1 Tensoriavaruuksista..
|
|
- Aki Väänänen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m T multilineaarikuvaus, jolle reachφ = T. Jos pari (T, Φ) toteuttaa UFP:n, vektoriavaruutta T kutsutaan vektoriavaruuksien V 1, V 2,, V m tensorituloksi ja merkitään T = V 1 V 2 V m. Multilineaarikuvausta Φ kutsutaan hajottavaksi tensoriksi (decomposable tensor). Olkoon V i vektoriavaruus, jonka dimensio on n i, 1 i m. Oletetaan, että mielivaltaisen vektoriavaruuden U dimensio on n 1 n 2. Olkoon T kiinteä, mutta mielivaltainen, kääntyvä lineaarimuunnos V 1 V 2 V m U (onto) ja määritellään Ψ := T Φ. Jos W on vektoriavaruus, ja f : V 1 V 2 V m W m-lineaarinen funktio, niin on olemassa lineaarimuunnos k : U W s.e. f = kψ, nimittäin k = ht 1, missä hφ = f. On siis olemassa Ψ, U ja k s.e kuvan 1 kaavio kommutoi jokaisella f. Siispä pari (U, Ψ) toteuttaa UFP:n kirjaääritelmän 5.7 mukaan. Lisäksi tämä universaalipari on isomornen kirjan lauseen 5.9 nojalla. Koska Ψ:n kuva-avaruus on U, niin Ψ:n ulottuvuus reachψ = U kirjaääritelmän 5.6 mukaan, joten U oalli tensoritulolle. Selvästi m dim(v 1 V 2 V m ) = n i, mutta dim(v 1 V 2 V m ) = i=1 n i. Multilineaarikuvaus Ψ on siis hajoittava tensori kirjaääritelmän 5.10 mukaan. Sillä on täydennetty rakenne, sillä multilineaarikuvaus itsessään on kirjan lauseen 5.4 mukainen laajennus. Näiääriteltyinä tensoriavaruuksien tensoritulo on olemassa ja se on isomorsuuden nojalla (kirjan lause 5.9) yksikäsitteinen. Tämä lähestymistapa on kuitenkin hieman liian abstrakti, ja siksipä on syytä konstruoida konkreettisempi malli. Määritelmä 1.2 Olkoon V 1, V 2,, V m kompleksisia vektoriavaruuksia. M(V 1, V 2,, V m ) tarkoittaa m-lineaaristen funktioiden f : V 1 V 2 V m C joukkoa. Paikallisesti summa ja skalaarilla kertominen eli i=1 (cf + dg)(v 1, v 2,, v m ) = cf(v 1, v 2,, v m ) + dg(v 1, v 2,, v m ) (1) pätee, joten M on vektoriavaruus. Seuraavassa M tarkoittaa M:n duaaliavaruutta. Palautetaaieleen kirjan lause 2.2: (1) Russell M. Multilinear algebra, 1997, 332 p.
2 Ψ V 1 V 2 V m Φ V 1 V 2 V m T U f h k Figure 1: Kommutaatiokaavio. W Lause 1.3 Olkoon u V ja kuvaus û : V C, joka määritellään û(f) = f(u), f V (2) Silloin û on V :n lineaarinen funktionaali. Lisäksi kuvaus Ψ : V (V ), joka määritellään Ψ(u) = û, u V on vektoriavaruuksien välinen isomorsmi. Olkoon v i V i, i i m ja kuvaus v 1 v 2 v m : M C määriteltynä (vrt. yhtälö 2) Koska (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) (3) (v 1 v 2 v m )(cf + dg) = (cf + dg)(v 1, v 2,, v m ) = cf(v 1, v 2,, v m ) + dg(v 1, v 2,, v m ) = c(v 1 v 2 v m )(f) + d(v 1 v 2 v m )(g), v 1 v 2 v m on lineaarinen. Ts. lauseen 1.3 nojalla f, g M ja yo. tuloksen perusteella nämä funktionaalit virittävät M. Lause 1.4 Olkoon B i = {e ij : 1 j n i, 1 i m} vektoriavaruuden V i :n kanta. Silloin B = {e 1j1 e 2j2 e mjm : 1 j i n i, 1 i m} (4) on M(V 1, V 2,, V m ):n duaaliavaruuden M kanta. Todistus Olkoon {f ij : 1 j n i } vektoriavaruuden (sis. lineaarisia funktionaaleja) L(V i, C) kanta, joka on B i :n duaali. Silloin f ij määritellään laajentamalla lauseen 2.1 tulos (f i (e j ) = δ i,j ) eli f ij (e ik ) = δ j,k. (5) Olkoon f tjt M(V 1, V 2,, V m )
3 duaaliavaruude-lineaarinen funktionaali, joka määritellään ( m f tjt )(v 1, v 2,, v m ) = f tjt (v t ). Nyt väitetään, että { m } f tjt : 1 j t n t, 1 t m on M = M(V 1, V 2,, V m ) kanta. Jos g M, niin seultilineaarilaajennus (vrt. lineaarilaajennus, kirjan yhtälö 2.2), g(v 1, v 2,, v m ) = n 1 n 2 i 1 =1 i 2 =1 i m =1 g(e 1i1, e 2i2,, e mim ) (6) f tit (7) Tämä nähdään todeksi laskemalla molemmat puolet e pjp, 1 p m, kun huomataan vielä, että oikea puoli o-lineaaristen funktioiden lineaarikombinaatio ja siis m-lineaarinen. Saadaan g(e 1j1, e 2j2,, e mjm ) = n 1 n 2 i 1 =1 i 2 =1 i m =1 g(e 1i1, e 2i2,, e mim ) f tit (e tjt ). Koska ko. funktionaaliääritelmän (5) mukaan m f ti t (e tjt ) = 0 ellei i t = j t, 1 t m, yhtälön oikea puoli kumoaa vasemman puolen. Koska kaikki funktionaalit voidaan esittää muodossa (vrt. kirjan yhtälö (2.2)) g = i j g(e ij)g ij, ja nyt g ij = m f tj t (e tjt ), 1 t m toteuttaa tämän (ts. saatiin g = g), m f tj t (e tjt ) on M:n kanta. Edelleen oletuksen mukaan (kirjan lauseen 2.1 laajennuksessa oletetaan) sen duaalikanta on kuten yhtälö (4) Lemma 1.5 Asetetaan T = M (M:n duaali), M = M(V 1, V 2,, V m ), ja määritellään Φ : V 1 V 2 V m T s.e. Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m. Jos f M, niin Φ on m-lineaarinen. Todistus i th {}}{ (v 1 v 2 [cu + dw] v m )(f) = f(v 1, v 2,, [cu + dw],, v m ) Eq. (3) = cf(v 1, v 2,, u,, v m ) + df(v 1, v 2,, w,, v m ) Multilin., Määr. 5.2 = c(v 1 v 2 u v m )(f) + d(v 1 v 2 w v m )(f), Koska f oielivaltainen, Φ on siis m-lineaarinen (v 1 v 2 [cu + dw] v m ) = c(v 1 v 2 u v m ) + d(v 1 v 2 w v m ).
4 Lemma 1.6 Pari (T, Φ) on universaali. Todistus Olkoon W vektoriavaruus. Oletetaan, että g : v 1 v 2 v m W on m-lineaarinen. Olkoon B lauseen 1.4 mukainen T:n kanta, ja määritellään h : T W s.e. h(e 1j1 e 2j2 e mjm ) = g(e 1j1, e 2j2,, e mjm ), 1 j i n i, 1 i m, ja lineaarinen laajennus (sehän on olemassa edellisen esityksen, lemman 1.7 mukaan). Silloi-lineaariset funktiot hφ ja g määräytyvät samoista kuvista ja kirjaultilineaarikuvaukseääritelmän 5.2 mukaan hφ oultilineaarinen ja multilineaarilaajennuslauseen nojalla (T, Φ) on universaali pari Koska Φ:n kuva on T, sen ulottuvuus kirjaääritelmän 5.6 mukaan on reachφ = T. Ts. T = V 1 V 2 V m. Käytetään notaatiota v 1 v 2 v m multilineaaristen funktionaalieallista abstraktia määrittelyä varten. Edelleen listaerkinnän [e 1j1, e 2j2,, e mjm ] sijaaerkitään e 1j1 e 2j2 e mjm Näin siksi, että Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m, joten symbolia Φ ei ole enää mitään tarvetta käyttää. Seuraavaksi voimmekin jo määritellä tensorin Määritelmä 1.7 Yleinen, abstrakti, hajoittava tensori tarkoittaa v 1 v 2 v m. voidaan käsittää myös M(V 1, V 2,, V m ):n lineaariseksi funktionaaliksi. Korostettakoon vielä, että V 1 V 2 V m {v 1 v 2 v m : v i V i, i i m}. Se Lause 1.8 Olkoon {e ij : 1 j n i } V i :n kanta 1 i m. Jos niin v 1 v 2 v m = n i v i = a ij e ij, 1 i m, j=1 n 1 n 2 j 2 =1 j m=1 (e 1j1 e 2j2 e mjm ) Todistus Nyt siis Φ(v 1, v 2,, v m ) = v 1 v 2 v m. Samalla tavalla kuin edellä lauseen 4 todistuksessa asetetaan M:n kanta m a tj t. Käyttämällä kirjan yhtälön 5.2 mukaista multileaarilaajennusta suoraan laskemalla saadaan v 1 v 2 v m = n 1 n 2 j 2 =1 j m =1 (e 1j1 e 2j2 e mjm ) a tjt a tjt
5 Lause 1.9 Olkoon v i V i, 1 i m. Silloin v 1 v 2 v m = 0 joss v i = 0 jollakin i. Todistus (epäsuora todistus) Oletetaan, että v i 0 jollakin i. Tällöin kirjan lauseen 2.1 mukaan on olemassa lineaarinen funktionaali f i L(V i, C) s.e. f i (v i ) = δ i,i = 1, 1 i m. Olkoon f = f i M(V 1, V 2,, V m ). Silloin (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) = f i (v i ) = 1. Ts. v 1 v 2 v m ei ole nolla-funktionaali, ja tästä seuraa väite. 0 = v 1 v 2 v m 0 = (v 1 v 2 v m )(f) = f(v 1, v 2,, v m ) = f i (v i ) v i = 0 jollakin i i=1 Lause 1.10 Oletetaan, että v i, w i V i, missä w i 0, 1 i m. Silloin v 1 v 2 v m = w 1 w 2 w m joss on olemassa m kompleksista kerrointa c 1, c 2,, c m s.e. v i = c i w i, 1 i m, ja niiden tulo c 1 c 2 c m = 1. Todistus sivuutetaan, sillä lause ei ole jatkon kannalta mitenkään oleellinen (ei tarvita luvussa 5 jne.). Lemma 1.11 (Harjoitustehtävä 10) Olkoon B i = {e i1, e i2,, e ini } vektoriavaruuden V i, 1 i m kanta. Oletetaan, että 1 k m. Määritellään s.e. Ψ : (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) V 1 V 2 V m Ψ((e 1j1 e kjk ), (e (k+1)jk+1 e mjm )) = e 1j1 e 2j2 e mjm ja funktiolla Ψ oultilineaarilaajennus (MLE). Tällöin Ψ((v 1 v 2 v k ), (v k+1 v k+2 v m )) = v 1 v 2 v m v i V i, 1 i m. Todistus Olkoon v i = i a ije ij mielivaltainen, mutta kiinteä avaruuden V i vektori. Tällöin Ψ((v 1 v 2 v k ), (v k+1 v k+2 v m )) = n 1 n k n k+1 Ψ(( a 1j1 e 1j1 a kjk e kjk ), ( a (k+1)jk+1 e (k+1)jk+1 n 1 (( a 1j1 n k j k =1 n 1 = ( a 1j1 n k j k =1 a kjk )( a kjk j k =1 n k+1 j k+1 =1 n k+1 j k+1 =1 a (k+1)jk+1 a (k+1)jk+1 j k+1 =1 j m=1 j m =1 i=1 j m =1 a mjm e mjm )) = MLE a mjm ))Ψ((e 1j1 e kjk ), (e (k+1)jk+1 e mjm )) a mjm )e 1j1 e 2j2 e mjm = v 1 v 2 v m v i V i 1 i m
6 Lause 1.12 Oletetaan, että 1 k m. Silloin V 1 V 2 V m oalli tensoritulolle (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ), missä (liitäntäominaisuus) (u 1 u 2 u k ) (w 1 w 2 w m k ) = u 1 u 2 u k w 1 w 2 w m k. Todistus Näytetään, että on olemassa lineaarineuunnos s.e T : ((V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m )) V 1 V 2 V m T ((v 1 v 2 v k ) (v k+1 v k+2 v m )) = v 1 v 2 v m, kaikilla v i V i, 1 i m. Koska {v 1 v 2 v m : v i V i } virittää V 1 V 2 V m, jokainen yo. muunnos on surjektiivinen (onto). Koska dim((v 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m )) = dim(v 1 V 2 V m ), muunnos oyös injektiivinen (one-to-one). Olkoon sitten Ψ yksikäsitteinen bilineaarinen funktio, jolle pätee lemman 1.11 mukaan Ψ(v 1 v k, v k+1 v m ) = v 1 v 2 v m, kaikilla v i V i, 1 i m. Merkitään vielä (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) =: A, (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) =: C, V 1 V 2 V m =: B. Ts. A, B, C ovat vektoriavaruuksia. Merkitääultilineaarikuvausta Φ : C A. Nyt siis jokaista multilineaarikuvausta Ψ kohti on olemassa lineaarikuvaus T L(A, B) s.e. Ψ = T Φ, joten pari (A, Φ) on universaali (kuva 2). Universaleja pareja koskevan olemassaololemman (ks. esitys ) T on olemassa. Koska T on bijektio, parit (A, Φ) ja (B, Ψ) ovat myös isomorsia. Koska reach(t ) = V 1 V 2 V m, niin V 1 V 2 V m oalli tensoritulolle (V 1 V 2 V k ) (V k+1 V k+2 V m ) (V 1 V k ) (V k+1 V m ) (V 1 V k ) (V k+1 V m ) T (V 1 V 2 V m ) Figure 2:
7 Esimerkki 1.13 Olkoo = 3, k = 2. Silloin lauseen 1.12 nojalla Toisaalta, jos k = 1, Siten (V 1 V 2 ) V 3 = V1 (V 2 V 3 ). (V 1 V 2 ) V 3 = V1 V 2 V 3. V 1 (V 2 V 3 ) = V 1 V 2 V 3. Kun V 1 = V 2 = = V m, lause 1.12 on tensorialgebran teorian perusta. Aiheesta enempi [Bourbaki (1948)], [Greub (1967)] tai [Marcus (1973)]. Esimerkki 1.14 Oletetaan, että V 1 = C 1,n ja V 2 = C 1,k. Olkoon Φ : V 1 V 2 C n,k bilineaarinen funktio, jolle Φ(X, Y ) = X t Y. Olkoon E j 1 k matriisi, jonka ainoa nollasta eroava alkio on 1 sarakkeessa j, ja E i 1 atriisi, jonka ainoa nolasta eroava alkio on 1 sarakkeessa i. Silloin Φ(E i, E j ) = E ij, n k matriisi, jonka ainoa nollasta eroava alkio on 1 kohdassa (i, j) (vertaa kirjan Esim. 5.5): E 11 E 12 E 1k k n k n 2 Φ(E j1, E j 2 ) = g tjt (E tit )E j1 j 2 = E 21 E 22 E 2k = (8) j 2 =1 j 2 =1 E n1 E n2 E nk Samalla tavalla kuin esimerkiksi lauseen 1.4 todistuksessa (yhtälö (6)) 2 g tj t (E tit ) = 2 c td jt = δ jt,i t = E j1,j 2, {E i,j : 1 i n, 1 j k} on C n,k :n kanta. Silloin ulottuvuus reachφ = C n,k. Olkoon W on vektoriavaruus ja f : V 1 V 2 W bilineaarinen funktio. Määritellään h : C n,k W s.e. h(e ij ) = f(e i, E j ), 1 i n, 1 j k ja (bi)lineaarinen laajennus kuten yhtälö (8), kuerkitään Φ = f. Kirjan lauseesta 5.7 (UFP) seuraa, että f = h Φ, ja C n,k oyös malli tensoritulolle V 1 V 2, sillä reachφ = C n,k. Silloin Φ = X Y = X t Y oääritelmän 1.1 (kirja, Määr. 5.12) hajottava tensori. Tästä voidaan jatkaa induktiolla, sillä Lauseen 1.12 mukaan t = 1 : t = 2 : lineaarialgebra, esim. yllä, t = 3 : (V 1 V 2 ) V 3 = V1 V 2 V 3, t = 4 : (V 1 V 2 V 3 ) V 4 = V1 V 2 V 3 V 4, t = m : (V 1 V 2 V m 1 ) V m = V1 V 2 V m. Vastaavasti (X Y ) Z = X Y Z, (X Y Z 1 ) Z 2 = X Y Z1 Z 2,,(X Y Z m 3 ) Z m 2 = X Y Zm 2 = T (X, Y,, Z m 2 ), missä T : V 1 V 2 V m T = C n1,n 2,, on hajottava tensori. Kannattaa huomata, että ylläolevassa konstruktiossa multilineaariset funktiot korvataan tensorituloilla (sis. hajottavat tensorit).
8 Olkoon V 1, V 2,, V m ja W 1, W 2,, W m vektoriavaruuksia, ja oletetaan, että on olemassa lineaariset funktiot T i L(V i, W i ), 1 i m. Silloin Ψ : V 1 V 2 V m W 1 W 2 W m s.e. Ψ(v 1, v 2,, v m ) = T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ) o-lineaarinen (ei välttämättä bijektio). Tämä nähdään, kun sovelletaan ensin lemmaa 1.5, jolloin huomataan, että v 1 v 2 v m ja kuvaus v 1 v 2 v m v 1 v 2 v m ovat m-lineaarisia ja sovelletaan sitten kirjan esimerkkiä 5.3 (v). Kirjan UFP-lauseen 5.7 ja olemassaololemman (lemma 1.7 esityksessä luvun 5 alusta) mukaan on olemassa lineaarimuunnos h : V 1 V 2 V m W 1 W 2 W m s.e. h(v 1 v 2 v m ) = T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ), v i V i, 1 i m. Ts. on olemassa Φ : V 1 V 2 V m V 1 V 2 V m, V 1 V 2 V m ja h s.e kaavio kommutoi jokaisella Ψ. Koska {T 1 (v 1 ) T 2 (v 2 ) T m (v m ), T i (v i ) L(V i, W i ), 1 i m} virittää tensoritulon W 1 W 2 W m, muunnos h on surjektiivinen. Olkoon {e 1j1 e 2j2,, e mjm : 1 j i n i, 1 i m} V 1 V 2 V m kanta ja v i = j a ije ij V i kiinteä, mutta mielivaltainen. Koska n 1 h(v 1 v 2 v m ) = h( a 1j1 e 1j1 n 1 = ( a 1j1 j m =1 j m=1 a mjm e mjm ) a mjm )h(e 1j1 e 2j2 e mjm ), h määräytyy kokonaan kannan kuvista. Toisaalta jokaiselle m-lineaariselle funktiolle g, joka määräytyy samoista kannan kuvista, välttämättä g = h. Ts. kuvaus on yksikäsitteinen siinä mielessä, että se määräytyy samoista kannan kuvista. Määritelmä 1.15 Olkoon T L(V i, W i ), 1 i m ja h L(V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) kuten yllä. Silloin T 1, T 2,, T m indusoi h:n ja merkitään h = T 1 T 2 T m.
Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLineaarista projektiivista geometriaa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Iiris Repo Lineaarista projektiivista geometriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2012 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö REPO,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
LisätiedotLineaarialgebra b, kevät 2019
Lineaarialgebra b, kevät 2019 Harjoitusta 4 Maplella with(linearalgebra); (1) Tehtävä 1. Lineaarisia funktioita? a) Asetelma on kelvollinen: lähtö- ja maalijoukko on R-kertoiminen lineaariavaruus ja L
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotLineaariset Lien ryhmät / Ratkaisut 6 D 381 klo
JYVÄSKYLÄN YLIOPISO MAEMAIIKAN JA ILASOIEEEN LAIOS Lineaariset Lien ryhmät 27.2.2012 / t 6 D 381 klo. 16-18. 1. Matriisiryhmällä U(n) on epätriviaali normaali aliryhmä SU(n), joka on homomorfismin det
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt
MS-A0002 Matriisilaskenta Luento 1:Vektorit ja lineaariyhdistelyt Antti Rasila 2016 Vektorit Pysty- eli sarakevektori v = ( v1 v 2 missä v 1, v 2 ovat v:n komponentit. ), Matriisilaskenta 2/6 Vektorit
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotGROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE. Olemme jo (harjoituksissa!) löytäneet Lien ryhmälle SL 2 (R) seuraavat redusoitumattomat esitykset:
GROUPS AND THEIR REPRESENTATIONS - FIFTH PILE KAREN E. SMITH 32. Ryhmän SL 2 (R) esitykset Example 32.1. Palautamme mieleen, että { x y SL 2 (R) = A = det A = xw yz = 1} ja z w { a b sl 2 (R) = A = Tr
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos
LisätiedotAlternoivat multilineaarimuodot
LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotMatriisit. Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i = 1,..., k ja j = 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =
1 / 21 Määritelmä 1 Reaaliluvuista a ij, missä i 1,..., k ja j 1,..., n, muodostettua kaaviota a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A... a k1 a k2 a kn sanotaan k n matriisiksi. Usein merkitään A [a ij ]. Lukuja
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot