ). Jälleen on tarkistettava välin päätepisteet erikseen. Kun x =, syntyy harmoninen sarja n, x n n joka hajaantuu. Kun x =, syntyy suppeneva sarja ( ) n n. Täten suppenemisväli on [, ) eli puoliavoin väli miinus yhestä yhteen. Esimerkin tarkoitus oli osoittaa, että suppenemissäteen päätepisteissä sarja voi joko supeta tai hajaantua vieläpä siten, että se hajaantuu toisessa päätepisteessä ja suppenee toisessa. 2

3 Harjoitus 4. Etsi geometrisen sarjan (x 0) n Tämä on 0-keskeinen potenssisarja. Kyseistä tietoa ei tarvitse käyttää suppenemissäettä laskiessa se tehään kuten aina ennenkin mutta asia on kuitenkin piettävä mielessä, syy selviää alla. Koska c n = kaikilla luvuilla, on suppenemissäe c n n = n =. c n+ Nyt, koska sarja on 0-keskeinen, suppenee kyseinen sarja kun < x 0 < 9 < x <. Potenssisarja suppenee aina suppenemissäteen määrittämällä välillä keskipisteensä molemmin puolin (mahollisesti myös väin päätepisteissä). Tämän esimerkin sarja oli 0-keskeinen ja suppenemissäe oli, joten sarja suppeni välillä (9, ). Jos sarja olisi ollut vaikkapa 3-keskeinen, olisi se supennut välillä (2, 4). Harjoitus 5. Etsi potenssisarjan c n+ n 3 (x ) n Suppenemissäe on c n n = n 3 n (n + ) 3 = n 3 n n 3 + 3n 2 + 3n + =. Täten sarja suppenee, kun < x < 0 < x < 2. Harjoitus 6. Etsi potenssisarjan n (x )n an 3

4 Harjoitus 7. Etsi potenssisarjan Harjoitus 8. Etsi potenssisarjan Harjoitus 9. Etsi potenssisarjan n (x c)n an (3x + 7) n n 2 n! n n.2 Derivointia Harjoitus 0. Derivoi funktio f(x) = 3x erotusosamäärän avulla. Derivaatta on erotusosamäärän raja-arvo eli f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x0 3x 3x 0 x x 0 = x x0 3(x x 0 ) x x 0 = x x0 3 = 3. Harjoitus. Derivoi funktio f(x) = x erotusosamäärän avulla. Laske pisteeseen x = piirretyn tangentin yhtälö. Laske x 0+ f (x). f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 x x0 = x x0 x x 0 ( x x0 )( x + x 0 ) = x x0 (x x 0 )( x + x 0 ) x x 0 x x 0 (x x 0 )( x + x 0 ) = x x 0 ( x + x 0 ) = 2 x 0 Kun x =, y = ja f () = /2. Täten pisteeseen x = piirretyn tangentin yhtälö on y = /2(x ) y = x/2 + /2. Kun x 0+, f (x) = /2 x. = 4

5 Harjoitus 2. Osoita, että vakiofunktion erivaatta on nolla (käytä erivaatan määritelmää). Harjoitus 3. Osoita, että x cf(x) = c x f(x). Harjoitus 4. Ratkaise ierentiaaliyhtälö f (x) = f(x). x ex = Tämän ratkaisu pitää yksinkertaisesti arvata. Koska e x, funktio f(x) = e x ratkaisee yhtälön. Varmista myös, että vakiofunktio f(x) = 0 ratkaisee kyseisen ierentiaaliyhtälön. Harjoitus 5. Olkoon { x 2 jos x 2 f(x) = ax + b jos x > 2 Millä a:n ja b:n arvoilla kyseinen funktio on kaikkialla erivoituva? Harjoitus 6. Derivoi x 2 e x. Harjoitus 7. Derivoi x 0 ln x 0 x x2 e x = 2xe x + x 2 e x x (x0 ln x 0 ) = 0x 9 ln x x x0 = 0x 9 ln x 0 + 0x 9 Harjoitus 8. Derivoi Harjoitus 9. Derivoi Harjoitus 20. Derivoi e x3 x 2 e x3 f(x) cos x 4 4x 5

6 Harjoitus 2. Derivoi Harjoitus 22. Derivoi sin x cos x f(ρ) = ( a ρ + b ρ) /ρ Harjoitus 23. Derivoi x x3 Harjoitus 24. Derivoi x 3 + Harjoitus 25. Olkoon x3 + = x 3x 2 2 x 3 + f(x) = x. Laske f (990) (x) (eli funktion 990. erivaatta) Harjoitus 26. Olkoon { x sin kun x 0 f(x) = x 0 kun x = 0 Laske f (x). Onko f erivoituva origossa (käytä tämän laskemiseen erotusosamäärää)? Harjoitus 27. Olkoon { x f(x) = 2 sin kun x 0 x 0 kun x = 0 Laske f (x). Onko f erivoituva origossa? Onko f (x) jatkuva origossa? Harjoitus 28. Derivoi cos(sin x). cos(sin x) = sin(sin x) cos x ketjusäännön nojalla. x Harjoitus 29. Derivoi ln(x 2 + ). x ln(x2 + ) = 2x x

7 Harjoitus 30. Oletetaan että f ja sen käänteisfunktio f ovat erivoituvia. Tieetään, että f(0) = ja f (0) = 2. Laske (f ) (). Käänteisfunktion erivoimissäännön mukaan (f )(x) = f (f (x)). Valitaan x =. Nyt laskettavana on (f )() = f (f ()). Koska f(0) =, f () = 0. Sijoittamalla tämä ja tehtävänannossa annettu f (0) = 2 saaaan (f )() = = f (f ()) f (0) = 2. Harjoitus 3. Etsi kaava f (n) :lle kun f(x) = e ax. Tee sama funktiolle g(x) = x. Selvästi f (x) = ae ax ja f (x) = a 2 e ax. Tästä on helppo muoostaa väite: f (n) = a n e ax. Toistus on helppo muoostaa inuktiolla: väite pätee arvolla n = ja väitteen pätemisestä arvolla n voi päätellä väitteen pätevän arvolla n + : f (n) = a n e ax f (n+) = a n+ e ax. Harjoitus 32. Arvioi lukua 50 ierentiaaliapproksimaatiolla. Dierentiaaliapproksimaation kaava on f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ). Tässä ieana on valita jokin piste x 0, ja eetä tästä pisteestä h:n pituinen matka oikealle tai vasemmalle. Nyt funktion arvo pisteessä x 0 + h on kutakuinkin sama kuin fuktion arvo pisteessä x 0 plus funktion muutosnopeus pisteessä x 0 (eli funktion erivaatta tässä pisteessä) kertaa kuljettu matka, h. 7

8 Kun meillä on luku 50, on luonnollista valita funktioksi f(x) = x. Haluttu arvo, jota approksimoiaan, on 50 eli x 0 + h = 50. Nyt saamme vapaasti valita x 0 :n siten, että approksimaatio olisi mahollisimman helppo tehä. Luonnollista on valita x 0 = 49, jolloin f(x 0 ) = 7 ja f (x 0 ) = /2 49 = /4, joten f(x 0 + h) f(x 0 ) + hf (x 0 ). f(50) 7 + /4. Harjoitus 33. Etsi f (x), kun f(3x) =. x Harjoitus 34. Etsi funktion f(x) = sin x maksimi ja minimi välillä [0, 2π]. Vihje. Kyseinen maksimi on pisteessä π/2 ja minimi pisteessä 3π/2. Derivoi funktio ja laita erivaatta nollaksi. Varmista erivaatan nollakohtien laatu (minimi/maksimi) joko erivoimalla funktio toiseen kertaan ja tarkistamalla funktion etumerkki tai merkkikaavion avulla. Koska kyseessä on suljettu väli, funktion maksimi ja/tai minimi tällä välillä voi olla myös välin päätepisteissä, joten tarkista myös funktion arvo näissä pisteissä. Harjoitus 35. Oletetaan, että f(0) = 0 ja 0 f (x). Millä välillä f() on? Entä f(0)? Väliarvolauseen mukaan välillä (0, ) on olemassa ξ siten että f() f(0) = f (ξ)( 0). Koska funktion erivaatta on välillä yhestä nollaan, eellisen lausekkeen oikea puoli on myös tällä välillä. Täten myös eellisen lausekkeen vasen puoli on välillä yhestä nollaan. Eli 0 f() f(0) f(0) f() + f(0). Koska f(0) = 0, f() on välillä yhestä nollaan. f(0) ratkaistaan vastaavasti.s Harjoitus 36. Toista väliarvolauseen avulla, että cos b cos a b a Väliarvolause kertoo, että kaikilla erivoituvilla funktioilla f(b) f(a) = f (ξ)(b a) jollakin luvulla ξ (a, b). Kyseessä oleva funktio on f(x) = cos x. Täten f(b) = cos b ja f(a) = cos a. Funktion erivaatta f (x) = sin x. Täten 8

9 f (ξ) = sin ξ. Täten funktion f(x) = cos x kohalla väliarvolause kertoo, että cos b cos a = ( sin ξ)(b a) jollakin ξ (a, b). Koska sin x, sin x. Täten funktion cos x erivaatta on välillä yhestä miinus yhteen. Eli sin ξ (b a) (b a)( sin ξ) (b a). Täten (sijoitetaan lausekkeen (b a)( sin ξ) paikalle (cos b cos a)) (b a) cos b cos a (b a) cos b cos a (b a). Lisäksi (b a) (b a), joten cos b cos a (b a) Harjoitus 37. Olkoon f(x) = x 5 + x + 0. Laske (f ) (0). Käänteisfunktion erivoimissäännön mukaan (f )(x) = f (f (x)). Lasketaan ensin funkion erivaatta: f (x) = 5x 4 +. Katsotaan vielä kerran mitä meiän pitää laskea. Käänteisfunktio eivaatta on laskettava pisteessä x = 0 eli meiän on laskettava (f )(0) = f (f (0)). Tieossa on funktion f erivaatta. Nyt tämä erivaatta pitäisi laskea pisteessä f (0). Mutta mikä tämä piste on? Tämän voi ratkaista seuraavasti: f (0) = y 0 = f(y). Funktion lausekkeesta nähään, että kyseinen funktio saa arvon 0 kun x = 0. Täten f(0) = 0 f (0) = 0. Täten laskemme funktion erivaatan pisteessä nolla: (f )(0) = = f (f (0)) f (0) = = Harjoitus 38. Laske e ψ ψ 0 sin ψ. 9

10 Kyseinen raja-arvo on muotoa 0, joten voimme käyttä L'Hospitalin 0 sääntöä: e ψ ψ 0 sin ψ = e ψ ψ 0 cos ψ = Harjoitus 39. Määritä funktion f(x) = x 3 + 2x 2 kuperuussuunnat ja käännepisteet. Funktion kuperuussuunnat (eli sen konkaavius/konveksisuus) määrittyvät sen toisen erivaatan etumerkin perusteella. Koska f (x) = 3x 2 + 4x, f (x) = 6x + 4. Funktio on konkaavi kun f > 0 ja konveksi kun f < 0. Käännepiste on piste jossa f = 0. Täten funktio on konkaavi, kun 6x + 4 > 0 x > 4/6 = 2/3, konveksi kun 6x + < 0 x < 2/3. Käännepiste ratkaisee yhtälön 6x + 4 = 0. Täten käännepiste on x = 2/3. ς 0