1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2"

Transkriptio

1 Sisältö 1 Kompleksiluvut Määritelmä Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa Käänteisluku ja jakolasku Esimerkkejä Moivre n kaava Eulerin kaava Esimerkkejä Binomiyhtälö Kompleksiluvut 1.1 Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva 1: Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z = (, y) koordinaatteja. Tavalliseen tapaan -akseli voidaan tulkita reaalilukujen joukoksi R. Tällöin -akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja sitä voidaan tarvittaessa merkitä symbolilla R. Pistettä z = (, 0) kutsutaan reaaliluvuksi. Tällöin voidaan merkitä z = R. 1

2 Algebrallisesti R on kunta. Reaaliluvuilla on määritelty yhteenlasku ja kertolasku siten, että tavalliset laskukaavat ovat voimassa. Erityisen mielenkiintoisia ovat tulon merkkisäännöt: kertojan merkki kerrottavan merkki tulon merkki Hämmästyttävää on, että myös negatiivisen luvun neliö on positiivinen. Eräs selitys löydetään laajentamalla R:n laskutoimitukset koko tasoon. Reaalilukujen yhteenlaskun laajentaminen reaaliakselilta koko tasoon on helppoa. Jos z 1 = ( 1, y 1 ) ja z = (, y ) ovat kaksi pistettä, niin summaksi kelpaa tavallinen vektorisumma. z 1 + z = ( 1 +, y 1 + y ) y y 1 + y z 1 + z y y Kuva : Kompleksilukujen summa Jos y 1 = y = 0 eli pisteet ovat reaaliakselilla (ts. ovat reaalilukuja), niin z 1 +z on tavallinen reaalilukujen summa. (Merkitään z =, kun z = (, 0).)

3 Kertolaskun laajentaminen ei ole yhtä helppoa, sillä valmiina ei ole sopivaa vektorituloa. Kertolaskun laajentamista varten esitetään tason pisteet z = (, y) (0, 0) napakoordinaattien r ja ϕ avulla: { = r cos ϕ y = r sin ϕ z = (, y) r ϕ y Merkitään z = (r, ϕ). Tulo on nyt määriteltävissä yksinkertaisella kaavalla Kuva 3: Kompleksilukujen napakoordinaattiesitys z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ). Siis: Pisteiden z 1 ja z etäisyydet origosta kerrotaan keskenään sekä vaihekulmat lasketaan yhteen. Erikoisesti on z 1 z = 0 aina ja vain kun z 1 = 0 tai z = 0. Tarkastellaan reaalilukujen kertolaskua tämän uuden kertolaskun valossa. Olkoon z = (r, ϕ) reaaliluku. Tällöin aina z = r. Lisäksi z = r > 0 ϕ = 0 + nπ z = r < 0 ϕ = π + nπ Jos nyt z 1 = (r 1, ϕ 1 ) ja z = (r, ϕ ) ovat kaksi reaalilukua, niin z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ), joten z 1 z > 0 ϕ 1 + ϕ = 0 + nπ ϕ 1 = ϕ = 0 + nπ tai ϕ 1 = ϕ = π + nπ z 1 > 0 ja z > 0 tai z 1 < 0 ja z < 0. Reaalilukujen tulon merkkisäännöt ja uuden kertolaskun määritelmä liittyvät toisiinsa kauniilla tavalla. 3

4 z 1 z = (r 1 r, ϕ 1 + ϕ ) y z = (r, ϕ ) ϕ 1 ϕ z 1 = (r 1, ϕ 1 ) ϕ 1 Kuva 4: Kompleksilukujen tulo y z = (r, ϕ) z = (r, ϕ) ϕ = π + nπ ϕ = 0 + nπ Kuva 5: Puhtaasti reaaliset kompleksiluvut 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa Muodostetaan kertolaskun lauseke y-koordinaateissa. Olkoot z 1 = ( 1, y 1 ), z = (, y ). Silloin Jos merkitään niin r = r 1 r ja ϕ = ϕ 1 + ϕ. 1 = r 1 cos ϕ 1, y 1 = r 1 sin ϕ 1 = r cos ϕ, y = r sin ϕ. z 1 z = (, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ), 4

5 Siis = r 1 r cos(ϕ 1 + ϕ ) = r 1 r cos ϕ 1 cos ϕ r 1 r sin ϕ 1 sin ϕ = (r 1 cos ϕ 1 )(r cos ϕ ) (r 1 sin ϕ 1 )(r sin ϕ ) = 1 y 1 y, Algebrasta tuttu kaava y = r 1 r sin(ϕ 1 + ϕ ) = r 1 r sin ϕ 1 cos ϕ + r 1 r cos ϕ 1 sin ϕ = (r 1 cos ϕ 1 )(r sin ϕ ) + (r cos ϕ )(r 1 sin ϕ 1 ) = 1 y + y 1. z 1 z = ( 1 y 1 )(, y ) = ( 1 y 1 y, 1 y + y 1 ) seuraa siis kertolaskun (geometrisesta) määritelmästä. Algebrassa on tästä kaavasta lähtemällä voitu helposti todistaa, että (R, +, ) on kunta. Sille käytetään merkintää C ja sen alkioita kutsutaan kompleksiluvuiksi. Yhtälöllä z = 1 ei ole tulon merkkisääntöjen nojalla ratkaisua reaalilukujen kunnassa R. Tutkitaan, onko sillä ratkaisua kompleksilukujen kunnassa C. Koska 0 = 0, riittää tarkastella kompleksilukuja z 0. Olkoon z:lla napakoordinaattiesitys z = (r, ϕ). Silloin z = (r, ϕ) ja 1 = (1, π), joten z = 1 { r = 1 ϕ = π + nπ { r = 1 ϕ = π/ + nπ Yhtälöllä z = 1 on siis kaksi ratkaisua { z1 = (0, 1) (n = 0,, 4,...) z = (0, 1) (n = 1, 3, 5,...), missä z = z 1. 5

6 y z z Kuva 6: Yhtälön z = 1 ratkaisut Merkitään i = (0, 1). Silloin i = 1. Lukua i kutsutaan imaginaariyksiköksi, ja y-akselia imaginaariakseliksi. Muotoa z = (0, y) = iy olevia kompleksilukuja kutsutaan puhtaasti imaginaarisiksi. Muistamme, että muotoa z = (, 0) = olevia kompleksilukuja kutsutaan reaalisiksi. Jos niin on z:n reaaliosa ja z = (, y) = (1, 0) + y(0, 1) = 1 + yi = + iy, = Re z y = Im z on z:n imaginaariosa. Molemmat ovat siis reaalisia, joten Lukua z = Re z + iim z. z = (, y) = iy kutsutaan z:n liittoluvuksi eli kompleksikonjugaatiksi. Määritelmistä seuraa, että (z 1 + z ) = z 1 + z z 1 z = z 1 z (z) = z z + z = Re z z z = iim z. 6

7 Jos z = (r, ϕ), niin z = (r, ϕ). Kuvaus z z on peilaus -akselissa. Oliko edellä tehty merkintä z = +iy täysin perusteltu? Olkoon z = (, y) kompleksiluku ja t = (t, 0) reaalinen kompleksiluku. Silloin tz = (t, 0)(, y) = (t 0y, ty + 0) = (t, ty). Jos t 0, on z t = 1 t z. Kompleksiluku kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla siis samalla tavalla kuin lineaarialgebrassa vektori kerrotaan (ja jaetaan) reaaliluvulla. Lineaarialgebran tapaan R :ssa käytetään nyt kantaa e 1 = 1 = (1, 0), e = i = (0, 1) ja laskut todellakin on luvallista suorittaa tavallisten algebran kaavojen mukaisesti: z = (, y) = (, 0) + (0, y) = (1, 0) + y(0, 1) = 1 + y i = + iy. Tavallinen algebra sujuu näillä lausekkeilla samoilla säännöillä kuin reaalilukujen algebra. Ainoa ero on, että i = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = i i 8 = 1 jne. (Lisäksi on i 0 = 1 ja i 1 = i). Kompleksiluvun z = + iy itseisarvolla eli modulilla z tarkoitetaan vektorin (, y) pituutta z = + y. Jos t > 0, niin tz = t z. Lause 1 z = zz (= z ). Todistus. zz = ( + iy)( iy) = (iy) = + y = z. 7

8 Kompleksiluvun z 0 vaihekulmaa ϕ kutsutaan sen argumentiksi arg z. Näin ollen arg z = arg z = z cos(arg z) y = z sin(arg z) z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) y i z 1 arg z 1 i z Kuva 7: Kompleksiluvun argumentti ja liittoluku Usein merkitään r = z ja ϕ = arg z. Silloin z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Kertolaskun geometrisen määritelmän perusteella z 1 z = z 1 z arg(z 1 z ) = arg z 1 + arg z. Täydellisen induktion periaatteesta seuraa, että z 1 z z n = z 1 z z n arg(z 1 z z n ) = arg z 1 + arg z + + arg z n z 1 z z n = r 1 r r n (cos(ϕ 1 + ϕ + ϕ n ) + i sin(ϕ 1 + ϕ + + ϕ n )). 8

9 1.3 Käänteisluku ja jakolasku. Olkoon z 0. Silloin 1 = z z z = + y i y + y z 1 = z 1z z z = 1 + y 1 y i( 1 y y 1 ) + y = 1 z z 1 = z 1 1 z. Jakolaskussa lukujen hajottaminen reaali- ja imaginaariosiin pidentää lausekkeita huomattavasti. Kaavoista seuraa 1 = z 1 = z z z z 1 z = z = z z = 1 z z 1 z 1 = z z arg 1 z ( 1 ) = arg z z arg z 1 z = arg = arg 1 + arg z = 0 arg z = arg z z ( z 1 1 z ) = arg z 1 + arg 1 z. Kahden kompleksiluvun z 1 0 ja z 0 osamäärä muodostetaan jakamalla itseisarvot keskenään ja vähentämällä nimittäjän argumentti osoittajan argumentista. Kyseessä on siis myös geometrisesti kertolaskulle käänteinen laskutoimitus. 1.4 Esimerkkejä. 1. Suorita jakolasku 1+i 1+i, ts. jaa reaali- ja imaginaariosiin. i i Tehtävä ratkaistaan poistamalla i nimittäjästä. Jos lavennetaan nimittäjän liittoluvulla, nimittäjään tulee i, joka on reaalinen: 1 + i i = (1 + i)( + i) ( i)( + i) = + 3i 1 5 = i = (1 + i)( + i) (i) = 1 + 3i 5. Vastaavasti a) 1 i = i i( i) = i 9

10 Re 1 i = 0, b) 3+i 1 i Im 1 i = 1 = (3+i)(1+i) (1 i)(1+i) = 3 +5i = 1 + i Olkoon z i. Laske z i 1+iz Ratkaisu: z i 1 + iz = z i ( ) z i 1 + iz = z i 1 + iz 1 + iz z + i 1 iz = z i(z z) 1 + z + i(z z) = 1 Toinen tapa: z i 1 + iz = z i i( i + z) = 1 i = i 4. Olkoon z 1 = 1 + iy 1 ja z = + iy. Silloin Siis Koska on Koska on z 1 = 1 iy 1 z = iy. z 1 + z = z 1 + z. z 1 z = 1 y 1 y + i( 1 y + y 1 ), z 1 z = z 1 z. z 1 = 1 + y 1 y i( 1 y y 1 ) z 1 + y ( z1 z ) = z 1 z. 5. Kolmioepäyhtälö Olkoot a ja b kompleksilukuja. Silloin a + b = (a + b)(a + b) = a + b + ab + ab = a + b + ab + (ab) = a + b + Re ab. 10

11 Vastaavasti a b = (a b)(a b) = a + b ab ab = a + b Re ab. Laskemalla yhteen saadaan hupaisa kaava a + b + a b = ( a + b ) eli suunnikkaan lävistäjien neliöiden summa on kaksi kertaa sivujen neliöiden summa. Koska a = (Re a) + (Im a), on a Re a a, a Im a a. Koska kertolaskun geometrisen määritelmän mukaan ab = ab, on joten ab Re ab ab, a + b a + b + a b = ( a + b ) a + b a + b a b = ( a b ). Tuloksena on tavallinen kolmioepäyhtälö: a b a + b a + b, joka nyt on voimassa myös kompleksiluvuille. Soveltamalla kolmioepäyhtälöä esitykseen z = + iy saadaan y z + y. 1.5 Moivre n kaava. Olkoon z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Silloin z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Jos valitaan r = 1, jolloin z = cos ϕ + i sin ϕ, saadaan ns. Moivre n kaava (cos ϕ + i sin ϕ) = cos nϕ + i sin nϕ. 11

12 Kuva 8: Pascalin kolmio Tämä on kätevä moninkertaisten kulmien sinien ja kosinien laskemiseen. Valitaan esim. n = 5. (cos ϕ+i sin ϕ) 5 = cos 5 ϕ+5i cos 4 ϕ sin ϕ 10 cos 3 ϕ sin ϕ 10i cos ϕ sin 3 ϕ+5 cos ϕ sin 4 ϕ+i sin 5 ϕ. Näin ollen cos 5ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ) 5 = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ sin ϕ + 5 cos ϕ sin 4 ϕ sin 5ϕ = Im (cos ϕ + i sin ϕ) 5 = sin 5 ϕ 10 cos ϕ sin 3 ϕ + 5 cos 4 ϕ sin ϕ. Näitä voidaan vielä muokata eri muotoihin.sijoitetaan esimerkiksi ensimmäiseen sin ϕ = 1 cos ϕ : cos 5ϕ = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ(1 cos ϕ + 5 cos ϕ(1 cos ϕ) Vastaavasti = cos 5 ϕ 10 cos 3 ϕ + 10 cos 5 ϕ + 5 cos ϕ(1 cos ϕ + cos 4 ϕ) = 16 cos 5 ϕ 0 cos 3 ϕ + 5 cos ϕ. cos 3ϕ = Re (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = Re (cos 3 ϕ + 3i cos ϕ sin ϕ 3 cos ϕ sin ϕ i sin 3 ϕ) = cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin ϕ = cos 3 ϕ 3 cos ϕ(1 cos ϕ) = 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ. Tästä seura esimerkiksi kaava cos 3 ϕ = 1 4 cos 3ϕ + 3 cos ϕ. 4 1

13 Unohtuneet kaavat on helppo johtaa: Koska on cos ϕ + i sin ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ) 1.6 Eulerin kaava. Jos R, niin = cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ = cos ϕ sin ϕ, sin ϕ = sin ϕ cos ϕ. Toisaalta e = 1 + +! + 3 3! + 4 4! + cos = 1! + 4 4! 6 6! + sin = 3 3! + 5 5! 7 7! +. i 1 = i i = 1 i 3 = i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = 1 i 7 = ijne. Sijoitetaan e :n sarjakehitelmään = iϕ. Silloin e iϕ = 1 + iϕ ϕ! iϕ3 3! + ϕ4 4! + iϕ5 5! ϕ6 6! iϕ7 7! + = cos ϕ + i sin ϕ, joten olemme saaneet ns. Eulerin kaavan e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. 13

14 Tämän perusteella kompleksiluvuilla z, arg z = ϕ, z = r, on esitys z = re iϕ. Moivren kaava saa muodon (e iϕ ) n = e inϕ. 1.7 Esimerkkejä. 1. Laske (1 + i 3) 6 Moivren kaavan avulla. i 3 y = e i π 3 π 3 1 Kuva 9: (1 + i 3) 6 = 6 e i 6π 3 = 6 e πi = 64.. Ratkaise yhtälö z 3 = 1. Merkitään z = re iϕ. Silloin z 3 = r 3 e 3iϕ. Koska e 3iϕ = 1, on z 3 = r 3 e 3iϕ = r 3 = 1 r = 1. z 3 = 1 r = 1 ja e 3iϕ = 1 = e nπi, n = 0, ±1, ±,.... z 3 = 1 ϕ = n π, n = 0, ±1, ±, z 1 = cos 10 + i sin 10 = i z = z 1 = 1 3 i. 14

15 z 1 z 0 = 1 z Kuva 10: Yhtälön z 3 = 1 ratkaisut Tarkastus: ( i )3 = i i( )3 Yleisesti ottaen binomiyhtälön = = 1. z n = 1 juuret ovat yksikköympyrän kehällä. Ne sijaitsevat säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä Ratkaise yhtälö z 4 = 1. Piirretään yksikköympyrä ja sen sisään neliö, jonka yksi kärki on pisteessä z = 1. Juuret ovat neliön kärjissä: z 1 = 1 z = i z 3 = 1 z 4 = i. 4. Laske e iπ. e iπ = cos π + i sin π = 1. 15

16 y z z 1.8 Binomiyhtälö Kuva 11: Yhtälön z 4 = 1 ratkaisut Yleisellä binomiyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä z n = w, missä z on tuntematon ja w annettu kompleksiluku. Edellä käsiteltiin muotoa z n = 1 (1) olevia erikoistapauksia. Jos merkitään z = re iϕ, saadaan (1) muotoon { r = 1 r n e inϕ = 1 nϕ = kπ. Yhtälön (1) juuret ovat siis { r = 1 z k : ϕ = k π, k = 0, ±1, ±,. n Kun k = 0, saadaan triviaali juuri z 0 = 1. Kun k = 1, saadaan niin sanottu n:s yksikköjuuri z 1 = e i π n jolle käytetään merkintää ε n. Koska = cos π n + i sin π n, ε k n = e ik π n = zk, 16

17 voidaan muut (1):n juuret esittää ε n :n potensseina, ja kaikki ε n :n potenssit ovat (1):n juuria. Yhtälöllä (1) on täsmälleen niin monta juurta kuin ε n :llä on eri potenssia. Nämä ovat ε 0 n = 1 ε 1 n = ε n ε ṇ sillä. ε n 1 n ε n n = e in π n = e πi = 1 ε n+1 n = ε n ε n+ n = ε n jne. (Kun lasketaan pelkästään luvuilla ε n k, joiden moduli =1, on kertolasku pelkkää argumenttien yhteenlaskua.) Binomiyhtälöllä (1) on täsmälleen n kpl eri juurta. Nämä sijaitsevat kompleksitasossa sen säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä z = 1 ja keskipiste on origossa. y ε 8 ε 3 8 ε 8 ε 4 8 ε 8 8 = 1 = ε 0 8 ε 5 8 ε 6 8 ε 7 8 Kuva 1: Yhtälön z 8 = 1 ratkaisut Esimerkki. Olkoon a yhtälön 1 + z + z + z 3 + z 4 = 0 () 17

18 Kuva 13: Kuva 14: juuri. Osoita, että myös a on yhtälön juuri. Ratkaisu: Koska ja z = 1 ei ole ():n juuri, on 1 z 5 = (1 z)(1 + z + z + z 3 + z 4 ) 1 + z + z + z 3 + z 4 = 0 z 5 = 1, z 1. Näin ollen a = ε k 5 jollakin k = 1,, 3, 4. Tällöin a 1. Toisaalta a = ε k 5 on yhtälön z 5 = 1 juuri. Siis a on ():n juuri. Sama tehtävä ei onnistu, jos astelukua nostetaan yhdellä: (1 + z + z + z 3 + z 4 + z 5 )(1 z) = 1 z 6. a = 1 on yhtälön 1 + z + z + z 3 + z 4 + z 5 = 0 juuri, mutta a = 1 ei ole. Siirrymme nyt yleiseen binomiyhtälöön z n = w = ρe iψ, ψ > 0. (3) Sijoituksella z = re iϕ saadaan { r r n e inϕ = ρe iψ n = ρ nϕ = ψ + kπ, k = 0, ±1, ±,.... Yhtälöllä (3) on juuret { r = n ρ z k : ϕ = ψ + k π, k = 0, ±1, ±,.... n n Merkitään Silloin muut juuret ovat z 0 = n ρe i ψ n. z 1 = z 0 ε n z = z 0 ε n. z n 1 = z 0 ε n 1 n 18

19 Kuva 15: Kuva 16: Juuret z 0,..., z n 1 sijaitsevat sen säännöllisen n-kulmion kärjissä, jonka yksi kärki on pisteessä z 0 ja keskipiste on origossa. Esimerkki. Yhtälön z 4 = 1 = e iπ juuret ovat z 0 = e i π 4 = + i eli z = z 0, z 3 = z 0, ja z 1 = z 0. z 1 = + i z = i z 3 = i 19

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99

Kompleksiluvut. JYM, Syksy /99 Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2

Lisätiedot

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio

2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio 2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Kompleksilukujen alkeet

Kompleksilukujen alkeet Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista

Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa

Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division

Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...

Sisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI... Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37

Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö

Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun

Lisätiedot

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b,

Yksinkertaisin (jollain tavalla mielenkiintoinen) yhtälö lienee muotoa. x + a = b, Kompleksiluvut c Pekka Alestalo 013 Tämä moniste sisältää perusasiat kompleksiluvuista. Tähdellä merkityt kohdat ovat lähinnä oheislukemistoksi tarkoitettua materiaalia. 1 Lukujoukot Uuden tyyppisten lukujen

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012

Simo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)

(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) . Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,

Lisätiedot

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto. 13. syyskuuta 2009

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto. 13. syyskuuta 2009 Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto 13. syyskuuta 2009 Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Kompleksiluvut. Johdanto

Kompleksiluvut. Johdanto Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukualueet. Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukualueet Lotta Oinonen, Petri Ola Matematiikan ja tilastotieteen laitos 00014 Helsingin yliopisto Johdanto. Tämä kurssi on lyhyt johdatus kompleksilukujen alkeisominaisuuksiin siinä laajudessa kuin niitä

Lisätiedot

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat

1.6. Yhteen- ja vähennyslaskukaavat Yhteen- ja vähennyslaskukaavoiksi sanotaan trigonometriassa niitä kaavoja, jotka sisältävät kehitelmät kahden reaaliluvun summan tai erotuksen trigonometriselle funktiolle, kuten sin( + y) sin cos y +

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Kompleksilukujen kunnan konstruointi

Kompleksilukujen kunnan konstruointi Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2

KOMPLEKSILUVUISTA. y. x 2 + y 2 Matematiikan olympiavalmennus KOMPLEKSILUVUISTA 1 Perusteoriaa ja geometriaa 1.1 Kompleksilukujen määritelmä ja perusalgebraa 1. Joukossa R = {(x, y) x R, y R} määritellään yhteen- ja kertolasku kaavoilla

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Sisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi

Sisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (a, b)

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

5. lukujonot ja sarjat.

5. lukujonot ja sarjat. 5. lukujonot ja sarjat. Lukujono on järjeste1y joukko lukuja x 1, x 2, x 3,..., x N Kun jonon alkiot lasketaan yhteen, saadaan sarja: N x i = x 1 + x 2 + x 3 +...+ x N i=1 Yhteenlaskun tulosta sanotaan

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia

9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia 9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin

Johdatus reaalifunktioihin Johdatus reaalifunktioihin 11. syyskuuta 2014 10:28 1. Reaaliluvut ja epäyhtälöt 1.1 Lukualueet = { 1, 2, 3 } luonnolliste n lukujen joukko Suljettu yhteen ja kertolaskujen suhteen: Jos m,n en (eli m en

Lisätiedot

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen?

1. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa yhdistetystä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Matematiikan johdantokurssi, sks 06 Harjoitus 8, ratkaisuista. Olkoot f ja g reaalifunktioita. Mitä voidaan sanoa hdistetstä funktiosta g f, jos a) f tai g on rajoitettu? b) f tai g on jaksollinen? Ratkaisu.

Lisätiedot

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä

Huom! (5 4 ) Luetaan viisi potenssiin neljä tai viisi neljänteen. 7.1 Potenssin määritelmä 61 7.1 Potenssin määritelmä Potenssi on lyhennetty merkintä tulolle, jossa kantaluku kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmaisee. - luvun toinen potenssi on nimeltään luvun neliö o

Lisätiedot

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja!

Kokonaisluvut. eivät ole kokonaislukuja! Luvut Lähdetään liikkeelle kertaamalla mitä tiedämme luvuista. Mitä erilaiset luvut kuvaavat ja millaisia ominaisuuksia niillä on? Mikä voisi olla luonnollisin luku aloittaa? Luonnolliset luvut Luonnolliset

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y

exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y 4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,

Lisätiedot