Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Transkriptio

1 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan suppenemissäe? Ratkaisu. Molemmat perustuvat geometriseen sarjaan Kohta a: Kirjoitetaan z n, kun z <. z z 5 5 z 5 ja tunnistetaan jälkimmäisessä lausekkeessa tekijänä geometrisen sarjan summa muuttujana z. Sarja suppenee kun sen muuttuja on yksikkökiekossa, eli kun z 5 5 <, eli kun z < 5. Siis kaikilla z B0, 5 saaaan z 5 5 z 5 5 z n n z n 5 n z n. Tämä on etsitty potenssisarja. Kohta b: Saaaksemme z 0 -keskisessä kiekossa kehitetyn potenssisarjan, on potenssisarjan muuttujana oltava z z 0. Tähän päästään kirjoittamalla muuttuja z muoossa z z z 0 + z 0. Tehtävässä pyyetty keskipiste on z 0 4, joten kirjoitetaan z z +4 4 ja saaaan z z z z+4 5 z + 4 n n z + 4 n Tämä on etsitty potenssisarja. / 5

2 3B Olkoot a n ja b n kaksi kompleksitermistä sarjaa. Näien sarjojen Cauchytulo määritellään sarjana c n, jonka termit ovat c n : n k0 a kb n k. Oletetaan, että molemmat annetuista sarjoista suppenevat a n α C, b n β C, ja että ensimmäinen näistä sarjoista suppenee itseisesti. Osoita, että silloin myös Cauchytulon sarja suppenee ja Voit seurata esimerkiksi seuraavia välivaiheita: c n αβ. a Tarkastele osasummia A N : N a n, B N : N b n ja C N : N c n. Osoita, että C N N a N nb n. b Näytä osasummille eelleen C N N a N nb n β + βa N ja totea tämän perusteella, että tehtävän väite seuraa, jos osoitetaan N a N nb n β 0 kun N. c Osoita nyt ensin, että millä tahansa ε > 0 voiaan valita M siten, että sarjan loppuosaa saaaan rajoitettua epäyhtälöllä N nm a N n B n β < ε kaikilla N. Sitten näin valitulla ε > 0 ja M osoita, että on olemassa N 0 siten, että sarjan alkuosaa saaaan rajoitettua epäyhtälöllä M a N n B n β < ε kun N N 0. Yhistä aiemmat kohat toistaaksesi tehtävän väitteen. Ratkaisu. Oletus ensimmäisen sarjan itseisestä suppenemisesta tarkoittaa, että osasummilla A N N a n on raja-arvo lim A N α ja että kerrointen itseisarvojen summa on äärellinen a n K <. Oletus toisen sarjan suppenemisesta tarkoittaa, että osasummilla B N raja-arvo N b n on lim B N β. Tehtävässä tavoitteena on toistaa väite c n αβ eli että Cauchy-tulosarjan osasummilla C N N c n on raja-arvo lim C N αβ. / 5

3 Vaihe a: Muistetaan määritelmä c n n k0 a kb n k ja kirjoitetaan Cauchy-tulosarjan osasumma C N c n c 0 + c + c + + c N a 0 b 0 + a0 b + a b 0 + a0 b + a b + a b a0 b N + + a N b 0 a 0 b0 + b + b + + b N + a b0 + b + + b N + + a N b0 + b + a N b0 a 0 B N + a B N + a B N + + a N B + a N B 0. Viimeinen ylläolevista lausekkeista voiaan kirjoittaa muoossa C N a N n B n. Vaihe b: Tarkastellaan erotusta C N βa N ja käytetään vaiheen a tulosta Toisin sanoen saatiin C N βa N C N a N n B n β a N n B n β a N n Bn β. a n a N n B n β + βa N. a N n Oletuksen perusteella A N α kun N, joten jälkimmäiselle termille yhtälön oikealla puolella saaaan βa N αβ. Siispä tehtävän väite C N αβ on yhtäpitävä sen kanssa, että ensimmäinen termi yhtälön oikealla puolella menee nollaan eli N a N nb n β 0. Jäljellä olevissa vaiheissa osoitetaan tämä. Vaihe c: Kolmioepäyhtälöstä saaaan a N n B n β a N n B n β a N n B n β. 3 / 5

4 Olkoon ε > 0. Merkitään K a n <. Oletuksesta lim n B n β seuraa, että on olemassa M siten, että B n β < ε kaikilla n M. Silloin aloittamalla summaus K n M:stä, voimme arvioia Määritellään nyt a N n B n β nm L : ε a N n K nm ε K ε K M a N n nm B n β. a N n ε K K ε. Summan alkuosan arvioimiseksi huomataan, että suppenevan sarjan a n termien on välttämättä mentävä nollaan, lim n a n 0. Siis on olemassa jokin n 0 siten, että kun n n 0, pätee a n < ε. Merkitään N L 0 n 0 + M, jolloin kaikilla N N 0 ja n M pätee N n n 0 ja siksi a N n < ε L, kun N N 0 ja n M. Tätä voiaan käyttää arvioimaan, kun N N 0, M a N n B n β M ε L ε L B n β M B n β ε L L ε. Yhistämällä aiemmat, on saatu kaikilla N N 0 a N n B n β M a N n B n β + } {{ } <ε/ a N n B n β < ε. nm Vaihe : Vaiheen b päättelyn perusteella tehtävän väite lim C N αβ } {{ } <ε/ 4 / 5

5 on yhtäpitävä sen kanssa, että lim N a N n B n β 0. Toistetaan tämä vaiheen c tuloksen avulla. Vaiheesta c saatiin, että kaikilla ε > 0 on olemassa N 0 siten, että N a N n B n β < ε, kun N N 0. Silloin kolmioepäyhtälöstä saaaan, kun N N 0, a N n B n β a N n B n β < ε. N Näinollen määritelmän mukaan on näytetty, että lim a N n B n β ja tehtävän väite seuraa. 0 5 / 5

6 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita Kotitehtävät 3B3 Etsi kaikki yhtälön kompleksiset ratkaisut z C. Ratkaisu. Merkitään aluksi expz 5 expz w expz, jolloin eksponenttifunktion ominaisuuksista saaaan myös Muuttujan w avulla kirjoitettuna yhtälö on toisen asteen yhtälö w expz. expz 5 expz w 5w Tämän toisen asteen yhtälön juuret voi etsiä tavalliseen tapaan tai voi suoraan huomata faktorisaation w 5w + 4 w 4w, josta yhtälön kaheksi ratkaisuiksi nähään w ja w 4. Etsitään ensin ratkaisua w vastaavat muuttujan z arvot, eli sellaiset luvut, joille expz w. Luennoilla esitetyn tuloksen mukaan ratkaisut voiaan esittää luvun w moulin w ja argumentin argw 0 mikä tahansa valinta kelpaa avulla muoossa z log w + i argw + πm, missä m Z. Ratkaisua w vastaavat alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat siis z πim, m Z. Etsitään sitten ratkaisua w 4 vastaavat muuttujan z arvot, eli sellaiset luvut, joille expz w 4. Luennoilla esitetyn tuloksen mukaan ratkaisut voiaan esittää luvun w 4 moulin w 4 ja argumentin argw 0 mikä tahansa valinta kelpaa avulla muoossa z log w + i argw + πm, missä m Z. Ratkaisua w 4 vastaavat alkuperäisen yhtälön ratkaisut ovat siis z log4 + πim, m Z. Alkuperäisen yhtälön kaikki ratkaisut ovat siis { } z πim m Z { log4 + πim } m Z. / 3

7 3B4 Lähtien kompleksisen eksponenttifunktion exp: C C \ {0} ominaisuuksista erityisesti expz + w expz expw ja trigonometristen funktioien eksponenttifunktioon perustuvista määritelmistä expiz + exp iz expiz exp iz cosz :, sinz :, i joha seuraavat trigonometriset kaavat a cos z + sin z b cos z + π sinz c sin z + π cosz sin z cosz e f g cos z + cosz cosz sinz z sinz cosz. z Ratkaisu. Kohta a: e cos z + sin iz + e iz e iz e iz z + i eiz + e iz + eiz e iz i Kohta b: missä käytettiin havaintoja eiz + e iz e iz + e iz 4 eiz + + e iz 4 eiz + e iz 4 cos z + π eiz+π/ + e iz+π/ eiz e iπ/ + e iz e iπ/ e iπ/ cos π +i sin π }{{} }{{} 0 + eiz i + e iz i + eiz e iz e iz + e iz 4 eiz + e iz i i, e iπ/ cos π }{{} 0. sinz, +i sin π i. }{{} / 3

8 Kohta c: sin z + π eiz+π/ e iz+π/ i eiz e iπ/ e iz e iπ/ i eiz i e iz i i eiz + e iz cosz. Kohta : e sin iz e iz e iz e iz z i i eiz e iz e iz + e iz 4 eiz + e iz 4 eiz + e iz 4 Kohta e: Kohtien a ja perusteella cos z a sin z cosz. cosz + cosz. Kohta f: Muistetaan, että z ez e z ja ketjusäännön perusteella z ecz c e cz. Lasketaan: Kohta g: z cosz e iz + e iz z z eiz + z e iz i eiz + i e iz eiz + e iz i sinz. z sinz e iz e iz z i z eiz z e iz i i eiz i e iz i +eiz + e iz cosz. 3 / 3