πx) luvuille n N. Valitaan lisäksi x = m,
|
|
- Sami Nieminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lisäyksiä Muutamia lisäyksiä laskuharjoitusten 9 tehtävien ratkaisuihin. Sarjan n n cos4 n π termeittäin erivoituvuus Sarjan n n cos4 n πtermeittäinerivoitavuusonhiukkasenhankalaasia tutkia. Olkoon a n 4 nπsin4 n π luvuille n N. Valitaan lisäksi m, 4 k missä k N ja m Z. Tarkastellaan seuraavaksi sinifunktion argumenttia. Lukuteorian mukaisesti saaaan 4 4 mo 6 ja 4 i 4 mo 6 4 i+ 4 i mo 6, joten inuktiolla saaaan 4 k 4 mo 6 kaikilla k. Voiaan siis valita luvut l k Z, joille 4 k 6l k +4 kaikilla n. Tällöin saaaan 4 n k πm 6l n k +4πm 2πml n k + 4πm Eellisen avulla saaaan arvoille n > k n n a n πsin4 n n k πm π πsin n 4 πsin 6l n k +4πm n 4 πsin 4πm n k 4 a k+ Toisaalta 4πm, m mo sin 2, m mo, 2, m 2 mo joten arvolla m 4 saaaan termille a k n, missä n k +, selkeä arvo:, m mo, a n 4 nπ, 2 m mo, 4 nπ, 2 m 2 mo. Täten n a n suppenee, kun m mo, ja hajaantuu, kun m mo. Siis jokaisella välillä [, +4 k sarjalla n a n on pisteitä joilla se hajaantuu kuten myös pisteitä, joissa se suppenee. Koska n 4 k, kyseisellä erivaattasarjalla ei ole reaaliakselilla väliä, jolla se suppenisi.
2 .2 Sarjan n! n n summa arvoilla ±e n n Binomikaavalla saaaan positiiviselle kokonaisluvulle n arvio + n n n k + n j n k + n n j k j k j n k < + j n + j n+ n+! n+ k j j n+ k + n+ j + n+ n+ n+ k j Täten kaikille n on voimassa epäyhtälö + n n < + n+ n+ n!±e n n n ja eelleen, arvoilla ±e, kahen peräkkäisen sarjan n itseisarvojen erotukselle saaaan arvio termin n!±e n n n n+!±e n+ n+ n+ n!en n+ n n n+ n+[n+n en n ] n!e n [ n n+ e] n+ n <. n Täten n+!±e n+ n+ n+ > n!±e n n n >!±e e, kaikilla n, joten sarja n n!n n hajaantuu arvoilla ±e. n. Funktioista + ja Eellisessäolisivoitumyösyleisemmintarkastellafunktion + erivaattaa arvoilla >. Yhtälön + e ln+ avulla saaaan + + [ ln + + ]. Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n + 2
3 voiaan päätellä erotuksen ln + + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön sijoitettuna saaaan + + [ ln + ] >. 2 +, josta eel- ln+ L Hospitalin säännöllä saaaan leen voiaan toeta + +/ ep + + ln+ e eli funktio + on aiosti kasvava ja + > kaikilla >. Tarkastellaan lisäksi funktion erivaattaa arvoilla >. Yhtälön e ln avulla saaaan [ ln + ]. 4 Eelleen erivoimalla eeltävän yhtälön positiivisuuteen vaikuttavaa lauseketta saaaan ln <, kun >, eli funktio ln + on vähenevä kaikilla >. Täten raja-arvosta ln + n voiaan päätellä erotuksen ln + olevan positiivinen, kun >, ja yhtälöön 4 sijoitettuna saaaan [ ln + ] >. 5 Pienellä raja-arvotarkastelulla saaaan + 6 eli funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. 2 Vaihtoehtona potenssisarjat Eellisetfunktioien + ja käyttäytymisentarkastelutolisivoitu myös vaihtoehtoisesti suorittaa potenssisarjoilla.
4 y + y e y y y + y e Kuva : Funktioien kuvaajia arvoilla c. 2. Potenssisarjojen käyttö Palataan eeltävän yhtälön positiivisuuteen. Eholla yhtälön positiivisuus olisi saatu myös melko mukavasti potenssisarjojen avulla. Kutenmonisteessa[]onosoitettuvoiaangeometrinensarja +t tk integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä eli arvoille u < saaaan ln+u u t +t u t k uk+ k + josta eelleen sijoittamalla u / saaaan arvolla > arvio ln + k+ k k k 2 k k+ k k, k+ u k, k missä minorantti on saatu alternoivasta sarjasta Liebnitz in lauseesta, kun ensimmäinen pois jäävä termi on positiivinen. Tätä arviota käyttäen saaaan yhtälöstä + k + [ ln + ] + + [ 2 2 ] >, kun >. Tarkastelemalla yhtälöä tapauksessa, voiaan siis toeta, että funktio + on aiosti kasvava ja + 2 kaikilla. 4
5 2.2 Tarkasteluvälin laajennus Eellistä potenssisarjan avulla saatua rajoitusta voiaan parantaa käsittelemällä vastaavia Taylorin sarjoja pisteien a > suhteen. Olkoon > ja a ei-negatiivinen reaaliluku. Koska k t k +t k +t k saaaan pisteen t a suhteen funktiolle +t Taylorin sarjakehitelmä +t +a + k +a k+t ak. k Osamäärätarkastimella saaaan suppenemis välille ehto t a/ + a < eli t,2a+. Suppenemissäe on siis a+. Kuten eellä integroiminen termeittäin on mahollista sarjan suppenemisvälin,2a + suljetun välin yli, joten arvolle,2a + saaaan yhtälöketju a t +t a k t +a + k a k +a k+t ak k k ++a k+ ak+ k+ k+a k ak josta, Liebnitz in lauseen avulla arvolla 2a + havaitun suppenemisen perusteella, voiaan muoostaa yhtälö ln+ ln+a+ k kun,2a+], ja eelleen arvolla 2a+ ln + ln+a+ k k+ k+a k ak, k+ k+a k saaaan yhtälö k a. Sarjaan voiaan soveltaa Liebnitz in lausetta, kun [ tai [,, jos a. Tällöin saaaan minorantti ln + ln+a+ 2 k 4a a 2, 2a+, a k+ k k+a k a ], jos a >, josta eelleen saaaan alaraja yhtälössä esiintyvälle kertoimelle ln + + 2a2 2 +4a a
6 Huomaa, että minorantin tarkastelussa on huomioitu negatiivisista termeistä koostuva summa k+ k+a k ak ln a ln+a, +a k josta eelleen saaaan kaikille n voimassaoleva epäyhtälö ln+a+ n k k+ k+a k ak >. Epäyhtälön 7 oikean puolen positiivisuuen tarkasteluun riittää tutkia epäyhtälöä 2a a + >, joka on voimassa täsmälleen silloin kun { 4a+ 8a2 +8a+ 4a, 4a++ 8a 2 +8a+ 2 4a, kun a >, 2,, kun a. Pitää kuitenkin muistaa, että epäyhtälö 7 on voimassa vain välillä [ 2a+, a ], kun a >, ja välillä [,, kun a. Tapauksessa a epäyhtälön 7 oikea puoli on selvästikin positiivinen välillä,. Jos a >, saaaan ylärajan tarkastelusta epäyhtälö Lisäksi alarajan tarkasteluun saaaan a > 6a 4 +6a > 4a++ 8a 2 +8a+ 4a 2 > a. 2a 4 +64a +44a 2 +2a+ > 6a 4 +48a +44a 2 +2a+ 2a+ 2 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ 2 a> 2a+ 8a 2 +8a+ > 4a 2 +6a+ [ 4a 2 > 2a+ 4a+ ] 8a 2 +8a+ a> 2a+ > 4a+ 8a2 +8a+ 4a 2. Eeltävästä voiaan nyt päätellä, että kaikilla a epäyhtälö ln + + > 8 on voimassa arvoilla [ 2a+, a ], kun a >, ja,, kun a. Käytettäessä esimerkiksi joukon {2 k k N} arvoja parametrin a arvona saaaan osoitettua epäyhtälön8 olevan voimassa kaikilla, ]. Lisättäessä tämä tapauksen a aiemminkin tarkasteltuun tulokseen saaaan yhtälöstä tulokseksi yhtälö 2 kaikille >, eli funktio + on aiosti kasvava kaikilla >. Eellisessä olisi joukoksi voitu myös valita {2 k k Z}, jolloin tapauksen a tutkiminen ei olisi ollut tarpeen. 6
7 2. Negatiivisen version erilaisuus Geometrinen sarja t tk voiaan integroia termeittäin yli suljetun välin suppenemisvälinsä, sisällä jolloin arvoille u < saaaan ln u u t t u t k josta sijoittamalla u / saaaan arvolla > yhtälö ln k, joten yhtä- Toisaalta geometrisestä sarjalla saaaan löstä 4 saaaan k k k. u k+ k + [ ln [ k [ k k k k k k ] k k u k k, + ] ] k k >, kun >. Voiaan siis toeta, että funktio on aiosti kasvava ja > kaikilla >. Luvun e muut potenssit Lukujonojen raja-arvot n + e ja n e herättävät tietenkin yleisemmässä mielessä kiinnostuksen funktioon e t ja sitä kautta yleiseen funktioon + c arvoilla c R, jolle + c e n c. 9. Yleistystä Olkoon > ja c >. Tarkastellaan funktioita + c ja c. Yhtälöitä ja 4 vastaavat tuolloin yhtälöt + c + c [ ln + c c ] +c ja c c [ ln c + c ]. c 7
8 + c ja + c etumerk- Erityisestihuomattakoonerivaattojen keihin vaikuttavista lausekkeista, että [ ln + c c ] [ ln +c + /c ] /c+ ja [ ln c + c ] [ ln ] +. c /c /c Koska kuvaus /c kuvaa joukon R + itselleen ja välin c, väliksi,, voiaan yhtälöien2 ja5 perusteella eeltävä tulos aiosta kasvamisesta laajentaa tapauksesta c yleisemmin arvoille c niillä positiivisen reaalialueen väleillä, joilla funktio + c on määritelty. Vastaavasti funktio + c on aiosti vähenevä niillä positiivisen reaalialueen osilla, joilla se on määritelty. Eelleen, arvoilla c, voiaan yhtälöien + c [ c ] ja + c [ c ] perusteella funktioien + c ja + c toeta kasvavanaiosti kaikkialla reaalisella määrittelyalueellaan. Lisäksi näien peilaus kaavojen avulla saaaan aiemmista raja-arvosta9 ja raja-arvojen ja 6 perusteluista arvolle c > seuraavat raja-arvot: + c + +c 2 c c + c [ + c ] 4 + c + c c + [ c ] 5 + c c + c + c n e c e c e c e c n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n n + n c 2 c 2 c n c + 2 c 2 c n e c e c e c e c Taulukko : Raja-arvoja 8
9 y + y y e y y + y e y Kuva 2: Funktioien kuvaajia arvoilla c lin-log-koorinaatistossa ja arvoille c R raja-arvo + c [ c ] e n n c. 6.2 Asymptoottisesta käyttäytymisestä Tarkastellaan funktioien + c ja + c käyttäytymistä. Näien funktioien käyttäytyminen riippuu luvun c merkistä, joten positiiviset ja negatiiviset arvot pitää eritellä. Tästä syystä taulukossa oletetaan c > ja näin ollen muoostuu neljä eri tapausta. Eellisten tarkastelujen pohjalta näillä funktiolla on poikkeavia kohtia arvoilla {, c,,c, }, joille yhtälöien 2-6 ja 9 perusteella saaaan muoostettua taulukko näien raja-arvoista. Lisäksi kuvissa ja 2 on kuvattu funktioien + ja + yleistä käyttäytymistä jaoteltuna jatkuviin paloihin. Jälkimmäisessä kuvassa on y-akseli kuvattu logaritmisella asteikolla ja -akseli leikkaa y-akselin kohassa y. Luvun c etumerkki vaikuttaa kuvaajien muoostumiseen, joten kummallekin funktiolle tulee kaksi yhtenäistä kuvaajan osaa. Huomautettakoon vielä, että arvolla funktiot eivät ole määriteltyjä vaikka kaikilla raja-arvo on. 4 Luvun e irrationaalisuus Eellä on käytetty potenssisarjoja funktioien + ja + tarkasteluun. Seuraavassa tutkitaan itse Neperin lukua e. Lause 4.. Neperin luku e on irrationaalinen. 9
10 Toistus. Toistetaan lause vastaoletuksen avulla. Jos Neperin luku e > on irrationaalinen, on myös sen käänteisluku sitä, joten voimme olettaa joillekin a,b Z +. Monisteen [] perusteella e a b, 7 e k, kaikilla R, joten sijoittamalla saaaan yhtälö e a b k. 8 Leibnitzin lauseen perusteella a b b k b+!. ja eelleen ab! b! b [ k ] b jk+ j b! c b! b+!, jollakinc N. Tämänainoamahollinenratkaisuonc,jostaeelleenseuraa yhtälöstä 8 yhtälö k. kb+ Toisaalta, Leibnitzin lauseen perusteella saaaan myös b+! k k+ b+! b+2!, kb+ joka on mahotonta. Täten, Neperin luku e on irrationaalinen. 5 Harjoituksia 5. Tehtävä Olkoon f e 2 ja g +sin. Tehtävänä on laskea kolme ensimmäistä termiä annetun funktion h f/g Maclaurinin sarjasta h h+ h k k c +c +c k
11 Ratkaisu määräämättömillä kertoimilla. Yhtälön 9 mukaisesti saaaan kaksi sarjaa: ja e 2 2 k sin + 2k+ 2k +! Toisaalta f hg, joten oletettavalla suppenemisvälillä saataisiin tulon avulla yhtälöryhmä c ; 2 c +c ; 2 c +c +c 2, josta ratkaistaessa saaaan c, c ja c 2 5 eli h h k k. 2 Ratkaisu erivoimalla. Olkoon f f ja g g. Määritellään myös funktio h f /g ja funktiot f k ja g k toteuttaen yhtälöt k f k+ f g fg ja g k+ [g k ] 2. Tällöin h k f k /g k. Suoraan laskemalla saaaan f e 2 2+2sin cos g +sin 2 f 2 e 2 [4+4sin 6cos+6cos+9sin] 6e 2 +sincos2+2sin cos e 2 [4+sin +sincos2+2sin 8cos] g 2 +sin 4, josta eelleen sijoittamalla saaaan h, h f /g ja h f 2 /g 2. Siis Maclaurinin sarjaksi saaaan sarja Tehtävä 2 Maclaurinin sarjat funktioille, ja / saaaan suoraan geometrisesta sarjasta kuten myös suppenemissäteet: k+, < R,
12 ja k, < R /, / k k+, < R. 5. Tehtävä Annetulle funktiolle A on eellisen emokerran tehtävän mukaan osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /, joten geometrisen sarjan avulla saaaan yhtälö josta saaaan 5.4 Tehtävä 4 A 2 k +2 k k A k k, A 5 5! Eellisen tehtävän varianttina saaaan funktiolle A osamurtohajotelma A ja suppenemissäe on /2, joten geometrisen sarjan mukaisesti k A 2 k+ k + k A k k, 2 josta saaaan A 5 6 5! 5.5 Tehtävä Tehtävässä halutaan tutkia milloin funktio f + k 2n n on esitettävissä eplisiittisesti ilman sarjakehitelmää, jolle saaaan suppeneminen eholla n 2 n n < <. 2
13 Yliharmonisen sarjan avulla saaaan lopulta suppenemiselle ehto. Termeittäin erivoimalla saaulla sarjalle saaaan suppeneminen eholla n n <, n+ joten erivointi termeittäin toimii välillä [,. Eellisen kerran emotehtävä antoi välivaiheena sarjan jota käyttämällä saaaan f ln k 2n n k ln 2. Siis, arvoilla [, ] integroimalla saaaan f f f n n, 2 n k n ln 2, joten lopulta saamme funktiolle f yhtälön arvoilla [,]. 5.6 Tehtävä 6 f ln 2. Olkoon λ R ja pitäisi etsiä ifferentiaaliyhtälölle ratkaisu y a k k kaksilla eri alkuehoilla: a y ja y ; b y ja y. y 2y +λy 2 Lasketaan termeittäin erivoimalla sarjoista ifferentiaaliyhtälön 2 mukaisesti y 2y +λy kk a k k 2 2ka k k + λa k k, jota muotoilemalla saaaan k2 k k k +k +2a k+2 k 2ka k k + λa k k 2a 2 +λa + [k +k +2a k+2 +λ 2ka k +λa k ] k k
14 ja eelleen a 2 λ 2 a, joka voiaan sulauttaa toisena saatavan rekursioyhtälön kanssa rekursioyhtälöksi a k+2 2k λ k +2k + a k, kaikilla k. 22 Ottamalla arvot a y ja a y alkuarvoiksi saaaan arvoille k eellisen rekursioyhtälön 22 avulla kertoimille a 2k ja a 2k+ yhtälöt ja a 2k k k i 4i λ a 2 2k! i a 2k+ 4i+2 λ a. 24 2k +! Esitetään seuraavaksi pieni lemma liittyen näihin etukertoimiin. Lemma 5.. Olkoon α N ja λ 2N. Tällöin ifferentiaaliyhtälöllä 2 on olemassa polynomiaalinen ratkaisu, kun y tai y. Toistus. Oletetaan seuraavissa tarkasteluissa luvun α olevan luonnollinen luku. Toettakoon, että eholla λ 4α, jossa siis α N, saaaan eellisistä yhtälöistä 2 ja 24 arvoilla k α yhtälö a 2k+ α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k +! α 2 α α! α i 2i+2k α k α! k α i 2i+ 2k +2k!k α!α! α 2α!2k 2α! 2k +2k!k α!α! a k α ja arvoilla k < α α 2k + a 2k+ 2k a 25 2α k k i 4α 4i 2 2k +! k a a k 2 k α! α k! i 2α i α! 2k +2k! α k! k 2α! 2α 2k! α! 2k +2k! k 2k + 2α 2k α k! a a a α k a. 26 Tapauksessa λ 4α+2 saaaan vastaavasti arvoilla k α yhtälö a 2k α α i 4i+2 k α i 4i+2 2k! α k α 2k a 27 2α 4 a
15 ja arvoilla k < α yhtälö a 2k k k i 4α 2 4i a 2k! 2α k 2k α a. 28 k Eelleen yhtälöistä2 ja 24 saaaanarvoillek α eholla λ 4α yhtälö a 2k k k i 4α 4i 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! a 2k! k 4 k α! α k! 2k! k 4 k α k a a 2k ka. 29 ja aivan vastaavasti eholla λ 4α+2 yhtälö a 2k+ k k i 4α 4i a 2k +2k! k 4 k α k 2k + 2k. ka Arvoilla k > α yhtälöissä 2 ja 24 on tulon tekijänä, joten vastaavat termit häviävät. Koska a y ja a y, saaaan annetuilla alkuehoilla seuraavat oleellisesti erilaiset tilanteet: a y ja y : parittoman ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ mo 4 etukertoimille a 2k kaikilla k > λ 4 ; b y ja y : parillisen ineksin termit häviävät ja lisäeholla λ 2 mo 4 etukertoimille a 2k+ kaikilla k > λ 2 4 ; c y ja y : kaikki termit häviävät. Näissä tapauksissa saaaan siis ratkaisuksi polynomi liittyvät Hermiten polynomeihin. 5
16 Kuva : Funktiot f, g ja h. Eellisesta toistuksesta voiaan myo s kera ta yhta lo ien tieot 25, 26, 27, 28, 29 ja yhteen yhta lo iksi a2k+ ja a2k 5.7 2α k 2k α a. 2k+ k k α α 2k 2k+ a 2α α k 4k k 2k+ 2k a. k kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α; kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α 2α k 2k α a, k α k α 2k a, 2α α k 4k k a, 2k k kun λ 4α + 2 ja k < α; kun λ 4α + 2 ja k α; kun λ 4α ja k < α; kun λ 4α ja k α. Tehta va 7 Tehta va ssa haetaan raja-arvoa e sin 2 2 ka ytta en Taylorin sarjoja. Aiemmin olemme toenneet, etta e X k ja sin X k 2k+ 6 2k +!, 2
17 joten sijoittamalla ja käyttäen osamäärän funktioien jatkuvuutta pisteen ympäristössä saaaan e sin k k 6 + k2 2 + k k k k 4k+2 2k+! 2 k 4k 8 2k+! Kuvassa on esitetty pisteen läheisyyessä funktioien f e sin, e g sin 2 2 ja h e 6 6 sin käyttäytymistä. Kuvasta voiaan helposti havaita, että saatu raja-arvo sopii kuvaajasta funktiolle g saatavaan tietoon. Viitteet [] Jyrki Lahtonen, Analyysi II, luentomoniste 7
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 10
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
Lisätiedotf (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoituksen mallit Kevät 09 Tehtävän ratkaisu a) Analyysin peruslauseen mukaan missä c, c R y () = 3 sin() y () = 3 sin() = 3 cos()
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotMuista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:
Määrittelyjoukot Muista tutkia ihan aluksi määrittelyjoukot, kun törmäät seuraaviin funktioihin:, 0 ; log, > 0 ;, 0 (parilliset juuret) ; tan, π + nπ Potenssisäännöt Ole tarkkana kantaluvun kanssa 3 3
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 Differentiaalikehitelmä Funktion f erivaatta pisteessä x 0 eli f (x 0 ) on erotusosamäärän rajaarvo: f (x) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Tämä voiaan esittää hieman eri muoossa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 26..208 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotLuvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara
Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO
8038A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 016 Sisältö 1 Irrationaaliluvuista Antiikin lukuja 6.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut...................
LisätiedotKompleksiset sarjat ja potenssisarjat
MS-C1300 Kompleksianalyysi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto K Kytölä & A Gutiérrez Syksy 2018 Ratkaisut 3A 3A Kompleksiset sarjat ja potenssisarjat 3A1 Laske seuraavien sarjojen
Lisätiedot2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.
2 Raja-arvo ja erivaatta 2 Raja-arvon määritelmä Funktiolla f() on raja-arvo f 0 pisteessä 0 jos f() lähestyy arvoa f 0 kun lähestyy arvoa 0 Merkitään f() f 0 kun 0 (2) tai Raja-arvo matemaattisemmin:
LisätiedotTaylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...
Lisätiedot802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA III BASICS OF NUMBER THEORY PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 77 Irrationaaliluvuista Määritelmä 1 Luku α C \ Q on
LisätiedotTehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedot1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
Lisätiedot4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7. harjoitus, viikko 17 R1 ma 16 18 D115 (20.4.) R2 ke 12 14 B209 (22.4.) 1. Määritä funktiolle f (x) 1 + 0,1x Taylorin sarja kehityskeskuksena
Lisätiedot1.1. YHDISTETTY FUNKTIO
1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotDiskreetti derivaatta
Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita
Lisätiedot