Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17"

Transkriptio

1 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä Määritelmiä Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat sarjat 13 5 Sarjojen algebraa ja Cauchyn tulosarja 15 1

2 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 2 / 17 1 Peruskäsitteistöä 1.1 Määritelmiä Sarjat määritellään jonojen avulla. Olkoon (a k ) Määrittelemällä kaikilla n Z + luku s n = a k R mielivaltainen lukujono. saadaan uusi lukujono (s n ) n=1. Tässä s n on sarjan n:s osasumma ja a n on sarjan n:s termi. Sarja a k suppenee, mikäli osasummien jono (s n ) suppenee ja sarjan summa on sen osasummien jonon raja-arvo. Mikäli osasummien jono hajaantuu, myöskin sarjan sanotaan hajaantuvan. Sarjan n:s jäännöstermi r n on a k. Voidaan siis kirjoittaa k=n+1 a k = a k + a k = s n + r n. k=n+1 Koska s n on äärellinen summa, se on olemassa kaikilla n Z +. Täten sarjan suppeneminen riippuu jäännöstermin r n suppenemisesta. Huomaa, että jäännöstermi ei ole aina hyvin määritelty. Kannattaa huomata, että summa on hämäävä nimi sarjan raja-arvolle. Merkintä a k voi tarkoittaa sekä sarjan summaa, mikäli sarja suppenee, taikka formaalia sarjaa, joka sitten suppenee tai hajaantuu. Äärellisillä summilla a 1 + a a n on aina yksikäsitteinen arvo ja niiden termien järjestystä voidaan vaihdella. Sarjan raja-arvoa eli summaa taasen ei ole määritelty yhtä hyvin. Se voi riippua termien summauksen järjestyksestä ja sarjan hajaantuessa sitä ei ole määritelty lainkaan. Siten sitä ei voi manipuloida kuten tavallisia summia, koska sarja on pohjimmiltaan raja-arvo. Täten sarjoja koskevia lauseita todistettaessa väite todistetaan sarjan osasummien jonolle. Sarja b k on sarjan a k termien uudelleenjärjestely, mikäli on olemassa bijektio σ : Z + Z + siten, että b σ(k) = a k aina, kun k Z +. Tällöin siis molemmissa 2

3 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 3 / 17 sarjoista löytyvät täsmälleen samat termit, mutta järjestys voi olla eri. 3

4 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 4 / 17 Sarjoja, joilla on oma nimi Geometrinen sarja aq k suppenee, kun q < 1. Harmoninen sarja k=0 1 hajaantuu, joskin hyvin hitaasti. Tarvitaan yli 1, 509 k termiä ennen kuin summa on suurempi kuin 100. Alternoiva harminonen sarja ( 1) k+1 1 k suppenee. Teleskooppisarja (a k a k+1 ) suppenee jos ja vain jos jono (a k ) suppenee. 1.2 Perustuloksia Koska sarjat ovat summien avulla määriteltyjä jonoja, pätevät myös kaikki jonoille johdetut tulokset. Cauchyn kriteeriä osasummien jonoon soveltamalla saadaan Cauchyn kriteeri sarjoille. Sarja suppenee jos ja vain jos sen osasummien jono on Cauchyn jono eli jokaista ɛ > 0 kohti on olemassa sellainen n ɛ Z +, että s n+k s n = a n+1 + a n a n+k < ɛ aina, kun n > n ɛ ja k = 1, 2, 3... Valitsemalla k = 1 saadaan Lause. Jos sarja suppenee, niin lim n a n = 0. Siis jos lim n a n 0, niin sarja hajaantuu. 1 1 Harmoninen sarja hajaantuu, mutta lim = 0. Siis sarjan termien jonon k k k suppeneminen kohti nollaa ei ole riittävä ehto sarjan suppenemiselle. Cauchyn kriteerin tehokkuus on siinä, että se mahdollistaa sarjan suppenemistarkastelut ilman että sarjan summa tunnetaan. Vaikka Cauchyn kriteerin avulla teoriassa voitaisiin osoittaa kaikkien sarjojen suppeneminen tai hajaantuminen, niin osasummien jonon osoittaminen Cauchyn jonoksi on yleensä hyvinkin hankalaa. Tarvitaan siis tehokkaampia työkaluja. 4

5 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 5 / 17 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille Sarjaa a k sanottiin positiivitermiseksi sarjaksi, mikäli a k > 0 kaikilla k Z +. Lause. Positiiviterminen sarja a k suppenee jos ja vain jos sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu eli on olemassa sellainen vakio M > 0, että a k M aina, kun n Z +. Todistus. Positiivitermisen sarjan osasummien jono (s n ) n=1 on aidosti kasvava. Täten se suppenee jos ja vain jos se on ylhäältä rajoitettu. a k ja b k positiivitermisiä Majorantti- ja minoranttiperiaate. Olkoon sarjoja. Jos on olemassa sellainen vakio k 0 Z +, että a k b k aina, kun k > k 0, niin seuraavat väitteet pätevät: Jos majoranttisarja b k suppenee, niin sarja a k suppenee. Jos minoranttisarja a k hajaantuu, niin sarja b k hajaantuu. Todistus. Summat s k0 = k 0 a k ja σ k0 = k 0 b k ovat äärellisiä, joten ne eivät vaikuta suppenemiseen. Kun k 0 on kiinnitetty, ne ovat vakioita. Oletuksen perusteella Kun n > k 0, niin a k = s k0 + Täten, mikäli sarja k=k 0 +1 a k s k0 + k=k 0 +1 a k k=k 0 +1 k=k 0 +1 b k suppenee, niin sarja b k b k s k0 + σ k0 + k=k 0 +1 b k = s k0 + b k a k on ylhäältä rajoitettu ja siten suppeneva. Lisäksi, jos sarja a k hajaantuu, niin positiivitermisenä sarjana sen osasummien jono kasvaa rajatta. Siten myös osasummat 5 b k kasvavat rajatta.

6 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 6 / 17 Seuraavassa annetaan ilman todistuksia tavallisimmat suppenemistestit positiivitermisille sarjoille. Kaikki nämä testit perustuvat siihen, että oletusten ollessa voimassa voidaan löytää sopiva majorantti- tai minoranttisarja, joiden avulla suppeneminen ja hajaantuminen on osoitettavissa. a k ja b k positiivitermisiä sarjoja. Jos Vertailuperiaate. Olkoon a k lim = L > 0, k b k niin joko molemmat sarjat suppenevat tai molemmat sarjat hajaantuvat. Huomautus. Mikäli a lim k k b k suppenemisesta seuraa sarjan seuraa sarjan = 0, niin voidaan todistaa, että sarjan a k suppeneminen ja sarjan b k a k hajaantumisesta b k hajaantuminen, mutta ei välttämättä toisinpäin. Suhdetesti 1. Olkoon vakio k 0 Z +, että niin sarja suppenee. a k positiiviterminen sarja ja on olemassa sellainen a k+1 a k q < 1 aina, kun k k 0 Jos niin sarja hajaantuu. a k+1 a k q > 1 aina, kun k k 0 Tämän tuloksen seuraksena saadaan varsinainen suhdetesti, joka ei kuitenkaan ole yhdenpitävä tämän testin kanssa. Se on kuitenkin helpommin muistettavissa ja miellyttävämpi käyttää. a k positiiviterminen sarja ja Suhdetesti 2. Olkoon Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: Jos q < 1, niin sarja suppenee. Jos q > 1, niin sarja hajaantuu. a k+1 lim = q. k a k 6

7 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 7 / 17 Juuritesti 1. Olkoon a k positiiviterminen sarja ja on olemassa sellainen va- kio k 0 Z +, että k ak q < 1 aina, kun k k 0 niin sarja suppenee. Jos taasen k ak q > 1 aina, kun k k 0 niin sarja hajaantuu. Juuritesti 2. Olkoon a k positiiviterminen sarja ja lim k Tällöin seuraavat väitteet ovat tosia: Jos q < 1, niin sarja suppenee. Jos q > 1, niin sarja hajaantuu. Huomautus. Tarkastelemalla sarjoja k ak = q 1 ja nähdään, että suhde- ja juuritestiä ei voi käyttää silloin, kun testien vaatima raja-arvo on 1. 1 k 2 Huomautus. Voidaan osoittaa, että jos a k > 0 kaikilla k Z + ja raja-arvo a lim k+1 k a k = q on olemassa, niin lim k a k = q. Täten mikäli suhdetesti antaa tietoa sarjasta, niin myöskin juuritesti antaa saman tuloksen. Tämä ei k kuitenkaan päde toisinpäin yleisesti, joten juuritesti on suhdetestiä yleisempi. Useimmiten Integraalitesti. Olkoon suhdetestin käyttäminen on kuitenkin helpompaa kuin juuritestin soveltaminen. a k positiiviterminen sarja ja olkoon f jatkuva, vähenevä ja positiivinen funktio kaikilla x k 0 Z +. Jos lisäksi f(k) = a k, niin tällöin sarja k=k 0 a k suppenee jos ja vain jos epäoleellinen integraali f(x)dx suppenee. k 0 Edellä esitellyt testit pätevät, vaikka osa sarjan termeistä olisikin nollia, sillä ne eivät vaikuta sarjan summaan. 7

8 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 8 / 17 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen Sarja a k suppenee itseisesti, mikäli sarja a k suppenee. Merkitään seuraavasti s n = a k. Lause. Jos sarja suppenee itseisesti, niin se suppenee. Todistus. Kolmioepäyhtälöä soveltamalla saadaan arvio s n+k s n = a n+k + a n+k a n a n+k + a n+k a n. = s n+k s n Täten jos jono (s n) n=1 on Cauchyn jono, niin myös (s n) n=1 mistä väite seuraa Cauchyn kriteerin nojalla. on Cauchyn jono, Edellinen lause ei päde toiseen suuntaan, kuten sarja ( 1) k+1 1 k osoittaa. Suppenevan sarjan sanotaan suppenevan ehdollisesti, mikäli se ei suppene itseisesti. Olkoon s n mielivaltainen osasumma ja p n = p i sen positiivisten termien p i summa ja q n = q i sen negatiivisten termien q i summa. Siten s n = p n + q n ja s n = p n q n. Lisäämällä ja vähentämällä nämä puolittain saadaan p n = 1 2 (s n + s n) ja q n = 1 2 (s n s n). Näistä kahdesta tuloksesta saadaan suoraan seuraavat kaksi lausetta. Lause. Jos sarja a k suppenee ehdollisesti, niin sen positiivisten termien sarja a k ja sen negatiivisten termien sarja a k hajaantuvat. a k >0 Lause. Sarja a k suppenee itseisesti jos ja vain jos sen positiivisten termien sarja a k ja sen negatiivisten termien sarja a k suppenevat. a k >0 a k <0 a k <0 Ensimmäinen lause ei päde toiseen suuntaan, kuten sarja 8 ( 1) k+1 osoittaa.

9 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 9 / 17 Lause. Ehdollisesti suppeneva sarja saadaan uudelleenjärjestelemällä hajaantumaan tai suppenemaan mitä tahansa reaalilukua kohti. Todistus. Tämä ei ole eksakti todistus, mutta antaa ymmärrystä todistuksessa käytettäviin askeliin. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen ja r R luku, jota kohden sarjan halutaan suppenevan. Koska sarja a k ei suppene itseisesti, niin sarjan positiivisten termien muodostama sarja ja negatiivisten termien muodostama sarja hajaantuvat. Siten sarjalla on olemassa äärettömän monta positiivista ja negativiista termiä. Koska sarja a k suppenee, niin lim a k = 0. Siten on olemassa k sellainen vakio k ɛ Z +, että a k < ɛ aina, kun k > k ɛ. Täten on olemassa vain äärellinen määrä termejä (k ɛ kappaletta), joiden itseisarvo on suurempi tai yhtä suuri kuin ɛ. Täten sarjan positiiviset termit voidaan järjestään väheneväksi jonoksi (p k ). Vastaavasti negatiiviset termit voidaan järjestää kasvavaksi jonoksi (q k ). Molempien jonojen raja-arvo on 0, vaikka niitä vastaavat sarjat kasvavat tai vähenevät rajatta. Valitaan pienin sellainen positiivinen j 1, että j 1 p k > r. Eli valittiin j 1 ensimmäistä termiä positiivisten termien jonosta (p k ), niin että summa kasvaa suuremmaksi kuin r. Tämä voidaan tehdä, koska, kun n. Seuraavaksi valitaan pienin sellainen positiivinen j 2, että j 1 p k + j 2 q k < r. p k Joten poimittiin j 2 ensimmäistä termiä negatiivisten termien jonosta (q k ), niin että kokonaissumma saatiin pienemmäksi kuin r. Sitten valitaan pienin sellainen positiivinen j 3, että j 1 p k + j 2 q k + j 3 k=j 1 +1 p k > r. 9

10 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 10 / 17 Valitsemalla positiivisten termien jonosta termit p j 1 +1,..., p j 3, saatiin summa kasvamaan taas suuremmaksi kuin r. Sitten palataan taas negatiivisten termien pariin. Tämän toistaminen n kertaa tuottaa summan S j1 +j j n. Nyt S j1 +j j n r on pienempi kuin viimeisin lisätty termi, koska (p k ) on vähenevä ja (q k ) kasvava. Koska p k, q k 0, niin saamme kohti r suppenevan sarjan a k uudelleenjärjestelyn. Hajaantumaan sarja saadaan, kun negatiivisten termien jonosta valitaan ensimmäinen termi q 1. Jatketaan valitsemalla pienin sellainen positiivinen j 1, että ( j1 ) + q 1 > 1. p k Eli poimittiin j 1 ensimmäistä termiä positiivisten termien jonosta (p k ), niin että summa kasvaa suuremmaksi kuin luvun q 1 itseisarvo lisättynä yhdellä. Tämä voidaan tehdä, koska, kun n. Jatketaan ottamalla negatiivisten p k termien jonon toinen termi q 2. Valitaan sitten pienin sellainen positiivinen j 2, että ( j1 ) ( j2 ) + + q 1 + q 2 > 2. p k k=j 1 +1 Nyt uudelleenjärjestelyn summa kasvoi suuremmaksi kuin 2. Tätä jatkamalla m:s askel on valita sellainen pienin sellainen j m Z +, että j m i p k + q i > m, i=1 k=j i 1 +1 missä j 0 = 1. Täten uudelleenjärjestelyn m:s osasumma on suurempi kuin m. Näin alkuperäisen sarjan termit saadaan järjestettyä uudelleen, niin että uuden sarjan osasummien jono kasvaa rajatta. Täten sarjan uudelleenjärjestely hajaantuu. Mahdolliset nollatermit voidaan molemmissa tapauksissa lisätä uudelleenjärjestelyihin mielivaltaisilla tavoilla, ilman että se vaikuttaa sarjojen suppenemiseen tai hajaantumiseen. p k 10

11 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 11 / 17 Huomautus. Olennaista edellisessä todistuksessa on se, että positiivisten termien ja negatiivisten termien sarjat hajaantuvat. Täten sarjan uudelleenjärjestelyissä voimme kasvattaa tai vähentää kokonaissummaa mielivaltaisen paljon riippumaatta siitä, mitkä termit on jo käytetty. Kuitenkin molemmissa on mielivaltaisen pieniä termejä, joten summaus saadaan lopulta halutessamme suppenemaan. Esimerkiksi sarjan ( 1) k+1 uudelleenjärjestelyjen osasummat saadaan kasvavaan tai vähenemään mielivaltaisen suuriksi. Kuitenkaan ne eivät voi supeta, koska käytössä ei ole mielivaltaisen pieniä termejä. Seuraavan lauseen todistus on harjoitustehtävänä. Lause. Suppenevan positiivitermisen sarjan termien uudelleenjärjestely ei vaikuta sarjan suppenemiseen tai summaan. Tämän avulla saadaan Lause. Itseisesti suppenevan sarjan termien uudelleenjärjestely ei vaikuta sarjan suppenemiseen tai summaan. Todistus. Todistuksen periaate on seuraava. Olkoon s = a k mielivaltaisen itseisesti suppenevan sarjan summa. Nyt sarjan positiivisten ja negatiivisten termien sarjat suppenevat ja s = p + q, missä p on positiivisten termien sarjan summa ja q negatiivisten termien sarjan summa. Positiivitermisen sarjan termien järjestely ei vaikuttanut sarjan summaan, joten positiiviset ja negatiiviset termit voidaan järjestellä p:ssa ja q:ssa vapaasti. Olkoon σ m = m b k mielivaltaisen uudelleenjärjestelyn m:s osasumma. Nyt tämän osasumman termit voidaan järjestää positiivisiin ja negatiivisiin. Nyt m m lim σ m = lim b k + lim b k = p + q = s. m m m b k >0 b k <0 Täten huomataan, että itseisesti suppenevat sarjat ovat muita sarjoja paremmin määriteltyjä. Niiden summa on olemassa ja summausjärjestys voidaan valita 11

12 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 12 / 17 mielivaltaisesti. 12

13 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 13 / 17 4 Alternoivat sarjat Olkoon (a k ) positiiviterminen jono. Tällöin sarjaa ( 1) k+1 a k = a 1 a 2 + a 3 a sanotaan alternoivaksi sarjaksi. Leibnizin lause. Olkoon (a k ) Tällöin sarja suppenee. positiiviterminen vähenevä jono ja lim k a k = 0. ( 1) k+1 a k Todistus. Olkoon s n sarjan n:s osasumma. Nyt n+k s n+k s n = ( 1) i+1 a i. i=n+1 Koska jono on vähenevä, niin a n+1 a n+2... a n+k ja k:n ollessa parillinen saadaan, että s n+k s n = a n+1 a n+2 + a n+3 a n ( 1) k+1 a n+k = a n+1 (a n+2 a n+3 ) (a }{{} n+4 a n+5 )... a }{{}}{{} n+k 0 0 >0 < a n+1. ja k:n ollessa pariton saadaan, että s n+k s n = a n+1 a n+2 + a n+3 a n ( 1) k+1 a n+k = a n+1 (a n+2 a n+3 ) (a }{{} n+4 a n+5 )... (a }{{} n+k 1 a n+k ) }{{} a n+1 Siis s n+k s n a n+1 0, kun n ja k = 1, 2, 3,.... Siten s n on Cauchyn jono ja sarja suppenee. 13

14 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 14 / 17 Huomautus. Leibnizin lauseessa oletus jonon vähenevyydestä on tärkeä. Jos sarja on alternoiva a k ja lim = 0, niin sarja voi hajaantua. Esimerkiksi käy sarja k 1 q q q , missä q 1. Todistuksessa saatiin arvio s n+k s n a n+1 kaikille k Z +. Siten mikäli sarja suppenee, niin ( 1) k+1 a k ( 1) k+1 a k = s s n < a n+1. Täten sarjan summaa arvioidessa osasummalla s n tehdään virhe, jonka itseisarvo on pienempi tai yhtä suuri kuin ensimmäinen pois jätetyn termin itseisarvo. 14

15 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 15 / 17 5 Sarjojen algebraa ja Cauchyn tulosarja Koska sarjoissa on äärettömän monta termiä, täytyy tavalliset laskuoperaatiot kuten yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku määritellä sarjoille erikseen. Seuraavassa esitellyt määritelmät ovat vain yhdet mahdolliset. Olkoon a k ja b k sarjoja ja α, β R. Tällöin määritellään α a k + β a k = (αa k + βb k ). Tämä määritelmä sisältää siis sarjojen yhteen- ja vähennyslaskun sekä kertomisen skalaarilla. Sarjojen a k ja b k Cauchyn tulosarjaksi nimitetään sarjaa c k, missä c k = a 1 b k + a 2 b k a k b 1 = a i b j. i+j=k+1 Täten c k = a 1 b 1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) + (a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b 1 ) +... Nyt jakolasku voidaan määrittää kertolaskun käänteislaskutoimituksena. Asetetaan, että d k = a k : jos ja vain jos sarja a k on sarjojen b k ja d k Cauchyn tulosarja. Huomautus. Edelliset määritelmät yhtyvät reaalilukujen laskutoimituksiin, jos reaaliluku r R tulkitaan sarjaksi r Tällöin esimerkiksi d = a jos ja vain jos a = bd. Sarjan voisikin tulkita vektoriksi, b jossa on äärettömän monta koordinaattia. 15 b k

16 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 16 / 17 Näille sarjojen laskutoimituksille voidaan johtaa erilaisia ominaisuuksia, kuten seuraavan lauseen, jonka todistus on harjoitustehtävänä. Lause. Olkoon a k = S 1 ja b k = S 2 kaksi suppenevaa sarjaa. Nyt niiden summasarja suppenee ja (a k + b k ) = S 1 + S 2. Cauchyn tulosarjan suppeneminen ei kuitenkaan ole itsestään selvää, kuten seuraavan lauseen todistus osoittaa. Lause. Jos sarja a k suppenee itseisesti ja sarja b k suppenee, niin niiden Cauchyn tulosarja suppenee ja sen summa on näiden sarjojen summien tulo. Todistus. Merkitään seuraavasti: s n = a k, s = a k ja σ n = k=n+1 b k Merkinnät ovat järkeviä oletusten perusteella. Nyt c k = a 1 b 1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) (a 1 b n + a 2 b n a n b 1 ) = a 1 (b 1 + b b n ) + a 2 (b 1 + b b n 1 ) a n b 1 = a 1 ( b k b k ) + a 2 ( b k b k ) a n ( b k k=n+1 k=n = s n b k (a 1 σ n + a 2 σ n a n σ 1 ) }{{} =λ n = s n b k λ n Siis jos lim λ n = 0, niin lim n olikin todistettavana. n c k = lim (s n n b k ) k=2 b k ) = ( a k )( b k ) mikä 16

17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 17 / 17 Koska b k suppenee, niin lim n k=n+1 b k = lim n σ n = 0. Eli mielivaltaista ɛ > 0 kohti on olemassa n ɛ Z + siten, että σ n < ɛ 2s aina, kun n > n ɛ. λ n = a 1 σ n + a 2 σ n a n σ 1 = a1 σ n + a 2 σ n a n n ɛ +1σ n ɛ + a n n ɛ σ n ɛ a n σ 1 a 1 σ n + a 2 σ n an n ɛ +1σ n ɛ + an n ɛ σ n ɛ an σ 1 < ɛ 2s ( a an n ) ɛ + an n ɛ σ n ɛ an σ 1 Nyt a an n ɛ s. Koska lim a n = 0, σ n on rajoitettu ja n ɛ vakio, n niin voidaan valita sellainen n ɛ siten, että an n ɛ σ n ɛ an σ 1 < ɛ 2 Valitsemalla n ɛ = max{n ɛ, n ɛ} saadaan, että aina, kun n > n ɛ λ n < ɛ 2 + ɛ 2s s = ɛ aina, kun n > n ɛ Koska ɛ oli valittu mielivaltaiseksi saadaan, että λ n 0, kun n. Tämän lauseen avulla voidaan todistaa seuraava lause. Lause. Kahden itseisesti suppenevan sarjan Cauchyn tulosarja suppenee itseisesti. 17

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa

Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anna-Kaisa Torvinen Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Syyskuu 2010 Tampereen yliopisto

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Sarjat ja integraalit Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5 Sisältö Johdanto.................................................................... 5. Kerrattavaa..............................................................

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.

Lukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen

Lisätiedot

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).

Jonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto

Lineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset

Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

6. Lineaariset operaattorit

6. Lineaariset operaattorit 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot