Jouni Sampo. 4. maaliskuuta 2013
|
|
- Mauno Aro
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 B2 Jouni Sampo 4. maaliskuuta 2013
2 Sisältö 1 Johdanto Matriisin käsite Mihin matriiseja tarvitaan? Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet Matriisien laskutoimitukset Matriisien yhteenlasku ja kertominen skalaarilla Matriisien kertolasku Lineaarimuunnokset ja matriisitulo Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus, vektoriavaruus ja matriisin aste Lineaarinen riippumattomuus Virittäjäjoukko ja kanta Lineaariset yhtälöryhmät: Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia Käänteismatriisi Determinantit Determinantin määritelmä Determinanttien perusominaisuuksia Cramerin sääntö Ominaisarvot ja ominaisvektorit Määritelmä ja laskenta Matriisien ja ominaisvektorien ominaisuuksia Diagonalisointi ja neliömuodot
3 1 Johdanto 1.1 Matriisin käsite Matriisilla tarkoitetaan luku tai funktiojoukkoa, joka on järjestetty hakasulkujen (tai kaarisulkujen) ympäröimäksi suorakulmaiseksi taulukoksi. Näitä lukuja tai funktioita kutsutaan matriisin alkioiksi tai elementeiksi. Esimerkkejä matriiseista: [ ], [ 4 7 ], [ a1 a 2 a 3 ], [ e x sin x e 2x x 2 ] (1) 1.2 Mihin matriiseja tarvitaan? Tiedon kompaktiin ja tehokkaaseen esittämiseen, analysointiin ja muokkaukseen. Erityisesti lineaariset yhtälöryhmät, esim. { 5x 2y + z = 0 3x + 4z = 0 (2) on kätevää esittää kerroinmatriisin avulla. Sovelluksia esimerkiksi: A = [ 5 2 ] (3) sähkö, tie ym. verkostojen mallintaminen säätötekniikka kemialliset reaktiot tilastollisen tiedon analysointi mekaniikka tietokonegrafiikka lukuisia sovelluksia eri fysiikan aloilla 1.3 Matriiseihin liittyvät peruskäsitteet Termillä rivi viitataan lyhyesti matriisin vaakariviin ja termillä sarake matriisin pystyriviin. Yleensä matriisia merkitään isolla kirjaimella (A, B, C jne. tai kirjoittamalla yleinen matriisielementti haka- tai kaarisulkuihin: A = [a jk ]. Ensimmäinen indeksi ilmoittaa rivin ja toinen sarakkeen, josta kyseinen elementti löytyy. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = [a jk ] = (4)... a m1 a m2 a mn Matriisi, jossa on m riviä ja n saraketta on m n matriisi. Mikäli matriiisin A elementit ovat reaalilukuja niin voidaan merkitä A R m n. Tärkeitä erikoistapauksia: 2
4 Jos m = n, on kyseessä n n neliömatriisi. Neliömatriisin diagonaali, jolla ovat alkiot a 11, a 22,..., a nn on matriisin päälävistäjä. Jos m = 1 ja n > 1 kutsutaan matriisia yleensä rivivektoriksi tai vaakavektoriksi ja merkintänä käytetään ison kirjaimen sijasta pientä kirjainta, esim. v = [2 4 1]. Jos n = 1 ja m > 1 kutsutaan matriisia yleensä sarakevektoriksi tai [ pystyvektoriksi ] ja b1 merkintänä käytetään ison kirjaimen sijasta pientä kirjainta, esim b = Matriisin A R m n alimatriisi (tai osamatriisi, engl. submatrix) saadaan jättämällä A:sta rivejä ja/tai sarakkeita pois. Esim. 2 3 matriisin [ ] a11 a A = 12 a 13 (5) a 21 a 22 a alimatriisit ovat [ ] a11 a 12, a 21 a 22 [ ] a11 a 13 a 21 a 23 ja [ ] a12 a 13 a 22 a 23 Yo. matriisilla A on myös kaksi 1 3, kolme 2 1, kuusi 1 2 ja kuusi 1 1 alimatriisia. Pienemmistä matriiseja (erityisesti vektoreita) yhdistetään usein myös suuremmiksi matriiseiksi esim. vaakavektoreista a i = [ a i1 a i2 a in ], i = 1,..., m (7) voidaan koota m n matriisi Samoin esim. pystyvektoreista voidaan koota n x matriisi a 1 a 2 a m A =. b i = [ b 1i b 2i b ni ] T, i = 1,..., m (9) B = [ b 1, b 2,..., b m ] Esitysmuodossa (10) jätetään pilkut usein myös merkitsemättä tai sitten vektorit b i erotellaan väli- tai katkoviivalla. Vektorin a transpoosi a T saadaan vaihtamalla pystyvektori vaakavektoriksi tai päinvastoin. Vastaavasti matriisin A transpoosi A T saadaan vaihtamalla matriisin rivit ja sarakkeet keskenään: a 11 a 21 a m1 A T a 12 a 22 a m2 = [a kj ] = (11)... a 1n a 2n a mn Jos A T = A, matriisi A on symmetrinen. Symmetriset matriisit ovat varsin yleisiä sovelluksissa. Jos A T = A, matriisi A on vinosymmetrinen (skew symmetric). b 2 (6) (8) (10) 3
5 Neliömatriisi, jonka päälävistäjän yläpuolella olevat alkiot ovat nollia, on alakolmiomatriisi. Esim (12) Neliömatriisi, jonka päälävistäjän alapuolella olevat alkiot ovat nollia, on yläkolmiomatriisi (13) Molemmissa tapauksessa päälävistäjän alkiot voivat olla tai olla olematta nollia. Neliömatriisi A = [a jk ], jonka päälävistäjän ylä ja alapuoliset alkiot ovat nollia, ts. a jk = 0, kun j k, on diagonaalimatriisi. Diagonaalimatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat kaikki ykkösiä, on identtinen matriisi eli yksikkömatriisi, merkitään I n tai I. Esim. 3 3 yksikkömatriisi: I = (14) Matriisien yhtäsuuruus: Matriisit A ja B ovat yhtäsuuria, ts. A = B, jos niiden kaikki alkiot ovat yhtäsuuria, eli a jk = b jk kaikilla j:n ja k:n arvoilla. 2 Matriisien laskutoimitukset 2.1 Matriisien yhteenlasku ja kertominen skalaarilla Yhteenlasku: Jos A = [a jk ] ja B = [b jk ], niin A + B = [a jk + b jk ] (15) Skalaarilla kertominen: Olkoon A = [a jk ] m n matriisi ja c skalaari (yleensä reaali- tai kompleksiluku). Tällöin ca = [ca jk ] (16) Kuten yleensäkin, luvulla 1 kertominen voidaan esittää lyhyesti: ( 1)A = A ja yleisemmin ( k)a = ka. Negatiivisten skalaarien avulla matriisien vähennyslasku tulee määriteltyä myös luonnollisella tavalla: A + ( B) = A B. erotus). Nollamatriisi: m n matriisi on m n nollamatriisi, jos kaikki sen elementit ovat nollia, merkitään 0 (tai 0, jos ei ole vaaraa sekoittaa nollamatriisia reaalilukuun). Toisinsanoen A = B jos ja vain jos A B on nollamatriisi. Edellisistä määritelmistä seuraa selvästi mm. seuraavat tutut ominaisuudet: A + B = B + A (17) (U + V) + W = U + (V + W) (18) 4
6 A + 0 = A (19) A + ( A) = 0 (20) c(a + B) = ca + cb (21) (c + k)a = ca + ka (22) c(ka) = (ck)a (23) 1A = A (24) Huom. Matriisien on oltava samankokoisia, jotta yhteenlasku olisi määritelty. Selvästi pätee myös että Esimerkki 2.1. Olkoon A = (A + B) T = A T + B T (25) (ca) T = ca T (26) [ ] 1 3 2, B = [ ] (27) Laske 4A, A + B, 2B 2A, A T +BT, A B T, tai perustele miksi lasku ei ole määritelty. Määritä a siten että a 2 A + 2aA + A = Matriisien kertolasku Tähän loppuikin sitten samankaltaisuus matriisien ja reaalinumeroiden välisten operaatioiden välillä, matriisin kertolasku määritellään seuraavasti: m n matriisin A = [a jk ] ja r p matriisin B = [b jk ] tulo C = AB on määritelty jos ja vain jos r = n (B:n rivien määrä = A:n sarakkeiden määrä) ja määritellään m p matriisina C = [c jk ], jonka elementit ovat c jk = n a jl b lk = a j1 b 1k + a j2 b 2k + + a jn b nk (28) l=1 Huom. Vaikka olisi AB = 0, niin välttämättä ei ole A = 0, B = 0 tai BA = 0. Esim. [ ] [ ] [ ] [ ] vs (29) Yleisessä tapauksessa siis AB BA, esim. [ ] [ ] vs [ ] [ ] (30) Intuitiivisesti selvempiä matriisitulon ominaisuuksia ovat: (ka)b = (kab) = A(kB) (31) A(BC) = (AB)C (32) (A + B)C = AC + BC (33) C(A + B) = CA + CB (34) Vähemmän intuitiivinen taasen on ominaisuus (AB) T = B T A T (35) 5
7 Esimerkki 2.2. A = [ ] 1 3 2, B = [ ] (36) Laske AB, BA, A T B, AB T, A T B T ja B T A T tai perustele miksi kertolasku ei ole määritelty. Esimerkki 2.3. Jos A on 4 5 matriisi ja B on 3 4 matriisi niin minkä kokoisia täytyy matriisien C ja D olla jotta lauseke AC + DB olisi määritelty? Matriisien tulon määritelmästä seuraa: Jos a ja b ovat n:n alkion pystyvektoreita, a T on vaakavektori ja vektorien kertolaskun tulos on 1 1 matriisi, ts. reaaliluku. Tätä lukua kutsutaan vektorien a ja b sisätuloksi tai pistetuloksi, merkitään a b: b 1 a b = a T b = [a 1 a n ]. = Lineaarimuunnokset ja matriisitulo b n n a l b l = a 1 b a n b n. (37) Vektoreita x = [x 1,..., x n ] on tavallista ajatella avaruuden R n pisteenä (mikäli tietysti luvut x i ovat reaalilukuja). Eräs tärkeä matriisien sovellus on pisteen x R n kuvaaminen pisteeksi y R m lineaarisella muunnoksella. Esimerkiksi tapauksessa jossa m = n = 2 tämä tarkoittaa että kuvaus { y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 (38) voidaan kirjoittaa matriisimerkinnöin y = Ax. Matriisiesityksen mahdollistanut oleellinen ominaisuus yhtäläryhmässä (38) on se että yhtälöt ovat lineaarisia. Tälläisten yhtälöryhmien käsittely ja analysointi on yleensä oleellisesti helpompaa matriisimuoto käyttämällä. Otetaan yksinkertainen esimerkki: Jos pisteet (y 1, y 2 ) ja (x 1, x 2 ) on sidottu toisiinsa yhtälöryhmän (38) mukaisesti ja toisaalta (x 1, x 2 ) ja (w 1, w 2 ) on sidottu toisiinsa yhtälöiden { x 1 = b 11 w 1 + b 12 w 2 x 2 = b 21 w 1 + b 22 w 2 (39) avulla niin tällöin (y 1, y 2 ) saadaan suoraan pisteen (w 1, w 2 ) avulla sijoittamalla (39) (38):een: { y 1 = a 11 (b 11 w 1 + b 12 w 2 ) + a 12 (b 21 w 1 + b 22 w 2 ) (40) y 2 = a 21 (b 11 w 1 + b 12 w 2 ) + a 22 (b 21 w 1 + b 22 w 2 ) Toisaalta tämä voitaisiin esittää kompaktisti matriisien avulla: l=1 y = Ax = ABw. (41) Esimerkki 2.4. Matriisi A (jonka koko on 2 2) kuvaan pisteen x R 2 pisteeksi y = Ax. Määritä matrsiisin A alkiot kun tiedetään että [ ] [ ] [ ] [ ] 0 1/ 2 = A 1 1/ 1 1/ 2, = A 2 0 1/. (42) 2 Jos nyt w = x 2y ja tiedetään että Ax = [1, 2] T = y niin mitä on Aw? 6
8 3 Lineaariset yhtälöryhmät Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 (43) a m1 x a mn x n = b m Esim. kahden yhtälön ja kolmen tuntemattoman yhtälöryhmä: { 5x 1 + 2x 2 x 3 = 4 Lukuja a jk kutsutaan ryhmän kertoimiksi. x 1 4x 2 + 3x 3 = 6 Jos kaikki luvut b i ovat nollia, kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä. Jos ainakin yksi b i on nollasta poikkeava, on kyseessä epähomogeeninen ryhmä. Yhtälöryhmän ratkaisu on lukujoukko x 1,, x n, joka toteuttaa kaikki m yhtälöä. Yhtälöryhmän ratkaisuvektori on vektori x, jonka komponentit muodostavat ryhmän ratkaisun. Jos yhtälöryhmä on homogeeninen, on olemassa ainakin triviaaliratkaisu x 1 = 0,, x n = 0. Erityisen kiinnostavia kysymyksiä Kuinka yhtälöryhmä ratkaistaan algoritmillisesti? (Muutama tapa esitetään tällä kurssilla) Ratkaisujen määrä: Onko ratkaisua? Jos on, niin millaisia erilaista ratkaisua löytyy? (tämän kurssin ydinainesta) Kuinka herkkä ratkaisu on matriisin lukujen a ij tai b i muutoksille, eli tilanteelle jossa joko systeemi muuttuu tai häiriöitä esiintyy? (käsitellään hieman myös tällä kurssilla) Kuten edellisessä kappaleessa lineaarinen muunnos, yhtälöryhmä (43) voidaan kirjoittaa matriisien avulla: Ax = b, (45) missä kerroinmatriisi A = [a jk ] on m n matriisi a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... a m1 a m2 a mn (44) (46) ja pystyvektorit x 1 x =. x n b = b 1. b m (47) 7
9 Matriisi a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 à =.... a m1 a m2 a mn b m (48) on yhtälöryhmän lisätty matriisi (augmented matrix). Matriisi à sisältää yhtälöryhmän kaikki annetut luvut ja määrittää siten yhtälöryhmän täydellisesti. Yhtälöryhmän ratkaisemiseksi tarvitsee näin ollen tarkastella ainoastaan lisättyä matriisia. Käytännön resepti: Gaussin eliminointi. Esimerkki 3.1. Kirjoita yhtälöryhmä { 5x 1 + 2x 2 x 3 = 4 x 1 4x 2 + 3x 3 = 6 (49) matriisimuodossa ja esitä myös yhtälöryhmää kuvaava lisätty matriisi. 3.1 Gaussin eliminointi Tässä kappaleessa esitetään eräs yksinkertainen algoritmi, Gaussin eliminaatio, lineaarisin yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Tämä algoritmi ei ole erityisen tehokas (vaatii paljon laskutoimituksia) mutta antaa tarkan ratkaisun ja on käyttökelpoinen pieniä yhtälöryhmiä käsin ratkaistaessa. Yleisesti: yhtälöryhmän ratkaisut pysyvät samoina, jos tehdään perusoperaatiot yhtälöille: Yhtälöiden järjestys vaihdetaan (ei vaikuta ratkaisuihin) Yksi tai useampi yhtälö kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Yhtälö lisätään (puolittin) toiseen yhtälöön. Gaussin eliminointi käyttää näitä operaatioita lineaariseen yhtälöryhmään. Jos yhtälöryhmä kuvataan lisätyn matriisin avulla niin operaatiot on nopeampi suorittaa koska x i symboleja ja ylimääräisiä "+"symboleja ei tarvitse kirjoittaa näkyviin. Vastaavat lineaarisenvyhtälöryhmän käsittelyn perusoperaatiot lisätylle matriisille: Vaihdetaan kaksi riviä keskenään Yksi tai useampi rivi kerrotaan nollasta poikkeavalla vakiolla Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin Gaussin eliminaation tarkoituksena on muokata yhtälöryhmän lisättymatriisi niinkutsuttuun porrasmuotoon. 1. Vähennetään ylin rivi sopivalla kertoimella kerrottuna kaikista muista riveistä. Kerroin valitaan aina siten että ensimmäisen sarakkeeseen tulee nolla. Tämän toimenpiteen jälkeen ensimmäisessä sarakkeessa on ainoastaan ylimmällä rivillä nollasta poikkeava alkio. 2. Vähennetään toinen rivii sopivalla kertoimella kerrottuna kaikista alapuoleisista riveistä. Kerroin valitaan aina siten että kullakin rivillä toiseen sarakkeeseen (lävistäjän alapuolella) tulee nollia. 3. Jatketaan vastaavasti kunnes lävistäjän alapuolella on pelkkiä nollia. 8
10 4. Ratkaistaan alimmalta riviltä viimeisen muuttujan arvo ja sijoitetaan se toiseksi alimpaan yhtälöön (riviin). 5. Ratkaistaan toiseksi alimmalta riviltä (yhtälöstä) toiseksi viimeisen muuttujan arvo ja sijoitetaan se kolmanneksi alimpaan yhtälöön (riviin). Jatketaan muuttujen ratkaisua tällä tavalla kunnes kaikki muuttujat on ratkaistu. HUOM! Edellisessä algoritmissa voi tulla välillä vastaan tilanne jossa ei voida edetä koska lävistäjällä on jossain vaiheessa lukuarvo 0. Tällöin voidaan toimia seuraavasti: a) Jos kyseisessä sarakkeessa on lävistäjän alapuolella vielä nollasta poikkeavia arvoja, vaihdetaan rivejä keskenään. b) Jos lävistäjäalkio ja kaikki sen alapuolella ovat nollia niin siirrytään seuraavaan sarakkeeseen. Jotta tällöin algoritmissa voitaisiin puhua vielä lävistäjäalkioista, pitää "unohtaa"matriisin ensimmäinen saraka (jota ei muutenkaan enää tarvita mihinkään) ennen vaiheita 4 ja 5. Tätä "lävistäjäalkiota"kutsutaankin yleensä tukialkioksi". Huomionarvoista on myös että mikä tahansa rivi voidaan missä tahansa vaiheessa kertoa millä tahasa nollasta poikkeavalla luvulla: näin kannattaa tehdä joskus esim. murtolukujen välttämiseksi tai algoritmin numeerisen stabiilisuuden parantamiseksi (ei käsitellä tällä kurssilla). Esimerkki 3.2. Olkoon x R 3 ja A = (50) a) Ratkaise Gaussin eliminoinnilla yhtälöryhmä Ax = 0. b) Etsi ne vektorit x R 3 joille Ax = x. Edellistä algoritmia voidaan käyttää myös tapauksissa joissa muuttujia on enemmän kuin yhtälöitä. Tässä tapauksessa (mikäli ratkaisua on ylipäätään olemassa) jotkut luvuista x j jäävät varmasti vapaasti valittaviksi. Ratkaisuja voi siis olla äärettömän monta. Esimerkiksi kolmen muuttujan (x 1, x 2 ja x 3 ) tapauksessa voidaan sanoa että yhtälörymän ratkaisuiksi kelpaavat (x 1, x 2, x 3 ) pisteet muodostavat jonkin seuraavista a) tyhjän joukon (eli ei ole olemassa ratkaisua) b) yksittäisen pisteen avaruudessa R 3 c) suoran avaruudessa R 3 d) tason avaruudessa R 3 (melko harvinainen tapaus) Esimerkki 3.3. Yhtälö x = 1 (51) a kuvaa erästä prosessia jossa x on alkutuotteiden määrä ja oikean puolen vektori ilmaiseen haluttujen lopputuotteiden määrään. Millä parametrin a arvoilla yhtälöllä a) on yksi ratkaisu? 9
11 a) ei ole yhtään ratkaisua? c) on ääretön määrä ratkaisuja? Esimerkki 3.4. Tutkitaan yhtälöryhmää Ax = b. Yhtälöryhmää kuvaava lisätty matriisi à = [A b] voidaan Gaussin reduktiolla muokata porrasmatriisimuotoon (katso edelliset harjoitukset). Merkitään näin saatua porrasmatriisia symbolilla B. Tutkitaan viittä erilaista yhtälöryhmää : (i) B = [ ], (ii) B = [ ] (iii) B = B = Kussakin tapauksessa vastaa seuraaviin kysymyksiin: , (iv) B = , (v) a) Onko yksikään edellisessä kohdassa tutkituista yhtälörymistä homogeeninen? Jollei, niin kuinka matriisi B muuttuisi jos alkup yhtälöryhmä olisi homogeeninen (mutta A ei muuttuisi)? b) Ratkaise matriisin B kuvaama htälöryhmä. Mikäli mahdollista, anna ratkaisu muodossa x = b + c 1 v c k v k, missä c i R (eli etsi vektorit b ja v i ). c) Tulkitse geometrisesti edelliset ratkaisut kohtien (i)-(iii) matriiseille. d) Ratkaise vastaavat homogeeniset yhtälöryhmät. Tulkitse ratkaisut geometrisesti kohdissa (i)-(iii). Kappaleen lopuksi esittelemme vielä hieman kehittyneen version edellä esitetystä algoritmista: Gaussin-Jordan eliminaation. Tässä algoritmissa suoritetaan edellisen algoritmin vaiheen 3 jälkeen seuraavat askeleet 1. "nollataan"viimeisen "ei nolla"rivin ensimmäisen nollasta poikkeavan alkion (n.k. tukialkion) yläpuolelta kaikki luvut lisäämällä kyseistä riviä yläpuoleisiin riveihin sopivilla kertoimilla kerrottuna. 2. Siirrytään seuraavaksi ylimpään "ei nolla"riviin ja toistetaan edellinen. Jatketaan niin kauan että kaikki rivit on käyty läpi. Tällöion saatavassa porrasmatriisissa on yleensä huomattavasti enemmän nollia ja alkuperäisen algoritmin vaiheet 4 ja 5 on nopeampi suorittaa. Lisäksi usein Gaussin tai Gauss-Jordanin eliminaatiossa muutetaan ensin arvoon 1 tukialkio, eli se lisättävän rivin alkio jonka alapuoleisia alkioita viedään nollaksi. Tämä tapahtuu yksinkertaisesti kertomalla koko kyseinen rivi sopivalla luvulla. Esimerkki 3.5. Ratkaise Gauss-Jordan eliminaatiolla seuraavat yhtälöryhmät 3x + 2y 6z = 6 2x 1 x 2 + 1x 3 = 1 (a) 5x + 7y 5z = 6 (b) 3x 1 + 2x 2 4x 3 = 4 x + 4y 2z = 8 6x 1 + 3x 2 3x 3 = 2 10
12 3.2 Lineaarinen riippumattomuus, vektoriavaruus ja matriisin aste Kappaleen otsikon käsitteet ovat yleisiä eikä niiden käyttö rajoitu vain yhtälöryhmien yhteyteen. Tämän kurssin aihepiirissä nämä ovat erityisesti hyödyllisiä yhtälöryhmien ja niiden ratkaisujen ominaisuuksien kuvaamisessa Lineaarinen riippumattomuus Vektorien a 1,, a m lineaarikombinaatio on muotoa missä c 1,, c m ovat skalaareja (tässä tapauksessa reaalilukuja). c 1 a c m a m, (52) Vektorit a 1,, a m ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos c 1 a 1 + c 2 a c m a m = 0 c 1 = c 2 = = c m = 0 (53) Jos lineaarikombinaatio on nolla siten, että jokin kertoimista on nollasta poikkeava, vektorit ovat lineaarisesti riippuvia. Tällöin ainakin jokin niistä voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa. Matriisin A = [a jk ] lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärä on matriisin A aste (rank), merkitään ranka. Edellä esitetyssä matriisin asteen määritelmä pitää sisällään seuraavan tuloksen: matriisin A ja sen transpoosin A T aste on sama. Tämä tulos ei ole millään muotoa triviaali ja useissa lähteissä matriisin asteen määritelmä pitääkin sisällään vain maininnan joko sarakkeesta tai rivistä, ei molemmista. On täysin sovelluskohtaista kiinnostaako matriisin lineaarisesti riippumattomien rivi- vai sarakevektorien määrä. Gaussin eliminaation yhteydessä esitetyt perusoperaatiot (rivien vaihto etc) eivät muuta matriisin astetta. Matriisin aste saadaankin siis eliminaation lopputuloksena saatavan porrasmatriisin ei nollarivien lukumääränä (osaatko perustella miksi?). Edellisistä määritelmisät ja ominaisuuksista seuraa: p rivivektoria(sarakevektoria) a 1,, a p ovat lineaarisesti riippumattomia, jos matriisin, jonka rivit(sarakkeet) ovat a 1,, a p aste on p; jos aste on pienempi kuin p, ne ovat vektorit lineaarisesti riippuvia. Esimerkki 3.6. a) Tutki ovatko vektorit [ ], [ ] ja [ ] lineaarisesti riiippumattomia. b) Olkoon v 1 R 3 ja v 2 R 3 lineaarisesti riippumattomia vektoreita. Mikä ehto vektorin v 3 R 3 täytyy toteuttaa jotta se olisi lineaarisesti riippuva vektoreista v 1 ja v 2? Virittäjäjoukko ja kanta Oletetaan että a 1,, a m R n. Näiden vektorien virittämä vektoriavaruus on kaikkien mahdollisten lineaarikombinaatioiden joukko: m V = span{a 1,, a m } = {v R n v = c i a i, c i R} (54) 11 i=1
13 Yleisesti ei tarvitse rajoittua tapaukseen a i R n ja c i R vaan esimerkiksi laajennus kompleksilukuihin on usein tarpeellinen. Avaruuden V lineaarisesti riippumattomien vektorien maksimimäärä on V :n dimensio, merkitään dim(v ) Olkoon joukko S = {v 1, v 2,..., v n } avaruuden V vektoreita. Tällöin: Jos joukosta S löytyy m n lineaarisesti riippumatonta vektoria ja avaruuden V dimensio on m niin joukko S virittää avaruuden V. Jos joukon S vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ja avaruuden V dimension on n niin joukkoa S kutsutaan V :n kannaksi. Käytännössä edelliset tarkoittavat etät jos S virittää V :n niin mikä tahansa vektori v V voidaan esittää muodossa v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n, (55) missä kertoimet c i ovat vektorista v riippuvia vakioita. Mikäli S on V :n kanta niin e.m. kertoimet ovat yksikäsitteisiä, eli v vaihtuu varmasti jos yksikin kertoimista c i vaihtuu. Mikäli joukko S ei viritä avaruutta V niin (vektorista v riippuen) voi olla ettei sellaisia kertoimia c i löydy joilla yhtälö (??) olisi tosi. Esimerkki 3.7. Olkoon V = R n. Anna tapauksissa n = 2, n = 3 ja n = 4 esimerkki joukosta sarakevektoreista joka a) on avaruuden V kanta, b) virittää avaruuden V mutta ei ole sen kanta. Esimerkki 3.8. Millä vakion a arvoilla vektori [ a 2 4 ] kuuluu vektoreiden [ ] ja [ ] virittämään avaruuteen V? Lopuksi luettelemme vektoriavaruuden yleisiä ominaisuuksia (oletetaan, että a, b ja c kuuluvat V :hen ja k ja l ovat reaalilukuja): a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + ( a) = 0, k(la) = (kl)a 1a = a k(a + b) = ka + kb Vaikka tällä kurssilla käsitellään vain matriiseja joiden alkiot ovat kompleksi tai reaalilukuja, voisivat vektoriavaruuden alkiot ja/tai komponentit olla yleisesti myös muunlaisia otuksia, esim. funktioita. (56) 3.3 Lineaariset yhtälöryhmät: Ratkaisujen yleisiä ominaisuuksia Lineaarisella yhtälöryhmällä a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (57) eli Ax = b 12
14 1. on ratkaisuja jos ja vain jos r = rank(a) = rank(ã) 2. on täsmälleen yksi ratkaisu, jos r = n 3. on ääretön määrä ratkaisuja, jos r < n Homogeeninen lineaarinen yhtälöryhmä: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (58) Triviaaliratkaisu x = 0 aina olemassa Ei triviaaliratkaisuja olemassa jos ja vain jos r = rank(a) < n Jos r < n, triviaali ja ei triviaaliratkaisut yhdessä muodostavat ratkaisuavaruuden, jonka dimensio on n r (ei päde epähomogeenisille yhtälöryhmille, osaatko sanoa miksi?) Ratkaisuavaruuden dimensio = A:n nulliteetti, merk. null(a). Pätee siis rank(a) + null(a) = n (59) Käytännössä null(a) on yhtälöryhmän ratkaisussa vapaiksi jäävien muuttujien lukumäärä (epähomogeenisen yhtälöryhmän tapauksessa sillä oletuksella että ratkaisua on ylipäätään olemassa). Esimerkki 3.9. Olkoon B matriisi joka saadaan kun matriisi A muokataan Gaussin eliminaatiolla porrasmatriisimuotoon. Määritä rank(a), null(a) sekä yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio (eli ratkaisussa vapaaksi jäävien muuttujien lukumäärä) kun a) B = , b) B = , c) B = 0 0, d) B = Esimerkki Olkoon B matriisi joka saadaan kun yhtälöryhmään Ax = b liittyvä lisätty matriisi à = [A b] muokataan Gaussin eliminaatiolla porrasmatriisimuotoon. Määritä rank(a), null(a) sekä yhtälöryhmän Ax = b ratkaisussa vapaaksi jäävien muuttujien lukumäärä kun a) B = , b) B = , c) B = 0 0 1, d) B = Käänteismatriisi Tarkastellaan neliömatriiseja n n matriisin A = [a jk ] käänteismatriisi A 1 on matriisi, jolle pätee AA 1 = A 1 A = I (60) [ ] 3 1 Esimerkki Olkoon A =. Muotoile lineaarinen yhtälöryhmä joka ratkaisemalla 2 4 saataisiin käänteismatriisi A 1. 13
15 Käänteismatriisi voidaan määrittää esim. Gauss Jordan eliminoinnilla. Idea: muodostetaan lisätty matriisi à = [A I] ja saatetaan se Gauss-Jordan eliminoinnilla muotoon [I K], jossa tällöin K = A 1. Myöhemmin esitetään menetelmä, jolla käänteismatriisin voi määrittää determinanttien avulla Esimerkki Määritä matriisille A = käänteismatriisi Epähomogeenisella yhtälöryhmällä ei välttämättä ole ratkaisua. Niinpä käänteismatriisiakaan ei kaikille matriiseille voida määrittää. Jos A:lla on käänteismatriisi, kutsutaan matriisia ei singulaariseksi, muussa tapauksessa se on singulaarinen. Mihinkä käänteismatriisia sitten käytetään? Käänteismatriisin määritelmästä seuraa että jos käänteismatriisi A 1 on olemassa niin yhtälöryhmä Ax = b voidaan ratkaista kun yhtälö kerrotaa puolittain käänteismatriisilla: A 1 Ax = Ix = x, eli x = A 1 b. Siis jos kerroinmatriisin käänteismatriisi on valmiina, voidaan yhtälöryhmä ratkaista suoraan matriisin ja vektorin kertolaskuna. Jokainen vektorin x arvo voidaan lisäksi laskea toisistaan riippumatta, jolloin laskenta on mahdollista toteuttaa tehokkaasti esim. rinnakkaislaskentaa hyväksi käyttäen. Esimerkki Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b käänteismatriisin avulla kun A = ja b = Muutamia käänteismatriisiin liittyviä ominaisuuksia: Käänteismatriisi on yksikäsitteinen. n n matriisilla A on käänteismatriisi jos ja vain jos rank A = n Käänteismatriisin käänteismatriisi: (A 1 ) 1 = A Tulon käänteismatriisi: (AC 1 ) = C 1 A 1 Edellisistä ominaisuuksista seuraa että A,B ja C ovat n n matriiseja, niin Jos rank A = n ja AB = AC, niin B = C Jos rank A = n, niin AB = 0 B = 0 Jos A on singulaarinen, niin ovat myös AB ja BA Esimerkki Oletetaan että A ja B ovat ei-singulaarisia 3 3 matriiseja ja x, y ja b ovat 3 1 matriiseja (sarakevektoreita). a) Ratkaise x kun tiedetään että Ab + B(x y) = b. b) Millä ehdolla yhtälöllä Ab + B(x y) = x on i) yksikäsitteinen ratkaisu ii) ääretön määrä ratkaisuja? Esimerkki Eräs tyypillinen sovellus käänteismatriisille on pienimmän neliösumman menetelmä jossa data-pisteisiin (x i, y i ), i = 1,..., n yritetään sovittaa mallia y = a 1 f 1 (x) + a 2 f 2 (x) + + a m f m (x) missä m n. Mikäli tällä ongelmalla on yksikäsitteinen ratkaisu niin se voidaan muotoilla yhtälöryhmän A T Aa = A T b ratkaisuna, missä matriisi A riippuu pisteistä x i ja funktioista f j ja vektori b riippuu y i pisteistä. Mitä tässä tapauksessa voidaan sanoa matriisin A T A asteesta? Muodosta matriisi A ja vektori b kun sovitettavana on lineaarinen malli y = a 1 x + a 2. 14
16 4 Determinantit Determinantti on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Determinanttia voidaan käyttää mm. kun ratkaistaan yhtälöryhmiä, luokitella kriittisiä pisteitä, tutkitaan lineaarista riippuvuutta, määritetään käänteismatriisia, tehdään muuttujanvaihtoja, määritetään ristituloa jne. Determinantin sovelluskohteet ovat siis moninaiset, joskin ilman determinanttejakin voitaisiin pärjätä: determinantti on pohjimmiltaan laskusääntö jolla suhteellisen monimutkainen asia voidaan joskus esittää melko helposti muistettavasa ja toteutettavassa muodossa. 4.1 Determinantin määritelmä Käsitellään siis n n matriiseja, merkitään a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =.... (61) a n1 a n2 a nn Tapauksessa n = 2 determinantti määritellään kaavalla deta = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (62) Tämä 2 2 matriisin determinantin laskukaava on peruskaava joka löytyy useimmista kaavastoista. Myös 3 3 matriisin determinantin laskukaava löytyy usein jossain muodossa kaavastoista, esim. seuraava muoto on hyvin yleisesti käytetty: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 (63) Huom. merkit: Yhtälön oikealla puolella olevat alideterminantit saadaan poistamalla D:stä ko. determinantin kerrointa vastaava rivi ja sarake, esim. a 11 :n tapauksessa ensimmäinen rivi ja sarake jne. Tämä on itseasiassa erikoistapaus rekursiokaavasta jolla suurempien matriisien determinantti on kätevää määritellä: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n n = ( 1) j+k a jk M jk. k=1 a 31 a 32 a 33 a nn missä alideterminantti M jk on n 1:en kertaluvun determinantti, joka saadaan poistamalla matriisista j:s rivi ja k:s sarake. Indeksi j voi siis viitata mihin tahansa riviin. Tällä tavalla laskettua determinanttia kutsutaan rivin suhteen auki kehitetyksi. Determinantti voidaan myös kehittää auki sarakkeen suhteen: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n n = ( 1) j+k a jk M jk,. k=1 a 31 a 32 a 33 a nn lopputulos on sama. 15
17 Esimerkki 4.1. Määritä det(a) käyttämällä rekursiokaavaa kun A = Usein käytetään käsitettä liittotekijä (cofactor): a jk :n liittotekijä on C jk = ( 1) j+k M jk ja determinantti liittotekijöiden avulla: det(a) = a j1 C j1 + a j2 C j2 + + a jn C jn = a 1k C 1k + a 2k C 2k + + a nk C nk (64) 4.2 Determinanttien perusominaisuuksia Determinantilla on useita ominaisuuksia joista kaikki eivät ensisilmäyksellä ole välttämättä aivan itsestäänselviä listaamme näistä joitakin: Jos determinantin rivit ja sarakkeet vaihdetaan keskenään, determinantin arvo ei muutu. Jos determinantin jokin rivi tai sarake kerrotaan vakiolla k, determinantin arvo muuttuu k kertaiseksi. Jos jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, on determinantin arvo = 0. Jos determinantin kaksi riviä tai saraketta vaihdetaan keskenään, vaihtuu determinantin merkki. Jos jokin rivi tai sarake saadaan toisesta vakiolla kertomalla, on determinantin arvo = 0. Jos jokin rivi tai sarake lisätään toiseen vakiolla kerrottuna, determinantin arvo ei muutu. n n matriiseille A ja B, det(ab) = det(ba) = det(a)det(b) (65) Jos determinantin alkiot ovat funktioita, determinantin D derivaatta D on missä D (j) saadaan derivoimalla j:nnen rivin alkiot. D = D (1) + D (2) + D (n), (66) Transpoosin determinantti: deta T = deta (67) Käänteismatriisin determinantti: deta 1 = 1 deta Neliömatriisin rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos matriisin determinantti ei ole nolla. Homogeenisen yhtälöryhmälle (jonka kerroinmatriisi on neliömatriisi) triviaaliratkaisu on ainut ratkaisu jos ja vain jos kerroinmatriisin determinantti ei ole nolla. Edellisiä ominaisuuksia käyttäen voidaan osoittaa että determinantin arvo voidaan laskea viemällä matriisi porrasmuotoon Gaussin eliminaatiota käyttämällä ja sen jälkeen kertomalla diagonaalialkiot keskenään Esimerkki 4.2. Määritä det(a) käyttämällä Gaussin eliminaatiota kun (68) 16
18 4.3 Cramerin sääntö Cramerin säääntöä voidaan käyttää tietyissä tilanteissa raktaisemaan lineaarinen yhtälöryhmä determinantteja hyväksi käyttäen: Jos n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmällä a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 (69) a n1 x a nn x n = b n on nollasta poikkeava kerroin matriisin determinantti, eli D = det(a) 0, ryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu, joka saadaan kaavasta x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,, x n = D n D, (70) missä D k on determinantti, joka saadaan D:stä korvaamalla k:s sarake alkioilla b 1,, b n. Cramerin säännön seurauksena saadaan kääteismatriisin laskemiselle determinanttien avulla sääntö A 11 A 21 A n1 A 1 = 1 deta [A jk] T = 1 A 12 A 22 A n2 deta... (71) A 1n A 2n A nn, missä A jk on a jk :ta vastaava liittotekijä. Huom. Cramerin sääntö on joskus kätevä käsin laskettaessa ja sitä on helppo soveltaa vaikka matriisi A sisältäisi parametreja (eli jotkut tai jopa kaikki alkiot olisivat tuntemattomia). Se ei myöskään sisällä jakolaskuja, mikä usein saattaa auttaa numeriikan kanssa. Myös teoreettisia tuloksia johdettaessa, Cramerin sääntö voi yksinkertaistaa välivaiheita huomattavasti. Kuitenkin kun lasketaan kuinka monta laskutoimenpidettä joudutaan tekemään determinanttien aukikehityksessä, huomataan tämän olevan niin suuri ettei tätä menetelmää kovin usein sovelleta käytännön sovelluksissa. 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Ominaisvektorit ja ominaisarvot ovat suuressa roolissa lineaaristen systeemien käyttäytymistä tutkittaessa. Monet matemaattiset apuneuvot (mm. tässä kappaleessa esitettävä diagonalisointi) myös käyttävät ominaisarvoja ja vektoreita hyödykseen. 5.1 Määritelmä ja laskenta Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (72) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A ominaisarvoksi (eigenvalue). Vastaavasti ratkaisut x 0 ovat A:n ominaisarvoa λ vastaavia ominaisvektoreita. Suoraan määritelmästä seuraa että jos x on matriisin A ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin on myös kx k 0. Ominaisarvojen joukko = A:n spektri (kirjallisuudessa usein puhutaan kuvauksen tai operaattorin A spektristä). 17
19 Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit yhdessä vektorin 0 kanssa muodostavat tähän ominaisarvoon liittyvän A:n ominaisavaruuden. Matriisin ominaisarvojen ja vektorien määräämistä kutsutaan ominaisarvo ongelmaksi (eigenvalue problem). Ominaisarvoyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (A λi)x = 0 (73) Tällä yhtälöllä on nollasta poikkeavia ratkaisuja jos ja vain jos a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n D(λ) = det(a λi) =.... = 0 (74).. a n1 a n2 a nn λ Yo. yhtälö on matriisin A karakteristinen yhtälö, ja D(λ) karakteristinen determinantti. Kun D(λ) kehitetään, saadaan λ:n suhteen n:nnen asteen polynomi, joka on matriisin A karakteristinen polynomi. Edellisestä nähdään suoraan että n n matriisilla on siis vähintään yksi ominaisarvo ja enintään n erilaista ominaisarvoa. Kuinka monta erilaista (lineaarisesti riippumatonta) ominaisvektoria sitten kuhunkin ominaisarvoon liittyy? Tätä ei voi suoraan ominaisarvon perusteella täsmällisesti ennustaa sen paremmin kuin että yksi niitä vähintään on. Jos ajatellaan matriisia A lineaarimuunnoksena, ominaisvektorit ovat niitä vektoreita jotka säilyttävät suuntansa tässä kuvauksessa. Näissä tapauksissa kuvaus on siis vain tietyn skalaarin sanelema pituuden skaalaus, ja tämä skalaari on kyseistä ominaisvektoria vastaava ominaisarvo. Käsin laskien ominaisarvot laskettava ensin, sen jälkeen voidaan laskea ominaisvektorit esim. Gaussin eliminoinnilla. Suurille matriiseille ominaisarvot (ja ominaisvektorit) lasketaan yleensä tietokoneella. Jos matriisin A ominaisarvo λ on karakteristisen yhtälön M λ :nnen kertaluvun juuri, M λ on λ:n algebrallinen kertaluku (algebraic multiplicity). Ominaisarvoon λ liittyvien lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä m λ on λ:n geometrinen kertaluku (geometric multiplicity) Esimerkki 5.1. Määritä matriisin C = ominaisarvot sekä niiden algebraalinen että geometrinen monikerta. Määritä myös näihin ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit. Huom. reaalisen matriisin ominaisarvot ja vektorit voivat olla kompleksisia. [ ] 0 1 Esimerkki 5.2. Laske matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Matriisien ja ominaisvektorien ominaisuuksia Määritellään aluksi muutama erityyppinen matriisi: Reaalinen neliömatriisi A = [a jk ] on symmetrinen, jos A T = A (75) 18
20 vinosymmetrinen, jos ja ortogonaalinen, jos A T = A (76) A T = A 1 (77) Jokainen reaalinen neliömatriisi A voidaankin esittää symmetrisen matriisin R = 1 2 (A + AT ) ja vinosymmetrisen matriisin S = 1 2 (A AT ) summana / 2 1/ 2 Esimerkki 5.3. Osoita että matriisi 1/ 2 1/ /2 1/2 1/2 1/2 on ortogonaalinen 1/2 1/2 1/2 1/2 Eräitä usein hyödyllisiä ominaivektorien ominaisuuksia: Olkoot λ 1, λ 2,, λ k n n matriisin keskenään erilaisia ominaisarvoja. Tällöin niitä vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2, x k muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon. Edellisestä lauseesta seuraa, että jos A:lla on n keskenään erilaista ominaisarvoa, A:n ominaisvektorit muodostavat C n :n kannan. Huom. Kerroinkunnan (eli skalaarien) täytyy olla silloin kompleksilukuja, reaaliluvut eivät enää riitä. Symmetrisen, vinosymmetrisen ja unitaarisen ortogonaalisen matriisin ominaisvektorit ovat ortogohaalisia. Jos kaikki n kpl ominaisarvoja ovat reaalisia ja erisuuria niin tällöin ominaisvektorit muodostavat R n kannan. Tällöin kerroinkunnaksikin riittää R. Jos matriisilla A R n n on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria niin muunnos y = Ax voidaan esittää ominaisvektorien x 1, x n avulla muodossa y = Ax = A(c 1 x c n x n ) = c 1 Ax c n Ax n = c 1 λ 1 x c n λ n x n (78) Esimerkki 5.4. a) Olkoon v 1 = [ ] T, v2 = [ ] T, v3 = [ ] T ja b = [ ] T. Määritä (Gaussin algoritmilla) kertoimet c1, c 2 ja c 3 siten että b = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3. b) Voivatko edelliset vektorit v i, i = 1, 2, 3 virittää avaruuden R 3? Jos voivat, niin muodostavatko ne edellisen avaruuden kannan? c) Jos vektorit v i ovat matriisin B ominaisvektoreita joihin liittyvät ominaisarvot ovat λ 1 = 0.01, λ 2 = 1 ja λ 3 = 100, määritä Bb. Huomaa ettei matriisia B tarvitse määrittää. d) Voiko matriisi B olla symmetrinen? Esimerkki 5.5. Olkoon matriisi B kuten edellisessä tehtävässä. Prosessissa alkutuotteista x 1, x 2 ja x 3 tuotetaan lopputuotteita y 1, y 2 ja y 3 kaavan Bx = y mukaisesti. Ratkaise seuraavat ongelmat jokaiselle i = 1, 2, 3: a) Jos alkutuotteiden määrä laskee määrästä [1000, 1000, 1000] T määrään [1000, 1000, 1000] T 2v i niin kuinka paljon muuttuu lopputuotteiden määrä? b) Jos lopputuotteiden määrän on noustava määrästä [1000, 1000, 1000] T määrään [1000, 1000, 1000] T + 2v i, niin paljonko on alkutuotteiden määrän noustava? 19
21 5.3 Diagonalisointi ja neliömuodot Olkoon sarakevektorit x i, i = 1,..., n, neliömatriisin A R n n matriisin ominaisvektoreja ja λ i näihin liittyvät ominaisarvot, eli Ax i = λ i x i. Jos nyt X = [x 1 x 2 x n ] ja D on diagonaalimatriisi jonka diagonaalialkiot ovat ominaisarvot λ i, niin AX = [Ax 1 Ax 2 Ax n ] = [λ 1 x 1 λ 2 x 2 λ n x n ] = XD. (79) Jos vektorit x i ovat lineaarisesti riippumattomia, niin matriisilla X on olemassa käänteismatriisi ja A = XDX 1. (80) Edellisestä kaavasta seuraa XD m X 1 = A m (81) Esimerkki [ ] 5.6. [ Mitkä ] ovat[ matriisin ] [ ] A R 2 2 ominaisarvot ja ominaisvektorit kun tiedetään että A = ja A =. Käyttäen diagonalisointia, määritä matriisi A ja laske A 100. Tarkastellaan niinkutsuttua neliömuotoa Q = x T Ax (82) Oletetaan, että matriisi A on reaalinen ja symmetrinen. Tällöin A:lla on n:n ortonormaalin ominaisvektorin kanta. Näiden vektorien muodostama matriisi X on ortogonaalinen ja X 1 = X T. Näin ollen A = XDX 1 = XDX T ja Asettamalla X T x = y, saadaan (X 1 = X T ) jolloin Q tulee muotoon Q = x T XDX T x (83) x = Xy, (84) Q = y T Dy = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n (85) Näin ollen on voimassa pääakselilause: Muunnos (84) muuntaa neliöllisen muodon Q = x T Ax = n n a jk x j x k (86) j=1 k=1 pääakselimuotoon (85), missä λ 1,, λ n ovat symmetrisen matriisin A ominaisarvoja ja X on ortogonaalinen matriisi, jonka pystyvektorit ovat vastaavia ominaisvektoreita x 1,, x n. Esimerkki 5.7. Muuta pääakselimuotoon neliömuoto Mitä käyrää neliömuoto esittää? Q = 17x x 1 x x 2 2 = 128. (87) 20
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
Lisätiedot1.1. Määritelmiä ja nimityksiä
1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotKäänteismatriisin ominaisuuksia
Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 5. luento.2.27 Lineaarialgebraa - Miksi? Neuroverkon parametreihin liittyvät kaavat annetaan monesti
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotKurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.
7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti
Talousmatematiikan perusteet: Luento 1 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Matriisitulo Determinantti Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio.
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset
32 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset Vakiolla kertominen ja summa Olkoon t R ja A, B R n m Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedot4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =
BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKaksirivisen matriisin determinantille käytämme myös merkintää. a 11 a 12 a 21 a 22. = a 11a 22 a 12 a 21. (5.1) kaksirivine
Vaasan yliopiston julkaisuja 97 5 DETERMINANTIT Ch:Determ Sec:DetDef 5.1 Determinantti Tämä kappale jakautuu kolmeen alakappaleeseen. Ensimmäisessä alakappaleessa määrittelemme kaksi- ja kolmiriviset determinantit.
LisätiedotMatriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatriisit, L20. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi
Matriisit, L20 Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ( 0, 4, ( ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin (amer. kirjoissa
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotTällä viikolla viimeiset luennot ja demot. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162
Tällä viikolla viimeiset luennot ja demot Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/162 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/162 Kertausta Vektorin u = (u 1,u 2 ) R 2 pituus u = u 2 1 +u2 2 Vektorien u ja v = (v 1,v 2
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotKäänteismatriisin. Aiheet. Käänteismatriisin ominaisuuksia. Rivioperaatiot matriisitulona. Matriisin kääntäminen rivioperaatioiden avulla
Käänteismatriisi, L5 1 Tässä kalvosarjassa käsittelemme neliömatriiseja. Ilman asian jatkuvaa toistamista oletamme seuraavassa, että kaikki käsittelemämme matriisit ovat neliömatriiseja. Määritelmä. Olkoon
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
Lisätiedot5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. 3.2 Matriisien laskutoimitukset. Olkoot A 2 := AA =
3 3 Olkoot 9 8 B 7 6 ja A 5 4 [ 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä) Kuitenkin voidaan laskea BA ja 9( )
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
Lisätiedotx 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili
6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotOsittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).
Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.
Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lisätiedot1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
Lisätiedot