Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Transkriptio

1 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus yli kunnan k. Lisäksi edellytetään, että renkaan A kertolasku on k-lineaarinen kummankin tekijän suhteen. Esimerkiksi kunnan k laajennuskunnat sekä polynomirenkaat k[x], k[x, y] ovat k-algebroja. Määritelmä 1. Sanotaan, että k-algebra A on porrastettu algebra (engl. graded algebra), jos se voidaan esittää aliavaruuksiensa A n, n N, suorana summana A = siten, että kaikille luonnollisille luvuille n, m on voimassa A n A m A n+m. Esimerkiksi polynomirengas A = k[x, y] saa porrastetun algebran rakenteen, kun valitaan aliavaruudeksi A n monomien x n i y i, i = 0, 1,..., n, virittämä aliavaruus. Määritelmä 2. Jos A on porrastettu algebra, sanomme aliavaruuden A n alkioita (astetta n oleviksi) homogeenisiksi alkioiksi ja aliavaruutta A n itseään kutsumme A:n n-homogeeniseksi osaksi. Algeran A alkion a = a 0 +a 1 + +a m, a i A i, komponentteja a i kutsumme alkion a homogeenisiksi osiksi (tai komponenteiksi). Sanomme algebran A ihannetta I homogeeniseksi, jos sen jokaisen alkion homogeeniset osat ovat nekin ihanteen I alkioita tai ekvivalentisti missä I n = I A n. n=0 A n I = I n, Harjoitustehtävä 1. Osoita, että porrastetun algebran A ykkösalkio 1 = 1 A on homogeeninen astetta nolla. Jos A on porrastettu algebra ja m on luonnollinen luku, niin joukko on homogeeninen ihanne. n=0 A m = Lemma 3. Porrastetun algebran ihanne I on homogeeninen, jos ja vain jos on olemassa joukko homogeenisia alkioita, jotka generoivat I:n ihanteena. n=m A n 1

2 Todistus.Harjoitustehtävä. Lause 4. Jos A on porrastettu algebra ja I sen homogeeninen ihanne, niin tekijäalgebralla A = A/I on porrastetun algebran rakenne, missä A n muodostuu homogeenisen osan A n alkioiden sivuluokista modulo I. Todistus. Ainoa ei-triviaali seikka on todistaa, että aliavaruuksien A n summa on suora. Tämäkin seuraa suoraan ihanteen I homogeenisuudesta. Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia yli skalaarikunnan k. Jos niillä on vastaavat kannat B V = {x i i I} ja B W = {y j j J}, niin näiden tensoritulolla V k W (toistaiseksi ei sekaannuksen vaaraa ole, ja käytämme lyhyempää merkintää V W ) tarkoitetaan k-vektoriavaruutta, jolla on kantana joukko {x i y j i I, j J}. Jos x = i a ix i V ja y = j b jy j W ovat mielivaltaisia vektoreita, niin niiden tensoritulo x y määritellään avaruuden V W alkioksi a i b j x i y j. i I,j J Huomaa, että kaikissa esiintyvissä summissa on äärellinen määrä nollasta eroavia alkioita. Nähdään heti, että kuvaus (x, y) x y on bilineaarinen. Tensoritulo on funktoriaalinen, mikä voitaisiin ilmaista täsmällisemmin kategoriateorian kielellä. Tässä se tarkoittaa sitä, että jos f : V V ja g : W W ovat k-lineaarisia kuvauksia, niin on olemassa yksikäsitteinen säännön x y f(x) g(y) kaikilla x V, y W toteuttava lineaarikuvaus f g : V W V W. Lisäksi tämä kuvausten tensoritulo kunnioittaa kuvausten yhdistämistä, eli jos lisäksi f : V V ja g ; W W ovat nekin k-lineaarisia kuvauksia, niin on voimassa (f g ) (f g) = (f f) (g g). Kowalski käyttää tätä pykälässä todetessaan, että sääntö g (v w) = (g v) (g w) tekee avaruudesta V W ryhmän esityksen, jos V ja W sitä olivat. Siellä esitykseen ρ 1 kuuluvat kuvaukset ρ 1 (g), g G, ottavat f:n (ja f :n) roolin, ja toiseen esitykseen kuuluvat kuvaukset ρ 2 (g) ovat meillä kuvauksen g roolissa. Huomautus 5. Jos yllä kaikki esiintyvät avaruudet ovat äärellisulotteisia ja lineaarikuvauksia f ja g esittävät valittujen kantojen suhteen matriisit A ja B, niin kuvausta f g esittää (kanta-alkioiden tensoritulojen suhteen muodostetun kannan suhteen) matriisien A ja B Kronecker-tulo, josta usein käytetään merkintää A B. Tässä on oltava tarkkana sillä tensoritulon kannalla on 2 vaihtoehtoista luonnollista järjestystä! Huomautus 6. Koska kahden vektoriavaruuden tensoritulo on sekin vektoriavaruus, voidaan muodostaa myös kolmen vektoriavaruuden U, V, W tensoritulot (U V ) W ja U (V W ). Vertailemalla kantoja näemme, että on olemassa ehdon u (v w) (u v) w 2

3 kaikille vektoreille u U, v V, w W toteuttava vektoriavaruuksien välinen isomorsmi näiden kahden tensoritulon välillä. Samaistamme yleensä nämä avaruudet, ja käytämme merkintää U V W. Tensoritulo on tässä mielessä siis assosiatiivinen. Assosiatiivisuuden todistaminen yleisemmälle tensoritulolle sen universaalisuusominaisuutta käyttäen on hivenen epätriviaalia, sillä ei ole aivan selvää, että kyseinen kuvaus on aina hyvin määritelty. Meidän tapauksessamme voimme määritellä kuvauksen ensin kanta-alkioille, ja suoraviivaisella laskulla tarkistaa, että mainittu ehto on voimassa kaikille vektoreille u, v, w. Määritellään vektoriavaruuden V tensoripotenssit V n, n N, asettamalla V 0 = k ja sitten rekursiivisesti V (k+1) = V V k aina, kun k N. Siis V n = V V V V, missä oikealla puolella on n-kertainen tensoritulo. Määritelmä 7. Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan k. Sen tensorialgebra T (V ) on porrastettu algebra T (V ) = V n. Algebran T (V ) kertolasku saadaan liimaamalla yhteen sääntöjen (v 1 v 2 v m ) (u 1 u 2 u n ) = v 1 v 2 v m u 1 u 2 u n yksikäsitteisesti määräämät bilineaarikuvaukset V m V n V (m+n). Tässä m, n N ja v 1, v 2,..., v m, u 1, u 2,..., u n V ovat mielivaltaisia. Harjoitustehtävänä voit tarkistaa, että T (V ) todella on porrastettu algebra. Yleensä samaistamme avaruuden V tensorialgebra 1-homogeenisen osan V 1 = V kanssa. Käytämme tarvittaessa tästä identioivasta upotuskuvauksesta merkintää i V Lause 8. (Tensorialgebran universaalisuusominaisuus) Jos A on jokin k-algebra, ja f : V A jokin k-lineaarinen kuvaus, niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen sellainen k-algebrojen välinen homomorsmi f : T (V ) A, että kaikille vektoreille v V. n=0 f(i V (v)) = f(v) Todistus. Selvästi f on pakko määritellä säännöllä f(v 1 v 2 v n ) = f(v 1 )f(v 2 )f(v 3 ) f(v n ) kaikille luonnollisille luvuille n ja vektoreille v 1, v 2,..., v n. Tässä yhtälön oikealla puolella esiintyy tietenkin algebran A kertolasku. Suoraviivainen harjoitustehtävä osoittaa, että tästä säännöstä k-lineaarisesti laajentamalla muodostettu kuvaus on k-algebrojen välinen homomorsmi. Seuraus 9. Jos f : V V on jokin k-lineaarikuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinen k-algebrojen välinen morsmi T (f) : T (V ) T (V ), joka toteuttaa ehdon T (f)(v 1 v 2 v n ) = f(v 1 ) f(v 2 ) f(v n ) 3

4 kaikille n N, v 1, v 2,..., v n V. Jos lisäksi f : V V on jokin lineaarikuvaus, niin on voimassa T (f f) = T (f ) T (f). Todistus. Ensimmäinen väite seuraa sovelletamalla edellistä Lausetta lineaarikuvaukseen i V f : V T (V ). Jälkimmäinen väite jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus 10. Kategoriateorian kieltä tuntevat tunnistavat kahden edellisen lauseen osoittavan, että tensorialgebran muodostaminen on k-algebrojen kategoriasta k-avaruuksien kategoriaan menevän ns. unohtavan funktorin liittofunktori. Tässä mielessä tensorialgebrat ovat "vapaita k-algebroja". Universaalisuusominaisuushan on samantapainen kuin vapailla ryhmillä (tai vapailla abelin ryhmillä, tai vektoriavaruuksilla). Tensorialgebra on usein hieman liian iso (vapauden seurauksena, vrt. vapaat ryhmät). Sillä on useita tekijäalgebroja, jotka saadaan asettamalla haluttuja vaatimuksia kahden vektorin tulolle. Tavoitteena on yleensä tällöin jokin universaaliominaisuus, ja siihen pääsemiseksi on luontevaa jakaa tensorialgebra sopivalla ihanteella. Tässä yhteydessä tutustumme näistä kahteen: symmetriseen algebraan, jossa edellytämme avaruuden V vektorien tulolta kommutatiivisuutta sekä ns. ulkoalgebraan (engl. exterior algebra), jossa edellytämme antikommutatiivisuutta. Lisäksi voidaan mainita ns. Cliordin algebrat, jotka saadaan vaatimalla että vektorien kertolasku vastaa annettua symmetristä bilineaarimuotoa (, ); V V k. Nämä jonkin verran ulkoalgebraa muistuttavat ötökät kiinnostavat kait vain Roopea, ja eroavat muista sikäli, että silloin jaettava ihanne ei ole homogeeninen, joten sivuutamme ne tässä yhteydessä. Olkoon siis V jälleen jokin vektoriavaruus yli kunnan k. Olkoon I tensorialgebran T (V ) kaikkien muotoa x y y x, x, y V, olevien alkioiden generoima (2-puoleinen) ihanne. Koska ihanteen I generaattorit ovat 2- homogeenisia, niin tekijäalgebra Sym(V ) = T (V )/I on sekin porrastettu algebra, ja voidaan esittää homogeenisten osiensa Sym n (V ) suorana summana. Symmetrisessä algebrassa on kaikille vektoreille x, y V voimassa x y + I = y x + I. Koska (tensorialgebran tapaan) V generoi algebran Sym(V ), seuraa tästä, että Sym(V ) on kommutatiivinen k-algebra. Voidaan todistaa (ks. esim. Jacobson, BA I-II), ettei ihanteen I jakaminen muita relaatioita tuotakaan. Symmetrisen algebran tapauksessa käytämme vektorien kertolaskusta tavallista kertolaskun merkintää tensoritulon asemesta, ja merkitsemme siis esimerkiksi xy:llä sivuluokkien x + I ja y + I tuloa. Harjoitustehtävä 2. Muotoile ja todista Tensorialgebran universaalisuusominaisuutta vastaava Symmetrisen algebran universaalisuusominaisuus. 4

5 Erityisesti, jos dim k V < ja {x 1, x 2,..., x n } on avaruuden V kanta, niin näemme, että tässä tapauksessa symmetrinen algebra on isomornen Sym(V ) k[x 1, x 2,..., x n ] n:n muuttujien polynomien algebran kanssa. Tämä motivoi osaltaan homogeenisuuden käsitteeseen liittyvät puhetavat. Ulkoalgebra saadaan jakamalla tensorialgebra T (V ) homogeenisella alkioiden x x, x V generoimalla (2-puoleisella) ihanteella J. Jos x, y V ovat mielivaltaisia, niin alkio (x + y) (x + y) x x y y = x y + y x J. Näin ollen tekijäalgebrassa (V ) = T (V )/J on voimassa kaikille vektoreille x, y V. (x + J)(y + J) = (y + J)(x + J) Esimerkki 11. Selvitetään ulkoalgebran (V ) rakenne vektoriavaruutena, kun V on 2- ulotteinen avaruus, jonka kannan muodostavat vektorit x ja y. Ratkaisu. Selvästi (? tai ks. Jacobson) T (V ) n J = {0}, kun n < 2, joten (V ) 0 = k 1 ja (V ) 1 V. Avaruudella T (V ) 2 on kanta x x, x y, y x, y y, joten T (V ) 2 J on 3-ulotteinen avaruus, kantana x x, y y, x y + y x. Näin ollen dim (V ) 1 = 1, ja sillä on kantana x y + J = y x + J. Kahdeksanulotteiselle avaruudelle T (V ) 3, kantana x x x, x x y, x y x,y x x,x y y,y x y, y y x,y y y, sen sijaan käy projektiossa T (V ) (V ) huonosti. Kaikki kanta-alkiot ovat nimittäin ihanteessa J. Tämä on ilmeistä niiden kanta-alkioiden kohdalla, joissa sama kanta-alkio esiintyy kahdesti peräkkäin. Mutta muista päästään tähän soveltamalla kerran antikommutatiivisuutta. Esimerkiksi (x y x) + J = (x + J)(y x + J) = (x + J)( x y + J) = (x x y) + J = ((x x) + J)(y + J) = (0 + J)(y + J) = 0 + J. Näin ollen T (V ) 3 J. Koska kaikille n > 3 on voimassa V n = V 3 V (n 3), niin V n J aina, kun n 3. Saamme siis vastaukseksi, että (V ) = k 1 k x k y k (x y), missä lopussa otimme käyttöön usein esiintyvän merkinnän x y = (x + J)(y + J) vektorien x, y V sivuluokkien tulolle ulkoalgebrassa. Esimerkin tulos yleistyy seuraavasti. 5

6 Lause 12. Oletetaan, että dim V = n, ja että {x 1, x 2,..., x n } on avaruuden V eräs kanta. Tällöin ulkoalgebran r-homogeenisella osalla on kanta {x i1 x i2 x ir 1 i 1 < i 2 < < i r n}. Siis dim k (V ) r = ( n r). Erityisesti (V ) n on 1-ulotteinen avaruus ja (V ) r = 0, jos r > n. Todistus. Ks. Jacobson. Jos f : V V on k-lineaarinen kuvaus, niin yllä konstruoitu algebrahomomorsmi T (f) : T (V ) T (V ) on sellainen, että T (f)(i) I ja T (f)(j) J. Näin ollen T (f) indusoi myös algebrahomomorsmit Sym(f) : Sym(V ) Sym(V ) ja (f) : (V ) (V ). Kaikki nämä kuvaukset ovat myös funktoriaalisia ja lisäksi ne kunnioittavat myös algebrojen porrastusta. Näin ollen (vrt. Kowalski 2.2.5) sekä symmetrisen algebran että ulkoalgebran homogeenisille osille saadaan luonnollinen rakenne ryhmän G esityksenä, kun sellainen on annettu avaruudelle V. Esimerkki 13. Olkoon V 2-ulotteinen avaruus, jolla on kanta {x, y}. Olkoon f : V V lineaarikuvaus, jonka matriisi kyseisen kannan suhteen on ( ) a b M =. c d Osoitetaan, että tällöin (f)(x y) = (det M) (x y). Ratkaisu. Nyt (f)(x) = f(x) = ax + cy ja (f)(y) = f(y) = bx + dy. Koska (f) on homomorsmi ulkoalgebralta sille itselleen saamme (f)(x y) = (f)(x) (f)(y) = (ax + cy) (bx + dy) = abx x + adx y + cby x + cdy y = 0 + adx y + cb( x y) + 0 = (ad bc)x y. Tämä lasku yleistyy kaikille äärellisulotteisille avaruuksille. Lause 14. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, kanta {x 1, x 2,..., x n }, ja f : V V on lineaarikuvaus, niin (f)(x1 x 2 x n ) = det(f) (x 1 x 2 x n ). Todistus. Ks. Jacobson. Seuraus 15. Jos V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, kanta {x 1, x 2,..., x n }, ja f, g : V V ovat lineaarikuvauksia, niin det(f g) = det(f) det(g). 6

7 Todistus. Väite seuraa edellisestä Lauseesta sekä ulkoalgebrakonstruktion funktorialisuudesta: (f g) = (f) (g). Harjoitustehtävä 3. Oletetaan, että vektorit x 1, x 2, x 3, x 4 V ovat lineaarisesti riippuvia. Osoita, että tällöin x 1 x 2 + x 3 x 4 = u v, missä u, v V on valittu sopivasti (valinta ei ole yksikäsitteinen). Harjoitustehtävä 4. Oletetaan, että V on äärellisulotteinen vektoriavaruus, ja että x 1, x 2,..., x r ovat sen vektoreita. Osoita, että x 1 x 2 x 3 x r = 0 silloin ja vain silloin, kun kyseinen joukko vektoreita on lineaarisesti riippuva. Harjoitustehtävä 5. Oletetaan, että dim V = 3, k = R. Olkoot i, j, k tavallinen ortonormaali kanta. Määritellään bijektiivinen lineaarikuvaus : (V ) 2 V asettamalla (i j) = k,(j k) = i,(k i) = j. Olkoot x, y V mielivaltaisia. Tarkista laskemalla, että ( x y) on eräs tuttu vektori. Harjoitustehtävä 6. Olkoon V vektoriavaruus, ja x 1,x 2,...,x n sen kanta. Olkoot y 1, y 2,..., y r ja y 1, y 2,..., y r saman aliavaruuden U V kantoja. Osoita, että tällöin on olemassa nollasta eroava alkio α k, jolle y 1 y 2 y r = αy 1 y 2 y r. Näin ollen aliavaruutta U vastaa vakiokerrointa vaille yksikäsitteinen avaruuden (V ) r piste P (U). Kuten mm. Metsänkylä tekee, voidaan tensorialgebran 2-homogeenisen osan suhteen toimia toisin symmetriseen algebraan ja ulkoalgebraan siirryttäessä. Kunhan oletetaan, että char k 2. Jos avaruudella V on kanta {x i i I}, niin sääntö S : x i x j x j x i, i, j I, määrittelee yksikäsitteisen lineaarikuvauksen S : V V V V. Selvästi S on itsensä käänteiskuvaus, eli S S = id V V. Jos lisäksi avaruudessa V on määritelty ryhmän G esitys, niin S on intertwiner-kuvaus. Avaruus V V jakautuu kuvauksen S ominaisarvoihin ±1 kuuluvien osien suoraksi summaksi, sillä jos z V V, niin kehitelmässä z = z + S(z) 2 + z S(z), 2 selvästi ensimmäinen termi kuuluu ominaisarvoon 1 ja jälkimmäinen ominaisarvoon 1. Nämä ominaisavaruudet S + ja S ovat intertwiner-ominaisuuden seurauksena nekin aliesityksiä, ja siis V V = S + S myös esityksinä. 7

8 Lause 16. Projektioille p 1 : T (V ) 2 Sym(V ) 2 ja p 2 : T (V ) 2 (V ) 2 on voimassa: ker p 1 = S, Im p 1 = Sym(V ) 2 ja ker p 2 = S +, Im p 2 = (V ) 2. Todistus. Harjoitustehtävä. Voimme siis samaistaa esityksen V toisen symmetrisen potenssin Sym(V ) 2 ja toisen ulkotulopotenssin (V ) 2 avaruuden V V symmetrisen osan (= S + ) ja antisymmetrisen osan (= S ) kanssa. Huomautus 17. Samanlaista hajotelmaa symmetrisen ja antisymmetrisen osan summaksi EI ole olemassa korkeammille tensoritulopotensseille V n. Tämä johtuu siitä, että useamman komponentin tensoritulolle on olemassa monimutkaisempia symmetrioita. Itse asiassa tällaiset symmetriat karakterisoidaan täysin symmetrisen ryhmän S n esitysteorian avulla! Kun n > 2 näitä on muitakin kuin symmetrisyys ja antisymmetrisyys. Harjoitustehtävä 7. Oletetaan, että f, g GL(V ), n = dim V. Osoita, että tällöin kuvausten tensoritulojen erotukselle t = f g g f : V V V V on voimassa t(s + ) S ja t(s ) = S +. Osoita, että dim ker t n. 8