Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola. 1. Ominaisarvot ja -vektorit
|
|
- Juha-Pekka Kalevi Myllymäki
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä Heikki Apiola Tämä pruju on kiireellä kirjoitettu. Viimeistely viivyttäisi liikaa 1. välikoetta ajatellen. Pyydän kertomaan havaituista virheistä ja puutteista. Kirjoitan tarpeellisen määrän korjaussivuja www-sivulle, joka löytyy hakemistosta...l/. 1. Ominaisarvot ja -vektorit Tarkasteltavana oleva matriisi on koko ajan neliömatriisi, A(n n). Johdanto. Ajatellaan neliömatriisia ennen kaikkea A sen määräämään lineaarikuvauksen kannalta. Tähän asti staattisia ongelmia: lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu. Nyt käsittelemme dynaamisia tehtäviä. Tyypillisesti tarkastelemme iteraatiota Alkupiste x 0, x k+1 = Ax k, k = 0, 1, 2,.... Tällöin joudumme laskemaan matriisin potensseja (joita neliömatriisille voidaan laskea). Sovellutuksina näemme mm. dikreettejä dynaamisia systeemejä (dierenssiyhtälösysteemejä) ja dierentiaaliyhtälösysteemejä. Ominaisarvotehtäviä tulee luonnontieteellissä sovelluksissa vastaan hyvin monessa paikassa. Kyseessä on myös insinöörimatematiikan kaikkein tärkeimpään ydinalueeseen kuuluva aihepiiri. Lisäksi: kaunis kappale lineaarialgebraa Määritelmä ja perusominaisuudet. (Eigenvalues, eigenvectors) A on neliömatriisi (n n) Tarkastellaan yhtälöä (1.1) Ax = λx, λ C Yhtälöllä on aina triviaaliratkaisu x=0, olipa λ mikä tahansa kompleksiluku. Tehtävä: (a) Määritä luku λ siten, että yhtälöllä (1.2) on ei-triviaaleja ratkaisuvektoreita x. (b) Määritä sitten kutakin ratkaisua λ kohti ao. ratkaisuvektorit x. Määritelmä 1.1. Lukua λ sanotaan matriisin A ominaisarvoksi ja vektoria x 0 vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos Ax = λx. Geometrisesti ominaisvektori tarkoittaa suuntaa, joka säilyy samana (tai vastakkaisena) sovellettaessa lineaarikuvausta A. Ominaisarvo kuvaa venytys/kutistussuhdetta, negatiivisessa tapauksessa lisäksi suunnan vaihtoa. Tämä kuvailu pätee reaalisiin ominaisarvoihin 1
2 2 (ja -vektoreihin) nähden. Kompleksisessa tapauksessa tilanne voi olla "epäintuitiivisempi", kannattaa muistaa, että esim. i:llä kertominen merkitsee kiertoa tasossa kulman π/2 verran, joten skalaarilla kertominen ei tarkoita (reaalisella) suoralla pysyttelemistä. Tehtävän muokkaus ratkaistavaan muotoon. (1.2) Ax = λx, λ C (A λi)x = 0 Kyseessä on siis homogeeniyhtälö, jonka kerroinmatriisi sisältää parametrin λ. Se pitää valita siten, että HY:llä on ei-triv. ratkaisuja, ts. Gaussin eliminaation on tuotettava ainakin 1 nollarivi, joten on oltava det(a λi) = 0. Esimerkki 1.1. A = saadaan mukava tekijöihin jako: Lasketaan ominaisvektorit Muodostetaan D(λ) = det(a λi), tässä tapauksessa D(λ) = (λ + 2) (λ 6) 2 Sijoitetaan karakteristiseen matriisiin K λ = A λi λ:n paikalle vuorollaan kukin ominaisarvo. Ominaisarvoon λ 1 = 2 liittyvät ominaisvektorit K λ1 = Tässä ei rivioperaatioita tarvita. Alin rivi voidaan jättää pois (identtinen ylimmän kanssa). Voidaan haluttaessa jakaa 1. rivi 4:llä ja toinen 8:lla, muttei sekään ole tarpeen. 2. rivi = x 3 vapaa ja x 2 = rivi = x 1 = x 3. Jos valitaan: x 3 = 1, saadaan v 1 = [ 1, 0, 1] T. Saadaan 1-ulotteinen ominaisavaruus, kuten pitääkin, koska aina pätee: 1 m λ M λ ja viimemainittu on = 1. Yleisesti voitaisiin muodostaa ref (tai rref). ref (K λ1 ) = Tästä nähdään heti, että nolla-avaruuden dimensio = 1. (n-tukisarakkeiden lkm = nollarvien lkm, kun kerran on neliömatriisi.) Tässä tapauksessa laskut eivät edellisestä yksinkertaistu, koska matriisi oli jo heti yhtä rivioperaatiota ja normeerausta vaille jopa rref-muodossa. (Huomaa, että 2 2-systeemissä riittää aina rajoittua toiseen yhtälöön (jos ominaisarvot on oikein laskettu, ellei, niin who cares :-)), rivioperaatiota ei siten tarvita ollenkaan.)
3 Ominaisarvoon λ 2 = 6 liittyvät ominaisvektorit K λ2 = Nyt jää vain yksi yhtälö, jossa voidaan kaksi muuttujaa valita vapaasti, vaikkapa x 3 ja x 2, ja ratkaisemalla x 1 = x 3. Saadaan kaksi LRT ominaisvektoria valitsemalla ensin x 3 = 1, x 2 = 0 ja sitten päinvastoin x 3 = 0, x 2 = 1 u 1 = [ 1, 0, 1] T, u 2 = [0, 1, 0] T. Kertaluvut ovat taas samat: m λ2 = M λ2 = 2. Jäljempänä esitettävän lauseen mukaan eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT, joten voimme sen turvin suoraan päätellä, että laskemamme 3 ominaisvektoria ovat LRT ja siis R 3 :n kanta. Ilman tuota lausetta täytyisi turvautua ref:iin. Huomautus 1.1. Varo harhaluulemasta, että lineaarinen riippumattomuus voitaisiin todistaa osissa niin, että osoitettaisiin vaikka kaksi vektoria LRT:ksi ja kolmas kummastakin LRT:ksi. Tokihan kolmas voi sijaita kahden virittämässä tasossa (ja muodostaa siis ensinmainittujen kanssa LRV joukon) ja olla kummankin kanssa eri suuntainen. Edellä mainitussa (jäljempänä esitettävässä) lauseessa esiintyvässä "ominaisvektoriniputuksessa"on kyse siitä, että kaikki mahdolliset valinnat eri ominaisavaruuksista antavat LRT vektorijoukon. Palataan tähän vielä tuon lauseen todistuksen yhteydessä. Samalla täydennetään kuennolla kenties hiukan kevyesti käsiteltyä kohtaa. 3 Kaksi peruslausetta. Jos determinantti D(λ) = det(a λi) kehitetään vaikkapa 1. sarakkeen mukaan, nähdään, että se on polynomi, joka on muotoa: D(λ) = ( 1) n λ n det A. Polynomi, jota sanotaan karakteristiseksi polynomiksi, on siis aina astetta n. Algebran peruslauseen mukaan sillä on ainakin yksi 0-kohta kompleksitasossa. Saadaan siten: Lause 1.1 (KRE8 Thm. 1 s. 373). Neliömatriisilla A (n n) on ainakin yksi ja korkeintaan n erillistä ominaisarvoa. Ne voivat olla kompleksisia, vaikka matriisi olisi reaalinen. Karakteristinen polynomi voidaan kirjoittaa muotoon: D(λ) = (λ λ 1 ) k1 (λ λ n ) kn Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku M λ tarkoittaa kyseisen polynomin nollakohdan kertalukua. Siten M λk ilmaisee siis potenssin p k, jossa tekijä (λ λ k ) esiintyy. Voidaan sanoa, että n n-matriisilla on n kappaletta ominaisarvoja, kun kukin otetaan niin monta kertaa kuin sen algebrallinen kertaluku ilmaisee.
4 4 Muistutamme, että ominaisarvoon λ liittyvä ominaisavaruus E λ koostuu kaikista λ:aan liittyvistä ominaisvektoreista ja nollavektorista. E λ on vektorialiavaruus, koska se on (A λi):n nolla-avaruus. Tämä on "se toinen lause": Lause 1.2 (KRE8 Thm 2 s. 373). Ominaisavaruus E λ on "nimensä veroinen", siis aliavaruus. KRE- kirjan lause sanoo vain, että vakio kertaa ominaisvektori on edelleen samaan ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Tämä sinänsä tärkeä huomio on erikoistapaus edellä olevasta. Ominaisarvojen ja -vektorien laskeminen. Edellisen esimerkin mallin mukaan voidaan kirjoittaa yleinen toimintaohje: 1. Muodostetaan karakteristinen polynomi D(λ) = det(a λi) ja ratkaistaan sen nollakohdat, näin saadaan ominaisarvot. 2. Ratkaistaan homogeeniyhtälö (A λi)x = 0, ts. määrätään nolla-avaruus N(A λi) kullakin ominaisarvolla λ. Ratkaisussa on ainakin yksi vapaa parametri, sanokaamme t, joka voidaan valita mielivaltaisesti (esim. t=1). Jos vapaita parametrejä on useita, täytyy pitää huoli siitä, että saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisuvektorit. Varma valinta esim. tapauksessa "3 vapaata parametria"on: 1. om. vekt. : parametrit: 1, 0, 0 2. om. vekt. : parametrit: 0, 1, 0 3. om. vekt. : parametrit: 0, 0, 1. Huomautus Ominaisarvot ovat 1-käs, ominaisvektorit eivät. 2. Kuhunkin ominaisarvoon liittyy ominaisavaruus, päämääränä on löytää jokin kanta ominaisavaruudelle. Käytännön (numeerisista) laskentamenetelmistä Polynomiyhtälön ratkaisussa on useimmiten turvauduttava numeerisiin menetelmiin. Matlabissa on tähän tarkoitukseen funktio roots. Oikeissa numeerisissa menetelmissä lasketaan ensin ominaisvektorit (tai esim. muutama dominoiva ominaisvektori sellaiset, jotka vastaavat muutamaa suurinta ominaisarvoa). Ominaisarvot lasketaan vasta sitten. Itse asiassa Matlabin roots-komennon käyttö ominaisarvotehtävissä on lievää "itsepetosta". Se perustuu algoritmiin, joka laskee annettuun polynomiin liittyvän matriisin, ns. companion matrix:n ominaisvektorit ja sitten ominaisarvot. Sivutuotteena, eräänlaisena kuriositeettina, siitä saadaan helposti kohtuullinen polynomiyhtälön ratkaisija. Ominaisarvojen laskenta tätä kautta on siten hyödyllistä pelkästään perusasioiden opetteluun. Oikeaan laskentaan käytetään komentoa eig.
5 Matlabin isä Cleve Moler, joka on eräs nykyaikaisen tieteellisen laskennan huomattavia vaikuttajapersoonallisuuksia, pitänee polynomiyhtälön ratkaisemista nykyaikana hieman numeerisen analyysin sivuraiteille kuuluvaksi. Siitä syystä hän ei luultavasti ole kiiruhtanut ottamaan Matlabiin parasta alan algoritmia käyttöön. Myös Matlabin historia on hyvin vahvasti juuri lineaarialgebrassa. Sillä alueella on erityisesti panostettu parhaisiin algoritmeihin, toki sitten myös mm. dierentiaaliyhtälöissä Perusesimerkit: defektiivinen, kompleksinen. Edellä oli esimerkki tapauksesta, jossa algebralliset ja geometriset kertaluvut olivat samoja. Näin ei aina ole. [ ] 0 1 Esimerkki 1.2. Olkoon A = 0 0 D(λ) = λ 2, joten λ = 0 on kaksinkertainen ominaisarvo. Ominaisavaruus on sama kuin A:n nolla-avaruus, jonka virittää vektori [1, 0] T. Siis ominaisarvon 0 geometrinen kertaluku on 1. Matriisi on defektiivinen, ominaisvektoreita ei ole "tarpeeksi". Lause 1.3. Yleisesti pätee: m λ M λ. Aito < on mahdollinen. Tod. Edellinen on jossain määrin syvällinen asia, perustelu on pakko sivuuttaa. Jälkimmäisen perustelee vaikkapa edellinen esimerkki. Esimerkki 1.3. KRE esim. 4 s Reaalinen matriisi, jolla on kompleksiset ominaisarvot (ja -vektorit) A = [ ] Ominaisarvot λ = ±i, ominaisvektorit: λ = i Ratkaistavaksi tulee yhtälö ix 1 +x 2 = 0. Jos valitaan x 2 = 1, on x 1 = 1/i = i. Saadaan ominaisvektoriksi [ i, 1] T. Yhtä hyvin voidaan kertoa vaikka i:llä, joka antaa: [1, i]. Ominaisarvoa λ = i vastaava ominaisvektori saadaan samalla tavalla. Itse asiassa sitä ei tarvitse koskaan laskea, koska se on aina liittolukua vastaavan ominaisvektorin liittovektori. (Tällä tarkoitamme vektoria, jonka koordinaatit ovat edellisen liittolukuja.) Todistetaan tämä oikein lauseena. Lause 1.4. Reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain liittolukuja. Liittolukuja vastaavat ominaisvektorit ovat toistensa liittovektoreita. Tod. 1. D(λ) on reaalikertoiminen polynomi, joten väite seuraa kompleksilukujen peruslauseesta (kts. vaikka kompleksilukupruju). 2. Olkoon u ominaisarvoon λ = α + iβ liittyvä ominaisvektori. Kirjoitetaan u muodossa x + iy. Au = (α + iβ)u = (α + iβ)(x + iy) = αx βy + i(βx + αy). Au = Au = (αx βy)(x iy) = λu. 5
6 6 Yhteenveto käsitteistä ja määritelmistä. 1. Ominaisavaruus: Tiettyyn ominaisarvoon kuuluvien ominaisvektorien joukko täydennettynä 0-vektorilla (jotta saadaan VA). 2. Spektri= ominaisarvojen joukko (kompleksitason osajoukko) 3. Spektraalisäde: itseisarvoltaan suurimman ominaisarvon itseisarvo. Se antaa ympyrän säteen, jonka sisällä kaikki ominaisarvot (eli spektrin pisteet) ovat. 4. Karakteristinen polynomi : D(λ) = det(a λi). 5. Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku = p k, kun karakteristinen polynomi esitetään tekijöihin jaetussa muodossa: D(λ) = (λ λ 1 ) k1 (λ λ n ) k n Ominaisarvon λ k algebrallinen kertaluku M λ ilmaisee siis potenssin p k, jossa tekijä (λ λ k ) esiintyy. 6. Geometrinen kertaluku m λ tarkoittaa vastaavan ominaisavaruuden dimensiota. 7. Pätee: m λ M λ 8. Matriisi A on defektiivinen, jos jollain ominaisarvolla λ pätee aito pienemmyys: m λ < M λ 1.3. Sovellutusesimerkkejä Joustavan kalvon venytys, lineaarikuvauksen pääakselit. Yksikkökiekko olkoon joustava kalvo, jota muotoilee lineaarikuvauksen [ ] 5 3 A = 3 5 määräämä voimakenttä. Määritä pääsuunnat, eli vektorit, joille siirtymävektori on saman tai vastakkaissuuntainen tuon annetun vektorin kanssa. Ratkaisu Lasketaan ominaisarvot ja -vektorit, helppo homma: λ 1 = 8, λ 2 = 2. Vastaavat ominaisvektorit: u 1 = [1, 1] T, u 2 = [ 1, 1] T (Laskettu myös Matlabilla alla.) Esitetään mielivaltainen tason vektori u ominaisvektorikannassa: u = ξ 1 u 1 + ξ 2 u 2. Tällöin z = Au = ξ 1 Au 1 + Aξ 2 u 2 = ξ 1 λ 1 u 1 + ξ 2 λ 2 u 2 = 8ξ 1 u 1 + 2ξ 2 u 2. Koordinaattien välinen kuvaus on ihana: [ξ 1, ξ 2 ] [8ξ 1, 2ξ 2 ]. (Kumpikin kuvakoordinaatti riippuu vain omasta lähtökoordinaatistaan.)
7 Tässä tapauksessa sattuu vielä niin onnellisesti, että ominaisvektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa 1, jolloin meillä on uusi luonteva suorakulmainen koordinaatisto, johon voimme astua ja esittää pisteiden koordinaatit normaalissa napakoordinaatistossa u 1 u 2 -akselien suhteen. Otetaanpa siis jokin yksikköympyrän piste: cos φu 1 + sin φu 2. Sen kuvapiste on siis 8 cos φu sin φu 2. Kuvapisteet piirtävät siten ellipsin, jonka esitys pääakselikoordinaatistossa u 1 u 2 on 7 Toisin sanoen Matlab-ajo Tiedostossa../L/paakseli.m { ξ 1 = 8 cos φ ξ 2 = 2 sin φ ( ) 2 ξ1 + 8, ( ) 2 ξ2 = 1. 2 % paakseli.m clear; clf t=linspace(-pi,pi); Yymp=exp(i*t); Yymp=[real(Yymp);imag(Yymp)]; plot(yymp(1,:),yymp(2,:),'b') axis square A=[5 3;3 5] kuva=a*yymp; hold on plot(kuva(1,:),kuva(2,:),'r') shg % Jako 100:aan osaan. % Yksikköympyrän 100 pistettä. % Pisteet matriisin sarakkeiksi % ympyrän kuvapisteet Lasketaan nyt ominaisarvot ja -vektorit. figure(2) [V,D]=eig(A) lam=diag(d) lam = 2 8 clf phi=linspace(-pi,pi); z1=lam(1)*cos(phi);z2=lam(2)*sin(phi); plot(z1,z2,'--g') 1 Jos osaisimme teoriaa enemmän, tietäisimme jo matriisin ulkonäöstä, että näin käy, koska matriisi on symmetrinen.
8 8 Kuva 1. Yksikköympyrä ja sen kuva axis square axis equal % Kierretään oikeaan asentoon: ell=v*[z1;z2]; hold on plot(ell(1,:),ell(2,:),'r') axis square axis equal u1aks=[[0;0] lam(1)*v(:,1)]; plot(u1aks(1,:),u1aks(2,:),'k') u2aks=[[0;0] lam(2)*v(:,2)]; plot(u2aks(1,:),u2aks(2,:),'k') shg Matlab halusi valita pienemmän ominaisarvon ensin, no annettiin sen tehdä, jolloin peruskoordinaatistossa ellipsi nousi pystyasentoon, mutta samaanpa päätyi koordinaattimuunnoksen (kierron) jälkeen Stokastinen matriisi, Markovin prosessi. KRE8 s. 318 (matrix multiplication) Oletetaan, että vuonna 2003 erään kaupungin maankäyttö jakaantuu näin: I asuntoalue 30% II kaupallinen käyttöalue 20% III teollisuusalue 50%
9 9 Kuva 2. Kuvaellipsi peruskoordinaatistossa ja kierrettynä pääakseleille Oletetaan, että siirtymätodennäköisyydet 5-vuotisjakson aikana saadaan matriisista P= I:stä II:sta III:sta I:een II:een III:een 2 Matlabilla voidaan iteroida vaikka tähän tapaan. Tulostetaan vaakavektoreina tilan säästön ja selkeyden vuoksi. >> P=[ ; ; ] >> x0=[30;20;50]; >> x0' % v >> x=x0 % x olkoon muuttuja, johon iterointi kohdistuu. >> x=p*x; x' % Selkeyden takia katsotaan vaakasuorassa % v >> x=p*x; x' % v >> x=p*x; x' % v Tämä oli siis pelkkää matriisikertolaskuharjoittelua. 2 P on sama kuin KRE-kirjan A T
10 10 Ominaisarvoteoria tulee mukaan, kun kysellään, mitä tapahtuu pitkällä aikavälillä. Voidaan tietysti harrastaa matriisikertolaskua raakaan voimaan turvautuen, mutta se ei anna eväitä analysoida tilannetta. Lasketaanpa ominaisarvot ja -vektorit: >> [V,D]=eig(P) V = D = Nähdään, että kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, suurin on 1 ja muut ovat pienempiä. Myöhemmin osoitetaan, että eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat LRT, niinpä tässä tapauksessa on. Kun ei sitä vielä ole ollut, katsotaan vanhoilla yleisluontoisilla konsteilla. >> rref(v) No kyllä vaan! Siispä ne muodostavat R 3 :n kannan. Aivan, kuten äskeisessä esimerkissä, saadaan mahdollisimman yksinkertainen tilanne operoimalla ominaisvektorikannassa. Merkitään ominaisvektoreita: v 1, v 2, v 3, ja esitetään: x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3. No mutta tällöinhän: x 1 = P x 0 = c 1 λ 1 v 1 + c 2 λ 2 v 2 + c 3 λ 3 v 3, missä λ 1 = 1. Jatkamalla iterointia, saadaan: x k = c 1 v 1 + c 2 λ k 2v 2 + c 3 λ k 3v 3. Koska 0 < λ j < 1, kun j = 2, 3, lähenevät 2 viimeistä termiä kohti 0:aa, kun k kasvaa. Siten prosessia dominoi ykköstä (suurinta) ominaisarvoa vastaava ominaisvektori. Rajalla päädytään vektoriin c 1 v 1.
11 11 Tässä tapauksessa: >> Vx0=[V x0] % Edellähän tehtiin [V,D] = eig(p); Vx0 = >> rref(vx0) Niinpä c 1 = , joten pitkällä aikavälillä tilanne stabiloituu jakaumaan: >> *V(:,1) Maagista!! Siten saadaan (lähtöpisteestä riippumatta) sellainen ominaisarvoa 1 vastaavan ominaisvektorin suuntainen tulos, jonka koordinaattien summa = 100. small Maagiselta tuntuu kenties se, että c 1 -kerroin on sama riippumatta alkupisteestä. Se selittyy lisäehdosta x 1 + x 2 + x 3 = 100. Tämä ominaisuus säilyy P-matriisilla kerrottaessa, joten rajavektorilla on sama ominaisuus. Siten raja-vektori on sellainen dominoivan ominaisvektorin suuntainen vektori, jonka koordinaatit 0 ja x 1 + x 2 + x 3 = 100. Taatusti siis riippumaton alkupisteen valinnasta. (Koordinaattisumma säilyy sillä: i p i,j = 1 j. Olkoon y i = p ij x j. i y i = i j p ijx j = j ( i p ij)x j = j x j. ) Populaatiodynamiikkaa. Esimerkki 1.4 (Täpläpöllöjen henkiinjäämistaistelu Kaliforniassa). Vuonna 1990 oli vastakkainasettelu puuteollisuuden ja ympäristönsuojelijoiden välillä. Vanhojen ikimetsien hakkuut ja sen seurauksena mm. täpläpöllöjen tuhoutuminen, vastaan työpaikan menetys puuteollisuudessa. Matemaatikot ryhtyivät viileän objektiivisesti tutkimaan. Täpläpöllön elinkaari voidaan jakaa kolmeen luokkaan: 1. Lapsuus, 0 1 v., 2. esiaikuisuus, 1 2 v., 3. aikuisuus, yli 2 v. Keskimääräinen elinikä n. 20 v. Kriittinen ajanjakso on silloin, kun lapsipöllö lähtee pesästään, jolloin sen on löydettävä uusi kotialue ja pari.
12 12 Mallinnetaan tilannetta tarkastelemalla populaatiota vuoden välein ja jakamalle se näihin kolmeen luokkaan. Oletetaan, että naaraita ja uroita on samanverran, jolloin tarvitsee tarkastella vain naisväkeä. Populaatiovektori vuonna k olkoon x k = [l k, e k, a k ] ("lapsi", "esiaikuinen", "aikuinen"). l k+1 e k+1 a k+1 = l k e k a k 1. rivi: Kukin aikuinen naaras synnyttää keskimäärin 0.33 tyttölapsipöllöä vuonna k (vuoden k+1 alkuun mennessä). 2. rivi: Keskimäärin 0.18 tyttölasta selviytyy esiaikuiseksi vuoden k + 1 alkuun. 3. rivi: Vuoden k esiaikuisista 0.71 selviytyy aikuisuuteen ja aikuisista 0.94 jatkaa aikuiselämää vuonna k + 1. Yllä olevaa matriisia A voidaan kutsua "vaihematriisiksi"("stage matrix"). Tämä on peräisin oikeasta tutkimusaineistosta: Lamberson et. al: Dynamic analysis of the viability of the Northern spotted owl in a fragmented forest environment, julkaisussa: Conservation biology vuodelta Tässä matriisissa alkio a 2,1 = 0.18 on se, joihin ympäristötekijät eniten vaikuttavat. Jos ikimetsät hakataan aukeiksi, niin tämä arvo käy liian pieneksi. Arvo 0.18 on jo liian pieni, kuten nähdään. Muotoa x k+1 = Ax k olevaa systeemiä sanotaan dierenssiyhtälöksi, usein puhutaan myös diskreetistä dynaamisesta systeemistä. Yllä oleva esimerkki on peräisin kirjasta [?], [?]-kirjassa vastaavanlainen esimerkki esiintyy nimellä Leslie model s. 378, Example 3 Palattaneen tähän esmerkkiin myöhemmin Matriisin diagonalisointi (KRE 7.5). Tutkitaan erityisesti ominaisvektorien ominaisuuksia. Jos ominaisvektoreita on tarpeeksi (n lineaarisesti riippumatonta, kun matriisin koko on n n, saadaan herkkupöytä katetuksi. Määritelmä 1.2. Neliömatriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa säännöllinen (kääntyvä) P siten, että B = P 1 AP. Merkitään A B. Lause 1.5 (Similaarisuus säilyttää ominaisarvot, KRE Thm 1). Tod. Joko suoraan oma/omvmääritelmästä, nähdään, että jos x on A:n λ:aan liittyvä ominaisvektori, niin y = P 1 x on samaa λ:aa vastaava B:n ominaisvektori, missä B = P 1 AP. Vaihtoehtoinen todistus: D B (λ) = det(b λi) =... = det(a λi) = D A (λ).
13 Ominaisvektorien ominaisuuksia Lause 1.6 (KRE s. 392). Olkoot λ 1,..., λ k matriisin A erillisiä ominaisarvoja. Tällöin vastaavat ominaisvektorit ovat LRT Tod. 1) Todistetaan ensin 2:n ominaisvektorin tapauksessa. Olk. λ 1 λ 2, ja olkoot v 1 ja v 2 vastaavat ominaisvektorit. Kirjoitetaan vektoriyhtälö c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0. Sovelletaan siihen A:ta (eli kerrotaan vasemmalta A:lla) ja käytetään ominaisuutta Av j = λ j v j, j = 1, 2. Gaussin eliminaatiolla saadaan v 1 -osuus nollatuksi, jolloin ehdosta c 2 (λ 2 λ 1 )v 2 = 0 seuraa: c 2 = 0, koska λ 2 λ 1 0. Siten myös c 1 = 0. 2) Askel tapauksesta k = 2 tapaukseen k = 3 saadaan lähtemällä vektoriyhtälöstä 13 c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0. Aivan samanlaisella eliminaatioaskeleella kuin edellä, päästään jo todistettuun tapaukseen k = 2, josta päätellään: c 2 = c 3 = 0, mistä edelleen seuraa: c 1 = 0. Yleinen askel k k + 1 on periaatteessa aivan samanlainen. Tästä seuraa välittömästi: Lause 1.7. Jos n n-matriisilla A on n erillistä ominaisarvoa, niin R n :llä (kompl. tap. C n :llä) on A:n ominaisvektoreista koostuva kanta. Tätä käyttäen oltaisiin Markov-prosessi-tehtävässä voitu välttyä ei-dominoivien ominaisvektoreiden laskemiselta. Huomautus 1.3. Ominaisvektorikanta voi olla, vaikka esiintyisi moninkertaisia ominaisarvoja, kuten on nähty. Toisaalta olemme nähneet esimerkkejä (ainakin yhden), jossa käy huonosti: 2 2-matriisilla on vain yksi ominaissuora. Lause 1.8. R n :llä (C n :llä) on A:n ominaisvektorikanta, jos ja vain jos A:n jokaisella ominaisarvolla λ on m λ = M λ. Tod. Kyse on yksinkertaisesti siitä, että jos niputetaan kutakin erillistä ominaisarvoa vastaavien ominaisavaruuksien kannat omiksi nipuikseen, saadaan yhteensä n vektoria, jotka ovat LRT. Otetaan havainnollisuuden vuoksi vaikka kolme ominaisarvoa λ 1, λ 2, λ 3, joiden kertaluvut olkoot 1, 2, 3 vastaavasti. Olkoot vektoriniput {u}, {v 1, v 2 }, {w 1, w 2, w 3 }. Olkoon (c 1 u) + (c 2 v 1 + c 3 v 2 ) + (c 4 w 1 + c 5 w 2 + c 6 w 3 ) = 0. Suluissa olevat vektorilausekkeet ovat kaikki nollavektoreita. Jos nimittäin joku ei olisi, niin otettaisiin summaan kaikki nollasta erilliset sulkulausekkeet. Nämä ovat eri ominaisrvoihin liittyviä ominaisvektoreita, ja siis LRT. Niiden summa = 0, joten ristiriita LRT:n kanssa on valmis.
14 14 Kussakin sulkulausekkeessa esiintyvät vektorit ovat ao. ominaisavaruuden kantavektoreita (siis LRT), joten on oltava: (c 1 = 0), (c 2 = c 3 = 0), (c 4 = c 5 = c 6 = 0). Erilaisten matriisityyppien (kuten symmetristen, ortogonaalisten ym.) ominaisvektorikäytöstä selvitetään jatkossa. Ne jäävät 1. välikoealueen ulkopuolelle. Ominaisarvokannan arvo, diagonalisointi Jos avaruudella on A:n ominaisvektorikanta {u 1,..., u n, voidaan laskea aivan samoin kuin edellä mm. ellipsiesimerkissä:... Lause 1.9 (Diagonalisointi).... Tod.... [ ] 2 12 Esimerkki 1.5. Laske lauseke A k :lle, kun A =. 1 5 Ratkaisu Diagonalisoidaan: A = V DV 1, [ ] [ ] [ ] V =, D =, V 1 = [ ] [ ] [ ] Nyt A k = V D k V 1 = k 1 4 Kun suoritetaan kertolaskut, saadaan: [ ] 3 2 k k 12 A k = 2 k k 3 Tässä tapauksessa saatiin jopa yksinkertainen kaava A k :lle. Yleensä nyt ei ihan näin pitkälle päästä. Joka tapauksessa saadaan valtava säästö aritmetiikassa ja usein saadaan selkeä näkemys alunperin sotkuiseen asiaan. Lasketaan yksi pieni esimerkki Matlabilla: >> A=[0-4 -6;-1 0-3;1 2 5] A = >> [V,D]=eig(A)
15 15 V = D = >> VI=inv(V) VI = Tarkistetaan, laitetaan A ja V DV 1 vierekkäin (ja lisätään rajaviiva editoimalla). >> [A V*D*VI] Lasketaan vaikkapa A 16. >> A^ Lasketaan diagonalisoimalla: >> D16=D^16 D16 = 1.0e+04 *
16 16 Näin ei oikeastaan kannattaisi laskea. Nyt voimme nimittäin laskea pisteittäisen potenssin, kun on kyse diagonaalimatriisista. Silloin aritmetiikkaa on paljon vähemmän. >> D16=D.^16 D16 = 1.0e+04 * >> format bank >> V*D16*VI >> A^16 % Tässä taas vertailuksi raakaa voimaa: Maankäyttöesimerkki diagonalisoimalla. Edellä esitettiin lähtövektori ominaisvektorikannan avulla. Katsotaan, miltä homma näyttäisi diagonalisoimalla. Esitetään matriisi P muodossa P = V DV 1. Iteraatiojonon k:s termi on x k = P k x 0. Mutta P k = V D k V 1. D k = k k Kun k, niin Dlim = >> P=[ ; ; ] >> [V,D]=eig(P) V =
17 D = >> VI=inv(V) VI = >> Dlim=diag([1,0,0]) Dlim = >> V*Dlim*VI >> Plim=V*Dlim*VI Plim = >> Plim*[ ]'
18 >> Plim*[99.5.5]' Muokkaamatonta stua - - Lause 1.10 (SYM). Symmetrisen (yleisemmin hermiittisen) matriisin ominaisarvot ovat reaaliset ja eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaaliset. Ei vaikea. [QED] Lause 1.11 (SYMDIAG). Syvällinen. Symmetrisen matriisin jokaisen ominaisarvon algebrallinen ja geometrinen kertaluku on sama. Ts. ominaisvektoreista voidaan muodostaa (jopa ortonormeerattu kanta.) R n :ään. Merkitsee myös: Symmetrinen matriisi on diagonalisoituva "Syvällinen"tarkoittaa: todistus ylittää kurssin vaatimustason, vaan ei tuloksen soveltaminen. [QED] Joitakin esimerkkejä on laskettu (Maplella ja Matlabilla)
1. Ominaisarvot ja -vektorit
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 004. 4. marraskuuta 004 Heikki Apiola Kirjallisuutta. [KRE Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed.,wiley,1999. [Lay Lay. Linear Algebra, 3 rd ed.,addison
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja -vektorit
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 2005 27 lokakuuta 2005 Heikki Apiola Kirjallisuutta,www-sivuja [KRE Kreyszig Advanced Engineering Mathematics, 8 th ed,wiley,1999 [Lay Lay Linear Algebra, 3 rd
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotSimilaarisuus. Määritelmä. Huom.
Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
LisätiedotEsimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt
Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotLuennon ti kalvoja + ominaisarvopruju
Luennon ti 14.11. kalvoja + ominaisarvopruju 1. Kanta, dimensio Lay 2.9, 4.5, 4.6 http://math.tkk.fi/opetus/k3/03/l/la2.html#kanta ja dimensio KRE 7.5. s. 354 Ajattelemme R n :n aliavaruutta H. Aivan samat
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 41
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta, I/06 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 5 - Ratkaisut / vko 4 Tehtävä 5 (L): a) Oletetaan, että λ 0 on kääntyvän matriisin A ominaisarvo. Osoita, että /λ on matriisin A
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotDemorastitiedot saat demonstraattori Markus Niskaselta Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/104 Ensi viikolla luennot salissa X Torstaina 7.12. viimeiset demot (12.12. ja 13.12. viimeiset luennot). Torstaina 14.12 on välikoe 2, muista ilmoittautua! Demorastitiedot
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotTehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotLineaarialgebra II, MATH.1240 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg
Vaasan yliopisto, syksy 218 Lineaarialgebra II, MATH124 Matti laaksonen, Lassi Lilleberg Tentti T1, 284218 Ratkaise 4 tehtävää Kokeessa saa käyttää laskinta (myös graafista ja CAS-laskinta), mutta ei taulukkokirjaa
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut
MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotMilloin A diagonalisoituva?
Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D
LisätiedotNeliömuodoista, matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista
Neliömuodoista matriisin ominaisarvoista ja avaruuden kierroista Marko Moisio 1 Neliömuodoista ja matriisin ominaisarvoista Tarkastellaan toisen asteen tasokäyrän määräävää yhtälöä a + by 2 + 2cxy = d
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot