Pistetulo eli skalaaritulo

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Pistetulo eli skalaaritulo"

Mika Aaltonen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit alkavat samasta kohtaa ja pätee ei tämä α 0 α 180 Kulmaa merkitään α:lla tai a, tai yhtä hyvin, a. Samansuuntaisten vektorien kulma on siis 0 ja vastakkaissuuntaisten 180. Määritelmä, pistetulo: Pistetulo eli skalaaritulo on kahden nollasta eroavan vektorin a ja välinen tulo (pituuksien ja kulman kosinin välinen tulo), merkitään a ja luetaan a piste. Pistetulolle pätee 1. a = a cos a,, kun a, 0,. a = 0, kun a = 0 tai = 0. Huomautus a) Pistemerkintä aina näkyviin erotukseksi normaalista tulosta, jossa ei merkitä kertolaskupistettä (ellei haluta tuloa korostaa), siis normaali tulo pistetulo ta, t R ja a. ) Pistetulon arvo on toisen nimensä mukaisesti skalaari eli lukuarvo ei vektori! (On olemassa vektoritulo a, a risti, jonka tuloksena on vektori. Fysiikassa tulee vastaan. Tavoite, että ehditään). c) Käytetään myös nimitystä sisätulo. Esimerkki Olkoon a = 3i + 3j ja = 4i, jolloin a = 3 ja = 4. Kuvasta / laskun avulla nähdään, että y α = a, = 45 ja laskin antaa a cos α = 1. Näin ollen a = a cos a, = = 1. α x 1

2 Pistetulon merkki riippuu kulmasta α kosinin merkkisäännön mukaan a > 0, kun kulma α < 90 a = 0, kun kulma α = 90 a < 0, kun kulma α > 90 (mutta < 180 ) Huomioitavaa on, että pistetulo on nolla, kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tämä tulos kääntyy, nimittäin jos 0-vektorista poikkeavien vektoreiden pistetulo on nolla, niin silloin välttämättä vektorit ovat kohtisuorassa. (0-vektori on kaikkien vektorin kanssa.) Lause, vektorien kohtisuoruusehto: a a = 0, a, 0 Tätä tulosta hyödynnetään useasti jatkossa. Vektorien skalaaritulo noudattaa joitakin samoja laskulakeja kuin reaalilukujen tulo. Lause, skalaaritulon laskulakeja: Skalaaritulolle pätee 1. Vaihdannaisuuslaki a = a,. Osittelulaki a + c = a + a c ja 3. Skalaaritekijäin siirtosääntö ra = a r = r a Todistus Myöhemmin. Huomaa, ettei liitännäisyys- eli assosiatiivisuus-lakia voida käyttää niin kuin normaalille tulolle! Sitä ei ole edes määritelty. Siis = = = 60, normaali tulo. Mutta jos a = 3i + 3j, = 4i ja c = i + j, niin a c = a 8 TAI a c = 1 c, pistetulo. Lause, vektorien kohtisuoruusehto: a a = 0, a, 0

3 Tarkastellaan esimerkin omaisesti annetun vektorin a pistetuloa itsensä kanssa: määr. = 1 a a = a a cos 0 = a Näin ollen a = a a a = a a. Siis, vektorin pituus saadaan myös sisätulon kautta! Esimerkki Laske vektorin 3a pituus, kun a =, = 4 ja a, = 10. Koska a = ja = 4, on a = 4 ja = 16. Lisäksi a = 4 cos 10 = 4, joten 3a = 9 a 1 a + 4 = 9 a = = 148. Siis, 3a = 148 = 37 1,16. Lause, vektorin pituus: Vektorin pituuden neliö on yhtä suuri kuin vektorin skalaaritulo itsensä kanssa a = a a. Skalaaritulo lasketaan/määritetään yleensä toisella tapaa kuin määritelmä kautta. Syy: määritelmässä tarvitaan kulman mittaamista, mikä saattaa aiheuttaa virhettä. A Tarkastellaan vektoreiden CA = ja CB = a c = a määräämää kolmiota ABC, jossa on siis γ BA = c = a ja ABC = γ (kuva). C a B Olkoon a = a x i + a y j ja = x i + y j. Tällöin Nyt kosinilauseen nojalla c = a = x a x i + y a y j. c = a + a = a cos γ a = a cos γ = 1/ a + c 3

4 = 1 a x + a y + x + y x a x + y a y x x a x + a x y y a y + a y = 1 xa x + y a y = a x x + a y y Tulos pätee myös, kun γ = 0 tai γ = 180, jolloin kolmio surkastuu janaksi. On saatu käyttökelpoinen tulos: Lause, skalaaritulo kannassa i, j : Jos a = a x i + a y j ja = x i + y j, niin Esimerkki a = a x x + a y y. Olkoot a = 5i 3j ja = 7i + 4j. Tallöin a = 5i 3j 7i + 4j = = 47. Edellä käyty on toki totta, mutta toisaalta sama tulos olisi saatu hieman nopeammin. Nimittäin Esimerkki Olkoot a = 3i + j ja = i + 7j. Tallöin pistetulon laskulakien nojalla a = osittelulaki ja skalaaritekijäin siirtosääntö 3i + j i + 7j = 6 i i + 1 i j 6 j i + 14 j j Nyt i j = 0, samoin j i = 0 koska i j. Lisäksi i i = i = 1 kuten myös j j = j = 1. Näin ollen a = = 8. Huomautus 1) Lauseen tulos osoittaa, että koordinaattimuodossa ilmoitettujen (kannan i, j suhteen) vektoreiden pistetulo saadaan kertomalla ensin i- ja j-koordinaatit keskenään ja sitten summataan. ) Jos käyttää muuta kantaa, niin pitää varmistua, että kantavektorien pituus on yksi ja ne ovat kohtisuorassa muuten pistetulo ei toimi. Esimerkki löytynee Pedasta. Kun nyt pistetulo voidaan laskea tarkasti ja ennen kaikkea oikein koordinaateista lähtien, niin huomaa, että vektoreiden välinen kulma saadaan tarkasti määriteltyä. 4

5 Esimerkki Laske vektoreiden a = i 3j ja = 4i + j välisen kulman suuruus. Tiedetään, että a = a cos α, joten a a cos α = a. α Sijoitetaan arvot cos α = = 13 0 = 60 = 0,14 α = 8, EKSTRA Tätä ei kysytä kokeessa! Koska 1 cos α 1 aina (9.-kurssi), niin pätee a a a. Mutta tämä on samaa kuin, (muista x a a x a, a R) a a Kyseessä on Cauchy-Bunjakovski-Schwarzin epäyhtälö! Itseisarvot ovat vain jotain reaalilukuja Esimerkki Määritä vektoria r = 3i + 5j vastaan kohtisuora yksikkövektori. Etsitään ensin kohtisuora vektori s = s x i + s y j ja normeerataan se sitten yksikön mittaiseksi. Pistetulon nojalla 0 = r s = 3i + 5j s x i + s y j = 3s x + 5s y. Idea on saada termeistä 3s x ja 5s y vastaluvut, jotta summa olisi 0: s x = 5 s y = 3 s = 5i + 3j. Lopuksi normeeraus: s = 5i + 3j s = s 5i + 3j = s = 5 34 i j. Huom Yhtä hyvin olisi voitu valita s x = 5 s y = 3, jolloin olisi saatu s = 5 34 i 3 34 j. 5

Samankaltaiset tiedostot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena