πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,"

Transkriptio

1 Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n 4 nπsin4 n π luvuille n N. Valitaan lisäksi m, 4 k missä k N ja m Z. Tarkastellaan seuraavaksi sinifunktion argumenttia. Lukuteorian mukaisesti saaaan 4 4 mo 6 ja 4 i 4 mo 6 4 i+ 4 i mo 6, joten inuktiolla saaaan 4 k 4 mo 6 kaikilla k. Voiaan siis valita luvut l k Z, joille 4 k 6l k +4 kaikilla n. Tällöin saaaan 4 n k πm 6l n k +4πm 2πml n k + 4πm Eellisen avulla saaaan arvoille n > k n n a n πsin4 n n k πm π πsin n 4 πsin 6l n k +4πm n 4 πsin 4πm n k 4 a k+ Toisaalta 4πm, m mo sin 2, m mo, 2, m 2 mo joten arvolla m 4 saaaan termille a k n, missä n k +, selkeä arvo:, m mo, a n 4 nπ, 2 m mo, 4 nπ, 2 m 2 mo. Täten n a n suppenee, kun m mo, ja hajaantuu, kun m mo. Siis jokaisella välillä [, +4 k sarjalla n a n on pisteitä joilla se hajaantuu kuten myös pisteitä, joissa se suppenee. Koska n 4 k, kyseisellä erivaattasarjalla ei ole reaaliakselilla väliä, jolla se suppenisi.

2 .2 Sarjan n! n n summa arvoilla ±e n n Binomikaavalla saaaan positiiviselle kokonaisluvulle n arvio + n n n k + n j n k + n n j k j k j n k < + j n + j n+ n+! n+ k j j n+ k + n+ j + n+ n+ n+ k j Täten kaikille n on voimassa epäyhtälö + n n < + n+ n+ n!±e n n n ja eelleen, arvoilla ±e, kahen peräkkäisen sarjan n itseisarvojen erotukselle saaaan arvio termin n!±e n n n n+!±e n+ n+ n+ n!en n+ n n n+ n+[n+n en n ] n!e n [ n n+ e] n+ n <. n Täten n+!±e n+ n+ n+ > n!±e n n n >!±e e, kaikilla n, joten sarja n n!n n hajaantuu arvoilla ±e. n. Funktioista + ja Eellisessäolisivoitumyösyleisemmintarkastellafunktion + erivaattaa arvoilla >. Yhtälön + e ln+ avulla saaaan + + [ ln + + ]. Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n + 2

3 voiaan päätellä erotuksen ln + + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön sijoitettuna saaaan + + [ ln + ] >. 2 +, josta eel- ln+ L Hospitalin säännöllä saaaan leen voiaan toeta + +/ ep + + ln+ e eli funktio + on aiosti kasvava ja + > kaikilla >. Tarkastellaan lisäksi funktion erivaattaa arvoilla >. Yhtälön e ln avulla saaaan [ ln + ]. 4 Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n voiaan päätellä erotuksen ln + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön 4 sijoitettuna saaaan [ ln + ] >. 5 Pienellä raja-arvotarkastelulla saaaan + 6 eli funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. 2 Vaihtoehtona potenssisarjat Eellisetfunktioien + ja käyttäytymisentarkastelutolisivoitu myös vaihtoehtoisesti suorittaa potenssisarjoilla.

4 y + y e y y y + y e Kuva : Funktioien kuvaajia arvoilla c. 2. Potenssisarjojen käyttö Palataan eeltävän yhtälön positiivisuuteen. Eholla yhtälön positiivisuus olisi saatu myös melko mukavasti potenssisarjojen avulla. Kutenmonisteessa[]onosoitettuvoiaangeometrinensarja +t tk integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä eli arvoille u < saaaan ln+u u t +t u t k uk+ k + josta eelleen sijoittamalla u / saaaan arvolla > arvio ln + k+ k k k 2 k k+ k k, k+ u k, k missä minorantti on saatu alternoivasta sarjasta Liebnitz in lauseesta, kun ensimmäinen pois jäävä termi on positiivinen. Tätä arviota käyttäen saaaan yhtälöstä + k + [ ln + ] + + [ 2 2 ] >, kun >. Tarkastelemalla yhtälöä tapauksessa, voiaan siis toeta, että funktio + on aiosti kasvava ja + 2 kaikilla. 4

5 2.2 Tarkasteluvälin laajennus Eellistä potenssisarjan avulla saatua rajoitusta voiaan parantaa käsittelemällä vastaavia Taylorin sarjoja pisteien a > suhteen. Olkoon > ja a ei-negatiivinen reaaliluku. Koska k t k +t k +t k saaaan pisteen t a suhteen funktiolle +t Taylorin sarjakehitelmä +t +a + k +a k+t ak. k Osamäärätarkastimella saaaan suppenemis välille ehto t a/ + a < eli t,2a+. Suppenemissäe on siis a+. Kuten eellä integroiminen termeittäin on mahollista sarjan suppenemisvälin,2a + suljetun välin yli, joten arvolle,2a + saaaan yhtälöketju a t +t a k t +a + k a k +a k+t ak k k ++a k+ ak+ k+ k+a k ak josta, Liebnitz in lauseen avulla arvolla 2a + havaitun suppenemisen perusteella, voiaan muoostaa yhtälö ln+ ln+a+ k kun,2a+], ja eelleen arvolla 2a+ ln + ln+a+ k k+ k+a k ak, k+ k+a k saaaan yhtälö k a. Sarjaan voiaan soveltaa Liebnitz in lausetta, kun [ tai [,, jos a. Tällöin saaaan minorantti ln + ln+a+ 2 k 4a a 2, 2a+, a k+ k k+a k a ], jos a >, josta eelleen saaaan alaraja yhtälössä esiintyvälle kertoimelle ln + + 2a2 2 +4a a

6 Huomaa, että minorantin tarkastelussa on huomioitu negatiivisista termeistä koostuva summa k+ k+a k ak ln a ln+a, +a k josta eelleen saaaan kaikille n voimassaoleva epäyhtälö ln+a+ n k k+ k+a k ak >. Epäyhtälön 7 oikean puolen positiivisuuen tarkasteluun riittää tutkia epäyhtälöä 2a a + >, joka on voimassa täsmälleen silloin kun { 4a+ 8a2 +8a+ 4a, 4a++ 8a 2 +8a+ 2 4a, kun a >, 2,, kun a. Pitää kuitenkin muistaa, että epäyhtälö 7 on voimassa vain välillä [ 2a+, a ], kun a >, ja välillä [,, kun a. Tapauksessa a epäyhtälön 7 oikea puoli on selvästikin positiivinen välillä,. Jos a >, saaaan ylärajan tarkastelusta epäyhtälö Lisäksi alarajan tarkasteluun saaaan a > 6a 4 +6a > 4a++ 8a 2 +8a+ 4a 2 > a. 2a 4 +64a +44a 2 +2a+ > 6a 4 +48a +44a 2 +2a+ 2a+ 2 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ 2 a> 2a+ 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ [ 4a 2 > 2a+ 4a+ ] 8a 2 +8a+ a> 2a+ > 4a+ 8a2 +8a+ 4a 2. Eeltävästä voiaan nyt päätellä, että kaikilla a epäyhtälö ln + + > 8 on voimassa arvoilla [ 2a+, a ], kun a >, ja,, kun a. Käytettäessä esimerkiksi joukon {2 k k N} arvoja parametrin a arvona saaaan osoitettua epäyhtälön8 olevan voimassa kaikilla, ]. Lisättäessä tämä tapauksen a aiemminkin tarkasteltuun tulokseen saaaan yhtälöstä tulokseksi yhtälö 2 kaikille >, eli funktio + on aiosti kasvava kaikilla >. Eellisessä olisi joukoksi voitu myös valita {2 k k Z}, jolloin tapauksen a tutkiminen ei olisi ollut tarpeen. 6

7 2. Negatiivisen version erilaisuus Geometrinen sarja t tk voiaan integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä jolloin arvoille u < saaaan ln u u t t u t k josta sijoittamalla u / saaaan arvolla > yhtälö ln k, joten yhtä- Toisaalta geometrisestä sarjalla saaaan löstä 4 saaaan k k k. u k+ k + [ ln [ k [ k k k k k k ] k k u k k, + ] ] k k >, kun >. Voiaan siis toeta, että funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. Luvun e muut potenssit Lukujonojen raja-arvot n + e ja n e herättävät tietenkin yleisemmässä mielessä kiinnostuksen funktioon e t ja sitä kautta yleiseen funktioon + c arvoilla c R, jolle + c e n c. 9. Yleistystä Olkoon > ja c >. Tarkastellaan funktioita + c ja c. Yhtälöitä ja 4 vastaavat tuolloin yhtälöt + c + c [ ln + c c ] +c ja c c [ ln c + c ]. c 7

8 + c ja + c etumerk- Erityisestihuomattakoonerivaattojen keihin vaikuttavista lausekkeista, että [ ln + c c ] [ ln +c + /c ] /c+ ja [ ln c + c ] [ ln ] +. c /c /c Koska kuvaus /c kuvaa joukon R + itselleen ja välin c, väliksi,, voiaan yhtälöien2 ja5 perusteella eeltävä tulos aiosta kasvamisesta laajentaa tapauksesta c yleisemmin arvoille c niillä positiivisen reaalialueen väleillä, joilla funktio + c on määritelty. Vastaavasti funktio + c on aiosti vähenevä niillä positiivisen reaalialueen osilla, joilla se on määritelty. Eelleen, arvoilla c, voiaan yhtälöien + c [ c ] ja + c [ c ] perusteella funktioien + c ja + c toeta kasvavanaiosti kaikkialla reaalisella määrittelyalueellaan. Lisäksi näien peilaus kaavojen avulla saaaan aiemmista raja-arvosta9 ja raja-arvojen ja 6 perusteluista arvolle c > seuraavat raja-arvot: + c + +c 2 c c + c [ + c ] 4 + c + c c + [ c ] 5 + c c + c + c n e c e c e c e c n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n n + n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n e c e c e c e c Taulukko : Raja-arvoja 8

9 y + y y e y y + y e y Kuva 2: Funktioien kuvaajia arvoilla c lin-log-koorinaatistossa ja arvoille c R raja-arvo + c [ c ] e n n c. 6.2 Asymptoottisesta käyttäytymisestä Tarkastellaan funktioien + c ja + c käyttäytymistä. Näien funktioien käyttäytyminen riippuu luvun c merkistä, joten positiiviset ja negatiiviset arvot pitää eritellä. Tästä syystä taulukossa oletetaan c > ja näin ollen muoostuu neljä eri tapausta. Eellisten tarkastelujen pohjalta näillä funktiolla on poikkeavia kohtia arvoilla {, c,,c, }, joille yhtälöien 2-6 ja 9 perusteella saaaan muoostettua taulukko näien raja-arvoista. Lisäksi kuvissa ja 2 on kuvattu funktioien + ja + yleistä käyttäytymistä jaoteltuna jatkuviin paloihin. Jälkimmäisessä kuvassa on y-akseli kuvattu logaritmisella asteikolla ja -akseli leikkaa y-akselin kohassa y. Luvun c etumerkki vaikuttaa kuvaajien muoostumiseen, joten kummallekin funktiolle tulee kaksi yhtenäistä kuvaajan osaa. Huomautettakoon vielä, että arvolla funktiot eivät ole määriteltyjä vaikka kaikilla raja-arvo on. 4 Luvun e irrationaalisuus Eellä on käytetty potenssisarjoja funktioien + ja + tarkasteluun. Seuraavassa tutkitaan itse Neperin lukua e. Lause 4.. Neperin luku e on irrationaalinen. 9

10 Toistus. Toistetaan lause vastaoletuksen avulla. Jos Neperin luku e > on irrationaalinen, on myös sen käänteisluku sitä, joten voimme olettaa joillekin a,b Z +. Monisteen [] perusteella e a b, 7 e k, kaikilla R, joten sijoittamalla saaaan yhtälö e a b k. 8 Leibnitzin lauseen perusteella a b b k b+!. ja eelleen ab! b! b [ k ] b jk+ j b! c b! b+!, jollakinc N. Tämänainoamahollinenratkaisuonc,jostaeelleenseuraa yhtälöstä 8 yhtälö k. kb+ Toisaalta, Leibnitzin lauseen perusteella saaaan myös b+! k k+ b+! b+2!, kb+ joka on mahotonta. Täten, Neperin luku e on irrationaalinen. 5 Harjoituksia 5. Tehtävä Olkoon f e 2 ja g +sin. Tehtävänä on laskea kolme ensimmäistä termiä annetun funktion h f/g Maclaurinin sarjasta h h+ h k k c +c +c k

11 Ratkaisu määräämättömillä kertoimilla. Yhtälön 9 mukaisesti saaaan kaksi sarjaa: ja e 2 2 k sin + 2k+ 2k +! Toisaalta f hg, joten oletettavalla suppenemisvälillä saataisiin tulon avulla yhtälöryhmä c ; 2 c +c ; 2 c +c +c 2, josta ratkaistaessa saaaan c, c ja c 2 5 eli h h k k. 2 Ratkaisu erivoimalla. Olkoon f f ja g g. Määritellään myös funktio h f /g ja funktiot f k ja g k toteuttaen yhtälöt k f k+ f g fg ja g k+ [g k ] 2. Tällöin h k f k /g k. Suoraan laskemalla saaaan f e 2 2+2sin cos g +sin 2 f 2 e 2 [4+4sin 6cos+6cos+9sin] 6e 2 +sincos2+2sin cos e 2 [4+sin +sincos2+2sin 8cos] g 2 +sin 4, josta eelleen sijoittamalla saaaan h, h f /g ja h f 2 /g 2. Siis Maclaurinin sarjaksi saaaan sarja Tehtävä 2 Maclaurinin sarjat funktioille, ja / saaaan suoraan geometrisesta sarjasta kuten myös suppenemissäteet: k+, < R,

12 ja k, < R /, / k k+, < R. 5. Tehtävä Annetulle funktiolle A on eellisen emokerran tehtävän mukaan osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /, joten geometrisen sarjan avulla saaaan yhtälö josta saaaan 5.4 Tehtävä 4 A 2 k +2 k k A k k, A 5 5! Eellisen tehtävän varianttina saaaan funktiolle A osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /2, joten geometrisen sarjan mukaisesti k A 2 k+ k + k A k k, 2 josta saaaan A 5 6 5! 5.5 Tehtävä Tehtävässä halutaan tutkia milloin funktio f + k 2n n on esitettävissä eplisiittisesti ilman sarjakehitelmää, jolle saaaan suppeneminen eholla n 2 n n < <. 2

13 Yliharmonisen sarjan avulla saaaan lopulta suppenemiselle ehto. Termeittäin erivoimalla saaulla sarjalle saaaan suppeneminen eholla n n <, n+ joten erivointi termeittäin toimii välillä [,. Eellisen kerran emotehtävä antoi välivaiheena sarjan jota käyttämällä saaaan f ln k 2n n k ln 2. Siis, arvoilla [, ] integroimalla saaaan f f f n n, 2 n k n ln 2, joten lopulta saamme funktiolle f yhtälön arvoilla [,]. 5.6 Tehtävä 6 f ln 2. Olkoon λ R ja pitäisi etsiä ifferentiaaliyhtälölle ratkaisu y a k k kaksilla eri alkuehoilla: a y ja y ; b y ja y. y 2y +λy 2 Lasketaan termeittäin erivoimalla sarjoista ifferentiaaliyhtälön 2 mukaisesti y 2y +λy kk a k k 2 2ka k k + λa k k, jota muotoilemalla saaaan k2 k k k +k +2a k+2 k 2ka k k + λa k k 2a 2 +λa + [k +k +2a k+2 +λ 2ka k +λa k ] k k

14 ja eelleen a 2 λ 2 a, joka voiaan sulauttaa toisena saatavan rekursioyhtälön kanssa rekursioyhtälöksi a k+2 2k λ k +2k + a k, kaikilla k. 22 Ottamalla arvot a y ja a y alkuarvoiksi saaaan arvoille k eellisen rekursioyhtälön 22 avulla kertoimille a 2k ja a 2k+ yhtälöt ja a 2k k k i 4i λ a 2 2k! i a 2k+ 4i+2 λ a. 24 2k +! Esitetään seuraavaksi pieni lemma liittyen näihin etukertoimiin. Lemma 5.. Olkoon α N ja λ 2N. Tällöin ifferentiaaliyhtälöllä 2 on olemassa polynomiaalinen ratkaisu, kun y tai y. Toistus. Oletetaan seuraavissa tarkasteluissa luvun α olevan luonnollinen luku. Toettakoon, että eholla λ 4α, jossa siis α N, saaaan eellisistä yhtälöistä 2 ja 24 arvoilla k α yhtälö a 2k+ α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k +! α 2 α α! α i 2i+2k α k α! k α i 2i+ 2k +2k!k α!α! α 2α!2k 2α! 2k +2k!k α!α! a k α ja arvoilla k < α α 2k + a 2k+ 2k a 25 2α k k i 4α 4i 2 2k +! k a a k 2 k α! α k! i 2α i α! 2k +2k! α k! k 2α! 2α 2k! α! 2k +2k! k 2k + 2α 2k α k! a a a α k a. 26 Tapauksessa λ 4α+2 saaaan vastaavasti arvoilla k α yhtälö a 2k α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k! α k α 2k a 27 2α 4 a

15 ja arvoilla k < α yhtälö a 2k k k i 4α 2 4i a 2k! 2α k 2k α a. 28 k Eelleen yhtälöistä2 ja 24 saaaanarvoillek α eholla λ 4α yhtälö a 2k k k i 4α 4i 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! 2k! k 4 k α k a a 2k ka. 29 ja aivan vastaavasti eholla λ 4α+2 yhtälö a 2k+ k k i 4α 4i a 2k +2k! k 4 k α k 2k + 2k. ka Arvoilla k > α yhtälöissä 2 ja 24 on tulon tekijänä, joten vastaavat termit häviävät. Koska a y ja a y, saaaan annetuilla alkuehoilla seuraavat oleellisesti erilaiset tilanteet: a y ja y : parittoman ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ mo 4 etukertoimille a 2k kaikilla k > λ 4 ; b y ja y : parillisen ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ 2 mo 4 etukertoimille a 2k+ kaikilla k > λ 2 4 ; c y ja y : kaikki termit häviävät. Näissä tapauksissa saaaan siis ratkaisuksi polynomi liittyvät Hermiten polynomeihin. 5

16 Kuva : Funktiot f, g ja h. Eellisesta toistuksesta voiaan myo s kera ta yhta lo ien tieot 25, 26, 27, 28, 29 ja yhteen yhta lo iksi a2k+ ja a2k 5.7 2α k 2k α a. 2k+ k k α α 2k 2k+ a 2α α k 4k k 2k+ 2k a. k kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α; kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α 2α k 2k α a, k α k α 2k a, 2α α k 4k k a, 2k k kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α; kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α. Tehta va 7 Tehta va ssa haetaan raja-arvoa e sin 2 2 ka ytta en Taylorin sarjoja. Aiemmin olemme toenneet, etta e X k ja sin X k 2k+ 6 2k +!, 2

17 joten sijoittamalla ja käyttäen osamäärän funktioien jatkuvuutta pisteen ympäristössä saaaan e sin k k 6 + k2 2 + k k k k 4k+2 2k+! 2 k 4k 8 2k+! Kuvassa on esitetty pisteen läheisyyessä funktioien f e sin, e g sin 2 2 ja h e 6 6 sin käyttäytymistä. Kuvasta voiaan helposti havaita, että saatu raja-arvo sopii kuvaajasta funktiolle g saatavaan tietoon. Viitteet [] Jyrki Lahtonen, Analyysi II, luentomoniste 7

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:

Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin: Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys

Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys 5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.

2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1. 2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin:

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

Luvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara

Luvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on

Lisätiedot

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Taylorin sarja ja Taylorin polynomi Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla

2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla 2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b , interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b Funktioita Potenssifunktio: x (axn ) = nax n 1 Eksponentin n ei tarvitse olla kokonaisluku, vaan se voi olla murtoluku tai esimaaliluku! Neliöjuuri: ax = x x (

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot