Nopeat Fourier-muunnokset

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Nopeat Fourier-muunnokset"

Transkriptio

1 opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx + n = fx, x ] π, π[, missä n käy läpi kokonaisluvut. Käytetään tällaisille kuvauksille merkintää f L 1 ] π, π[. ääritellään kuvaukset φ k : R C asettamalla φ k t = 1 e ikt, missä k on kokonaisluku, ja i = 1 on imaginääriyksikkö. De oivren kaavan mukaan on e ikt = cos kt + i sin kt. Siten luvun e ikt kompleksikonjugaatti on e ikt = e ikt. Edelleen pätee π π { π e ikt, k = 0, dt = cos kt dt + i sin kt dt = π π π 0, k 0, joten π π φ k tφ j t dt = 1 π e ikt e ijt dt = 1 π e ik jt dt = δ kj, π π missä on käytetty Kroneckerin symbolia δ kj eli δ kj = 1, kun k = j, ja δ kj = 0, kun k j. Siis kuvaukset φ k muodostavat ortonormaalin systeemin. Olkoon nyt f L 1 ] π, π[. ääritellään f:n Fourier-kertoimet kuvausten φ k suhteen asettamalla c k = c k f = π π Edelleen määritellään f:n Fourier-sarja F f = F f, x = ftφ k t dt = 1 π k= π c k fφ k x = 1 fte ikt dt. k= c k fe ikx. Huomaa, että F f:n määritelmä on tässä vaiheessa vain muodollinen, sillä kyseinen sarja ei välttämättä suppene. 1

2 Jos kuvaus f on reaaliarvoinen, voidaan Fourier-sarja kirjoittaa ns. trigonometriseen muotoon seuraavasti: Koska ft = ft, niin c k f = c k f. Silloin k= c k e ikx = c 0 + = c 0 + = c 0 + c k e ikx + c k e ikx k=1 Rec k e ikx + e ikx + i Imc k e ikx e ikx k=1 k=1 Rec k cos kx Imc k sin kx, missä Re ja Im tarkoittavat kompleksiluvun reaali- ja imaginääriosia. erkitään π a 0 = a 0 f = c 0f = 1 ft dt, π π a k = a k f = Re c k f = 1 π ft cos kt dt, k = 1,,..., π π b k = b k f = Im c k f = 1 π ft sin kt dt, k = 1,,..., π jolloin Fourier-sarja saadaan muotoon F f, x = 1 a 0 + π ak cos kx + b k sin kx. Jos f on lisäksi parillinen, ts. f x = fx kaikilla x, niin silloin a k f = π π 0 k=1 ft cos kt dt, b k f = 0. Toisaalta, jos f on pariton, ts. f x = fx kaikilla x, niin silloin a k f = 0, b k f = π π 0 ft sin kt dt. Fourier-sarjan F f suppeneminen riippuu tietenkin kuvauksesta f. Voidaan osoittaa mm. seuraavat tulokset: Lause 1.1. Olkoon f L 1 ] π, π[ siten, että sarja F f suppenee tasaisesti. Silloin f on jatkuva kaikkialla ja F f, x = fx. Lause 1.. Olkoon f L 1 ] π, π[ paloittain jatkuvasti differentioituva. Silloin sarja F f suppenee kaikkialla ja fx, jos f on jatkuva x:ssä, F f, x = 1 lim f x + lim f x, jos x on f:n epäjatkuvuuskohta, x x+ x x missä lim x x+ f x ja lim x x f x ovat f:n toispuoleiset raja-arvot kohdassa x.

3 Siis paloittain jatkuvasti differentioituva kuvaus voidaan esittää Fourier-sarjana fx = 1 k= 1 π π fte ikt dt e ikx, 1.1 kunhan f on normalisoitu siten, että epäjatkuvuuskohdissa sen arvot määritellään keskiarvoina toispuoleisista raja-arvoista. Voidaan osoittaa, että Fourier-kertoimille pätee c k f 0, kun k. Jos f on vielä säännöllisempi kuin vain integroituva, voidaan osoittaa vahvempiakin tuloksia. Esimerkiksi, jos f C siis f on äärettömän monta kertaa differentioituva, niin silloin k n c k f 0, kun k, millä tahansa kokonaisluvulla n. Tällöin Fourier-sarjan termit lähenevät nollaa, joten kuvausta f voidaan approksimoida katkaistulla sarjalla fx 1 c k fe ikx, missä on riittävän suuri kokonaisluku. 1. Fourier-muunnos k= Se, että edellä tarkasteltiin juuri välillä ] π, π[ integroituvia kuvauksia, ei ole mitenkään oleellista. Jos f on -jaksollinen, niin silloin kelpaa mikä tahansa väli, jonka pituus on. Siten kaikki edellä oleva on sellaisenaan voimassa, vaikka tarkasteluväliksi muutettaisiin esimerkiksi ]0, [. Vastaavasti, jos f on integroituva jollain muulla välillä ] a, a[, missä a > 0, ja on a-jaksollinen, voidaan f esittää muodollisesti Fourier-sarjana fx = 1 a k= 1 a a a fte ikπt/a dt e ikπx/a, 1. joka on siis saatu kaavasta 1.1 suorittamalla skaalaus vakiolla π/a. Johdetaan seuraavassa heuristisesti Fourier-muunnos lähtien esityksestä 1.. Jos merkitään y k = kπ/a ja gy = 1 niin silloin 1. voidaan kirjoittaa fx = k= a a fte iyt x dt, π a gy k gy dy. Tässä on siis laskettu numeerisesti kuvauksen g integraalin arvo välillä ], [ käyttäen askelpituutta π/a. Kun annetaan vielä a, niin saadaan jälleen muodollinen esitys fx = fte iyt dt e ixy dy. 1.3

4 Huomaa, että edellä oleva ei ole kaavan 1.3 todistus, vaan ainoastaan heuristinen päättely! Olkoon f nyt koko R:ssä integroituva kuvaus, ts. f 1 = ft dt <. Tällöin merkitään f L 1 R. Kaavan 1.3 pohjalta määritellään ensin Fouriermuunnos F siten, että Ffy = ˆfy = 1 fte iyt dt, jolloin ˆfy vastaa Fourier-kertoimia c k f esityksessä 1.1. ääritellään sitten Fourier-käänteismuunnos F 1 siten, että F 1 ˆfx = 1 ˆfye ixy dy, joka puolestaan vastaa Fourier-sarjaa F f, x esityksessä 1.1. Tällöin on muodollisesti F 1 Ff = f. Ongelmana on kuitenkin, että F 1 ˆfx ei ole välttämättä hyvin määritelty. imittäin, jos f L 1 R, niin silloin sen Fourier-muunnos Ff on kyllä olemassa, mutta siitä ei seuraa, että ˆf L 1 R. Voidaan kuitenkin osoittaa seuraava tulos: Lause 1.3. Olkoon f L 1 R siten, että ˆf L 1 R. Silloin f on jatkuva kaikkialla ja F 1 ˆfx = fx. Tilanne vastaa siten Fourier-sarjojen tapausta: Fourier-kertoimet c k f ovat aina olemassa kun f L 1 ] π, π[, mutta Fourier-sarja F f ei välttämättä suppene ilman lisäoletuksia. Lausetta 1.1 vastaa nyt lause 1.3. Kuten kaavasta 1.3 nähdään voidaan Fourier-muunnoksen ja -käänteismuunnoksen skaalauskertoimiksi valita mitkä tahansa luvut, kunhan niiden tulo on 1/. Yleensä kuitenkin valitaan kertoimiksi 1/, sillä silloin Ff ja F 1 ˆf ovat samannäköisiä itse asiassa ne ovat oleellisesti sama kuvaus. Fourier-muunnokselle pätee mm. seuraavat tulokset: Lause 1.4. Fourier-muunnos F on lineaarinen, ts. missä f, g L 1 R ja λ C. f + gy = ˆfy + ĝy, λfy = λ ˆfy, Todistus. Seuraa suoraan integraalin lineaarisuudesta. Lause 1.5. Fourier-muunnos F muuttaa derivoinnin kertolaskuksi, ts. f y = iy ˆfy, missä f L 1 R siten, että f L 1 R ja b a f t dt = fb fa a, b R. Todistus. Oletuksesta f, f L 1 R seuraa, että fx 0, kun x. Siten väite saadaan osittaisintegroinnilla. 4

5 Jos f L 1 R on parillinen, niin silloin ˆfy = ft cos yt dt, 1.4 π 0 joten myös ˆf on parillinen. Toisaalta, jos f L 1 R on pariton, niin silloin ˆfy = i ft sin yt dt, 1.5 π joten myös ˆf on pariton. Kaavan 1.4 määrittelemää kuvausta sanotaan Fourierkosinimuunnokseksi, ja kaavan 1.5 määrittelemää kuvausta ilman kerrointa i Fourier-sinimuunnokseksi. ämä molemmat muunnokset ovat muodollisesti omia käänteismuunnoksiaan. 1.3 Konvoluutiot Eräs tärkeä Fourier-muunnosten sovellus on ns. konvoluutioiden laskeminen. Olkoot f, g L 1 R. ääritellään konvoluutio f g siten, että f gx = 0 fx tgt dt. Huomataan, että konvoluutio on symmetrinen, ts. f gx = g fx niillä x, joilla se on määritelty. Itse asiassa voidaan osoittaa, että konvoluutio on määritelty melkein kaikkialla. Yhteyden Fourier-muunnoksiin antaa seuraava tulos, ns. konvoluutiolause: Lause 1.6. Olkoot f, g L 1 R. Silloin f g L 1 R ja f gy = ˆfyĝy. Todistus. Oletuksen mukaan f 1 < ja g 1 <. Silloin f gx dx = fx t gt dt dx fx t dx gt dt = f 1 gt dt = f 1 g 1 <, joten f g L 1 R. Tällöin f gy on hyvin määritelty ja f gy = 1 fx tgt dt e iyx dx 1 = fx te iyx t dx gte iyt dt joten lause on voimassa. = ˆfy gte iyt dt = ˆfyĝy, 5

6 Diskreetti Fourier-muunnos.1 Johdanto Sovelluksissa esiintyy usein tilanne, jossa tutkittavasta systeemistä mitataan jotain suuretta tietyn mittausjakson aikana; esimerkiksi signaalianalyysissä signaalista otetaan näytteitä sopivin väliajoin. Saatua diskreettiä mittausaineistoa käsitellään sitten Fourier-analyysin keinoin. Fysiikan termein ilmaistuna Fourier-muunnoksen diskreetti versio siirtää signaalit aika-alueelta time domain taajuusalueelle frequency domain. Skaalataan aika t siten, että mittausjaksona on [0, ]. Olkoot t j = j/, missä j = 0, 1,..., 1, mittaushetket ja f j C vastaavat mittausarvot. Tässä siis on mittausten lukumäärä, joka seuraavassa oletetaan parilliseksi, ts. = jollain positiivisella kokonaisluvulla. ittausarvot f j voidaan tulkita -jaksollisen kuvauksen f pistearvoiksi ft j. Siten f j :t voidaan laajentaa -jaksolliseksi pisteistöksi, ts. f j+n = f j, j = 0, 1,..., 1, missä n käy läpi kokonaisluvut. Otetaan vielä käyttöön merkintä w = e i/. Helposti todetaan, että tällöin pisteistö w j on -jaksollinen. Edelleen pätee seuraava ortogonaalisuustulos: Lause.1. Olkoot 0 k, j 1. Silloin Todistus. Ensin todetaan, että 1 1 w kl w lj = w kl w lj = δ kj. 1 w kl w lj = 1 w k jl. Jos k = j, niin w k j = 1. Silloin 1 wk jl =, eli väitteen ensimmäinen osa on voimassa. Olkoon sitten k j, jolloin w k j 1. Huomataan, että w k j = 1 kaikilla k ja j, joten w k j on polynomin pz = z 1 juuri. Toisaalta pz = z 1 1 zl, joten w k j 1 1 w k jl = 0. yt w k j 1 0, joten täytyy olla 1 wk jl = 0, eli myös väitteen toinen osa on voimassa.. Diskreetit muunnokset ääritellään pisteistö φ kj siten, että φ kj = 1 w kj, k, j = 0, 1,..., 1. Lauseen.1 mukaan on 1 φ kl φ lj = δ kj,.1 6

7 eli φ kj :t muodostavat ortonormaalin kannan. ääritellään diskreetti Fourier-muunnos eli discrete Fourier transform, DFT asettamalla ˆf k = 1 f j φ kj = 1 1 f j w kj, k = 0, 1,..., 1. Huomataan, että myös pisteistö ˆf k on -jaksollinen. ääritellään edelleen diskreetti Fourier-käänteismuunnos asettamalla f j = 1 k=0 ˆf k φ jk = 1 1 k=0 ˆf k w jk, j = 0, 1,..., 1, joka todella on käänteismuunnos, sillä kaavan.1 mukaan Koska f l = 1 k=0 1 f j φ kj φ lk = f j = 1 1 k=0 1 1 k=0 φ lk φ kj f j = ˆf k w jk = 1 1 k=0 ˆf k w jk, 1 δ lj f j = f l. niin käänteismuunnos voidaan suorittaa varsinaisen muunnoksen avulla seuraavasti: Ensin otetaan kompleksikonjugaatti ˆf k, sitten sovelletaan tähän diskreettiä Fouriermuunnosta, ja lopuksi otetaan tuloksesta jälleen kompleksikonjugaatti. Diskreetille Fourier-muunnokselle pätee mm. seuraavat tulokset: Lause.. Diskreetti Fourier-muunnos on lineaarinen, ts. missä f j, g j ovat -jaksollisia ja λ C. Todistus. Harjoitustehtävä. f + g k = ˆf k + ĝ k, λfk = λ ˆf k, Lause.3. Diskreetti Fourier-muunnos säilyttää normin, ts. on voimassa Parsevalin yhtälö missä f j on -jaksollinen. Todistus. Harjoitustehtävä. 1 k=0 ˆf k = 1 f j, ääritelmän mukaan jokaisen ˆf k laskemiseksi täytyy suorittaa +1 kertolaskua ja 1 yhteenlaskua sekä laskea w kj :t. Toisaalta pisteitä ˆf k on kappaletta, joten tarvitaan + kertolaskua ja yhteenlaskua. Siten diskreetin Fouriermuunnoksen vaativuus kun se lasketaan suoraan määritelmästä on O. 7

8 .3 Reaaliset muunnokset Tarkastellaan seuraavaksi erikoistapausta, jossa mittausarvot ovat reaalisia, siis f j = f j, j = 0, 1,..., 1. Tällöin voitaisiin tietenkin käyttää edellä esitettyä kompleksista :n pisteen Fourier-muunnosta. Osoittautuu kuitenkin, että reaalisessa tapauksessa muunnos on mahdollista tehdä siten, että tarvitsee suorittaa vain yksi :n pisteen muunnos missä siis = /. Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa käsiteltävänä on kaksi reaalista -jaksollista pisteistöä g j ja h j. ääritellään z j = g j + ih j, j = 0, 1,..., 1, jolloin z j on kompleksinen -jaksollinen pisteistö. Sovelletaan tähän edellä esitettyä diskreettiä Fourier-muunnosta. uunnoksen lineaarisuuden nojalla on ẑ k = ĝ k + iĥk. Koska g j :t ovat reaalisia, niin ĝ k = ĝ k = ĝ k. Vastaava tulos pätee tietenkin myös ĥk:lle. Silloin ẑ k = ĝ k iĥk. äistä kahdesta yhtälöstä seuraa siten ĝ k = 1 ẑ k + ẑ k, ĥk = i ẑ k ẑ k. Huomaa, että nämä tarvitsee laskea vain k:n arvoilla 0, 1,...,, sillä ĝ k = ĝ k ja ĥ k = ĥk. äin siis saadaan muodostettua kahden reaalisen pisteistön diskreetit Fourier-muunnokset suorittamalla vain yksi kompleksinen muunnos. Sovelletaan nyt tätä menetelmää f j :n Fourier-muunnosten laskemiseen. ääritellään g j = f j, h j = f j+1, j = 0, 1,..., 1, jolloin g j ja h j ovat molemmat -jaksollisia. Lasketaan ẑ k, k = 0, 1,..., 1, kuten aikaisemmin, mutta nyt vain :n tilalla on. Huomaa siis, että nyt muuttuja w, joka esiintyy diskreetin muunnoksen määritelmässä, täytyy korvata muuttujalla w = e i/. Edellä esitetyn mukaisesti saadaan ĝ k = 1 ẑ k + ẑ k, ĥk = i ẑ k ẑ k,. jotka siis tarvitsee laskea vain k:n arvoilla 0, 1,..., /, sillä ĝ k = ĝ k ja ĥ k = ĥ k. Pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos puolestaan on :n pisteen muunnos, joten sen määritelmässä esiintyy w = e i/. Huomataan, että w = w. Siten k:n arvoilla 0, 1,..., 1 saadaan ˆf k = 1 1 f j w kj = 1 = 1 1 g j w kj + w k f j w kj h j w kj f j+1 w kj k = 1 ĝk + w k ĥk,

9 missä ĝ k ja ĥk saadaan yhtälöistä.. Koska w = 1, niin loput ˆf k :t saadaan yhtälöstä ˆf +k = 1 ĝ+k + w k 1 ĥ +k = ĝk w ĥk k, missä k = 0, 1,..., 1. Siten reaalisen :n mittaisen pisteistön diskreetti Fouriermuunnos voidaan laskea suorittamalla yksi kompleksinen :n mittaisen pisteistön muunnos. Olkoon f j, j = 0, 1,..., 1, edelleen reaalinen pisteistö. Diskreetti Fouriermuunnos ˆf k voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k = Re ˆf k + i Im ˆf 1 1 k = f j cos kj yt saadaan 1 f j cos kj = f 0 + Vastaavasti 1 j= i f j cos πkj + 1k f + j=1 = f 0 + f j + f j cos πkj + 1k f. f j sin kj j=1 = j=1 f j sin πkj + f j sin j=1 = f j f j sin πkj. j=1 f j cos f j sin kj. πk j πk j Jos f j on parillinen pisteistö, ts. f j = f j kaikilla j, niin silloin Im ˆf k = 0 ja 1 ˆf k = f 0 + f j cos πkj + 1k f,.3 j=1 joten myös ˆf k on parillinen. Toisaalta, jos f j on pariton pisteistö, ts. f j = f j kaikilla j, niin silloin Re ˆf k = 0 ja ˆf k = i j=1 f j sin πkj,.4 joten myös ˆf k on pariton. Kaava.3 määrittelee diskreetin Fourier-kosinimuunnoksen, ja kaava.4 ilman kerrointa i määrittelee diskreetin Fourier-sinimuunnoksen. Voidaan osoittaa, että näissä kahdessa tapauksessa kyseiset muunnokset on mahdollista tehdä siten, että tarvitsee suorittaa vain yksi /:n pisteen muunnos. 9

10 Esimerkki.1. Tarkastellaan Fourier-analyysin soveltamista yksinkertaiseen signaalinkäsittelytehtävään. Kuvassa 1 esitetystä reaaliarvoisesta signaalista ft = sin0t + sin35t + sin50t otetaan näytteet f j = ft j ajanhetkillä t j = jδt, j = 0, 1,..., 1, missä δt = ja = 56. Käytännössä mittaustulokset sisältävät kuitenkin aina myös kohinaa, joten mitattu signaali on todellisuudessa kuvassa esitettyä muotoa AIKA S Kuva 1: Alkuperäinen signaali AIKA S Kuva : Häiritty signaali uodostetaan pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos ˆf k ja lasketaan ˆf k /, jota kutsutaan signaalin diskreetiksi tehospektriksi power spectrum. Kuvassa 3 10

11 on esitetty tehospektri taajuuden φ k = k/δt funktiona. Siitä nähdään, mitkä taajuudet ovat dominoivia alkuperäisessä signaalissa: Jokainen suuri piikki kuvaa yhtä taajuutta, kun taas pienemmät piikit ovat kohinan aiheuttamia. Koska f j :t ovat reaalisia, on ˆf k = ˆf k, joten riittää, että lasketaan vain pisteet k = 0, 1,..., / 1; siis vain puolet taajuusalueesta on käyttökelpoista taajuudet välillä 0 Hz... 1/δt Hz TAAJUUS HZ Kuva 3: Tehospektri AIKA S Kuva 4: Suodatettu signaali Suodatetaan nyt kohina pois, ts. asetetaan ˆf k :sta nolliksi ne komponentit, jotka vastaavat yli 100 Hz taajuuksia. uodostamalla diskreetti Fourier-käänteismuunnos saadaan kuvassa 4 esitetty suodatettu signaali, joka on oleellisesti sama kuin alkuperäinen signaali. 11

12 .4 Diskreetit konvoluutiot Diskreettiä Fourier-muunnosta voidaan käyttää mm. konvoluutioiden laskemiseen. Olkoot f j ja g j kaksi -jaksollista pisteistöä. ääritellään diskreetti konvoluutio f g j = 1 f j l g l, j = 0, 1,..., 1. Helposti todetaan, että konvoluutio on symmetrinen, ts. f g j = g f j. Edelleen pätee seuraava tulos, ns. konvoluutiolause: Lause.4. Olkoot f j ja g j -jaksollisia. Silloin f g k = ˆf k ĝ k. Todistus. Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmän mukaan on f g k = 1 1 f g j w kj = f j l g l w kj = 1 joten lause on voimassa. 1 1 f j l w kj l g l w kl = ˆf 1 k g l w kl = ˆf k ĝ k, Siten konvoluution laskemiseksi tämän lauseen avulla täytyy suorittaa kaksi :n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta, yksi :n pisteen diskreetti Fourier-käänteismuunnos ja + 1 kertolaskua. Jos Fourier-muunnokset lasketaan suoraan määritelmän mukaan, ei tästä menetelmästä ole kuitenkaan mitään hyötyä, sillä jokaisen muunnoksen vaativuus on O, kun taas konvoluutio voidaan laskea suoraan :lla kertolaskulla ja 1:llä yhteenlaskulla. Jos sen sijaan käytetään seuraavassa esiteltäviä nopeita Fourier-muunnoksia, on konvoluutioiden laskeminen tällä tavalla selvästi tehokkaampaa. 3 opeat Fourier-muunnokset 3.1 Johdanto Kuten edellä on jo todettu, diskreetin Fourier-muunnoksen vaativuus on O silloin, kun se lasketaan suoraan määritelmän mukaan. On kuitenkin kehitetty useita erilaisia algoritmeja, joilla muunnos voidaan laskea siten, että vaativuus on vain O log. Suurilla :n arvoilla tämä ero on hyvinkin merkittävä; esimerkiksi, jos = 18, niin = , mutta log = 896 siis suhde on noin 5.47%, tai jos = 104, niin = , mutta log = siis suhde on noin 0.98%. Tällaisia algoritmeja kutsutaan yhteisellä nimellä nopeat Fourier-muunnokset eli fast Fourier transforms, FFT. 1

13 3. Yleinen algoritmi Tarkastellaan aluksi yleistä tilannetta, jossa on kahden luvun tulo, ts. = 1. ääritellään indeksit j ja k uudelleen siten, että j = 1 j + j 1, k = k 1 + k, missä j 1, k 1 = 0, 1,..., 1 1 ja j, k = 0, 1,..., 1. Silloin diskreetti Fouriermuunnos ˆf k = 1 1 f j w kj, missä w = e i/, voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k 1 +k = j 1 =0 = j 1 =0 1 j =0 1 j =0 Koska w 1 = 1, w = w 1 ja w 1 ˆf k 1 +k = j 1 =0 f 1 j +j 1 w k 1 +k 1 j +j 1 f 1 j +j 1 w 1 k 1 j w k 1 j 1 w 1k j w k j 1. w k j 1 = w, niin saadaan 1 1 j =0 f 1 j +j 1 w k j w k 1j Tästä huomataan, että diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea kolmessa vaiheessa seuraavasti: 1 erkitään g j = f 1 j +j 1, j = 0, 1,..., 1; siis pisteistöön g j valitaan joka 1 :s alkio pisteistöstä f j. Kullakin j 1 saadaan eri pisteistö g j = g j1,j. Lasketaan :n pisteen diskreetit Fourier-muunnokset ĝ k = 1 1 j =0 g j w k j = 1 1 j =0 f 1 j +j 1 w k j. Tämä siis tehdään erikseen kullakin j 1, ts. muodostetaan 1 kappaletta :n pisteen muunnoksia ĝ k = ĝ j1,k. erkitään h j1 = w k j 1 ĝ j1,k, j 1 = 0, 1,..., 1 1; siis kerrotaan pisteistöjen ĝ j1,k alkiot kiertokertoimilla twiddle factors w k j 1. Siten kullakin k saadaan eri pisteistö h j1 = h k,j 1. 3 Lasketaan 1 :n pisteen diskreetit Fourier-muunnokset ĥ k1 = j 1 =0 h j1 w k 1j 1 1 = j 1 =0 w k j1ĝ j1,k w k 1 j 1 1. Tämä siis tehdään erikseen kullakin k, ts. muodostetaan kappaletta 1 :n pisteen muunnoksia ĥk 1 = ĥk,k 1. yt todetaan, että 3.1:n mukaan ˆf k = ĥk,k 1. Edellä kuvattu algoritmi siis perustuu siihen, että yhden suuren Fourier-muunnoksen sijaan lasketaan useampi pienempi muunnos. Jos Fourier-muunnos lasketaan suoraan :n pisteen muunnoksena, tarvitaan + =

14 kertolaskua. Edellä sen sijaan lasketaan 1 kertaa :n pisteen muunnos, kerrotaan 1 kertaa kiertokertoimilla, ja lasketaan kertaa 1 :n pisteen muunnos. Siten tarvitaan vain = kertolaskua, mikä on selvästi vähemmän kuin äin ollen kyseinen algoritmi todella on nopea Fourier-muunnos. Algoritmin laskut voidaan tehdä myös toisessa järjestyksessä, sillä kaava 3.1 voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k 1 +k = 1 1 j = j 1 =0 w k j 1 f 1 j +j 1 w k 1 j 1 1 w k j. 3. Tällöin siis f j jaetaan :een pienempään osaan, joissa kussakin on 1 peräkkäistä alkiota alkuperäisestä pisteistöstä f j. Ensin ne kerrotaan kiertokertoimilla, sitten muodostetaan kappaletta 1 :n pisteen muunnoksia, ja lopuksi muodostetaan 1 kappaletta :n pisteen muunnoksia. Jos luvut 1 ja ovat jälleen muotoa 1 = 1,1 1, ja =,1,, voidaan nopeaa Fourier-muunnosta soveltaa edelleen yllä mainittujen 1 :n ja :n pisteen muunnosten laskemiseen; tällöin vain 1 :n ja :n tilalla on i,1 ja i, missä i = 1,. Siten nopea Fourier-muunnos on entistä tehokkaampi, jos sitä voidaan käyttää rekursiivisesti. Useimmiten valitaankin siten, että se on jokin kakkosen potenssi, sillä silloin jokaisessa vaihessa kaikki pisteistöt voidaan aina jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Seuraavassa käytetään tällaisista menetelmistä nimitystä Cooley Tukey-algoritmit, sillä heidän esittämänsä alkuperäinen nopea Fouriermuunnos vuodelta 1965 oli juuri tätä muotoa. 3.3 Kaksikantainen algoritmi Oletetaan siis seuraavassa, että = n jollain n. Asetetaan 1 = ja = / = n 1. Tällöin siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan siten, että parittomat ja parilliset alkiot kerätään omiin ryhmiinsä. erkitään, kuten ennenkin, = /. Silloin kaava 3.1 tulee muotoon ˆf k1 +k = 1 1 j 1 =0 w k j 1 1 j =0 f j +j 1 w k j w k 1j 1, missä k 1 = 0, 1 ja k = 0, 1,..., 1. Indeksin k 1 arvolla 0 saadaan kun merkitään yksinkertaisuuden vuoksi k = k ja j = j [ ] ˆf k = 1 1 f j w kj + w k 1 f j+1 w kj, 3.3 missä siis k = 0, 1,..., 1. Toisaalta, koska w 1 = e iπ = 1, niin k 1 :n arvolla 1 saadaan ] [ ˆf +k = 1 1 f j w kj w k 14 1 f j+1 w kj, 3.4

15 missä myös k = 0, 1,..., 1. Tässä lähestymistavassa, josta käytetään nimitystä aikaharvennus decimation in time, suoritetaan siis kaksi /:n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta, kerrotaan / kertaa w k :lla ja lopuksi suoritetaan yhteenlaskua. Lisäksi täytyisi vielä kertoa kertaa vakiolla 1/, mutta tämä vakio voidaan viedä sisään summalausekkeisiin, jolloin kyse on itse asiassa vain alkioiden f j skaalauksesta. Kun samaa algoritmia sovelletaan uudelleen molempiin /:n pisteen muunnoksiin, silloin suoritetaan yhteensä neljä /4:n pisteen muunnosta, / siis kaksi kertaa /4 kertolaskua ja siis kaksi kertaa / yhteenlaskua sekä lisäksi jälleen skaalaukset vakiolla 1/. Yleisesti tasolla m suoritetaan m kappaletta n m :n pisteen muunnosta, / kertolaskua ja yhteenlaskua. Lopulta viimeisellä tasolla m = n = log suoritetaan kappaletta triviaaleja yhden pisteen muunnoksia, / kertolaskua ja yhteenlaskua. Siten kertolaskujen lukumäärä on yhteensä / log ja yhteenlaskujen lukumäärä log. Lisäksi täytyy suorittaa kaikki siirretyt skaalaukset siis f j :t täytyy kertoa vakiolla 1/ n = 1/ jolloin kertolaskujen lukumäärä lisääntyy :llä; mutta koska kyseessä on todella vain skaalaus, jätetään tämä yksinkertaisuuden vuoksi seuraavissa tarkasteluissa huomiotta. äin ollen kaksikantaisen nopean Fourier-muunnoksen vaativuus on O log. Vaihtoehtoinen muoto algoritmille saadaan asettamalla 1 = / = n 1 ja = ; siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan siten, että alku- ja loppupuoliskot muodostavat omat ryhmänsä. Tällöin kaava 3. tulee muotoon ˆf k1 +k = w k j 1 f j +j 1 w k 1 j 1 j =0 j 1 =0 w k j, missä k 1 = 0, 1,..., 1 ja k = 0, 1. Indeksin k arvolla 0 saadaan kun merkitään k = k 1 ja j = j 1 ˆf k = 1 1 f j + f +j w kj, missä siis k = 0, 1,..., 1. Toisaalta k :n arvolla 1 saadaan ˆf k+1 = 1 1 w j f j f +j w kj, missä myös k = 0, 1,..., 1. Tässä lähestymistavassa, josta käytetään nimitystä taajuusharvennus decimation in frequency, suoritetaan siis yhteenlaskua, kerrotaan / kertaa w j :llä ja suoritetaan kaksi /:n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta. Kuten edelläkin, koko muunnos voidaan tehdä rekursiivisesti log :ssä vaiheessa, ja siten kerto- ja yhteenlaskujen lukumäärät ovat täsmälleen samat kuin algoritmin edellisessäkin versiossa. Huomataan, että merkittävä osa kaksikantaisen algoritmin vaatimista kertolaskuista on itse asiassa triviaaleja kertomisia vakioilla ±1 ja ±i. Esimerkiksi alimmalla tasolla, kun suoritetaan kahden pisteen muunnoksia, kiertokertoimet ovat w k = e kiπ = 1 k ; seuraavalla tasolla ne puolestaan ovat w4 k = e kiπ/ = i k. 15

16 Yhteensä tällaisia kertolaskuja on 3/ kappaletta. Lisäksi, jos kompleksiset kerto-ja yhteenlaskut järjestetään reaalisina kerto- ja yhteenlaskuina käyttäen hyödyksi trigonometristen kuvausten symmetrisyysominaisuuksia, pienenee algoritmin vaativuus edelleen. Voidaan osoittaa, että kaksikantainen Fourier-muunnos kun jätetään skaalaus vakiolla 1/ huomiotta on mahdollista suorittaa käyttäen 3/ log reaalista kertolaskua ja 7/ log reaalista yhteenlaskua. 3.4 Korkeampikantaiset algoritmit Oletetaan seuraavaksi, että = n = 4 n/ jollain parillisella n. Asetetaan 1 = 4 ja = /4 = 4 n/ 1, ts. pisteistö f j jaetaan neljään yhtä suureen osaan. Tällöin kaava 3.1 kun jätetään yksinkertaisuuden vuoksi skaalaukset pois tulee muotoon ˆf k = ˆf /4+k = ˆf /+k = ˆf 3/4+k = /4 1 w kl i l w kl 1 l w kl f 4j+l w kj /4, /4 1 /4 1 f 4j+l w kj /4, f 4j+l w kj /4, /4 1 i l w kl f 4j+l w kj /4, missä k = 0, 1,..., /4 1. Saadaan siis nelikantainen algoritmi, jossa jokaisessa vaiheessa :n pisteen Fourier-muunnos palautetaan neljäksi /4:n pisteen muunnokseksi siten, että kerrotaan kertaa kiertokertoimilla ja suoritetaan 3 yhteenlaskua. Tämä tehdään rekursiivisesti n/:ssa vaiheessa, jolloin tarvitaan kaiken kaikkiaan / log kertolaskua ja 3/ log yhteenlaskua. yt näyttäisi, että nelikantaisessa algoritmissa tarvitaan enemmän laskutoimituksia kuin kaksikantaisessa algoritmissa. Jos kuitenkin jälleen huomioidaan kaikki triviaalit kertolaskut ja toteutetaan kompleksiset laskutoimitukset reaalisina siten, että käytetään hyväksi trigonometristen kuvausten symmetrisyysominaisuuksia, voidaan vaativuutta pienentää huomattavasti. Voidaan osoittaa, että nelikantainen algoritmi on mahdollista suorittaa käyttäen 9/8 log 43/1 + 16/3 reaalista kertolaskua ja 5/8 log 43/1+16/3 reaalista yhteenlaskua. Siten kertolaskujen lukumäärä on jopa 5% pienempi kuin kaksikantaisessa algoritmissa. Laskutoimitusten määrää voidaan edelleen hieman pienentää, jos käytetään kahdeksan- tai kuusitoistakantaisia algoritmeja; tällöin siis on oltava joko = 8 n/3 tai = 16 n/4, missä n on jaollinen kolmella tai neljällä, vastaavasti. Yleisemmässä tapauksessa = n voidaan käyttää vaihtuvakantaisia algoritmeja: Esimerkiksi, koska 3 = 4, niin 3:n pisteen Fourier-muunnos voidaan laskea suorittamalla ensin kaksi askelta nelikantaisella algoritmilla ja sen jälkeen yksi askel kaksikantaisella algoritmilla. 16

17 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tarkastellaan seuraavaksi, millä tavalla kaksikantainen Cooley Tukey-tyyppinen nopea Fourier-muunnos siis kaavat voitaisiin toteuttaa tietokoneella. Olkoon m rekursiotason ilmaiseva laskuri, joka käy läpi arvot 0, 1,..., n missä siis n = log. Taso m = 0 tarkoittaa alustusaskelta, jossa suoritetaan triviaalit yhden pisteen muunnokset ˆf 0 = f 0, ja taso m = n tarkoittaa lopetustasoa, jossa muodostetaan lopullinen muunnos ˆf k, k = 0, 1,..., 1. Tällöin kullakin tasolla kaavoissa lukuja ja vastaavat luvut m ja m 1, ja kiertokertoimet ovat muotoa w k = m e ki/m = w k/m missä w on alkuperäinen w = w. [m] erkitään tasolla m laskettavia osamuunnoksia ˆf j,k, missä j ilmoittaa osamuunnoksen järjestysnumeron jolloin j = 0, 1,..., n m 1 ja k ilmoittaa, kuten ennenkin, pisteen järjestysnumeron ko. muunnoksessa jolloin k = 0, 1,..., m 1. Yksinkertaisuuden vuoksi siirretään kaikki vakiot 1/ sisään summalausekkeisiin, w k jolloin siis pisteistö f j skaalataan aluksi vakiolla 1/ tai yhtäpitävästi, kerrotaan vakiot 1/ yhtälöiden vasemmille puolille, jolloin siis muunnospisteistö ˆf k skaalataan lopuksi vakiolla 1/. Tällöin kaavojen antama algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon: 1. Alustus Asetetaan. Arvoilla m = 1,,..., n lasketaan ˆf [0] j,0 = f j, missä j = 0, 1,..., 1. ˆf [m] j,k [m 1] = ˆf j,k + w k/m [m 1] ˆf n m +j,k, ˆf [m] [m 1] j, m 1 +k = ˆf j,k w k/m [m 1] ˆf n m +j,k, missä j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m Lopetus Asetetaan ˆf k = [n] ˆf 0,k, missä k = 0, 1,..., 1. [m] Kullakin tasolla m lasketaan kappaletta pisteitä ˆf j,k, joiden tallentamiseen tarvitaan siten :n pituinen vektori. Jokaiselle tasolle ei tarvitse määritellä uutta tallennusvektoria, sillä tason m pisteiden laskemiseen käytetään vain edellisen tason [m] m 1 pisteitä; tällöin uudet ˆf j,k :t lasketaan ensin johonkin :n pituiseen työtilavektoriin, ja sen jälkeen ne voidaan siirtää varsinaiseen tallennusvektoriin vanhojen [m 1] pisteiden ˆf j,k tilalle. Jotta tiedettäisiin, missä kohtaa tallennusvektorissa kukin piste on, tarvitaan [m] jokin kokonaislukuarvoinen kuvaus l = lm, j, k, jolloin siis piste ˆf j,k tallennetaan indeksillä lm, j, k. Kuvaukselta l vaaditaan, että sen arvot lm, j, k käyvät läpi joukon {0, 1,..., 1}, kun j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1. Edelleen olisi hyvä, jos sekä alku- että loppupisteistöt f j ja ˆf k olisivat valmiiksi oikeassa järjestyksessä, ts. l0, j, 0 = j, j = 0, 1,..., 1, 3.5 ln, 0, k = k, k = 0, 1,..., Silloin vältyttäisiin ylimääräisiltä pisteiden permutoinneilta. Yksinkertaisin kuvaus, joka toteuttaa edellä mainitut ehdot, on lm, j, k = j m + k. Tällöin kuitenkin kullakin tasolla m tarvitaan välttämättä :n pituinen 17

18 työtilavektori; siis kaikki tason m pisteet täytyy laskea ennen kuin ne voidaan siirtää tason m 1 pisteiden tilalle. Osoittautuu, että l on mahdollista määritellä siten, että laskut voidaan tehdä paikallaan, ts. algoritmin askeleessa lasketut kaksi uutta pistettä voidaan sijoittaa välittömästi vastaavien vanhojen pisteiden tilalle. Halutaan siis, että lm, j, k = lm 1, j, k, lm, j, m 1 + k = lm 1, n m + j, k, 3.7 kaikilla j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1 1. Edelleen olisi hyvä, jos myös nyt alku- ja loppupisteistöt olisivat valmiiksi oikeassa järjestyksessä, mutta tässä tapauksessa molemmat ehdot eivät voi olla voimassa samanaikaisesti. Olkoon ensin 3.5 voimassa, jolloin siis f j :t ovat oikeassa järjestyksessä. Tutkitaan, mihin muotoon algoritmi tulee tässä tapauksessa. erkitään k = m 1 i=0 k i i, missä k i {0, 1}, jolloin k i :t ovat indeksin k bitit sen binääriesityksessä. Tällöin ehdot 3.7 voidaan kirjoittaa muotoon lm, j, k = lm 1, j + k m 1 n m, m i=0 k i i, missä j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1. Käytetään tätä rekursiivisesti, jolloin saadaan lm, j, k = lm, j + k m 1 n m + k m n m+1, m 3 i=0 k i i = = l0, j + k m 1 n m + + k 0 n 1, 0 = l0, j + n m m 1 i=0 k m i 1 i, ääritellään operaattori b m siten, että b m k = m 1 i=0 k m i 1 i, ts. b m kääntää indeksin k bitit päinvastaiseen järjestykseen. Tällöin 3.5 ja 3.8 yhdessä antavat ja erityisesti lm, j, k = j + n m b m k, ln, 0, k = b n k k = 0, 1,..., 1. Siis tulospisteet ˆf k saadaan bittikäänteisessä järjestyksessä bit-reversed order. Algoritmin vaiheessa tarvitaan indeksejä lm 1, j, k ja lm 1, n m + j, k, jotka edellä olevan mukaan ovat lm 1, j, k = j + n m+1 b m 1 k, lm 1, n m + j, k = n m + j + n m+1 b m 1 k. Kun vielä huomataan, että algoritmissa k voidaan korvata b m 1 k:lla sillä onhan samantekevää, missä järjestyksessä indeksit käydään läpi, niin nopea Fourier-muunnos tulee seuraavaan muotoon: Alustus ja skaalaus: do j = 0, 1 Aj := f j / end do 18

19 Rekursioaskeleet: do m = 1, n do k = 0, m 1 1 α := w b m 1k/ m do j = 0, n m 1 u := Aj + n m+1 k v := αa n m + j + n m+1 k Aj + n m+1 k := u + v A n m + j + n m+1 k := u v end do end do end do Permutointi ja lopetus: do k = 0, 1 ˆf k := A b n k end do Tässä siis A on vektori, johon muunnospisteet tallennetaan. Ylimääräistä työtilaa tarvitaan vain kaksi paikkaa, nimittäin kompleksimuuttujat u ja v. Huomaa myös, että kiertokerrointa α laskettaessa täytyy suorittaa bitinkääntöoperaatio. Olkoon sitten 3.6 voimassa, jolloin siis ˆf k :t ovat oikeassa järjestyksessä. erkitään, kuten edelläkin j = n m i=0 j i i, j i {0, 1}, jolloin j i :t ovat indeksin j bitit. Ehdot 3.7 voidaan kirjoittaa muotoon lm 1, j, k = lm, n m 1 i=0 j i i, k + j n m m 1, missä j = 0, 1,..., n m+1 1 ja k = 0, 1,..., m 1 1. Käytetään tätä rekursiivisesti, jolloin saadaan lm 1, j, k = lm + 1, n m i=0 j i i, k + j n m m 1 + j n m 1 m = = ln, 0, k + j n m m j 0 n 1 = ln, 0, k + m 1 n m i=0 j n m i i. 3.9 Siten 3.6 ja 3.9 yhdessä antavat ja erityisesti lm 1, j, k = k + m 1 b n m+1 j, l0, j, 0 = b n j j = 0, 1,..., 1. Siis tällä kertaa lähtöpisteet f j ovat bittikäänteisessä järjestyksessä. Algoritmin vaiheessa tarvitaan nyt indeksejä lm, j, k ja lm, j, m 1 + k, jotka edellä olevan mukaan ovat lm, j, k = k + m b n m j, lm, j, m 1 + k = m 1 + k + m b n m j. Jälleen huomataan, että j voidaan korvata b n m j:llä, joten nopea Fourier-muunnos tulee tässä tapauksessa muotoon: 19

20 Alustus ja permutointi: do j = 0, 1 A b n j := f j end do Rekursioaskeleet: do m = 1, n do k = 0, m 1 1 α := w k/m do j = 0, n m 1 u := Ak + m j v := αa m 1 + k + m j Ak + m j := u + v A m 1 + k + m j := u v end do end do end do Skaalaus ja lopetus: do k = 0, 1 ˆf k := Ak/ end do Algoritmin tämä muoto on ehkä hieman nopeampi kuin edellinen versio, sillä nyt rekursiosilmukassa ei tarvitse tehdä lainkaan bitinkääntöoperaatioita. 3.6 Konvoluutioiden laskeminen Konvoluutioita voidaan nyt laskea nopeita Fourier-muunnoksia käyttäen lauseen.4 mukaisesti, jolloin siis tehdään kaksi muunnosta ja yksi käänteismuunnos sekä +1 kertolaskua. Laskutoimitusten määrä on siten kertaluokkaa O log. Lisäksi tällöin voidaan tehdä myös joitain yksinkertaistuksia algoritmiin. imittäin nopeassa muunnoksessa joko syöttöpisteet f j tai tulospisteet ˆf k ovat bittikäänteisessä järjestyksessä. Tällöin pisteiden uudelleenjärjestäminen lisää jonkin verran laskutoimitusten määrää. Konvoluutioiden tapauksessa tämä voidaan kuitenkin unohtaa, sillä jos tarvittavat kaksi Fourier-muunnosta antavat tuloksen bittikäänteisessä järjestyksessä, niin käänteismuunnoksen jälkeen pisteet ovat jälleen oikeassa järjestyksessä. 3.7 opeat muunnokset yleisessä tapauksessa Edellä on koko ajan oletettu, että pisteiden lukumäärä on jokin kakkosen potenssi. yt jos onkin alkuluku, niin Cooley Tukey-tyyppisiä algoritmeja ei voida enää soveltaa. Tällöin voidaan kuitenkin käyttää Raderin algoritmia, joka perustuu siihen, että jokainen :n pisteen diskreetti Fourier-muunnos voidaan palauttaa 1:n pisteen diskreetiksi konvoluutioksi. Koska nyt 1 on parillinen, voidaan konvoluution laskemiseen käyttää kaksikantaista nopeaa Fourier-muunnosta ainakin yhden askeleen verran. Tämän jälkeen voidaan tarvittaessa soveltaa samaa menetelmää uudelleen. 0

21 Yleisessä tapauksessa jaetaan alkutekijöihinsä = 1 m ja jokaiseen i :n i = 1,,..., m pituiseen palaan sovelletaan Rader-tyyppistä algoritmia. Tällaisista algoritmeista käytetään nimitystä alkutekijämuunnokset prime factor FFT. Harjoitustehtäviä 1. Todista lauseet. ja.3.. Osoita, että diskreetillä Fourier-muunnoksella on seuraava siirto-ominaisuus: Olkoon ˆf k pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos. ääritellään g j = f j+l jollain l {0, 1,..., 1}. Silloin ĝ k = w lk ˆfk. 3. Osoita, että kaksikantaisessa Cooley Tukey-algoritmissa triviaalien kertolaskujen siis kun kiertokerroin on joko ±1 tai ±i lukumäärä on 3/. 4. Olkoon k = m 1 i=0 k i i, missä k i {0, 1}, jolloin siis k i :t ovat kokonaisluvun k bitit sen binääriesityksessä. Kirjoita aliohjelma, joka kääntää bitit päinvastaiseen järjestykseen, ts. laskee kuvauksen b m k = m 1 i=0 k m i 1 i arvon. 5. Kirjoita aliohjelma, joka laskee nopean Fourier-muunnoksen edellä esitetyillä algoritmeilla. Lähteet Bagget, L., Fulks, W., Fourier analysis, Anjou Press, ussbaumer, H. J., Fast Fourier transform and convolution algorithms, Springer- Verlag, Pickering,., An introduction to fast Fourier transform methods for partial differential equations, with applications, Research Studies Press, Tolimieri, R., An,., Lu, C., Algorithms for discrete Fourier transform and convolution, Springer-Verlag,

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Spektri- ja signaalianalysaattorit Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Harjoitus 1, tehtävä 1

Harjoitus 1, tehtävä 1 Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät

ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.

Lisätiedot