Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Transkriptio

1 Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R, niin sanotaan, että jonosta (a k ) muodostettu sarja suppenee ja sen summa on s. Tällöin merkitään a k = lim n n a k = s. 1 / 13

2 Indeksöinti Osasummat kannattaa indeksöidä samalla tavalla kuin jono (a k ); esim. jonon (a k ) k=0 osasummat ovat s 0 = a 0, s 1 = a 0 + a 1 jne. Suppenevaan sarjaan voidaan tehdä summausindeksin siirtoja: esim. a k = a k+1 = a k 1. k=0 k=2 2 / 13

3 Sarjan hajaantuminen Jos sarja ei suppene, niin se hajaantuu. Tämä voi tapahtua kolmella eri tavalla: (i) osasummat lähestyvät ääretöntä; (ii) osasummat lähestyvät miinus-ääretöntä; (iii) osasummien jono heilahtelee niin, ettei raja-arvoa ole. Hajaantuvan sarjan tapauksessa merkintä a k ei oikeastaan tarkoita mitään. Usein sovitaan sen tarkoittavan osasummien jonoa, joka on aina hyvin määritelty. Monet sarjoihin liittyvät kummallisuudet (esim. 0 = 1-todistus) johtuvat siitä, että sarjan summaaminen tulkitaan operaatioksi, jossa kaikki jonon alkiot lasketaan yhteen samalla kertaa. Näin ei ole, vaan summa lasketaan osasumminen raja-arvona. Tämän vuoksi osa äärellisten summien laskusäännöistä ei enää päde sarjoille. Joissakin tapauksissa esimerkiksi sarjan summa voi muuttua, jos termien järjestystä vaihdetaan. 3 / 13

4 Geometrinen sarja 4 / 13 Esimerkki 2 Geometrinen sarja n aq k k=0 suppenee, jos q < 1 (tai a = 0), jolloin sen summa on q 1, niin sarja hajaantuu. Syy: Sarjan osasummille pätee n aq k = a(1 qn+1 ). 1 q Yleisemmin kun q < 1. k=0 aq k = k=i aqi 1 q sarjan 1. termi =, 1 q a 1 q. Jos

5 Laskusääntöjä Suppenevien sarjojen ominaisuuksia: (a k + b k ) = a k + b k (c a k ) = c a k, kun c R on vakio Jos a k suppenee, niin lim k a k = 0. Kääntäen: Jos lim k a k 0, niin sarja a k hajaantuu. Syy: a k = s k s k 1 s s = 0. Viimeinen kohta soveltuu (joskus) sarjan hajaantumisen osoittamiseen. Sen avulla ei voida koskaan osoittaa sarjan suppenemista; kts. seuraava sivu. 5 / 13

6 Harmoninen sarja Esimerkki 3 Harmoninen sarja 1 k = hajaantuu, vaikka sen yleisen termin a k = 1/k raja-arvo on nolla. Tämä voidaan päätellä vertaamalla funktion 1/x integraaliin integraaliin. 6 / 13

7 Positiiviset sarjat Sarjan summan laskeminen on usein hankalaa tai mahdotonta (muuten kuin numeerisena likiarvona). Monissa tilanteissa on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vai hajaantuuko tutkittava sarja. Sarja p k on positiivinen (tai positiiviterminen), jos p k 0 kaikilla k. Positiivisille sarjoille suppenemisen tutkiminen on suoraviivaista: Lause 4 Positiivinen sarja suppenee täsmälleen silloin, kun sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu. Syy: Positiivisen sarjan osasummien jono on nouseva. 7 / 13

8 Yliharmoninen sarja Esimerkki 5 Sarja suppenee, koska s n < 2 kaikilla n. 1 k 2 Perustelu: Luennot/harjoitukset. Taustalla kaava 1 k 2 < 1 k(k 1) = 1 k 1 1 k, kun k 2; vrt. pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä 15/kevät Leonhard Euler osoitti v. 1735, että sarjan summa on π 2 /6. 8 / 13

9 Itseinen suppeneminen Sarja a k suppenee itseisesti, jos positiivinen sarja a k suppenee. Lause 6 Itseisesti suppeneva sarja suppenee, ja tällöin a k a k. 9 / 13 Idea: Tutkitaan erikseen positiivista ja negatiivista osaa: Olkoon b k = max(a k, 0) 0 ja c k = min(a k, 0) 0. Koska b k, c k a k, niin positiiviset sarjat b k ja c k suppenevat edellisen lauseen perusteella. Lisäksi a k = b k c k, joten a k on suppenevien sarjojen erotuksena suppeneva.

10 Vuorotteleva harmoninen sarja Edellisen sivun lause ei päde kääntäen: Esimerkki 7 Vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) k+1 k = suppenee, mutta ei itseisesti (vrt. harmoninen sarja). Perustelun idea: Piirrä osasummien jonon (s n ) kuvaaja ja tutki erikseen parillisten ja parittomien indeksien osasummia s 2n ja s 2n+1. Sarjan summa on ln 2, joka saadaan integroimalla geometrisen sarjan summakaava sopivalla tavalla. 10 / 13

11 Majorantti ja minorantti Edellisen yleistyksenä saadaan Lause 8 Majoranttiperiaate: Jos a k p k ja p k suppenee, niin myös ak suppenee. Minoranttiperiaate: Jos 0 p k a k ja p k hajaantuu, niin myös a k hajaantuu. Majorantin perustelu: Koska a k = a k ( a k a k ) ja 0 a k a k 2 a k, niin sarja a k suppenee kahden suppenevan positiivisen sarjan erotuksena. Tässäkin tarvitaan apuna alkeellisempaa positiivisten sarjojen majoranttiperiaatetta; kyseessä ei ole kehäpäättely! Minorantin perustelu: Oletuksista seuraa, että sarjan a k osasummat hajaantuvat kohti ääretöntä. 11 / 13

12 Suhdetesti 12 / 13 Käytännössä tärkein tapa suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, jossa sarjan termejä verrataan sopivaan geometriseen sarjaan: Lause 9 Jos jostakin indeksistä alkaen on voimassa a k+1 a k Q < 1, niin sarja a k suppenee (ja suppenemisnopeus vastaa geometrista sarjaa Q k tai on vieläkin suurempi). Perustelu: Sarjan alku ei vaikuta sen suppenemiseen, joten epäyhtälö voidaan olettaa kaikille indekseille. Tästä seuraa a k Q a k 1 Q 2 a k 2 Q k a 0, joten sarjalle saadaan suppeneva geometrinen majorantti.

13 Suhdetestin raja-arvomuoto Lause 10 Jos on olemassa raja-arvo lim a k+1 k a k = q, niin sarja a k suppenee, jos 0 q < 1, hajaantuu, jos q > 1, voi olla suppeneva tai hajaantuva, jos q = / 13 Syy: Jos q < 1, niin valitsemalla raja-arvon määritelmässä ε = (1 q)/2 > 0 saadaan jostakin indeksistä n ε alkaen a k+1 /a k < q + ε = (q + 1)/2 = Q < 1. Viimeisessä kohdassa ei siis saada mitään tietoa suppenemisesta. Näin käy mm. harmonisen (hajaantuva!) ja yliharmonisen (suppeneva!) sarjan kohdalla.