S Fysiikka III (EST), Tentti

Transkriptio

1 S Fysiikk III (ES), entti Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen ksun kierroksen ikn tekemään työhön. Rtkisu Yksitomist ideliksu käyttävälle koneelle ( ) ln( ) W = R V V Y A 1 missä Y = 40 j A = 0 ovt ylemmän j lemmn lämpövrston lämpötilt j V on yksitomisen ksun tilvuus pisteessä. Olkoon vstvstiv kksitomisen ksun tilvuus pisteessä. ällöin kksitomisen ksun tekemä työ on ( ) ln( ) W = R V V Y A 1 Ksujen tekemien töiden suhde on siis ( V V1) ( ) W ln / = W ln V / V 1 (1) Ksujen tilvuudet pisteessä ovt siis eriliset. ämä johtuu siitä, että dibttivkiot ovt eriliset j ksuill on keskenään sm tilvuus pisteissä 1 j 3. Piste ei siis ole smll dibtill. Olkoon yksi- j kksitomisen ksun dibttivkiot γ = 1,667 j γ = 1,400 vstvsti. ällöin dibttisest ljenemisest sdn γ 1 γ 1 0 = V 0 3 γ 1 γ 1 0 = V 0 3 4V 4V. Rtkisemll tästä tilvuudet pisteessä j sijoittmll ne suhteeseen (1) j smme V = V 3 4 ( γ ) 1/ 1 1/ ( 1 γ V ) = V34 Sijoittmll nämä j V3 = 64V1 yhtälöön (1)

2 ( γ ) ( γ ) W 3+ 1/ 1 = W 3+ 1/ 1 W Sijoittmll dibttivkiot smme 3 W =.. Lske entropin muutos, kun m 1 mooli nestettä, jonk lämpötil on 1 sekoitetn voimess, mutt lämpöeristetyssä stiss m mooliin sm nestettä, jonk lämpötil on. Nesteen moolinen lämpökpsiteetti on C m. Rtkisu Sekoittuessn nesteet vihtvt lämpöä keskenään. Isobriselle prosesessille Q mc p S = =. (1) Nesteiden sekoittumiseen ei liity työtä, joten nesteen 1 luovuttm lämpö = nesteen sm lämpö. Oletetn 1> olkoon loppulämpötil. mc mc = m c m c ; 1 p 1 1 p p p mcp loppulämpötilksi sdn siis = mc integroimll yhtälöstä (1) nesteelle 1 + m c 1 1 p + m c 1 p p. Entropin muutokseksi sdn d S = m c = m cpln, nesteelle vstvsti S = mcp ln. 1 1 p Lsketn entropin muutokset yhteen j sijoitetn : S1+ S = νcp ln. 1 Osoitetn, että logritmin rgumentti on suurempi kuin 1 : + > ( ) > 4 + > 0 > Systeemissä on N hiukkst joiden mhdolliset energitilt ovt ε j -ε. Oletten, että systeemin kokonisenergi on U osoit, että lämpötil voidn esittää sisäenergin vull muodoss 1 k N - U / ε = ln. ε N + U / ε

3 ote, että lämpötil on positiivinen (negtiivinen) jos sisäenergi on negtiivinen (positiivinen). Rtkisu: Prtitiofunktioksi sdn ε / k ε/ k Z = e + e Derivoimll ε k d ε e e ln Z = d ε k k e + e / ε/ k / ε/ k joten sisäenergiksi sdn ε/ k ε / k d e e x 1 U = kn ln Z = Nε = Nε d ε/ k ε / k e + e x + 1 / k e ε missä merkittiin x =. Rtkistn x N U / ε x =. N + U / ε Sijoittmll x j ottmll logritmi sdn 1 k N U / ε = ln. ε N + U / ε Jost hvitn, että <0 kun U>0 j päinvstoin. Negtiiviset lämpötilt ovt yleisesti mhdollisi systeemille, joss energitsot ovt ylhäältä rjoitettuj. (Esim. ksumolekyylin energit eivät ole - yksittäisellä molekyylillä voi oll kuink korke energi thns). 4. ) Atomin pltess viritetystä tilst perustiln fotoniemissioll hvittiin emittoituvn - spektriviivn leveydeksi 10, 10 6 ev. Mikä oli tiln elinik? b) Lske vetytomin rekyylienergi sähköisessä dipolitrnsitioss 3d Æ p. Rtkisu Heisenbergin yhtälöstä 10 t = ħ / E = s. b) Rekyylienergin on suurell trkkuudell ( E / c) γ M

4 missä E γ on fotonin energi j M tomin mss. ässä trnsitioenergi on E γ 1 1 = E0 = 1.9eV Rekyylienergiksi sdn sijoittmll 1, 9 10 ev. 5. Osoit, että Comptonin sironnss sironneen fotonin suunt q j rekyylielektronin suunt (fotonin lkuperäiseen suuntn nähden) toteuttvt yhtälön q F lci cot = 1+ tnf HG l K J missä l on sirovn fotonin llonpituus. Rtkisu Comptonin ehto llonpituuden muutokselle c ( 1 cos ) λ λ = λ θ. (1) Liikemäärän säilymisen perusteell: pγ sinθ = pe sinφ pγ sinθ tnφ = pγ cosθ pγ = pe cosφ pγ pγ cosθ. () Sijoittmll fotonien llonpituudet p γ hν h = = sdn c λ 1 sin θ λsinθ tnφ = λ =. (3) 1 1 cosθ λ λcosθ λ λ Sijoittmll (1) yhtälöön (3) λsinθ λ sinθ tnφ = =. (4) λ 1 cosθ + λ λcosθ λ+ λ 1 cosθ c ( ) rigonometrin mukn sdn θ λ cot 1 C = + tnφ. λ c θ sinθ cot =. Sijoittmll tämä yhtälöön (4) j järjestelemällä 1 cos θ

5 6. Voidn osoitt, että sähköisen dipolitrnsition mæ n todennäköisyys ikyksikköä kohden on potentililtikoss sijitsevlle hiukkselle z WmÆ n = C f mx f ndx 0 *, missä C on eräs vkio. Mikä ehto kvnttilukujen m j n on toteuttv, jott trnsitiotodennäköisyys olisi nollst poikkev? Rtkisu Olkoon potentililtikon leveys vrt luennot. rkstelln integrli z * z fmxfndx 0 0 Kosk oletmme, että m z * z fmxfndx 0 0 =F H I K. (1) mpx p x n x sin sin dx π n voimme kirjoitt =+F H I K - () z z 0 0 mpx npx sin ( x )sin dx * * * sillä fm fndx = fmfndx = 0 ortonormeeruksen f f dx = d z0 m n mn perusteell. Integrndin kikill kolmell tekijällä yhtälössä () on nyt hyvin määrätty priteetti : sin m p x prillinen jos m priton priton jos m prillinen priton ( x - ) sin n p x prillinen jos n priton priton jos n prillinen Integrndi on siis prillinen jos m+n on priton ti priton jos m+n on prillinen. Intgrli = 0 jos integrndi on priton, joten vlintsäännöksi sdn m - n=135,,,.. ts lku- j lopputilll on vstkkinen priteetti.

6 VAKIOIA m = 9, kg m = 1, kg m = 1, kg mu = 1, kg e p n e= 1, C c =, m/s ħ = 1, Js µ = 9, J 1 B ε = 8, C N -1 m - K = 1/ 4πε µ = 1, mkgc K = µ / 4π 0 e 0 0 m 0 γ = 6, Nm kg N = 6, mol 1 R = 8,3143 JK -1 mol -1 k=1, JK 1 A