0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan."

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i j) (4i 8 j) = ( ) 4 1 ( 8) = 8+ 8 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 6, eivät ole kohtisuorassa b) a b = 0, ovat kohtisuorassa

2 169 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i j + k) ( i + 4 j + 5 k) = 3 ( ) = = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (i 4 j + 3 k) (5i + j + k) = = = 5 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 0, ovat kohtisuorassa b) a b = 5, eivät ole kohtisuorassa

3 170 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (i 3 j) ( 8i 1 j) = ( 8) 3 ( 1) = = 0 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + j k) (3i + j + 5 k) = = 3+ 5 = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) eivät ole kohtisuorassa b) ovat kohtisuorassa

4 171 a) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 (i 5 j) ( ti + 6 j) = 0 t 56 = 0 t = 30 t = 15 b) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 ( ti + j k ) (ti + tj + 4 k ) = 0 t t+ t 14 = 0 t + t 4 = 0 : t + t = 0 Käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa ( ) ± ± ± t = = = t = tai t = t = 1 tai t = Vastaus a) t = 15 b) t = tai t = 1

5 17 a) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. a b = 0 ( ti + j 3 k ) (4i + tj + k ) = 0 4t+ t 3 = 0 6t = 6 t = 1 b) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b = 0 ( ti 5j + k ) ( ti + tj + 3 k ) = 0 t t 5t+ 3= 0 t 5t+ 6= 0 t = tai t = 3 Vastaus a) t = 1 b) t = tai t = 3

6 173 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Muodostetaan vektorit, jotka määräävät kolmion ABC sivut. AB = (5 1) i + (3 0) j + ( 1 ) k = 4i + 3j 3k AC = (4 1) i + (1 0) j + (7 ) k = 3i + j + 5k BC = (4 5) i + (1 3) j + (7 ( 1)) k = i j + 8k Lasketaan sivuvektorien pistetulot. AB AC = (4i + 3 j 3 k ) (3i + j + 5 k ) = = = 0 Koska pistetulo AB AC = 0, niin sivut AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siten kolmion kulma A on suora ja kolmio on suorakulmainen. (Koska suorakulma löydettiin heti, muiden sivuvektorien pistetuloja ei tarvitse laskea.)

7 174 a) Kulma B on suora, jos sivuvektorit BA ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektorit BA ja BC. BA = ( 3) i + ( t 0) j + (4 ( 1)) k = 5i + tj + 5k BC = (1 3) i + ( 0) j + ( 3 ( 1)) k = i j k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. BA BC = 0 ( 5i + tj + 5 k ) ( i j k ) = 0 ( 5) ( ) + t ( ) + 5 ( ) = 0 10 t 10 = 0 Kulma B on suora, jos t = 0. t = 0

8 b) Kulma C on suora, jos sivuvektorit CA ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektori CA. Sivuvektori BC laskettiin jo a- kohdassa. CA = ( 1) i + ( t ( )) j + (4 ( 3)) k = 3 i + ( t+ ) j + 7k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. CA BC = 0 ( 3 i + ( t+ ) j + 7 k) ( i j k) = 0 ( 3) ( ) + ( t + ) ( ) + 7 ( ) = 0 Kulma C on suora, jos t = 6. 6 ( t + ) 14 = 0 t 1 = 0 t = 6 Vastaus a) t = 0 b) t = 6

9 175 Lasketaan ensin vektorin a + b pituuden neliö a + b. a + b = ( a + b) ( a + b) = a a + a b + b a + b b = a a + a b + a b + b b = a + a b + b = = 84 (Laskussa käytettiin tietoja a = 3, b = 7 ja a b = 13.) Vektorin a + b pituus on a + b = 84 = 1. Vastaus 1

10 176 Lasketaan ensin vektorin a 5b pituuden neliö a 5b. a 5b = (a 5 b) (a 5 b) = a a + a ( 5 b) 5b a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 5b b = 4 a 0a b + 5 b = 4 ( 5) 0 ( ) + 5 ( 3) = 135 (Laskussa käytettiin tietoja a = 5, b = 3 ja a b =.) Vektorin a 5b pituus on a 5b = 135 = Vastaus 3 15

11 177 Vektorit FG ja FE ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit FG ja FE neliön kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AD avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori. FG = FA + AG 1 = DA + AB = AD + AB = AB AD 3 3 FE = FD + DE 1 = AD + DC = AD + AB = AB + AD 3 3

12 Lasketaan vektorien FG ja FE pistetulo. 1 1 FG FE = ( AB AD) ( AB + AD) = AB AB + AB AD AD AB AD AD = AB AB + AB AD AD AB AD AD = AB AD 9 9 = 0 = AB AD 9 9 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AD = 0 (ja AD AB = 0). Tulos seuraa siitä, että neliön sivuvektorit AB ja AD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että neliön sivuina vektorit AB ja AD ovat yhtä pitkät eli AB = AD. Koska pistetulo FG FE = 0, niin vektorit FG ja FE ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

13 178 a) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 (3i + 4 j ) ( si + tj ) = 0 3s+ 4t = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön 3s+ 4t = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi 1 1 s = 4 ja t = 3 tai s = ja t =. 3 4 b) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 (i 3 j ) ( si + tj ) = 0 s 3t = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön s 3t = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi 0 s = 3 ja t = tai s = 10 ja t =. 3

14 c) Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan yhtälö. a b = 0 ( xi + yj ) ( si + tj ) = 0 xs + yt = 0 Vektorit a ja b ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan kaikilla niillä vakioiden s ja t (reaaliluku)arvoilla, jotka toteuttavat yhtälön xs + yt = 0. Tällaiset arvot ovat esimerkiksi s = y ja t = x. Vastaus a) esimerkiksi s = 4 ja t = 3 b) esimerkiksi s = 3 ja t = c) esimerkiksi s = y ja t = x

15 179 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i + 3 j k) (6i 4 j 3 k) = ( 4) ( 3) = = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (6i + 5 j + k) ( i 4 k) = 6 ( ) ( 4) = = 16 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) a b = 0, ovat kohtisuorassa b) a b = 16, eivät ole kohtisuorassa

16 180 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = ( i 3 k) (4i j) = ( i + 0 j 3 k) (4i j + 0 k) = ( ) 3 0 = = 4 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo a b = ( i + j k) ( i j k) = 1 + ( 1) ( ) = = + = = 0 Koska pistetulo a b = 0, niin vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vastaus a) eivät ole kohtisuorassa b) ovat kohtisuorassa

17 181 a) Kulma A on suora, jos sivuvektorit AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektorit AB ja AC. AB = ( 1) i + (1 ( 1)) j + (1 0) k = i + j + k AC = (3 1) i + ( t ( 1)) j + ( 0) k = i + ( t+ 1) j + k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AB AC = 0 ( i + j + k) ( i + ( t+ 1) j + k) = ( t + 1) + 1 = 0 + t + + = 0 Kulma A on suora, jos t = 3. t = 3

18 b) Kulma B on suora, jos sivuvektorit AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan sivuvektori BC. Sivuvektori AB laskettiin jo a-kohdassa. BC = (3 ) i + ( t 1) j + ( 1) k = i + ( t 1) j + k Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AB BC = 0 ( i + j + k) ( i + ( t 1) j + k) = ( t 1) + 11 = 0 1+ t + 1= 0 Kulma B on suora, jos t = 0. t = 0

19 c) Kulma C on suora, jos sivuvektorit AC ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Molemmat sivuvektorit AC ja BC laskettiin jo a- ja b- kohdissa. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö. AC BC = 0 ( i + ( t+ 1) j + k) ( i + ( t 1) j + k) = ( t+ 1) ( t 1) + 1 = = t 1 0 t = 3 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä luvun neliö on aina epänegatiivinen. (Yhtälöä voidaan tutkia myös laskimella.) Siten kulma C ei ole suora millään vakion t arvolla. Vastaus a) t = 3 b) t = 0 c) ei millään vakion t arvolla

20 18 Kolmio on suorakulmainen, jos jokin sen kulmista on suora. Tarkastellaan vektoreita, jotka määräävät kolmion sivut. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = ti 3 j k, b = ( t 1) i + tj 3k ja näiden erotusvektorista a b = ti 3 j k (( t 1) i + tj 3 k ) = ti 3 j k ( t 1) i tj + 3k = i ( t+ 3) j + k. Kolmion kulma on suora, jos kulmasta lähtevät tai siihen tulevat sivuvektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos niiden pistetulo on nolla. Tarkastellaan erikseen kutakin kulmaa muodostamalla ja ratkaisemalla yhtälö kullekin vektoriparille. Ensimmäinen kulma: t t t a b = 0 ( ti 3 j k ) (( t 1) i + tj 3 k ) = 0 t ( t 1) 3t 1 ( 3) = = 0 t 4t+ 3= 0 Kulma on suora, jos t = 1 tai t = 3. t = 1 tai t = 3 (laskimella)

21 Toinen kulma: a ( a b) = 0 ( ti 3 j k ) ( i ( t + 3) j + k ) = 0 t 3 ( ( t+ 3)) 1 = 0 t+ 3t+ 9 = 0 t = 7 4 Kulma on suora, jos 7 t =. 4 Kolmas kulma: b ( a b) = 0 (( t 1) i + tj 3 k ) ( i ( t + 3) j + k ) = 0 ( t 1) 1 + t ( ( t+ 3)) 3 = 0 t t t = t t = 7 0 Kulma ei ole suora millään vakion t arvolla. ei ratkaisua (laskimella) Kaiken kaikkiaan saatiin siis, että kolmio on suorakulmainen, jos 7 t = 1, t = 3 tai t =. 4 Vastaus t = 1, t = 3 tai 7 t = 4

22 183 Lasketaan ensin vektorin a + 3b pituuden neliö a + 3b. a + 3b = (a + 3 b) (a + 3 b) = a a + a 3b + 3b a + 3b 3b = 4a a + 6a b + 6a b + 9b b = 4 a + 1a b + 9 b = = 1080 (Laskussa käytettiin tietoja a = 6, b = 8 ja a b = 30.) Vektorin a + 3b pituus on a + 3b = 1080 = Vastaus 6 30

23 184 Lasketaan ensin a 5b. a 5b = (a 5 b) (a 5 b) = a a + a ( 5 b) 5b a 5 b ( 5 b) = 4a a 10a b 10a b + 5b b = 4 a 0a b + 5 b = 4 ( 7) (3 5) = 1053 (Laskussa käytettiin tietoja a = 7, b = 3 5 ja a b = 5.) Siten a 5b = 1053 = Vastaus 9 13

24 185 a) Vektori u = xi + yj + zk on kohtisuorassa vektoreita a = i + j + k ja b = i j + 3k vastaan täsmälleen silloin, kun molemmat pistetulot a u ja b u ovat nollia. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvät kaksi yhtälöä eli yhtälöpari. a u = 0 ( i + j + k ) ( xi + yj + zk ) = 0 x+ y+ z = 0 b u = 0 (i j + 3 k ) ( xi + yj + zk ) = 0 x y+ 3z = 0 Päädyttiin siis yhtälöpariin x+ y+ z = 0 x y+ 3z = 0.

25 Poistetaan saadusta yhtälöparista muuttuja y ja ratkaistaan muuttuja z muuttujan x avulla. x+ y+ z = 0 + x y+ 3z = 0 3 x + 4z = 0 z = 3 4 x 3 Sijoitetaan z = x esimerkiksi yhtälöparin ylempään 4 yhtälöön ja ratkaistaan muuttuja y muuttujan x avulla. x+ y+ z = 0 3 x+ y x = 0 4 y = 1 4 x 1 3 On siis saatu y = x ja z = x. Jos valitaan esimerkiksi 4 4 x = 4, saadaan y = 1 ja z = 3, joten vektoriksi u saadaan u = 4i j 3k.

26 b) Vektoreita a ja b vastaan kohtisuorat yksikkövektorit ovat a- kohdassa saadun vektorin u = 4i j 3k suuntainen 0 yksikkövektori u ja kyseisen yksikkövektorin vastavektori 0 0 u. Määritetään ensin yksikkövektori u. Vektorin u = 4i j 3k pituus on u = 4 + ( 1) + ( 3) = = 6. Vektorin u suuntainen yksikkövektori on u = u u = (4i j 3 k) = i j k Siten kysytyt yksikkövektorit ovat u = i j k ja vastavektori u = i + j + k Vastaus a) esimerkiksi u = 4i j 3k b) i j k ja i + j + k HUOM. a-kohdassa kannattaa vielä tarkistaa suoralla laskulla, että yhtälöt a u = 0 ja b u = 0 toteutuvat, kun u = 4i j 3k.

27 186 Vektorit FE ja FB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit FE ja FB neliön kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AD avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori. FE = FA + AE 3 1 = CA + AD = ( CB + BA) + AD = ( DA AB) + AD = ( AD AB) + AD = AB AD 5 5 FB = FA + AB 3 = CA + AB 5 3 = ( CB + BA ) + AB 5 3 = ( DA AB ) + AB 5 3 = ( AD AB ) + AB 5 3 = AB AD 5 5

28 Lasketaan vektorien FE ja FB pistetulo. 3 3 FE FB = ( AB AD) ( AB AD) = AB AB AB ( AD) AD AB AD ( AD) = AB AB + AB AD AD AB + AD AD = AB AD 5 5 = = AB + AD 5 5 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AD = 0 (ja AD AB = 0). Tulos seuraa siitä, että neliön sivuvektorit AB ja AD ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että neliön sivuina vektorit AB ja AD ovat yhtä pitkät eli AB = AD. Koska pistetulo FE FB = 0, niin vektorit FE ja FB ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

29 187 Vektorit AD ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täsmälleen silloin, kun niiden pistetulo on nolla. Määritetään vektorit AD ja BC kolmion kärkipisteestä A lähtevien sivuvektorien AB ja AC avulla. Nämä kelpaavat kantavektoreiksi, koska ne ovat erisuuntaiset ja kumpikaan ei ole nollavektori (ei haittaa, että vektorit ovat eripituiset). AD = AB + BD 16 = AB + BC 5 BC = BA + AC = AB + AC 16 = AB + ( BA + AC ) 5 16 = AB + ( AB + AC ) = AB + AC 5 5

30 Lasketaan vektorien AD ja BC pistetulo AD BC = ( AB + AC) + ( AB + AC) = AB ( AB) + AB AC + AC ( AB) + AC AC = AB AB + AB AC AC AB + AC AC = AB AC = AB + AC ( 9 AB 16 AC ) = + 5 = 0 Laskussa käytettiin tietoa, että AB AC = 0 (ja AC AB = 0 ). Tulos seuraa siitä, että kolmion sivuvektorit AB ja AC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Lopputulos taas seuraa siitä, että vektorin AB pituus on 4 ja vektorin AC pituus 3, joten 3 AB = 4 AC eli 9 AB = 16 AC. Koska pistetulo AD BC = 0, niin vektorit AD ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

31 188 Kolmion OAB sivut määräytyvät vektoreista OA = a, OB = b ja näiden erotusvektorista a b. Kolmannen sivun pituuden neliö on a b = ( a b) ( a b) = a a + a ( b) b a b ( b) = a a a b a b + b b = a a a b + b = b, missä viimeinen vaihe seuraa annetusta ehdosta a a = a b. Tulos tarkoittaa, että vektorit a b ja b ovat yhtä pitkät, joten kolmion sivut AB ja OB ovat yhtä pitkät. Koska kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua, se on tasakylkinen.

32 189 Samasta pisteestä lähtevät vektorit a = i j + k, b = xi + j + 3k ja c = i + yj + zk voivat olla suorakulmaisen särmiön särmiä vain, jos ne ovat pareittain kohtisuorassa toisiaan vastaan eli jos kaikki pistetulot a b, a c ja b c ovat nollia. Muodostetaan ja ratkaistaan syntyvät kolme yhtälöä eli yhtälöryhmä. a b = 0 ( i j + k ) ( xi + j + 3 k ) = 0 x = 0 x 1+ 3= 0 x = 1 a c = 0 ( i j + k ) ( i + yj + zk ) = 0 ( ) y+ z = 0 4 y+ z = 0 y+ z = 4 b c = 0 ( xi + j + 3 k ) ( i + yj + zk ) = 0 x+ y+ 3z = 0

33 Päädyttiin siis yhtälöryhmään x = 1 y+ z = 4 x + y + 3z = 0 jonka ratkaisuksi saadaan laskimella x = 1, Tällöin särmävektorit ovat 7 y = ja 1 z =. a = i j + k, b = xi + j + 3k = i + j + 3k, 7 1 c = i + yj + zk = i j + k. Vektorien (eli myös särmien) pituudet ovat a = + ( 1) + 1 = 6, b = ( 1) = 11, c = ( ) + ( ) + ( ) = =. Suorakulmaisen särmiön tilavuus on särmien pituuksien tulo: 66 V = 6 11 = 33. Vastaus x = 1, 7 y = ja 1 z = ; tilavuus on 33

34 190 a) Olkoot a= ai x + ay j+ ak z ja b= bi x + by j+ bk z. Lasketaan pistetulo a b. a b= ( a i + a j+ ak) ( bi + b j+ bk) x y z x y z = ab + ab + ab x x y y z z reaalilukujen vaihdantalaki: = ba + ba + ba ab = ba x x y y z z x x x x jne. = ( bi + b j+ bk) ( a i + a j+ ak) = b a x y z x y z On osoitettu, että a b = b a.

35 b) Olkoot a= ai x + ay j+ ak z, b= bi x + by j+ bk z ja t jokin reaaliluku. Tällöin ta = t( a i + a j + a k ) = ta i + ta j + ta k. x y z x y z Lasketaan pistetulo ( ta) b. ( ta) b = ( ta i + ta j + ta k ) ( b i + b j + b k ) = tab ( + ab + ab) = ta ( b) x y z x y z = ta b + ta b + ta b x x y y z z x x y y z z On osoitettu, että ( ta) b = t( a b ).

36 Tekijä Pitkä matematiikka a) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos60 = 4 b) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos45 1 = 48 = 48 = 4 c) a b= abcos( ab, ) = 6 8 cos30 3 = 48 = 4 3 Vastaus a) 4 b) 4 c) 4 3

37 19 cos( ab, ) = a b a b ab 5 1 = = = = 1 (, ) cos ( ) 10 Vastaus 10

38 193 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( i + j)( i + 3 j) = = 5 a = + 1 = 5, b = = 10 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 5 1 cos( ab, ) = = = a b 5 10 ab 1 = = 1 (, ) cos ( ) 45 b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( 3i + 5 j) (i 6 j) = ( 6) = 36 a = ( 3) + 5 = 34, b = + ( 6) = 40 = 10 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 36 9 cos( ab, ) = = = a b ab 9 = = 85 1 (, ) cos ( ) 167, Vastaus a) 45 b) 167

39 194 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (i + 4 j + 4 k) ( i + j k) = ( 1) = 4 a = = 36 = 6 b = ( 1) = 6 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 4 cos( ab, ) = = = a b ab = = (, ) cos ( ) 74, ,

40 b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (3i j + 6 k) ( 5i 3 j k) = 3 ( 5) ( 3) + 6 ( 1) = 15 a = 3 + ( ) + 6 = 49 = 7 b = ( 5) + ( 3) + ( 1) = 35 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 15 cos( ab, ) = = a b 7 35 ab 15 = = (, ) cos ( ) 111, , Vastaus a) 74, b) 111,

41 195 Merkitään kolmion kärkipisteitä A( 1, ), B(3, 1) ja C (7,3). Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (3 ( 1)) i + ( 1 ) j = 4i 3j Sivu AC: AB = 4 + ( 3) = 5 = 5 AC = (7 ( 1)) i + (3 ) j = 8i + j Sivu BC: AC = = 65 8,1 BC = (7 3) i + (3 ( 1)) j = 4i + 4 j BC = = 3 = 4 5,7

42 Kolmion lyhyin sivu on AB, joten kolmion pienin kulma on C = ( AC, BC) = ( AC, BC). Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AC BC = (8 i + j ) (4i + 4 j ) = = 36 AC BC 36 9 cos( AC, BC) = = = AC BC = = 65 1 ( AC, BC) cos ( ) 37, ,9 Kolmion pienin kulma on 37,9. Vastaus 37,9

43 196 Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = 4i + 3j, b = i j ja näiden erotusvektorista a b = 4i + 3 j ( i j) = 4i + 3j i + j = 3i + 5 j. Lasketaan vektorien pituudet. a = = 5 = 5 b = 1 + ( ) = 5 a b = + = Lasketaan vektorien väliset pistetulot. a b = (4i + 3 j) ( i j) = ( ) = a ( a b) = (4i + 3 j) (3i + 5 j) = = 7 b ( a b) = ( i + j) (3i + 5 j) = = 7 (Kuvan perusteella pistetulo b ( a b) antaisi väärän arvon.)

44 Lasketaan vektorien väliset kulmat. a b cos( ab, ) = = a b 5 5 ab = = (, ) cos ( ) 100, a ( a b) 7 cos( a,( a b)) = = a ( a b) ( a,( a b)) = cos ( ) =, b ( a b) b ( a b) 7 cos( b,( a b)) = = = b ( a b) b ( a b) (,( )) = cos ( ) = 57, b a b Kolmion kulmat ovat, 58 ja 100. Vastaus, 58 ja 100

45 197 Suunnikkaan lävistäjät ovat vektorit a + b = 4i + j + i 5j ja = 6i 4j b a = i 5 j (4 i + j) = i 5j 4i j = i 6 j. Lasketaan lävistäjävektorien pistetulo ja vektorien pituudet. ( a + b) ( b a) = (6i 4 j) ( i 6 j) = 6 ( ) 4 ( 6) = 1 a + b = + = = 6 ( 4) 5 13 b a = + = = ( ) ( 6) Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. ( a + b) ( b a) 1 3 cos(( a + b),( b a)) = = = ( a + b)( b a) a + b b a = = (( ),( )) cos ( ) 74, Vastaus 75

46 198 Tilannetta havainnollistaa oheinen kuva. Kuvaan on merkitty myös ylimääräiset vektorit BC ja CA, sillä niistä on apua b- ja c-kohtia ratkaistaessa. Kaikkien sivuvektorien pituus on 6, joten AB = AC = CA = BC = 6. a) Vektorien AB ja AC välinen kulma on 60, joten AB AC = AB AC cos( AB, AC) = 66cos60 = 18. b) Vektorien AB ja BC välinen kulma on = 10, joten AB BC = AB BC cos( AB, BC) = 6 6 cos10 = 18.

47 c) Vektorien BC ja CA välinen kulma on = 10, joten BC CA = BC CA cos( BC, CA) = 6 6 cos10 = 18. Vastaus a) 18 b) 18 c) 18

48 199 Sijoitetaan kirja koordinaatistoon siten, että kirjan selkä on positiivisella z-akselilla, selän alakulma origossa ja sivujen alalaidat positiivisilla x- ja y- akseleilla. Koordinaatiston yksikkö on 1 cm. Merkitään tarvittavia pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma α = ( PA, PB). Muodostetaan lävistäjävektorit PA ja PB. PA = PO + OA = 3,8k + 18, 4i = 18, 4i 3,8k PB = PO + OB = 3,8k + 18, 4 j = 18, 4 j 3,8k

49 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. PA PB = (18, 4i 3,8 k ) (18, 4 j 3,8 k ) = (18, 4i + 0 j 3,8 k) (0i + 18, 4 j 3,8 k) = 18, ,4 3,8 ( 3,8) = 566, 44 PA = 18, 4 + ( 3,8) = 905 PB = 18, 4 + ( 3,8) = 905 Lasketaan vektorien välinen kulma. PA PB 566, , 44 cos( PA, PB) = = = PA PB PA PB 566, 44 = = (, ) cos ( ) 51, ,3 Kulman α suuruudeksi saadaan 51, 3. Vastaus 51, 3

50 00 Lasketaan ensin vektorien a = 4 j ja b = ti + j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = 4 j ( ti + j) = (0i + 4 j) ( ti + j) = 0 t + 41 = 4 a = 4 = 4 b = t + 1 = t + 1 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 60, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos60 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) 1 4= 4 t + 1 t = 3 tai t = 3 Vastaus t = 3 tai t = 3

51 01 a) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = cos10 = 60 b) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = cos135 1 = 10 ( ) = 10 = 60 c) a 3 b = ( 3)( a b) = 6( a b) = 6 abcos( ab, ) = cos180 = 10 Vastaus a) 60 b) 60 c) 10

52 0 cos( ab, ) = a b a b ab 15 1 = = = = 1 (, ) cos ( ) 45 Vastaus 45

53 03 a) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (10i + 1 j 9 k) ( 5i + 13 j 9 k) = 10 ( 5) ( 9) = 187 a = ( 9) = 35 = 5 13 b = ( 5) ( 9) = 75 = 5 11 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b cos( ab, ) = = = a b ab 187 = = (, ) cos ( ) 51,

54 b) Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. a b = (i 6 k) (4 j + k) = (i + 0 j 6 k) (0i + 4 j + k) = = 1 a = + ( 6) = 40 = 10 b = 4 + = 0 = 5 Lasketaan vektorien välinen kulma. a b 1 3 cos( ab, ) = = = a b ab 3 = = (, ) cos ( ) 115, Vastaus a) 51 b) 115

55 04 Kolmio on tylppäkulmainen, jos sen suurin kulma on suurempi kuin 90. Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Muodostetaan kolmion sivuja vastaavat vektorit ja lasketaan niiden pituudet. Sivu AB: AB = (4 1) i + (3 ( )) j + (5 3) k = 3i + 5 j + k AB = = 38 6, Sivu AC: AC = (3 1) i + ( 5 ( )) j + (5 3) k = i 3j + k AC = + ( 3) + = 17 4,1 Sivu BC: BC = (3 4) i + ( 5 3) j + (5 5) k = i 8 j + 0k = i 8 j BC = ( 1) + ( 8) = 65 8,1 Kolmion ABC pisin sivu on BC, joten kolmion suurin kulma on A = ( AB, AC).

56 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. AB AC = (3i + 5j + k ) (i 3j + k ) = = 5 AB AC cos( AB, AC) = = AB AC = = > ( AB, AC) cos ( ) 101, Koska kolmion suurin kulma on tylppä, on kolmio tylppäkulmainen.

57 05 Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Kolmion sivut määräytyvät vektoreista a = i j k, b = 3i + j + k ja näiden erotusvektorista a b = i j k (3 i + j + k) = i j k 3i j k = i j 3 k. Lasketaan vektorien pituudet. a = + ( 1) + ( ) = 9 = 3 b = = 11 3, 3 a b = + + = ( 1) ( ) ( 3) 14 3,7 Kolmion lyhyin sivu on sivu, jonka vektori a määrää, joten kolmion pienin kulma on oheisen kuvan mukaan ( b,( a b)).

58 Lasketaan pistetulo ja vektorien välinen kulma. b ( a b) = ( 3 i j k) ( i j 3 k) = 3 ( 1) 1 ( ) 1 ( 3) = 8 b ( a b) b ( a b) 8 cos( b,( a b)) = = = b ( a b) b ( a b) (,( )) = cos ( ) = 49, ,9 b a b Kolmion pienin kulma on 49, Vastaus 49,9

59 06 Suunnikkaan lävistäjät ovat vektorit (vrt. teht. 197) 5 a + b = i + j + k + i j + k 7 = i + j + k ja 5 a b = i + j + k ( i j + k) 5 = i + j + k i + j k 3 = 3i + 3 j + k. Lasketaan lävistäjävektorien pistetulo ja vektorien pituudet. 7 3 ( a + b) ( a b) = ( i + j + k) ( 3i + 3 j + k) = 1( 3) = 4 a b = ( ) = = a b = ( 3) ( ) = =

60 Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. 1 ( a + b) ( a b) 4 7 cos(( a + b),( a b)) = = = ( a + b)( a b) a + b a b = = (( ),( )) cos ( ) 71, Vastaus 7

61 07 Lasketaan ensin vektorien a = i + j ja b = ti + j pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( i + j) ( ti + j) = 1 t + 1 = t + a = 1 + = 5 b = t + 1 = t + 1 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 45, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos45 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) t+ = t t = 3 tai t = 3 Vastaus t = 3 tai 1 t = 3

62 08 Lasketaan ensin vektorien a = ti + tj + 4k ja b = 5i + 5k pistetulo ja vektorien pituudet. a b = ( ti + tj + 4 k ) ( 5i + 5 k ) = ( ti + tj + 4 k ) ( 5i + 0j + 5 k ) = t ( 5) + t = 5t + 0 a = t + t + 4 = t + 16 b = ( 5) + 5 = 50 = 5 Jos vektorien a ja b välinen kulma on 60, kulman kosini on 1 cos( ab, ) = cos60 =. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se laskimella. a b= abcos( ab, ) 1 + = + 5t 0 t 16 5 t = 1 Vastaus t = 1

63 09 Sijoitetaan neliö koordinaatistoon siten, että kärki A on origossa ja sivut AB ja AD positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella a sekä neliön muita pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma EDB = ( DE, DB). Muodostetaan vektorit DE ja DB. DE = DA + AE 1 1 = aj + ai = ai aj DB = DA + AB = aj + ai = ai aj

64 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. 1 DE DB = ( ai aj ) ( ai aj ) 1 = a a a ( a) 1 = a + a 3 = a 1 5 a DE = a + a = a = 4 ( ) ( ) 5 DB = a + a = a = a ( ) Lasketaan vektorien välinen kulma. 3 DE DB a 3a 3 cos( DE, DB) = = = = DE DB a 5 a a = = 10 1 ( DE, DB) cos ( ) 18, ,4 Kulman EDB suuruudeksi saadaan 18,4. Vastaus 18,4

65 10 Sijoitetaan särmiö koordinaatistoon siten, että kärki E on origossa ja kolme kärkeä positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään särmiön kärkipisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma on ( AH, AC). Muodostetaan lävistäjävektorit AH ja AC. AH = AE + EH = 3i + 4k AC = AB + BC = 5j + 4k

66 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. AH AC = ( 3i + 4 k ) (5j + 4 k ) = ( 3i + 0j + 4 k) (0i + 5j + 4 k) = = 16 AH = ( 3) + 4 = 5 = 5 AC = = 41 Lasketaan lävistäjävektorien välinen kulma. AH AC 16 cos( AH, AC) = = AH AC = = ( AH, AC) cos ( ) 60, Kulman ( AH, AC) suuruudeksi saadaan 60. Vastaus 60

67 11 Sijoitetaan särmiö koordinaatistoon siten, että kärki D on origossa ja kolme kärkeä positiivisilla koordinaattiakseleilla. Merkitään muita tarvittavia särmiön pisteitä kuvan mukaisesti. Kysytty kulma on F ( JI, JF). Muodostetaan vektorit JI ja JF. JI = JH + HI = JH + 1 HA 1 = JH + ( HD + DA ) = j + ( k + i ) = i j k JF = JG + GF = j + i = i + j

68 Lasketaan pistetulo ja vektorien pituudet. 1 1 JI JF = ( i j k ) ( i + j ) 1 1 = ( i j k) ( i + j + 0 k) 1 1 = = JI = ( ) + ( 1) + ( ) = = JF = = Lasketaan vektorien välinen kulma. 1 JI JF 1 cos( JI, JF) = = = JI JF 6 3 F 1 = = 3 1 ( JI, JF) cos ( ) 106, ,8 Kulman F ( JI, JF) suuruudeksi saadaan 106,8. Vastaus 106,8

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot