1. Ominaisarvot ja -vektorit
|
|
- Lasse Ahonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä marraskuuta 004 Heikki Apiola Kirjallisuutta. [KRE Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed.,wiley,1999. [Lay Lay. Linear Algebra, 3 rd ed.,addison Wesley,003. [TE Timo Eirola. Lineaarialgebra, L3-kurssimoniste 1. Ominaisarvot ja -vektorit Tarkasteltavana oleva matriisi on koko ajan neliömatriisi, A(n n). Johdanto. Ajatellaan neliömatriisia A ennen kaikkea sen määräämään lineaarikuvauksen kannalta. Tähän asti staattisia ongelmia: lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu. Nyt käsittelemme dynaamisia tehtäviä. Tyypillisesti tarkastelemme iteraatiota Alkupiste x 0, x k+1 = Ax k, k = 0, 1,,.... Tällöin joudumme laskemaan matriisin potensseja (joita neliömatriisille voidaan laskea). Sovellutuksina näemme mm. dikreettejä dynaamisia systeemejä (dierenssiyhtälösysteemejä) ja dierentiaaliyhtälösysteemejä. Ominaisarvotehtäviä tulee luonnontieteellissä sovelluksissa vastaan hyvin monessa paikassa. Kyseessä on myös insinöörimatematiikan kaikkein tärkeimpään ydinalueeseen kuuluva aihepiiri. Lisäksi: kaunis kappale lineaarialgebraa Määritelmä ja perusominaisuudet. (Eigenvalues, eigenvectors) A on neliömatriisi (n n) Tarkastellaan yhtälöä (1.1) Ax = λx, λ C Yhtälöllä on aina triviaaliratkaisu x=0, olipa λ mikä tahansa kompleksiluku. Tehtävä: (a) Määritä luku λ siten, että yhtälöllä (1.) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita x. (b) Määritä sitten kutakin ratkaisua λ kohti ao. ratkaisuvektorit x. Määritelmä 1.1. Lukua λ sanotaan matriisin A ominaisarvoksi ja vektoria x 0 vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos Ax = λx. Geometrisesti ominaisvektori tarkoittaa suuntaa, joka säilyy samana (tai vastakkaisena) sovellettaessa lineaarikuvausta A. Ominaisarvo kuvaa venytys/kutistussuhdetta, negatiivisessa tapauksessa lisäksi suunnan vaihtoa. Tämä kuvailu pätee reaalisiin ominaisarvoihin (ja -vektoreihin) nähden. Kompleksisessa tapauksessa tilanne voi olla "epäintuitiivisempi", kannattaa muistaa, että esim. i:llä kertominen merkitsee kiertoa tasossa kulman π/ verran, joten skalaarilla kertominen ei tarkoita (reaalisella) suoralla pysyttelemistä. 1
2 Tehtävän muokkaus ratkaistavaan muotoon. (1.) Ax = λx, λ C (A λi)x = 0 Kyseessä on siis homogeeniyhtälö, jonka kerroinmatriisi sisältää parametrin λ. Se pitää valita siten, että HY:llä on ei-triv. ratkaisuja, ts. Gaussin eliminaation on tuotettava ainakin 1 nollarivi, joten on oltava det(a λi) = 0. Esimerkki 1.1. A = mukava tekijöihin jako: Lasketaan ominaisvektorit Muodostetaan D(λ) = det(a λi), tässä tapauksessa saadaan D(λ) = (λ + ) (λ 6) Sijoitetaan karakteristiseen matriisiin K λ = A λi λ:n paikalle vuorollaan kukin ominaisarvo. Ominaisarvoon λ 1 = liittyvät ominaisvektorit K λ1 = Tässä ei rivioperaatioita tarvita. Alin rivi voidaan jättää pois (identtinen ylimmän kanssa). Voidaan haluttaessa jakaa 1. rivi 4:llä ja toinen 8:lla, muttei sekään ole tarpeen.. rivi = x 3 vapaa ja x = rivi = x 1 = x 3. Jos valitaan: x 3 = 1, saadaan v 1 = [ 1, 0, 1 T. Saadaan 1-ulotteinen ominaisavaruus, kuten pitääkin, koska aina pätee: 1 m λ M λ ja viimemainittu on = 1. Yleisesti voitaisiin muodostaa ref (tai rref) ref (K λ1 ) = Tästä nähdään heti, että nolla-avaruuden dimensio = 1. (n-tukisarakkeiden lkm = nollarvien lkm, kun kerran on neliömatriisi.) Tässä tapauksessa laskut eivät edellisestä yksinkertaistu, koska matriisi oli jo heti yhtä rivioperaatiota ja normeerausta vaille jopa rref-muodossa. (Huomaa, että -systeemissä riittää aina rajoittua toiseen yhtälöön (jos ominaisarvot on oikein laskettu, ellei, niin who cares :-)), rivioperaatiota ei siten tarvita ollenkaan.) Ominaisarvoon λ = 6 liittyvät ominaisvektorit K λ = Nyt jää vain yksi yhtälö, jossa voidaan kaksi muuttujaa valita vapaasti, vaikkapa x 3 ja x, ja ratkaisemalla x 1 = x 3. Saadaan kaksi LRT ominaisvektoria valitsemalla ensin x 3 = 1, x = 0 ja sitten päinvastoin x 3 = 0, x = 1 u 1 = [1, 0, 1 T, u = [0, 1, 0 T. Kertaluvut ovat taas samat: m λ = M λ =. Siis ominaisavaruudet ovat: E =sp{[ 1, 0, 1} ja E 6 =sp{[1, 0, 1, [0, 1, 0}
3 Jäljempänä esitettävän lauseen mukaan eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT, joten voimme sen turvin suoraan päätellä, että laskemamme 3 ominaisvektoria ovat LRT ja siis R 3 :n kanta. Ilman tuota lausetta täytyisi turvautua ref:iin. Huomautus 1.1. Varo harhaluulemasta, että lineaarinen riippumattomuus voitaisiin todistaa osissa niin, että osoitettaisiin vaikka kaksi vektoria LRT:ksi ja kolmas kummastakin LRT:ksi. Tokihan kolmas voi sijaita kahden virittämässä tasossa (ja muodostaa siis ensinmainittujen kanssa LRV joukon) ja olla kummankin kanssa eri suuntainen. Edellä mainitussa (jäljempänä esitettävässä) lauseessa esiintyvässä "ominaisvektoriniputuksessa"on kyse siitä, että kaikki mahdolliset valinnat eri ominaisavaruuksista antavat LRT vektorijoukon. Palataan tähän vielä tuon lauseen todistuksen yhteydessä. Samalla täydennetään kuennolla kenties hiukan kevyesti käsiteltyä kohtaa. Kaksi peruslausetta. Jos determinantti D(λ) = det(a λi) kehitetään vaikkapa 1. sarakkeen mukaan, nähdään, että se on polynomi, joka on muotoa: 3 D(λ) = ( 1) n λ n det A. Polynomi, jota sanotaan karakteristiseksi polynomiksi, on siis aina astetta n. Algebran peruslauseen mukaan sillä on ainakin yksi 0-kohta kompleksitasossa. Saadaan siten: Lause 1.1 (KRE8 Thm. 1 s. 373). Neliömatriisilla A (n n) on ainakin yksi ja korkeintaan n erillistä ominaisarvoa. Ne voivat olla kompleksisia, vaikka matriisi olisi reaalinen. Karakteristinen polynomi voidaan kirjoittaa muotoon: D(λ) = (λ λ 1 ) k1 (λ λ n ) k n Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku M λ tarkoittaa kyseisen polynomin nollakohdan kertalukua. Siten M λk ilmaisee siis potenssin p k, jossa tekijä (λ λ k ) esiintyy. Voidaan sanoa, että n n-matriisilla on n kappaletta ominaisarvoja, kun kukin otetaan niin monta kertaa kuin sen algebrallinen kertaluku ilmaisee. Muistutamme, että ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus E λ koostuu kaikista λ:aan liittyvistä ominaisvektoreista ja nollavektorista. E λ on vektorialiavaruus, koska se on (A λi):n nolla-avaruus. Tämä on "se toinen lause": Lause 1. (KRE8 Thm s. 373). Ominaisavaruus E λ on "nimensä veroinen", siis aliavaruus. KRE- kirjan lause sanoo vain, että vakio kertaa ominaisvektori on edelleen samaan ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Tämä sinänsä tärkeä huomio on erikoistapaus edellä olevasta. Ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen. Edellisen esimerkin mallin mukaan voidaan kirjoittaa yleinen toimintaohje: 1. Muodostetaan karakteristinen polynomi D(λ) = det(a λi) ja ratkaistaan sen nollakohdat, näin saadaan ominaisarvot.. Ratkaistaan homogeeniyhtälö (A λi)x = 0, ts. määrätään nolla-avaruus N(A λi) kullakin ominaisarvolla λ.
4 4 Ratkaisussa on ainakin yksi vapaa parametri, sanokaamme t, joka voidaan valita mielivaltaisesti (esim. t=1). Jos vapaita parametrejä on useita, täytyy pitää huoli siitä, että saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisuvektorit. Varma valinta esim. tapauksessa "3 vapaata parametria"on: 1. om. vekt. : parametrit: 1, 0, 0. om. vekt. : parametrit: 0, 1, 0 3. om. vekt. : parametrit: 0, 0, 1. Huomautus Ominaisarvot ovat 1-käs, ominaisvektorit eivät.. Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ominaisavaruus, päämääränä on löytää jokin kanta ominaisavaruudelle. Käytännön (numeerisista) laskentamenetelmistä Polynomiyhtälön ratkaisussa on useimmiten turvauduttava numeerisiin menetelmiin. Matlabissa on tähän tarkoitukseen funktio roots. Oikeissa numeerisissa menetelmissä lasketaan ensin ominaisvektorit (tai esim. muutama dominoiva ominaisvektori sellaiset, jotka vastaavat muutamaa suurinta ominaisarvoa). Ominaisarvot lasketaan vasta sitten. Itse asiassa Matlabin roots-komennon käyttö ominaisarvotehtävissä on lievää "itsepetosta". Se perustuu algoritmiin, joka laskee annettuun polynomiin liittyvän matriisin, ns. companion matrix:n ominaisvektorit ja sitten ominaisarvot. Sivutuotteena, eräänlaisena kuriositeettina, siitä saadaan helposti kohtuullinen polynomiyhtälön ratkaisija. Ominaisarvojen laskenta tätä kautta on siten hyödyllistä pelkästään perusasioiden opetteluun. Oikeaan laskentaan käytetään komentoa eig. Matlabin isä Cleve Moler, joka on eräs nykyaikaisen tieteellisen laskennan huomattavia vaikuttajapersoonallisuuksia, pitänee polynomiyhtälön ratkaisemista nykyaikana hieman numeerisen analyysin sivuraiteille kuuluvaksi. Siitä syystä hän ei luultavasti ole kiiruhtanut ottamaan Matlabiin parasta alan algoritmia käyttöön. Myös Matlabin historia on hyvin vahvasti juuri lineaarialgebrassa. Sillä alueella on erityisesti panostettu parhaisiin algoritmeihin, toki sitten myös mm. dierentiaaliyhtälöissä. 1.. Perusesimerkit: defektiivinen, kompleksinen. Edellä oli esimerkki tapauksesta, jossa algebralliset ja geometriset kertaluvut olivat samoja. Näin ei aina ole. [ 0 1 Esimerkki 1.. Olkoon A = 0 0 D(λ) = λ, joten λ = 0 on kaksinkertainen ominaisarvo. Ominaisavaruus on sama kuin A:n nolla-avaruus, jonka virittää vektori [1, 0 T. Siis ominaisarvon 0 geometrinen kertaluku on 1. Matriisi on defektiivinen, ominaisvektoreita ei ole "tarpeeksi". Lause 1.3. Yleisesti pätee: m λ M λ. Aito < on mahdollinen. Tod. Edellinen on jossain määrin syvällinen asia, perustelu on pakko sivuuttaa. Jälkimmäisen perustelee vaikkapa edellinen esimerkki. Esimerkki 1.3. KRE esim. 4 s Reaalinen matriisi, jolla on kompleksiset ominaisarvot (ja -vektorit) A = [ Ominaisarvot λ = ±i, ominaisvektorit: λ = i Ratkaistavaksi tulee yhtälö ix 1 + x = 0. Jos valitaan x = 1, on x 1 = 1/i = i. Saadaan ominaisvektoriksi [ i, 1 T. Yhtä hyvin voidaan kertoa vaikka i:llä, joka antaa: [1, i.
5 Ominaisarvoa λ = i vastaava ominaisvektori saadaan samalla tavalla. Itse asiassa sitä ei tarvitse koskaan laskea, koska se on aina liittolukua vastaavan ominaisvektorin liittovektori. (Tällä tarkoitamme vektoria, jonka koordinaatit ovat edellisen liittolukuja.) Todistetaan tämä oikein lauseena. Lause 1.4. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain liittolukuja. Liittolukuja vastaavat ominaisvektorit ovat toistensa liittovektoreita. Tod. Ominaisarvoja koskeva johtopäätös voidaan tehdä kompleksiprujussa olevasta lauseesta: reaalikertoimisen polynomin kompleksiset juuret ovat toistensa liittolukuja. Itse asiassa tätäkään ei tarvita, kun huomataan, että edellisen perustana olevasta, liittolukujen laskutoimituksia koskevasta lauseesta saadaan myös välittömästi sääntö Av = Av. 5 Niinpä, jos Av = λ v, niin Av }{{} = A on reaalinen Av = A v }{{} = λv = λv. Av=λv Johtopäätös seuraa siten suoraan ominaisarvon/-vektorin määritelmästä. Yhteenveto käsitteistä ja määritelmistä. 1. Ominaisavaruus: E λ ominaisarvoon λ kuuluvien ominaisvektorien joukko täydennettynä 0-vektorilla (jotta saadaan VA).. Spektri = ominaisarvojen joukko (kompleksitason osajoukko) 3. Spektraalisäde: itseisarvoltaan suurimman ominaisarvon itseisarvo. Se antaa ympyrän säteen, jonka sisällä kaikki ominaisarvot (eli spektrin pisteet) ovat. 4. Karakteristinen polynomi : D(λ) = det(a λi). 5. Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku = p k, kun karakteristinen polynomi esitetään tekijöihin jaetussa muodossa: D(λ) = ( 1) n (λ λ 1 ) p1 (λ λ n ) p n Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku M λk ilmaisee siis potenssin p k, jossa tekijä (λ λ k ) esiintyy. 6. Geometrinen kertaluku m λ tarkoittaa vastaavan ominaisavaruuden dimensiota. 7. Pätee: m λ M λ 8. Matriisi A on defektiivinen, jos jollain ominaisarvolla λ pätee aito pienemmyys: m λ < M λ 1.3. Sovellutusesimerkkejä Joustavan kalvon venytys, lineaarikuvauksen pääakselit. Yksikkökiekko olkoon joustava kalvo, jota muotoilee "siirtymämatriisi" [ 5 3 A = 3 5. Määritä pääsuunnat, eli vektorit, joille siirtymävektori on saman tai vastakkaissuuntainen tuon annetun vektorin kanssa.
6 6 Ratkaisu Lasketaan ominaisarvot ja -vektorit, helppo homma: λ 1 = 8, λ =. Vastaavat ominaisvektorit: u 1 = [1, 1 T, u = [ 1, 1 T (Laskettu myös Matlabilla alla.) Esitetään mielivaltainen tason vektori u ominaisvektorikannassa: u = ξ 1 u 1 + ξ u. Tällöin z = Au = ξ 1 Au 1 + Aξ u = ξ 1 λ 1 u 1 + ξ λ u = 8ξ 1 u 1 + ξ u. Koordinaattien välinen kuvaus on ihana: [ξ 1, ξ [8ξ 1, ξ. (Kumpikin kuvakoordinaatti riippuu vain omasta lähtökoordinaatistaan, ts. se saadaan diagonaalimatriisilla kertomalla.) Tässä tapauksessa sattuu vielä niin onnellisesti, että ominaisvektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa 1, jolloin meillä on uusi luonteva suorakulmainen koordinaatisto, johon voimme astua ja esittää pisteiden koordinaatit normaalissa napakoordinaatistossa u 1 u -akselien suhteen. Otetaanpa siis jokin yksikköympyrän piste: cos φu 1 + sin φu. Sen kuvapiste on siis 8 cos φu 1 + sin φu. Kuvapisteet piirtävät siten ellipsin, jonka esitys pääakselikoordinaatistossa u 1 u on Toisin sanoen Matlab-ajo { η 1 = 8 cos φ η = sin φ ( η1 8 ) ( η ) + = 1., Tiedostossa../L/paakseli.m % paakseli.m clear; clf t=linspace(-pi,pi); Yymp=exp(i*t); Yymp=[real(Yymp);imag(Yymp); plot(yymp(1,:),yymp(,:),'b') axis square A=[5 3;3 5 kuva=a*yymp; hold on plot(kuva(1,:),kuva(,:),'r') shg % Jako 100:aan osaan. % Yksikköympyrän 100 pistettä. % Pisteet matriisin sarakkeiksi % ympyrän kuvapisteet Lasketaan nyt ominaisarvot ja -vektorit. figure() [V,D=eig(A) lam=diag(d) lam = 1 Jos osaisimme teoriaa enemmän, tietäisimme jo matriisin ulkonäöstä, että näin käy, koska matriisi on symmetrinen.
7 7 Kuva 1. Yksikköympyrä ja sen kuva 8 clf phi=linspace(-pi,pi); z1=lam(1)*cos(phi);z=lam()*sin(phi); % tai % z=d*[cos(phi);sin(phi); plot(z1,z,'--g') % jolloin % plot(z(1,:),z(,:)) axis square axis equal % Kierretään oikeaan asentoon: ell=v*[z1;z; % tai % ell=v*z; hold on plot(ell(1,:),ell(,:),'r') axis square axis equal u1aks=[[0;0 lam(1)*v(:,1); plot(u1aks(1,:),u1aks(,:),'k') uaks=[[0;0 lam()*v(:,); plot(uaks(1,:),uaks(,:),'k') shg Matlab halusi valita pienemmän ominaisarvon ensin, no annettiin sen tehdä, jolloin peruskoordinaatistossa ellipsi nousi pystyasentoon, mutta samaanpa päätyi koordinaattimuunnoksen (kierron) jälkeen Stokastinen matriisi, Markovin prosessi. KRE8 s. 318 (matrix multiplication) Oletetaan, että vuonna 004 erään kaupungin maankäyttö jakaantuu näin: I asuntoalue 30% II kaupallinen käyttöalue 0% III teollisuusalue 50%
8 8 Kuva. Kuvaellipsi peruskoordinaatistossa ja kierrettynä pääakseleille Oletetaan, että siirtymätodennäköisyydet 5-vuotisjakson aikana saadaan matriisista P= I:stä II:sta III:sta I:een II:een III:een Matlabilla voidaan iteroida vaikka tähän tapaan. Tulostetaan vaakavektoreina tilan säästön ja selkeyden vuoksi. >> P=[ ; ; >> x0=[30;0;50; >> x0' % v. 004 >> x=x0 % x olkoon muuttuja, johon iterointi kohdistuu. >> x=p*x; x' % Selkeyden takia katsotaan vaakasuorassa. 6 5 % v. 009 >> x=p*x; x' % v. 014 >> x=p*x; x' % v. 019 Tämä oli siis pelkkää matriisikertolaskuharjoittelua. Ominaisarvoteoria tulee mukaan, kun kysellään, mitä tapahtuu pitkällä aikavälillä. Voidaan tietysti harrastaa matriisikertolaskua raakaan voimaan turvautuen, mutta se ei anna eväitä analysoida tilannetta. Lasketaanpa ominaisarvot ja -vektorit: P on sama kuin KRE-kirjan A T
9 9 >> [V,D=eig(P) V = D = Nähdään, että kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, suurin on 1 ja muut ovat pienempiä. Myöhemmin osoitetaan, että eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT, niinpä tässä tapauksessa on. Kun ei sitä vielä ole ollut, katsotaan vanhoilla yleisluontoisilla konsteilla. >> rref(v) No kyllä vaan! Siispä ne muodostavat R 3 :n kannan. Aivan, kuten äskeisessä esimerkissä, saadaan mahdollisimman yksinkertainen tilanne operoimalla ominaisvektorikannassa. Merkitään ominaisvektoreita: v 1, v, v 3, ja esitetään: x 0 = c 1 v 1 + c v + c 3 v 3. No mutta tällöinhän: x 1 = P x 0 = c 1 λ 1 v 1 + c λ v + c 3 λ 3 v 3, missä λ 1 = 1. Jatkamalla iterointia, saadaan: x k = c 1 v 1 + c λ k v + c 3 λ k 3v 3. Koska 0 < λ j < 1, kun j =, 3, lähenevät viimeistä termiä kohti 0:aa, kun k kasvaa. Siten prosessia dominoi ykköstä (suurinta) ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Rajalla päädytään vektoriin c 1 v 1. Tässä tapauksessa: >> Vx0=[V x0 % Edellähän tehtiin [V,D = eig(p); Vx0 = >> rref(vx0)
10 Niinpä c 1 = , joten pitkällä aikavälillä tilanne stabiloituu jakaumaan: >> *V(:,1) Maagista!! Siten saadaan (lähtöpisteestä riippumatta) sellainen ominaisarvoa 1 vastaavan ominaisvektorin suuntainen tulos, jonka koordinaattien summa = 100. Maagiselta tuntuu kenties se, että c 1 -kerroin on sama riippumatta alkupisteestä. Se selittyy lisäehdosta x 1 + x + x 3 = 100. Tämä ominaisuus säilyy P -matriisilla kerrottaessa, joten rajavektorilla on sama ominaisuus. Siten raja-vektori on sellainen dominoivan ominaisvektorin suuntainen vektori, jonka koordinaatit 0 ja x 1 + x + x 3 = 100. Taatusti siis riippumaton alkupisteen valinnasta. (Koordinaattisumma säilyy sillä: i p i,j = 1 j. Olkoon y i = p ij x j. i y i = i j p ijx j = j ( i p ij)x j = j x j. ) Populaatiodynamiikkaa. Esimerkki 1.4 (Täpläpöllöjen henkiinjäämistaistelu Kaliforniassa). Vuonna 1990 oli vastakkainasettelu puuteollisuuden ja ympäristönsuojelijoiden välillä. Vanhojen ikimetsien hakkuut ja sen seurauksena mm. täpläpöllöjen tuhoutuminen, vastaan työpaikan menetys puuteollisuudessa. Matemaatikot ryhtyivät viileän objektiivisesti tutkimaan. Täpläpöllön elinkaari voidaan jakaa kolmeen luokkaan: 1. Lapsuus, 0 1 v.,. esiaikuisuus, 1 v., 3. aikuisuus, yli v. Keskimääräinen elinikä n. 0 v. Kriittinen ajanjakso on silloin, kun lapsipöllö lähtee pesästään, jolloin sen on löydettävä uusi kotialue ja pari. Mallinnetaan tilannetta tarkastelemalla populaatiota vuoden välein ja jakamalle se näihin kolmeen luokkaan. Oletetaan, että naaraita ja uroita on samanverran, jolloin tarvitsee tarkastella vain naisväkeä. Populaatiovektori vuonna k olkoon x k = [l k, e k, a k ("lapsi", "esiaikuinen", "aikuinen"). l k+1 e k+1 a k+1 = l k e k a k 1. rivi: Kukin aikuinen naaras synnyttää keskimäärin 0.33 tyttölapsipöllöä vuonna k (vuoden k+1 alkuun mennessä).. rivi: Keskimäärin 0.18 tyttölasta selviytyy esiaikuiseksi vuoden k + 1 alkuun. 3. rivi: Vuoden k esiaikuisista 0.71 selviytyy aikuisuuteen ja aikuisista 0.94 jatkaa aikuiselämää vuonna k + 1. Yllä olevaa matriisia A voidaan kutsua "vaihematriisiksi"("stage matrix"). Tämä on peräisin oikeasta tutkimusaineistosta: Lamberson et. al: Dynamic analysis of the viability of the Northern spotted owl in a fragmented forest environment, julkaisussa: Conservation biology vuodelta 199.
11 Tässä matriisissa alkio a,1 = 0.18 on se, kriittsin ympäristötekijöiden vaikutuksille. Jos ikimetsät hakataan aukeiksi, niin tämä arvo käy liian pieneksi. Arvo 0.18 on jo liian pieni, kuten nähdään, jos analyysi viedään päätökseen. Muotoa x k+1 = Ax k olevaa systeemiä sanotaan dierenssiyhtälöksi, usein puhutaan myös diskreetistä dynaamisesta systeemistä. Yllä oleva esimerkki on peräisin kirjasta [Lay KRE-kirjassa [KRE vastaavanlainen esimerkki esiintyy nimellä Leslie model s. 378, Example 3 Palattaneen tähän esmerkkiin myöhemmin Matriisin diagonalisointi (KRE 7.5). Tutkitaan erityisesti ominaisvektorien ominaisuuksia. Jos ominaisvektoreita on tarpeeksi (n lineaarisesti riippumatonta, kun matriisin koko on n n, saadaan herkkupöytä katetuksi. Määritelmä 1.. Neliömatriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa säännöllinen (kääntyvä) P siten, että B = P 1 AP. Merkitään A B. Lause 1.5. [Similaarisuus säilyttää ominaisarvot, KRE Thm 1 Tod. Joko suoraan oma/omv-määritelmästä, nähdään, että jos x on A:n λ:aan liittyvä ominaisvektori, niin y = P 1 x on samaa λ:aa vastaava B:n ominaisvektori, missä B = P 1 AP. Vaihtoehtoinen todistus: D B (λ) = det(b λi) =... = det(a λi) = D A (λ). 11 Ominaisvektorien ominaisuuksia Lause 1.6 (KRE s. 39). Olkoot λ 1,..., λ k matriisin A erillisiä ominaisarvoja. Tällöin vastaavat ominaisvektorit ovat LRT Tod. Tässä kuvataan juoni. Tämä ei riitä harjoitustehtävän tai koetehtävän todistukseksi. 1) Todistetaan ensin :n ominaisvektorin tapauksessa. Olk. λ 1 λ, ja olkoot v 1 ja v vastaavat ominaisvektorit. Kirjoitetaan vektoriyhtälö c 1 v 1 + c v = 0. Sovelletaan siihen A:ta (eli kerrotaan vasemmalta A:lla) ja käytetään ominaisuutta Av j = λ j v j, j = 1,. Gaussin eliminaatiolla saadaan v 1 -osuus nollatuksi, jolloin ehdosta c (λ λ 1 )v = 0 seuraa: c = 0, koska λ λ 1 0. Siten myös c 1 = 0. ) Askel tapauksesta k = tapaukseen k = 3 saadaan lähtemällä vektoriyhtälöstä c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 = 0. Aivan samanlaisella eliminaatioaskeleella kuin edellä, päästään jo todistettuun tapaukseen k =, josta päätellään: c = c 3 = 0, mistä edelleen seuraa: c 1 = 0. Yleinen askel k k + 1 on periaatteessa aivan samanlainen. Tästä seuraa välittömästi:
12 1 Lause 1.7. Jos n n-matriisilla A on n erillistä ominaisarvoa, niin R n :llä (kompl. tap. C n :llä) on A:n ominaisvektoreista koostuva kanta. Tätä käyttäen oltaisiin Markov-prosessi-tehtävässä voitu välttyä ei-dominoivien ominaisvektoreiden laskemiselta. Huomautus 1.3. Ominaisvektorikanta voi olla, vaikka esiintyisi moninkertaisia ominaisarvoja, kuten on nähty. Toisaalta olemme nähneet esimerkkejä (ainakin yhden), jossa käy huonosti: -matriisilla on vain yksi ominaissuora. Lause 1.8. R n :llä (C n :llä) on A:n ominaisvektorikanta, jos ja vain jos A:n jokaisella ominaisarvolla λ on m λ = M λ. Tod. Kyse on yksinkertaisesti siitä, että jos niputetaan kutakin erillistä ominaisarvoa vastaavien ominaisavaruuksien kannat omiksi nipuikseen, saadaan yhteensä n vektoria, jotka ovat LRT. Otetaan havainnollisuuden vuoksi vaikka kolme ominaisarvoa λ 1, λ, λ 3, joiden kertaluvut olkoot 1,, 3 vastaavasti. Olkoot vektoriniput {u}, {v 1, v }, {w 1, w, w 3 }. Olkoon (c 1 u) + (c v 1 + c 3 v ) + (c 4 w 1 + c 5 w + c 6 w 3 ) = 0. Suluissa olevat vektorilausekkeet ovat kaikki nollavektoreita. Jos nimittäin joku ei olisi, niin otettaisiin summaan kaikki nollasta erilliset sulkulausekkeet. Nämä ovat eri ominaisrvoihin liittyviä ominaisvektoreita, ja siis LRT. Niiden summa = 0, joten ristiriita LRT:n kanssa on valmis. Kussakin sulkulausekkeessa esiintyvät vektorit ovat ao. ominaisavaruuden kantavektoreita (siis LRT), joten on oltava: (c 1 = 0), (c = c 3 = 0), (c 4 = c 5 = c 6 = 0). Erilaisten matriisityyppien (kuten symmetristen, ortogonaalisten ym.) ominaisvektorikäytöstä selvitetään jatkossa. Ominaisarvokannan arvo, diagonalisointi Jos avaruudella on A:n ominaisvektorikanta {u 1,..., u n }, voidaan laskea aivan samoin kuin edellä mm. ellipsiesimerkissä:... Lause 1.9 (Diagonalisointi).... Tod.... Esimerkki 1.5. Laske lauseke A k :lle, kun A = Ratkaisu Diagonalisoidaan: [ A = V DV 1, [ [ [ V =, D =, V 1 = [ [ [ Nyt A k = V D k V 1 = k 1 4 Kun suoritetaan kertolaskut, saadaan:.
13 13 A k = [ 3 k k 1 k k 3 Tässä tapauksessa saatiin jopa yksinkertainen kaava A k :lle. Yleensä nyt ei ihan näin pitkälle päästä. Joka tapauksessa saadaan valtava säästö aritmetiikassa ja usein saadaan selkeä näkemys alunperin sotkuiseen asiaan. Lasketaan yksi pieni esimerkki Matlabilla: >> A=[0-4 -6;-1 0-3;1 5 A = >> [V,D=eig(A) V = D = >> VI=inv(V) VI = Tarkistetaan, laitetaan A ja V DV 1 vierekkäin (ja lisätään rajaviiva editoimalla). >> [A V*D*VI Lasketaan vaikkapa A 16. >> A^
14 14 Lasketaan diagonalisoimalla: >> D16=D^16 D16 = 1.0e+04 * Näin ei oikeastaan kannattaisi laskea. Nyt voimme nimittäin laskea pisteittäisen potenssin, kun on kyse diagonaalimatriisista. Silloin aritmetiikkaa on paljon vähemmän. >> D16=D.^16 D16 = 1.0e+04 * >> format bank >> V*D16*VI >> A^16 % Tässä taas vertailuksi raakaa voimaa: Maankäyttöesimerkki diagonalisoimalla. Edellä esitettiin lähtövektori ominaisvektorikannan avulla. Katsotaan, miltä homma näyttäisi diagonalisoimalla. Esitetään matriisi P muodossa P = V DV 1. Iteraatiojonon k:s termi on x k = P k x 0. Mutta P k = V D k V 1. D k = k k Kun k, niin Dlim = >> P=[ ; ; >> [V,D=eig(P)
15 15 V = D = >> VI=inv(V) VI = >> Dlim=diag([1,0,0) Dlim = >> V*Dlim*VI >> Plim=V*Dlim*VI Plim = >> Plim*[ '
16 16 >> Plim*[99.5.5' Ominaisvektorikanta vai diagonalisointi Kysehän on samasta asiasta esitettynä eri muodossa. Tämäntyyppisissä tehtävissä näyttäisi kirjoittajan (HA) mielestä ominaisvektorikannalla operointi hiukan diagonalisointiesitystä selkeämmältä ja myös käsin laskettaessa ehkä lyhyemmältä tavalta.
17 17 Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi ja sisätulo Vektoriavaruuden määritelmässä riitti olettaa, että joukon alkioille on määritelty aksioomat toteuttavat yhteenlasku ja skalaarilla kertominen. Kuitenkin monissa vektoriavaruuksissa voidaan tunnetusti tehdä muitakin laskutoimituksia. Esim. R :ssa tai R 3 :ssa voidaan laskea vektoreiden pituuksia, välisiä kulmia ja pistetuloja. Jatkuvia funktioita voidaan kertoa keskenään, integroida, niiden maksimeja voi etsiä jne. Normiavaruus on sellainen vektoriavaruus, jossa vektoreille on määritelty pituusfunktio, jota kutsutaan normiksi. Sisätuloavaruus on puolestaan normiavaruus, jossa lisäksi kulmien mittaaminen on mahdollista ja erityisesti kohtisuoruus eli ortogonaalisuus on määritelty. Seuraavassa tarkastellaan lähemmin, miten tällaisia pituus- ja kulmafunktioita voidaan määritellä. Määritelmä.1. Olkoon V toteuttaa K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus : V R on normi, jos se (1) v 0 v V. () v = 0 = v = 0. (3) u + v u + v u, v V. (4) α v = α v α K, v V. Vektoriavaruutta, jossa on määritelty jokin normi kutsutaan normiavaruudeksi. Esimerkki.1. Vektoriavaruudessa R n tavallisin normi on nk. euklidinen normi ( n ) x = x i 1. i=1 Selvästi tämä toteuttaa ehdot (1), () ja (4). Ominaisuuden (3) eli kolmioepäyhtälön näytämme hieman myöhemmin. Muita usein käytettyjä normeja R n :ssä ovat 3 n x 1 = x i ja x = max x i. 1 i n i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä normia =. Avaruudessa C n käytetään myös aivan samalla tavalla määriteltyjä normeja. Määritelmä.. Olkoon V K -kertoiminen vektoriavaruus. Kuvaus, : V V K on sisätulo, jos se toteuttaa ehdot (1) v, v 0 kaikilla v V. () v, v = 0 = v = 0. (3) u + v, w = u, w + v, w kaikilla u, v, w V. (4) αu, v = α u, v kaikilla α K, u, v V. (5) v, u = u, v kaikilla u, v V. 3 Normia 1 kutsutaan taksikuskin normiksi. Miksiköhän?
18 18 Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta sanotaan sisätuloavaruudeksi. Reaalisessa tapauksessa (5) saa muodon v, u = u, v eli reaalinen sisätulo on symmetrinen. Ominaisuudet (3) ja (4) sanovat, että sisätulo on lineaarinen ensimmäisen argumentin suhteen. Toisen argumentin suhteen saadaan: (.1) u, α v + β w (5) = α v + β w, u (3),(4) = α v, u + β w, u = α v, u + β w, u (5) = α u, v + β u, w. Täten sisätulo on konjugoidusti lineaarinen toisen argumentin suhteen: skalaarit saadaan ulos kompleksikonjugaatteina. Reaalisessa tapauksessa sisätulo on siten lineaarinen myös toisen argumentin suhteen. Vektoriavaruudesta R n tuttu vektoreiden välinen pistetulo 4 : x, y = x T y = n i=1 x i y i toteuttaa sisätulon ehdot. Vastaavasti C n :n vektoreille määritellään x, y = x T y = n i=1 x i y i. Esimerkki.. Avaruudessa C[a, b voidaan määritellä f, g = b f(x)g(x) dx. a Ehdot (1)-(5) seuraavat suoraan integraalin ominaisuuksista. Esimerkiksi C[ π, π :ssä funktioiden f(x) = sin x ja g(x) = cos x väliset sisätulot ovat Samoin g, g = π. f, g = π π sin x cos x dx = π f, f = π π sin x dx = π 1 π 1 π sin x dx = 0 (1 cos x) dx = π. Sisätulon tärkeä ominaisuus on, että se määrittelee heti myös normin: jos V on sisätuloavaruus, asetetaan (.) v = v, v. Sisätulon ehdoista saadaan normin ehdot (1),() ja (4) helposti. (3) eli kolmioepäyhtälö vaatii hieman laskemista. Esitellään ensin Schwarzin epäyhtälö 5 : sisätulo ja sen avulla kaavalla (.) määritelty (jota vielä ei tiedetä normiksi) toteuttavat: (.3) u, v u v. Tod. Viittaamme L3-prujuun [TE tai moninisiin oppikirjoihin. Todistus on tyylipuhdas minimointitehtävä, jossa tarkastellaan toisen asteen polynomia, sopiva vaikka koulukurssiin. Emme kuitenkaan tässä paneudu siihen. Näytetään nyt, että kaavalla (.) määritelty toteuttaa normin ehdon (3) eli kolmioepäyhtälön u + v u + v. Tod. Käyttäen sisätulon ominaisuuksia ja Schwarzin epäyhtälöä saadaan u + v = u + v, u + v = u, u + u, v + v, u + v, v u + u, v + v u + u v + v = ( u + v ), josta väite seuraa. 4 Lausekkeessa xt y vektorit on ajateltu n 1 -matriiseiksi, jolloin x T on 1 n -matriisi ja x T y on 1 1 -matriisi eli skalaari. 5 Täydellisemmin: Cauchy-Schwarz-Bunjakovskin epäyhtälö.
19 Kysmys: Onko jokaisen normin taustalla aina sisätulo? Vastaus: Ei. Esimerkiksi edellä esiintyneet. 1 (taksikuski) ja. eivät ole peräisin mistään sisätulosta..1. Ortogonaalisuus. Vektorit u ja v ovat ortogonaaliset, kun u, v = 0. Ortogonaalisuus määritellään samoin kompleksikertoimisissa vektoriavaruuksissa. Täten [ 1 i ja [ i 1 ovat ortogonaaliset C :ssa. Sisätuloavaruuden vektorijoukkoa S = {v 1,..., v k } sanotaan ortogonaaliseksi, jos kaikki sen vektorit ovat keskenään ortogonaaliset: v i, v j = 0, kun i j. Ortogonaalinen vektorijoukko {v 1,..., v n } on myös lineaarisesti riippumaton edellyttäen, että se ei sisällä nollavektoria. Tämä nähdään seuraavasti. Jos c 1 v c n v n = 0, otetaan tämän sisätulo v k :n kanssa, jolloin 0 = c 1 v c n v n, v k = c 1 v 1, v k + + c k v k, v k + + c n v n, v k = c k v k ja koska v k 0, saadaan c k = 0. Näin kaikki kertoimet saadaan yksitellen nolliksi, joten {v 1,..., v n } on lineaarisesti riippumaton. Jos ortogonaalisen joukon vektorit ovat lisäksi pituudeltaan ykkösiä kutsutaan joukkoa ortonormaaliksi. Annetun vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo laskea: Olkoon B = {b 1,..., b n } sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Jos v = c 1 b c n b n, otetaan tämän sisätulo b k :n kanssa, jolloin v, b k = c k b k, b k = c k. Näin saadaan kaikki kertoimet. Siis esitys ortonormaalissa kannassa saadaan: n v = v, b k b k, kaikilla v V. k=1 19 Ortonormaaleja kantoja voidaan muodostaa nk. GramSchmidtin prosessilla. Tätä ei vaadita K3/P3-kurssilla v Siihen voidaan kuitenkin vedota ja sen tulosta soveltaa, mutta välikokeissa tulos annetaan, jos sitä tarvitaan. Olkoon (v 1, v,... ) (äärellinen tai ääretön) jono lineaarisesti riippumattomia sisätuloavaruuden vektoreita. Muodostetaan yhtä pitkä jono (q 1, q,... ) ortonormaaleja vektoreita seuraavasti: (.4) q 1 = v 1 / v 1, w k = v k k 1 j=1 q k = w k / w k. v k, q j q j, } k =, 3,... Tässä keskimmäisellä rivillä v k :sta poistetaan sen komponentit jo muodostetuilla suunnilla q 1,..., q k 1. Viimeisellä rivillä jäljelle jäävä osa normeerataan ykkösen pituiseksi. Lause.1. Edellä esitetylle Gram-Schmidtin prosessille pätee: a) (q 1, q,... ) on ortonormaali. b) sp(q 1,..., q k ) = sp(v 1,..., v k ) kaikilla k 1. Erityisesti, jos V on äärellisdimensioinen ja {v 1,..., v n } on sen kanta, niin {q 1,..., q n } on V :n ortonormaali kanta.
20 0 Tod. Prosessi pyörii niin kauan, kun w k = 0 (tai v j -vektorit loppuvat). Näytetään aluksi, että b) on voimassa tähän asti. Koska k 1 v k = w k q k + v k, q j q j, saadaan kaikilla k : v k sp(q 1,..., q k ), josta sp(v 1,..., v k ) sp(q 1,..., q k ). Toisaalta, jokaiselle q k selvästi pätee q k sp(q 1,..., q k 1, v k ). Täten induktiivisesti j=1 q k sp(q 1,..., q k 1, v k ) sp(q 1,..., q k, v k 1, v k ) sp(v 1,..., v k ). Näin kaikilla k, joten sp(q 1,..., q k ) sp(v 1,..., v k ) ja b) on voimassa. Jos olisi w k = 0 jollakin k, tämä tarkoittaisi, että v k = k 1 j=1 v k, q j q j sp(v 1,..., v k 1 ) (sillä b) on voimassa vielä edellisellä kierroksella). Mutta tämä on mahdotonta, koska v 1,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomat. Siispä w k :t eivät koskaan tule nolliksi. Todistetaan a) induktiolla: Selvästi {q 1 } on ortonormaali. Oletetaan, että {q 1,..., q k } on ortonormaali. Tällöin, kun i k, saadaan q k+1, q i ( 1 = v k+1 k j=1 v k+1, q j q j), q i w k+1 = 1 w k+1 ( v k+1, q i k j=1 v k+1, q j q j, q i ) = 1 w k+1 ( v k+1, q i v k+1, q i ) = 0. Näin q k+1 on kohtisuorassa kaikkia q i, i k vastaan. Selvästi q k+1 = 1. Ja kun muutkin ovat keskenään ortonormaalit, {q 1,..., q k+1 } on ortonormaali. Huomaa, että saatava ortonormaali joukko riippuu paitsi vektoreista v j myös niiden järjestyksestä. Tehtävä.1. Näytä, että äärellisdimensioisen sisätuloavaruuden mielivaltainen ortonormaali joukko voidaan täydentää ortonormaaliksi kannaksi. Esimerkki.3. Lähdetään liikkeelle R 3 :n kannasta {v 1, v, v 3 } = { [ [ 1 1 [ 11 } 10,,. Saadaan: q 1 = 1 [ 110 w = [ 1 0 q = 1 1 [ 11 w 3 = [ q 3 00 =. 1 Näin saatiin ortonormaali kanta { [ [ 110 = [ 1 [ 1 = [ 110, 1 [ 1 10, [ [ = 0 [ 00 1 }. [ 00 0
21 1 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003/ Heikki Apiola 3. Ortogonaalisuus, matriisityyppejä ja spektrejä Reaalinen Kompleksinen Symmetrinen: A T = A Hermiittinen: A T = A Vinosymmetrinen: A T = A A T = A Ortogonaalinen: A T = A 1 A T = A 1. Merkintöjä: A = A T, usein merkitään myös A, myös A H esiintyy ("hermitointi"). Merkintä A on sama kuin Matlab:ssa. Käyttämällä merkintää A (tai vastaavaa synonyymia), voidaan yllä olevat ehdot lausua yhtenäisesti: Hermiittinen tai symmetrisen ehto on: A = A, jne. Aloitamme lemmalla, joka on hyödyllinen monissa seuraavissa todistuksissa. Huomaa, että vaikka olisimme kiinnostuneita vain reaalisista matriiseista, on alla olevat laskut suoritettava kompleksiluvuilla, koska ominaisarvot ja ominaisvektorit saattavat sisältää kompleksilukuja. Lemma 3.1. Olkoon A (m n)- matriisi ja olkoot u C n ja v C m. Tällöin Au, v = u, A v. Tod. Au, v = (Au) T v = u T A T v = }{{} A T =A u T A v = u, A v Ortogonaaliset matriisit. Ortogonaalisen matriisin prototyyppi on tason kierto. Toinen tyypillinen on heijastus jonkin origon kautta kulkevan suoran suhteen. Näiden matriisit ovat [ cos (φ) sin (φ) sin (φ) cos (φ) ja [ cos (φ) sin (φ) sin (φ) cos (φ). Edellisen determinantti = 1 ja jälkimmäisen 1. Determinanttien kertosäännön perusteella ortogonaaliselle matriisille pätee aina: (det A) = det(aa T ) = det I = 1, joten det A = ±1. Lause 3. (KRE Thm. 3). Reaalinen matriisi A on ortogonaalinen, jos ja vain jos sen rivit muodostavat ortonormaalin joukon, jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin joukon. Tod. Eipä muuta, kuin ajatellaan matriisitulon määritelmää yhtälössä A T A = I. Jos merkitään rivivektoreita a i. ja sarakevektoreita a.j, niin (A T A) ij = a T i.a.j = a.i, a.j. Jos merkitään δ ij :llä ns. Kroneckerin deltaa, joka lyhyesti sanottuna tarkoittaa yksikkömatriisin alkiota (I) ij, niin ehto A T A = I merkitsee samaa kuin (A T A) ij = δ ij, eli a.i, a.j = δ ij, joka tarkoittaa juuri sarakevektorien ortonormaalisuutta. Rivivektoreilla aivan vastaavasti tarkastelemalla tuloa AA T = I.
22 Kääntäen muistamme "lineaarialgebran ihmeen": r(a T ) = r(a), jonka perusteella jo toinen ehdoista AA T = I tai A T A = I takaa käänteismatriisin olemassaolon, eli sen, että molemmat ovat voimassa. Siten sarakkeiden (ja yhtä hyvin rivien) ortonormaalisuudesta seuraa matriisin ortogonaalisuus. Lause 3.3 (KRE s. 38, Lop. s. 730). Ortogonaalinen kuvaus säilyttää sisätulon ja siten vektorin normin, ts. Au, Av = u, v. Tod. Olkoon u = Aa, v = Ab. u, v = Aa, Ab = A Aa, b = a, b, koska A A = I. Erityisesti u = u, u = a, a = a. Listataan myös edellä laskettu det ominaisuus lauseeksi: Lause 3.4. Ortogonaalisen matriisin det = ±1. Lause 3.5. Ortogonaalisen matriisin ominaisarvot ovat yksikköympyrällä, ts, λ = 1 kaikille ominaisarvoille λ. Tod. Kuten edellä totesimme, Au = u. Jos u, λ on omisarvo/-vektoripari, niin Au = λu, u 0. u = Au = λ u. Koska u = 0, voidaan sillä jakaa, ja saadaan λ = 1. Huomautus 3.1. Yllä oleva todistus menee sanasta sanaan myös unitaariselle. 3.. Symmetrinen (hermiittinen) ja vinosymmetrinen matriisi. Lause 3.6 (Lop s. 73, KRE8 s. 387). (Hiukan eri muodot) Olkoon A symmetrinen reaalinen matriisi (kohdassa (1b) vinosymmetrinen). (1) A:n ominaisarvot ovat reaaliset. (1 b) Vinosymmtrisen A :n puhtaasti imaginaariset () A:n eri ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. (3) A:n ominaisvektoreista voidaan muodostaa jopa ortonormaali kanta R n :lle. (4) A on diagonalisoituva, diagonalisoiva matriisi voidaan valita ortogonaaliseksi, ts. voidaan kirjoittaa A = SDS T, missä S on ortogonaalinen. Tod. (1) Olkoon Ax = λx, x 0. Huomaa, että seuraavat laskut on tehtävä kompleksiluvuilla, koska emmehän voi todistuksessa käyttää väitettä hyväksi! :-) Turvaudumme tuohon mainioon lemmaan, jonka jälkeen kaikki risuaidat saadaan jättää taakse. Ax, x = λ x, x = λ x. Tuon mainitun mainion mukaan vasen puoli on: x, A T x = x, Ax = x, λx = λ x, x. Siis λ x = λ x, josta jakamalla x : lla ( 0) saadaan λ = λ, eli λ R.
23 Vinosymmtrinen tapaus menee aivan samoin, paitsi -merkki, joka antaa johtopäätöksen: λ = λ, joka merkitsee sitä, että reaaliosa on nolla, kuten väitettiin. () Olkoon Ax = λx, Ay = µy, λ µ. Ax, y = x, Ay Ax, y = λx, y = λ x, y x, Ay = x, µy =µ x, y (µ = µ). Koska λ = µ, on oltava x, y = 0. (3) Tämä on syvällisempi tulos, todistetaan kylläkin L3:ssa (kts. [TE), perustuu ns. Schur'n hajoitelmaan. (4) Kanta voidaan valita ortonormaaliksi, koska eri ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat keskenään ortogonaalisia. Kussakin ominaisavaruudessa voidaan suorittaa edellä esitetty Gram-Schmidt'n ortonormalisointi, jolloin saadaan koko avaruuden ON kanta. 6 A voidaan siis diagonalisointilauseen mukaan kirjoittaa muotoon A = V DV 1, missä V :n sarakkeet ovat A :n ominaisvektoreita (samassa järjestyksessä kuin vastaavat ominaisarvot D :ssä. Voidaan siis valitaa V : n sarakkeet ortonormaaleiksi, eli V ortogonaaliseksi, jolloin V 1 = V T. Huomautus 3.. Symmetrisen matriisin diagonaaliesitys ei automaattisesti ole muotoa V DV T, vaan sitä varten on huolehdittava, että (a) V:n sarakkeet on normeerattu ykkösiksi. (b) Useampikertaisia ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit on ortonormeerattu. Huomautus 3.3. Jos käytämme jotain ominaisarvot laskevaa ohjelmaa, emme voi (ilman dokumentointiin perehtymistä) tietää, saadaanko automaattisesti tällainen muoto. Matlab:n tapauksessa helptekstikään ei kerro. Esimerkki-istunto: >> A=rand(10,10); % 10 x 10-satunnaismatriisi. >> A=A*A'; % Eräs tapa tehdä symmetrinen (toinen: A+A') >> [V,D=eig(A); 3 >> V*V' Columns 1 through >> format long % Suurempi tulostustarkkuus. >> V*V'; ans(1:5,1:5) 6 ON: ortonormaali, OG: ortogonaalinen
24 % Laskentatarkkuuden puitteissa V on ortogonaalinen. >> format % Palataan alkuperäiseen >> diag(d)'; ans(1:9) % Katsotaan vain 9 ekaa, että mahtuu sivulle % Ominaisarvot ovat erillisiä. Tämä koe oli vain osittain paljastava. On luonnollista, että satunnaisesti generoidun matriisin ominaisarvot ovat erilliset, niinpä ominaisvektorit ovat automaattisesti ortogonaaliset (koska teimme matriisista symmetrisen), ja kun Matlab aina normeeraa, niin ne ovat ortonormaalit. Yleisesti voidaan asia hoitaa varmasti oikein soveltamalla V matriisiin funktiota orth. >> help orth ORTH Orthogonalization. Q = ORTH(A) is an orthonormal basis for the range of A. That is, Q'*Q = I, the columns of Q span the same space as the columns of A, and the number of columns of Q is the rank of A. See also SVD, RANK, NULL.
1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotKurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola. 1. Ominaisarvot ja -vektorit
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 2003. 8.10.2003 Heikki Apiola Tämä pruju on kiireellä kirjoitettu. Viimeistely viivyttäisi liikaa 1. välikoetta ajatellen. Pyydän kertomaan havaituista virheistä
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja -vektorit
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 2005 27 lokakuuta 2005 Heikki Apiola Kirjallisuutta,www-sivuja [KRE Kreyszig Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed,wiley,1999 [Lay Lay Linear Algebra, 3 rd
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLuennon ti kalvoja + ominaisarvopruju
Luennon ti 14.11. kalvoja + ominaisarvopruju 1. Kanta, dimensio Lay 2.9, 4.5, 4.6 http://math.tkk.fi/opetus/k3/03/l/la2.html#kanta ja dimensio KRE 7.5. s. 354 Ajattelemme R n :n aliavaruutta H. Aivan samat
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotBM20A0700, Matematiikka KoTiB2
BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMatriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi
MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedot