Nopeat Fourier-muunnokset

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Nopeat Fourier-muunnokset"

Transkriptio

1 opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx + n = fx, x ] π, π[, missä n käy läpi kokonaisluvut. Käytetään tällaisille kuvauksille merkintää f L 1 ] π, π[. ääritellään kuvaukset φ k : R C asettamalla φ k t = 1 e ikt, missä k on kokonaisluku, ja i = 1 on imaginääriyksikkö. De oivren kaavan mukaan on e ikt = cos kt + i sin kt. Siten luvun e ikt kompleksikonjugaatti on e ikt = e ikt. Edelleen pätee π π { π e ikt, k = 0, dt = cos kt dt + i sin kt dt = π π π 0, k 0, joten π π φ k tφ j t dt = 1 π e ikt e ijt dt = 1 π e ik jt dt = δ kj, π π missä on käytetty Kroneckerin symbolia δ kj eli δ kj = 1, kun k = j, ja δ kj = 0, kun k j. Siis kuvaukset φ k muodostavat ortonormaalin systeemin. Olkoon nyt f L 1 ] π, π[. ääritellään f:n Fourier-kertoimet kuvausten φ k suhteen asettamalla c k = c k f = π π Edelleen määritellään f:n Fourier-sarja F f = F f, x = ftφ k t dt = 1 π k= π c k fφ k x = 1 fte ikt dt. k= c k fe ikx. Huomaa, että F f:n määritelmä on tässä vaiheessa vain muodollinen, sillä kyseinen sarja ei välttämättä suppene. 1

2 Jos kuvaus f on reaaliarvoinen, voidaan Fourier-sarja kirjoittaa ns. trigonometriseen muotoon seuraavasti: Koska ft = ft, niin c k f = c k f. Silloin k= c k e ikx = c 0 + = c 0 + = c 0 + c k e ikx + c k e ikx k=1 Rec k e ikx + e ikx + i Imc k e ikx e ikx k=1 k=1 Rec k cos kx Imc k sin kx, missä Re ja Im tarkoittavat kompleksiluvun reaali- ja imaginääriosia. erkitään π a 0 = a 0 f = c 0f = 1 ft dt, π π a k = a k f = Re c k f = 1 π ft cos kt dt, k = 1,,..., π π b k = b k f = Im c k f = 1 π ft sin kt dt, k = 1,,..., π jolloin Fourier-sarja saadaan muotoon F f, x = 1 a 0 + π ak cos kx + b k sin kx. Jos f on lisäksi parillinen, ts. f x = fx kaikilla x, niin silloin a k f = π π 0 k=1 ft cos kt dt, b k f = 0. Toisaalta, jos f on pariton, ts. f x = fx kaikilla x, niin silloin a k f = 0, b k f = π π 0 ft sin kt dt. Fourier-sarjan F f suppeneminen riippuu tietenkin kuvauksesta f. Voidaan osoittaa mm. seuraavat tulokset: Lause 1.1. Olkoon f L 1 ] π, π[ siten, että sarja F f suppenee tasaisesti. Silloin f on jatkuva kaikkialla ja F f, x = fx. Lause 1.. Olkoon f L 1 ] π, π[ paloittain jatkuvasti differentioituva. Silloin sarja F f suppenee kaikkialla ja fx, jos f on jatkuva x:ssä, F f, x = 1 lim f x + lim f x, jos x on f:n epäjatkuvuuskohta, x x+ x x missä lim x x+ f x ja lim x x f x ovat f:n toispuoleiset raja-arvot kohdassa x.

3 Siis paloittain jatkuvasti differentioituva kuvaus voidaan esittää Fourier-sarjana fx = 1 k= 1 π π fte ikt dt e ikx, 1.1 kunhan f on normalisoitu siten, että epäjatkuvuuskohdissa sen arvot määritellään keskiarvoina toispuoleisista raja-arvoista. Voidaan osoittaa, että Fourier-kertoimille pätee c k f 0, kun k. Jos f on vielä säännöllisempi kuin vain integroituva, voidaan osoittaa vahvempiakin tuloksia. Esimerkiksi, jos f C siis f on äärettömän monta kertaa differentioituva, niin silloin k n c k f 0, kun k, millä tahansa kokonaisluvulla n. Tällöin Fourier-sarjan termit lähenevät nollaa, joten kuvausta f voidaan approksimoida katkaistulla sarjalla fx 1 c k fe ikx, missä on riittävän suuri kokonaisluku. 1. Fourier-muunnos k= Se, että edellä tarkasteltiin juuri välillä ] π, π[ integroituvia kuvauksia, ei ole mitenkään oleellista. Jos f on -jaksollinen, niin silloin kelpaa mikä tahansa väli, jonka pituus on. Siten kaikki edellä oleva on sellaisenaan voimassa, vaikka tarkasteluväliksi muutettaisiin esimerkiksi ]0, [. Vastaavasti, jos f on integroituva jollain muulla välillä ] a, a[, missä a > 0, ja on a-jaksollinen, voidaan f esittää muodollisesti Fourier-sarjana fx = 1 a k= 1 a a a fte ikπt/a dt e ikπx/a, 1. joka on siis saatu kaavasta 1.1 suorittamalla skaalaus vakiolla π/a. Johdetaan seuraavassa heuristisesti Fourier-muunnos lähtien esityksestä 1.. Jos merkitään y k = kπ/a ja gy = 1 niin silloin 1. voidaan kirjoittaa fx = k= a a fte iyt x dt, π a gy k gy dy. Tässä on siis laskettu numeerisesti kuvauksen g integraalin arvo välillä ], [ käyttäen askelpituutta π/a. Kun annetaan vielä a, niin saadaan jälleen muodollinen esitys fx = fte iyt dt e ixy dy. 1.3

4 Huomaa, että edellä oleva ei ole kaavan 1.3 todistus, vaan ainoastaan heuristinen päättely! Olkoon f nyt koko R:ssä integroituva kuvaus, ts. f 1 = ft dt <. Tällöin merkitään f L 1 R. Kaavan 1.3 pohjalta määritellään ensin Fouriermuunnos F siten, että Ffy = ˆfy = 1 fte iyt dt, jolloin ˆfy vastaa Fourier-kertoimia c k f esityksessä 1.1. ääritellään sitten Fourier-käänteismuunnos F 1 siten, että F 1 ˆfx = 1 ˆfye ixy dy, joka puolestaan vastaa Fourier-sarjaa F f, x esityksessä 1.1. Tällöin on muodollisesti F 1 Ff = f. Ongelmana on kuitenkin, että F 1 ˆfx ei ole välttämättä hyvin määritelty. imittäin, jos f L 1 R, niin silloin sen Fourier-muunnos Ff on kyllä olemassa, mutta siitä ei seuraa, että ˆf L 1 R. Voidaan kuitenkin osoittaa seuraava tulos: Lause 1.3. Olkoon f L 1 R siten, että ˆf L 1 R. Silloin f on jatkuva kaikkialla ja F 1 ˆfx = fx. Tilanne vastaa siten Fourier-sarjojen tapausta: Fourier-kertoimet c k f ovat aina olemassa kun f L 1 ] π, π[, mutta Fourier-sarja F f ei välttämättä suppene ilman lisäoletuksia. Lausetta 1.1 vastaa nyt lause 1.3. Kuten kaavasta 1.3 nähdään voidaan Fourier-muunnoksen ja -käänteismuunnoksen skaalauskertoimiksi valita mitkä tahansa luvut, kunhan niiden tulo on 1/. Yleensä kuitenkin valitaan kertoimiksi 1/, sillä silloin Ff ja F 1 ˆf ovat samannäköisiä itse asiassa ne ovat oleellisesti sama kuvaus. Fourier-muunnokselle pätee mm. seuraavat tulokset: Lause 1.4. Fourier-muunnos F on lineaarinen, ts. missä f, g L 1 R ja λ C. f + gy = ˆfy + ĝy, λfy = λ ˆfy, Todistus. Seuraa suoraan integraalin lineaarisuudesta. Lause 1.5. Fourier-muunnos F muuttaa derivoinnin kertolaskuksi, ts. f y = iy ˆfy, missä f L 1 R siten, että f L 1 R ja b a f t dt = fb fa a, b R. Todistus. Oletuksesta f, f L 1 R seuraa, että fx 0, kun x. Siten väite saadaan osittaisintegroinnilla. 4

5 Jos f L 1 R on parillinen, niin silloin ˆfy = ft cos yt dt, 1.4 π 0 joten myös ˆf on parillinen. Toisaalta, jos f L 1 R on pariton, niin silloin ˆfy = i ft sin yt dt, 1.5 π joten myös ˆf on pariton. Kaavan 1.4 määrittelemää kuvausta sanotaan Fourierkosinimuunnokseksi, ja kaavan 1.5 määrittelemää kuvausta ilman kerrointa i Fourier-sinimuunnokseksi. ämä molemmat muunnokset ovat muodollisesti omia käänteismuunnoksiaan. 1.3 Konvoluutiot Eräs tärkeä Fourier-muunnosten sovellus on ns. konvoluutioiden laskeminen. Olkoot f, g L 1 R. ääritellään konvoluutio f g siten, että f gx = 0 fx tgt dt. Huomataan, että konvoluutio on symmetrinen, ts. f gx = g fx niillä x, joilla se on määritelty. Itse asiassa voidaan osoittaa, että konvoluutio on määritelty melkein kaikkialla. Yhteyden Fourier-muunnoksiin antaa seuraava tulos, ns. konvoluutiolause: Lause 1.6. Olkoot f, g L 1 R. Silloin f g L 1 R ja f gy = ˆfyĝy. Todistus. Oletuksen mukaan f 1 < ja g 1 <. Silloin f gx dx = fx t gt dt dx fx t dx gt dt = f 1 gt dt = f 1 g 1 <, joten f g L 1 R. Tällöin f gy on hyvin määritelty ja f gy = 1 fx tgt dt e iyx dx 1 = fx te iyx t dx gte iyt dt joten lause on voimassa. = ˆfy gte iyt dt = ˆfyĝy, 5

6 Diskreetti Fourier-muunnos.1 Johdanto Sovelluksissa esiintyy usein tilanne, jossa tutkittavasta systeemistä mitataan jotain suuretta tietyn mittausjakson aikana; esimerkiksi signaalianalyysissä signaalista otetaan näytteitä sopivin väliajoin. Saatua diskreettiä mittausaineistoa käsitellään sitten Fourier-analyysin keinoin. Fysiikan termein ilmaistuna Fourier-muunnoksen diskreetti versio siirtää signaalit aika-alueelta time domain taajuusalueelle frequency domain. Skaalataan aika t siten, että mittausjaksona on [0, ]. Olkoot t j = j/, missä j = 0, 1,..., 1, mittaushetket ja f j C vastaavat mittausarvot. Tässä siis on mittausten lukumäärä, joka seuraavassa oletetaan parilliseksi, ts. = jollain positiivisella kokonaisluvulla. ittausarvot f j voidaan tulkita -jaksollisen kuvauksen f pistearvoiksi ft j. Siten f j :t voidaan laajentaa -jaksolliseksi pisteistöksi, ts. f j+n = f j, j = 0, 1,..., 1, missä n käy läpi kokonaisluvut. Otetaan vielä käyttöön merkintä w = e i/. Helposti todetaan, että tällöin pisteistö w j on -jaksollinen. Edelleen pätee seuraava ortogonaalisuustulos: Lause.1. Olkoot 0 k, j 1. Silloin Todistus. Ensin todetaan, että 1 1 w kl w lj = w kl w lj = δ kj. 1 w kl w lj = 1 w k jl. Jos k = j, niin w k j = 1. Silloin 1 wk jl =, eli väitteen ensimmäinen osa on voimassa. Olkoon sitten k j, jolloin w k j 1. Huomataan, että w k j = 1 kaikilla k ja j, joten w k j on polynomin pz = z 1 juuri. Toisaalta pz = z 1 1 zl, joten w k j 1 1 w k jl = 0. yt w k j 1 0, joten täytyy olla 1 wk jl = 0, eli myös väitteen toinen osa on voimassa.. Diskreetit muunnokset ääritellään pisteistö φ kj siten, että φ kj = 1 w kj, k, j = 0, 1,..., 1. Lauseen.1 mukaan on 1 φ kl φ lj = δ kj,.1 6

7 eli φ kj :t muodostavat ortonormaalin kannan. ääritellään diskreetti Fourier-muunnos eli discrete Fourier transform, DFT asettamalla ˆf k = 1 f j φ kj = 1 1 f j w kj, k = 0, 1,..., 1. Huomataan, että myös pisteistö ˆf k on -jaksollinen. ääritellään edelleen diskreetti Fourier-käänteismuunnos asettamalla f j = 1 k=0 ˆf k φ jk = 1 1 k=0 ˆf k w jk, j = 0, 1,..., 1, joka todella on käänteismuunnos, sillä kaavan.1 mukaan Koska f l = 1 k=0 1 f j φ kj φ lk = f j = 1 1 k=0 1 1 k=0 φ lk φ kj f j = ˆf k w jk = 1 1 k=0 ˆf k w jk, 1 δ lj f j = f l. niin käänteismuunnos voidaan suorittaa varsinaisen muunnoksen avulla seuraavasti: Ensin otetaan kompleksikonjugaatti ˆf k, sitten sovelletaan tähän diskreettiä Fouriermuunnosta, ja lopuksi otetaan tuloksesta jälleen kompleksikonjugaatti. Diskreetille Fourier-muunnokselle pätee mm. seuraavat tulokset: Lause.. Diskreetti Fourier-muunnos on lineaarinen, ts. missä f j, g j ovat -jaksollisia ja λ C. Todistus. Harjoitustehtävä. f + g k = ˆf k + ĝ k, λfk = λ ˆf k, Lause.3. Diskreetti Fourier-muunnos säilyttää normin, ts. on voimassa Parsevalin yhtälö missä f j on -jaksollinen. Todistus. Harjoitustehtävä. 1 k=0 ˆf k = 1 f j, ääritelmän mukaan jokaisen ˆf k laskemiseksi täytyy suorittaa +1 kertolaskua ja 1 yhteenlaskua sekä laskea w kj :t. Toisaalta pisteitä ˆf k on kappaletta, joten tarvitaan + kertolaskua ja yhteenlaskua. Siten diskreetin Fouriermuunnoksen vaativuus kun se lasketaan suoraan määritelmästä on O. 7

8 .3 Reaaliset muunnokset Tarkastellaan seuraavaksi erikoistapausta, jossa mittausarvot ovat reaalisia, siis f j = f j, j = 0, 1,..., 1. Tällöin voitaisiin tietenkin käyttää edellä esitettyä kompleksista :n pisteen Fourier-muunnosta. Osoittautuu kuitenkin, että reaalisessa tapauksessa muunnos on mahdollista tehdä siten, että tarvitsee suorittaa vain yksi :n pisteen muunnos missä siis = /. Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa käsiteltävänä on kaksi reaalista -jaksollista pisteistöä g j ja h j. ääritellään z j = g j + ih j, j = 0, 1,..., 1, jolloin z j on kompleksinen -jaksollinen pisteistö. Sovelletaan tähän edellä esitettyä diskreettiä Fourier-muunnosta. uunnoksen lineaarisuuden nojalla on ẑ k = ĝ k + iĥk. Koska g j :t ovat reaalisia, niin ĝ k = ĝ k = ĝ k. Vastaava tulos pätee tietenkin myös ĥk:lle. Silloin ẑ k = ĝ k iĥk. äistä kahdesta yhtälöstä seuraa siten ĝ k = 1 ẑ k + ẑ k, ĥk = i ẑ k ẑ k. Huomaa, että nämä tarvitsee laskea vain k:n arvoilla 0, 1,...,, sillä ĝ k = ĝ k ja ĥ k = ĥk. äin siis saadaan muodostettua kahden reaalisen pisteistön diskreetit Fourier-muunnokset suorittamalla vain yksi kompleksinen muunnos. Sovelletaan nyt tätä menetelmää f j :n Fourier-muunnosten laskemiseen. ääritellään g j = f j, h j = f j+1, j = 0, 1,..., 1, jolloin g j ja h j ovat molemmat -jaksollisia. Lasketaan ẑ k, k = 0, 1,..., 1, kuten aikaisemmin, mutta nyt vain :n tilalla on. Huomaa siis, että nyt muuttuja w, joka esiintyy diskreetin muunnoksen määritelmässä, täytyy korvata muuttujalla w = e i/. Edellä esitetyn mukaisesti saadaan ĝ k = 1 ẑ k + ẑ k, ĥk = i ẑ k ẑ k,. jotka siis tarvitsee laskea vain k:n arvoilla 0, 1,..., /, sillä ĝ k = ĝ k ja ĥ k = ĥ k. Pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos puolestaan on :n pisteen muunnos, joten sen määritelmässä esiintyy w = e i/. Huomataan, että w = w. Siten k:n arvoilla 0, 1,..., 1 saadaan ˆf k = 1 1 f j w kj = 1 = 1 1 g j w kj + w k f j w kj h j w kj f j+1 w kj k = 1 ĝk + w k ĥk,

9 missä ĝ k ja ĥk saadaan yhtälöistä.. Koska w = 1, niin loput ˆf k :t saadaan yhtälöstä ˆf +k = 1 ĝ+k + w k 1 ĥ +k = ĝk w ĥk k, missä k = 0, 1,..., 1. Siten reaalisen :n mittaisen pisteistön diskreetti Fouriermuunnos voidaan laskea suorittamalla yksi kompleksinen :n mittaisen pisteistön muunnos. Olkoon f j, j = 0, 1,..., 1, edelleen reaalinen pisteistö. Diskreetti Fouriermuunnos ˆf k voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k = Re ˆf k + i Im ˆf 1 1 k = f j cos kj yt saadaan 1 f j cos kj = f 0 + Vastaavasti 1 j= i f j cos πkj + 1k f + j=1 = f 0 + f j + f j cos πkj + 1k f. f j sin kj j=1 = j=1 f j sin πkj + f j sin j=1 = f j f j sin πkj. j=1 f j cos f j sin kj. πk j πk j Jos f j on parillinen pisteistö, ts. f j = f j kaikilla j, niin silloin Im ˆf k = 0 ja 1 ˆf k = f 0 + f j cos πkj + 1k f,.3 j=1 joten myös ˆf k on parillinen. Toisaalta, jos f j on pariton pisteistö, ts. f j = f j kaikilla j, niin silloin Re ˆf k = 0 ja ˆf k = i j=1 f j sin πkj,.4 joten myös ˆf k on pariton. Kaava.3 määrittelee diskreetin Fourier-kosinimuunnoksen, ja kaava.4 ilman kerrointa i määrittelee diskreetin Fourier-sinimuunnoksen. Voidaan osoittaa, että näissä kahdessa tapauksessa kyseiset muunnokset on mahdollista tehdä siten, että tarvitsee suorittaa vain yksi /:n pisteen muunnos. 9

10 Esimerkki.1. Tarkastellaan Fourier-analyysin soveltamista yksinkertaiseen signaalinkäsittelytehtävään. Kuvassa 1 esitetystä reaaliarvoisesta signaalista ft = sin0t + sin35t + sin50t otetaan näytteet f j = ft j ajanhetkillä t j = jδt, j = 0, 1,..., 1, missä δt = ja = 56. Käytännössä mittaustulokset sisältävät kuitenkin aina myös kohinaa, joten mitattu signaali on todellisuudessa kuvassa esitettyä muotoa AIKA S Kuva 1: Alkuperäinen signaali AIKA S Kuva : Häiritty signaali uodostetaan pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos ˆf k ja lasketaan ˆf k /, jota kutsutaan signaalin diskreetiksi tehospektriksi power spectrum. Kuvassa 3 10

11 on esitetty tehospektri taajuuden φ k = k/δt funktiona. Siitä nähdään, mitkä taajuudet ovat dominoivia alkuperäisessä signaalissa: Jokainen suuri piikki kuvaa yhtä taajuutta, kun taas pienemmät piikit ovat kohinan aiheuttamia. Koska f j :t ovat reaalisia, on ˆf k = ˆf k, joten riittää, että lasketaan vain pisteet k = 0, 1,..., / 1; siis vain puolet taajuusalueesta on käyttökelpoista taajuudet välillä 0 Hz... 1/δt Hz TAAJUUS HZ Kuva 3: Tehospektri AIKA S Kuva 4: Suodatettu signaali Suodatetaan nyt kohina pois, ts. asetetaan ˆf k :sta nolliksi ne komponentit, jotka vastaavat yli 100 Hz taajuuksia. uodostamalla diskreetti Fourier-käänteismuunnos saadaan kuvassa 4 esitetty suodatettu signaali, joka on oleellisesti sama kuin alkuperäinen signaali. 11

12 .4 Diskreetit konvoluutiot Diskreettiä Fourier-muunnosta voidaan käyttää mm. konvoluutioiden laskemiseen. Olkoot f j ja g j kaksi -jaksollista pisteistöä. ääritellään diskreetti konvoluutio f g j = 1 f j l g l, j = 0, 1,..., 1. Helposti todetaan, että konvoluutio on symmetrinen, ts. f g j = g f j. Edelleen pätee seuraava tulos, ns. konvoluutiolause: Lause.4. Olkoot f j ja g j -jaksollisia. Silloin f g k = ˆf k ĝ k. Todistus. Diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmän mukaan on f g k = 1 1 f g j w kj = f j l g l w kj = 1 joten lause on voimassa. 1 1 f j l w kj l g l w kl = ˆf 1 k g l w kl = ˆf k ĝ k, Siten konvoluution laskemiseksi tämän lauseen avulla täytyy suorittaa kaksi :n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta, yksi :n pisteen diskreetti Fourier-käänteismuunnos ja + 1 kertolaskua. Jos Fourier-muunnokset lasketaan suoraan määritelmän mukaan, ei tästä menetelmästä ole kuitenkaan mitään hyötyä, sillä jokaisen muunnoksen vaativuus on O, kun taas konvoluutio voidaan laskea suoraan :lla kertolaskulla ja 1:llä yhteenlaskulla. Jos sen sijaan käytetään seuraavassa esiteltäviä nopeita Fourier-muunnoksia, on konvoluutioiden laskeminen tällä tavalla selvästi tehokkaampaa. 3 opeat Fourier-muunnokset 3.1 Johdanto Kuten edellä on jo todettu, diskreetin Fourier-muunnoksen vaativuus on O silloin, kun se lasketaan suoraan määritelmän mukaan. On kuitenkin kehitetty useita erilaisia algoritmeja, joilla muunnos voidaan laskea siten, että vaativuus on vain O log. Suurilla :n arvoilla tämä ero on hyvinkin merkittävä; esimerkiksi, jos = 18, niin = , mutta log = 896 siis suhde on noin 5.47%, tai jos = 104, niin = , mutta log = siis suhde on noin 0.98%. Tällaisia algoritmeja kutsutaan yhteisellä nimellä nopeat Fourier-muunnokset eli fast Fourier transforms, FFT. 1

13 3. Yleinen algoritmi Tarkastellaan aluksi yleistä tilannetta, jossa on kahden luvun tulo, ts. = 1. ääritellään indeksit j ja k uudelleen siten, että j = 1 j + j 1, k = k 1 + k, missä j 1, k 1 = 0, 1,..., 1 1 ja j, k = 0, 1,..., 1. Silloin diskreetti Fouriermuunnos ˆf k = 1 1 f j w kj, missä w = e i/, voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k 1 +k = j 1 =0 = j 1 =0 1 j =0 1 j =0 Koska w 1 = 1, w = w 1 ja w 1 ˆf k 1 +k = j 1 =0 f 1 j +j 1 w k 1 +k 1 j +j 1 f 1 j +j 1 w 1 k 1 j w k 1 j 1 w 1k j w k j 1. w k j 1 = w, niin saadaan 1 1 j =0 f 1 j +j 1 w k j w k 1j Tästä huomataan, että diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea kolmessa vaiheessa seuraavasti: 1 erkitään g j = f 1 j +j 1, j = 0, 1,..., 1; siis pisteistöön g j valitaan joka 1 :s alkio pisteistöstä f j. Kullakin j 1 saadaan eri pisteistö g j = g j1,j. Lasketaan :n pisteen diskreetit Fourier-muunnokset ĝ k = 1 1 j =0 g j w k j = 1 1 j =0 f 1 j +j 1 w k j. Tämä siis tehdään erikseen kullakin j 1, ts. muodostetaan 1 kappaletta :n pisteen muunnoksia ĝ k = ĝ j1,k. erkitään h j1 = w k j 1 ĝ j1,k, j 1 = 0, 1,..., 1 1; siis kerrotaan pisteistöjen ĝ j1,k alkiot kiertokertoimilla twiddle factors w k j 1. Siten kullakin k saadaan eri pisteistö h j1 = h k,j 1. 3 Lasketaan 1 :n pisteen diskreetit Fourier-muunnokset ĥ k1 = j 1 =0 h j1 w k 1j 1 1 = j 1 =0 w k j1ĝ j1,k w k 1 j 1 1. Tämä siis tehdään erikseen kullakin k, ts. muodostetaan kappaletta 1 :n pisteen muunnoksia ĥk 1 = ĥk,k 1. yt todetaan, että 3.1:n mukaan ˆf k = ĥk,k 1. Edellä kuvattu algoritmi siis perustuu siihen, että yhden suuren Fourier-muunnoksen sijaan lasketaan useampi pienempi muunnos. Jos Fourier-muunnos lasketaan suoraan :n pisteen muunnoksena, tarvitaan + =

14 kertolaskua. Edellä sen sijaan lasketaan 1 kertaa :n pisteen muunnos, kerrotaan 1 kertaa kiertokertoimilla, ja lasketaan kertaa 1 :n pisteen muunnos. Siten tarvitaan vain = kertolaskua, mikä on selvästi vähemmän kuin äin ollen kyseinen algoritmi todella on nopea Fourier-muunnos. Algoritmin laskut voidaan tehdä myös toisessa järjestyksessä, sillä kaava 3.1 voidaan kirjoittaa muotoon ˆf k 1 +k = 1 1 j = j 1 =0 w k j 1 f 1 j +j 1 w k 1 j 1 1 w k j. 3. Tällöin siis f j jaetaan :een pienempään osaan, joissa kussakin on 1 peräkkäistä alkiota alkuperäisestä pisteistöstä f j. Ensin ne kerrotaan kiertokertoimilla, sitten muodostetaan kappaletta 1 :n pisteen muunnoksia, ja lopuksi muodostetaan 1 kappaletta :n pisteen muunnoksia. Jos luvut 1 ja ovat jälleen muotoa 1 = 1,1 1, ja =,1,, voidaan nopeaa Fourier-muunnosta soveltaa edelleen yllä mainittujen 1 :n ja :n pisteen muunnosten laskemiseen; tällöin vain 1 :n ja :n tilalla on i,1 ja i, missä i = 1,. Siten nopea Fourier-muunnos on entistä tehokkaampi, jos sitä voidaan käyttää rekursiivisesti. Useimmiten valitaankin siten, että se on jokin kakkosen potenssi, sillä silloin jokaisessa vaihessa kaikki pisteistöt voidaan aina jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Seuraavassa käytetään tällaisista menetelmistä nimitystä Cooley Tukey-algoritmit, sillä heidän esittämänsä alkuperäinen nopea Fouriermuunnos vuodelta 1965 oli juuri tätä muotoa. 3.3 Kaksikantainen algoritmi Oletetaan siis seuraavassa, että = n jollain n. Asetetaan 1 = ja = / = n 1. Tällöin siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan siten, että parittomat ja parilliset alkiot kerätään omiin ryhmiinsä. erkitään, kuten ennenkin, = /. Silloin kaava 3.1 tulee muotoon ˆf k1 +k = 1 1 j 1 =0 w k j 1 1 j =0 f j +j 1 w k j w k 1j 1, missä k 1 = 0, 1 ja k = 0, 1,..., 1. Indeksin k 1 arvolla 0 saadaan kun merkitään yksinkertaisuuden vuoksi k = k ja j = j [ ] ˆf k = 1 1 f j w kj + w k 1 f j+1 w kj, 3.3 missä siis k = 0, 1,..., 1. Toisaalta, koska w 1 = e iπ = 1, niin k 1 :n arvolla 1 saadaan ] [ ˆf +k = 1 1 f j w kj w k 14 1 f j+1 w kj, 3.4

15 missä myös k = 0, 1,..., 1. Tässä lähestymistavassa, josta käytetään nimitystä aikaharvennus decimation in time, suoritetaan siis kaksi /:n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta, kerrotaan / kertaa w k :lla ja lopuksi suoritetaan yhteenlaskua. Lisäksi täytyisi vielä kertoa kertaa vakiolla 1/, mutta tämä vakio voidaan viedä sisään summalausekkeisiin, jolloin kyse on itse asiassa vain alkioiden f j skaalauksesta. Kun samaa algoritmia sovelletaan uudelleen molempiin /:n pisteen muunnoksiin, silloin suoritetaan yhteensä neljä /4:n pisteen muunnosta, / siis kaksi kertaa /4 kertolaskua ja siis kaksi kertaa / yhteenlaskua sekä lisäksi jälleen skaalaukset vakiolla 1/. Yleisesti tasolla m suoritetaan m kappaletta n m :n pisteen muunnosta, / kertolaskua ja yhteenlaskua. Lopulta viimeisellä tasolla m = n = log suoritetaan kappaletta triviaaleja yhden pisteen muunnoksia, / kertolaskua ja yhteenlaskua. Siten kertolaskujen lukumäärä on yhteensä / log ja yhteenlaskujen lukumäärä log. Lisäksi täytyy suorittaa kaikki siirretyt skaalaukset siis f j :t täytyy kertoa vakiolla 1/ n = 1/ jolloin kertolaskujen lukumäärä lisääntyy :llä; mutta koska kyseessä on todella vain skaalaus, jätetään tämä yksinkertaisuuden vuoksi seuraavissa tarkasteluissa huomiotta. äin ollen kaksikantaisen nopean Fourier-muunnoksen vaativuus on O log. Vaihtoehtoinen muoto algoritmille saadaan asettamalla 1 = / = n 1 ja = ; siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan siten, että alku- ja loppupuoliskot muodostavat omat ryhmänsä. Tällöin kaava 3. tulee muotoon ˆf k1 +k = w k j 1 f j +j 1 w k 1 j 1 j =0 j 1 =0 w k j, missä k 1 = 0, 1,..., 1 ja k = 0, 1. Indeksin k arvolla 0 saadaan kun merkitään k = k 1 ja j = j 1 ˆf k = 1 1 f j + f +j w kj, missä siis k = 0, 1,..., 1. Toisaalta k :n arvolla 1 saadaan ˆf k+1 = 1 1 w j f j f +j w kj, missä myös k = 0, 1,..., 1. Tässä lähestymistavassa, josta käytetään nimitystä taajuusharvennus decimation in frequency, suoritetaan siis yhteenlaskua, kerrotaan / kertaa w j :llä ja suoritetaan kaksi /:n pisteen diskreettiä Fourier-muunnosta. Kuten edelläkin, koko muunnos voidaan tehdä rekursiivisesti log :ssä vaiheessa, ja siten kerto- ja yhteenlaskujen lukumäärät ovat täsmälleen samat kuin algoritmin edellisessäkin versiossa. Huomataan, että merkittävä osa kaksikantaisen algoritmin vaatimista kertolaskuista on itse asiassa triviaaleja kertomisia vakioilla ±1 ja ±i. Esimerkiksi alimmalla tasolla, kun suoritetaan kahden pisteen muunnoksia, kiertokertoimet ovat w k = e kiπ = 1 k ; seuraavalla tasolla ne puolestaan ovat w4 k = e kiπ/ = i k. 15

16 Yhteensä tällaisia kertolaskuja on 3/ kappaletta. Lisäksi, jos kompleksiset kerto-ja yhteenlaskut järjestetään reaalisina kerto- ja yhteenlaskuina käyttäen hyödyksi trigonometristen kuvausten symmetrisyysominaisuuksia, pienenee algoritmin vaativuus edelleen. Voidaan osoittaa, että kaksikantainen Fourier-muunnos kun jätetään skaalaus vakiolla 1/ huomiotta on mahdollista suorittaa käyttäen 3/ log reaalista kertolaskua ja 7/ log reaalista yhteenlaskua. 3.4 Korkeampikantaiset algoritmit Oletetaan seuraavaksi, että = n = 4 n/ jollain parillisella n. Asetetaan 1 = 4 ja = /4 = 4 n/ 1, ts. pisteistö f j jaetaan neljään yhtä suureen osaan. Tällöin kaava 3.1 kun jätetään yksinkertaisuuden vuoksi skaalaukset pois tulee muotoon ˆf k = ˆf /4+k = ˆf /+k = ˆf 3/4+k = /4 1 w kl i l w kl 1 l w kl f 4j+l w kj /4, /4 1 /4 1 f 4j+l w kj /4, f 4j+l w kj /4, /4 1 i l w kl f 4j+l w kj /4, missä k = 0, 1,..., /4 1. Saadaan siis nelikantainen algoritmi, jossa jokaisessa vaiheessa :n pisteen Fourier-muunnos palautetaan neljäksi /4:n pisteen muunnokseksi siten, että kerrotaan kertaa kiertokertoimilla ja suoritetaan 3 yhteenlaskua. Tämä tehdään rekursiivisesti n/:ssa vaiheessa, jolloin tarvitaan kaiken kaikkiaan / log kertolaskua ja 3/ log yhteenlaskua. yt näyttäisi, että nelikantaisessa algoritmissa tarvitaan enemmän laskutoimituksia kuin kaksikantaisessa algoritmissa. Jos kuitenkin jälleen huomioidaan kaikki triviaalit kertolaskut ja toteutetaan kompleksiset laskutoimitukset reaalisina siten, että käytetään hyväksi trigonometristen kuvausten symmetrisyysominaisuuksia, voidaan vaativuutta pienentää huomattavasti. Voidaan osoittaa, että nelikantainen algoritmi on mahdollista suorittaa käyttäen 9/8 log 43/1 + 16/3 reaalista kertolaskua ja 5/8 log 43/1+16/3 reaalista yhteenlaskua. Siten kertolaskujen lukumäärä on jopa 5% pienempi kuin kaksikantaisessa algoritmissa. Laskutoimitusten määrää voidaan edelleen hieman pienentää, jos käytetään kahdeksan- tai kuusitoistakantaisia algoritmeja; tällöin siis on oltava joko = 8 n/3 tai = 16 n/4, missä n on jaollinen kolmella tai neljällä, vastaavasti. Yleisemmässä tapauksessa = n voidaan käyttää vaihtuvakantaisia algoritmeja: Esimerkiksi, koska 3 = 4, niin 3:n pisteen Fourier-muunnos voidaan laskea suorittamalla ensin kaksi askelta nelikantaisella algoritmilla ja sen jälkeen yksi askel kaksikantaisella algoritmilla. 16

17 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tarkastellaan seuraavaksi, millä tavalla kaksikantainen Cooley Tukey-tyyppinen nopea Fourier-muunnos siis kaavat voitaisiin toteuttaa tietokoneella. Olkoon m rekursiotason ilmaiseva laskuri, joka käy läpi arvot 0, 1,..., n missä siis n = log. Taso m = 0 tarkoittaa alustusaskelta, jossa suoritetaan triviaalit yhden pisteen muunnokset ˆf 0 = f 0, ja taso m = n tarkoittaa lopetustasoa, jossa muodostetaan lopullinen muunnos ˆf k, k = 0, 1,..., 1. Tällöin kullakin tasolla kaavoissa lukuja ja vastaavat luvut m ja m 1, ja kiertokertoimet ovat muotoa w k = m e ki/m = w k/m missä w on alkuperäinen w = w. [m] erkitään tasolla m laskettavia osamuunnoksia ˆf j,k, missä j ilmoittaa osamuunnoksen järjestysnumeron jolloin j = 0, 1,..., n m 1 ja k ilmoittaa, kuten ennenkin, pisteen järjestysnumeron ko. muunnoksessa jolloin k = 0, 1,..., m 1. Yksinkertaisuuden vuoksi siirretään kaikki vakiot 1/ sisään summalausekkeisiin, w k jolloin siis pisteistö f j skaalataan aluksi vakiolla 1/ tai yhtäpitävästi, kerrotaan vakiot 1/ yhtälöiden vasemmille puolille, jolloin siis muunnospisteistö ˆf k skaalataan lopuksi vakiolla 1/. Tällöin kaavojen antama algoritmi voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon: 1. Alustus Asetetaan. Arvoilla m = 1,,..., n lasketaan ˆf [0] j,0 = f j, missä j = 0, 1,..., 1. ˆf [m] j,k [m 1] = ˆf j,k + w k/m [m 1] ˆf n m +j,k, ˆf [m] [m 1] j, m 1 +k = ˆf j,k w k/m [m 1] ˆf n m +j,k, missä j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m Lopetus Asetetaan ˆf k = [n] ˆf 0,k, missä k = 0, 1,..., 1. [m] Kullakin tasolla m lasketaan kappaletta pisteitä ˆf j,k, joiden tallentamiseen tarvitaan siten :n pituinen vektori. Jokaiselle tasolle ei tarvitse määritellä uutta tallennusvektoria, sillä tason m pisteiden laskemiseen käytetään vain edellisen tason [m] m 1 pisteitä; tällöin uudet ˆf j,k :t lasketaan ensin johonkin :n pituiseen työtilavektoriin, ja sen jälkeen ne voidaan siirtää varsinaiseen tallennusvektoriin vanhojen [m 1] pisteiden ˆf j,k tilalle. Jotta tiedettäisiin, missä kohtaa tallennusvektorissa kukin piste on, tarvitaan [m] jokin kokonaislukuarvoinen kuvaus l = lm, j, k, jolloin siis piste ˆf j,k tallennetaan indeksillä lm, j, k. Kuvaukselta l vaaditaan, että sen arvot lm, j, k käyvät läpi joukon {0, 1,..., 1}, kun j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1. Edelleen olisi hyvä, jos sekä alku- että loppupisteistöt f j ja ˆf k olisivat valmiiksi oikeassa järjestyksessä, ts. l0, j, 0 = j, j = 0, 1,..., 1, 3.5 ln, 0, k = k, k = 0, 1,..., Silloin vältyttäisiin ylimääräisiltä pisteiden permutoinneilta. Yksinkertaisin kuvaus, joka toteuttaa edellä mainitut ehdot, on lm, j, k = j m + k. Tällöin kuitenkin kullakin tasolla m tarvitaan välttämättä :n pituinen 17

18 työtilavektori; siis kaikki tason m pisteet täytyy laskea ennen kuin ne voidaan siirtää tason m 1 pisteiden tilalle. Osoittautuu, että l on mahdollista määritellä siten, että laskut voidaan tehdä paikallaan, ts. algoritmin askeleessa lasketut kaksi uutta pistettä voidaan sijoittaa välittömästi vastaavien vanhojen pisteiden tilalle. Halutaan siis, että lm, j, k = lm 1, j, k, lm, j, m 1 + k = lm 1, n m + j, k, 3.7 kaikilla j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1 1. Edelleen olisi hyvä, jos myös nyt alku- ja loppupisteistöt olisivat valmiiksi oikeassa järjestyksessä, mutta tässä tapauksessa molemmat ehdot eivät voi olla voimassa samanaikaisesti. Olkoon ensin 3.5 voimassa, jolloin siis f j :t ovat oikeassa järjestyksessä. Tutkitaan, mihin muotoon algoritmi tulee tässä tapauksessa. erkitään k = m 1 i=0 k i i, missä k i {0, 1}, jolloin k i :t ovat indeksin k bitit sen binääriesityksessä. Tällöin ehdot 3.7 voidaan kirjoittaa muotoon lm, j, k = lm 1, j + k m 1 n m, m i=0 k i i, missä j = 0, 1,..., n m 1 ja k = 0, 1,..., m 1. Käytetään tätä rekursiivisesti, jolloin saadaan lm, j, k = lm, j + k m 1 n m + k m n m+1, m 3 i=0 k i i = = l0, j + k m 1 n m + + k 0 n 1, 0 = l0, j + n m m 1 i=0 k m i 1 i, ääritellään operaattori b m siten, että b m k = m 1 i=0 k m i 1 i, ts. b m kääntää indeksin k bitit päinvastaiseen järjestykseen. Tällöin 3.5 ja 3.8 yhdessä antavat ja erityisesti lm, j, k = j + n m b m k, ln, 0, k = b n k k = 0, 1,..., 1. Siis tulospisteet ˆf k saadaan bittikäänteisessä järjestyksessä bit-reversed order. Algoritmin vaiheessa tarvitaan indeksejä lm 1, j, k ja lm 1, n m + j, k, jotka edellä olevan mukaan ovat lm 1, j, k = j + n m+1 b m 1 k, lm 1, n m + j, k = n m + j + n m+1 b m 1 k. Kun vielä huomataan, että algoritmissa k voidaan korvata b m 1 k:lla sillä onhan samantekevää, missä järjestyksessä indeksit käydään läpi, niin nopea Fourier-muunnos tulee seuraavaan muotoon: Alustus ja skaalaus: do j = 0, 1 Aj := f j / end do 18

19 Rekursioaskeleet: do m = 1, n do k = 0, m 1 1 α := w b m 1k/ m do j = 0, n m 1 u := Aj + n m+1 k v := αa n m + j + n m+1 k Aj + n m+1 k := u + v A n m + j + n m+1 k := u v end do end do end do Permutointi ja lopetus: do k = 0, 1 ˆf k := A b n k end do Tässä siis A on vektori, johon muunnospisteet tallennetaan. Ylimääräistä työtilaa tarvitaan vain kaksi paikkaa, nimittäin kompleksimuuttujat u ja v. Huomaa myös, että kiertokerrointa α laskettaessa täytyy suorittaa bitinkääntöoperaatio. Olkoon sitten 3.6 voimassa, jolloin siis ˆf k :t ovat oikeassa järjestyksessä. erkitään, kuten edelläkin j = n m i=0 j i i, j i {0, 1}, jolloin j i :t ovat indeksin j bitit. Ehdot 3.7 voidaan kirjoittaa muotoon lm 1, j, k = lm, n m 1 i=0 j i i, k + j n m m 1, missä j = 0, 1,..., n m+1 1 ja k = 0, 1,..., m 1 1. Käytetään tätä rekursiivisesti, jolloin saadaan lm 1, j, k = lm + 1, n m i=0 j i i, k + j n m m 1 + j n m 1 m = = ln, 0, k + j n m m j 0 n 1 = ln, 0, k + m 1 n m i=0 j n m i i. 3.9 Siten 3.6 ja 3.9 yhdessä antavat ja erityisesti lm 1, j, k = k + m 1 b n m+1 j, l0, j, 0 = b n j j = 0, 1,..., 1. Siis tällä kertaa lähtöpisteet f j ovat bittikäänteisessä järjestyksessä. Algoritmin vaiheessa tarvitaan nyt indeksejä lm, j, k ja lm, j, m 1 + k, jotka edellä olevan mukaan ovat lm, j, k = k + m b n m j, lm, j, m 1 + k = m 1 + k + m b n m j. Jälleen huomataan, että j voidaan korvata b n m j:llä, joten nopea Fourier-muunnos tulee tässä tapauksessa muotoon: 19

20 Alustus ja permutointi: do j = 0, 1 A b n j := f j end do Rekursioaskeleet: do m = 1, n do k = 0, m 1 1 α := w k/m do j = 0, n m 1 u := Ak + m j v := αa m 1 + k + m j Ak + m j := u + v A m 1 + k + m j := u v end do end do end do Skaalaus ja lopetus: do k = 0, 1 ˆf k := Ak/ end do Algoritmin tämä muoto on ehkä hieman nopeampi kuin edellinen versio, sillä nyt rekursiosilmukassa ei tarvitse tehdä lainkaan bitinkääntöoperaatioita. 3.6 Konvoluutioiden laskeminen Konvoluutioita voidaan nyt laskea nopeita Fourier-muunnoksia käyttäen lauseen.4 mukaisesti, jolloin siis tehdään kaksi muunnosta ja yksi käänteismuunnos sekä +1 kertolaskua. Laskutoimitusten määrä on siten kertaluokkaa O log. Lisäksi tällöin voidaan tehdä myös joitain yksinkertaistuksia algoritmiin. imittäin nopeassa muunnoksessa joko syöttöpisteet f j tai tulospisteet ˆf k ovat bittikäänteisessä järjestyksessä. Tällöin pisteiden uudelleenjärjestäminen lisää jonkin verran laskutoimitusten määrää. Konvoluutioiden tapauksessa tämä voidaan kuitenkin unohtaa, sillä jos tarvittavat kaksi Fourier-muunnosta antavat tuloksen bittikäänteisessä järjestyksessä, niin käänteismuunnoksen jälkeen pisteet ovat jälleen oikeassa järjestyksessä. 3.7 opeat muunnokset yleisessä tapauksessa Edellä on koko ajan oletettu, että pisteiden lukumäärä on jokin kakkosen potenssi. yt jos onkin alkuluku, niin Cooley Tukey-tyyppisiä algoritmeja ei voida enää soveltaa. Tällöin voidaan kuitenkin käyttää Raderin algoritmia, joka perustuu siihen, että jokainen :n pisteen diskreetti Fourier-muunnos voidaan palauttaa 1:n pisteen diskreetiksi konvoluutioksi. Koska nyt 1 on parillinen, voidaan konvoluution laskemiseen käyttää kaksikantaista nopeaa Fourier-muunnosta ainakin yhden askeleen verran. Tämän jälkeen voidaan tarvittaessa soveltaa samaa menetelmää uudelleen. 0

21 Yleisessä tapauksessa jaetaan alkutekijöihinsä = 1 m ja jokaiseen i :n i = 1,,..., m pituiseen palaan sovelletaan Rader-tyyppistä algoritmia. Tällaisista algoritmeista käytetään nimitystä alkutekijämuunnokset prime factor FFT. Harjoitustehtäviä 1. Todista lauseet. ja.3.. Osoita, että diskreetillä Fourier-muunnoksella on seuraava siirto-ominaisuus: Olkoon ˆf k pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos. ääritellään g j = f j+l jollain l {0, 1,..., 1}. Silloin ĝ k = w lk ˆfk. 3. Osoita, että kaksikantaisessa Cooley Tukey-algoritmissa triviaalien kertolaskujen siis kun kiertokerroin on joko ±1 tai ±i lukumäärä on 3/. 4. Olkoon k = m 1 i=0 k i i, missä k i {0, 1}, jolloin siis k i :t ovat kokonaisluvun k bitit sen binääriesityksessä. Kirjoita aliohjelma, joka kääntää bitit päinvastaiseen järjestykseen, ts. laskee kuvauksen b m k = m 1 i=0 k m i 1 i arvon. 5. Kirjoita aliohjelma, joka laskee nopean Fourier-muunnoksen edellä esitetyillä algoritmeilla. Lähteet Bagget, L., Fulks, W., Fourier analysis, Anjou Press, ussbaumer, H. J., Fast Fourier transform and convolution algorithms, Springer- Verlag, Pickering,., An introduction to fast Fourier transform methods for partial differential equations, with applications, Research Studies Press, Tolimieri, R., An,., Lu, C., Algorithms for discrete Fourier transform and convolution, Springer-Verlag,

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen

Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen Algoritmit C++ Kauko Kolehmainen Algoritmit - C++ Kirjoittanut Taitto Kansi Kustantaja Kauko Kolehmainen Kauko Kolehmainen Frank Chaumont Oy Edita Ab IT Press PL 760 00043 EDITA Sähköpostiosoite Internet

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Fourier-analyysin alkeet

Fourier-analyysin alkeet 1 Fourier-analyysin alkeet Joni Teräväinen 8. toukokuuta 212 Fourier'n teoria ei ole ainoastaan yksi modernin analyysin kauneimpia tuloksia, vaan sen sanotaan varustavan käyttäjänsä korvaamattomalla työkalulla

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Matlab-tietokoneharjoitus

Matlab-tietokoneharjoitus Matlab-tietokoneharjoitus Tämän harjoituksen tavoitteena on: Opettaa yksinkertaisia piirikaavio- ja yksikkömuunnoslaskuja. Opettaa Matlabin perustyökaluja mittausten analysoimiseen. Havainnollistaa näytteenottotaajuuden,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo.

Merkitse kertolasku 3 3 3 3 potenssin avulla ja laske sen arvo. 13 Luvun potenssi Kertolasku, jonka kaikki tekijät ovat samoja, voidaan merkitä lyhyemmin potenssin avulla. Potenssimerkinnässä eksponentti ilmaisee, kuinka monta kertaa kantaluku esiintyy tulossa. Potenssin

Lisätiedot

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin Mediaanisuodattimet Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin niiden analysointiin on olemassa vakiintuneita menetelmiä

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi

Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa.

Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. Laskuharjoitus 1A Mallit Tässä dokumentissa on ensimmäisten harjoitusten malliratkaisut MATLABskripteinä. Voit kokeilla itse niiden ajamista ja toimintaa MATLABissa. 1. tehtävä %% 1. % (i) % Vektorit luodaan

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson

Esipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson 3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen

Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Prosessiorientoituneet mallit Todellista hybridijärjestelmää ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 12: Näytteenottoteoreema ja jatkuvien säätimien diskreetit approksimaatiot Prosessiorientoituneet mallit katsotaan

Lisätiedot

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä?

Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? Ongelma 1: Onko datassa tai informaatiossa päällekkäisyyttä? 2012-2013 Lasse Lensu 2 Ongelma 2: Voidaanko dataa tai informaatiota tallettaa tiiviimpään tilaan koodaamalla se uudelleen? 2012-2013 Lasse

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

12.5. Vertailua. Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 12.8. luonnehtii vaihtoehtoja.

12.5. Vertailua. Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 12.8. luonnehtii vaihtoehtoja. 1.5. Vertailua Silmäillään laskostumisen estoa tietokonegrafiikan kannalta. Kuva 1.8. luonnehtii vaihtoehtoja. (1)Esisuodatus äärettömästi näytteitä pikseliä kohti Lasketaan projisoidun kohteen palojen

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec

Lisätiedot

Laskentaa kirjaimilla

Laskentaa kirjaimilla MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien

Lisätiedot

Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä:

Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä: Mittausten virheet Jos havaitaan päivän ylin lämpötila, mittaustuloksissa voi esiintyä seuraavantyyppisiä virheitä: 1. Luemme lämpömittarin vain asteen tarkkuudella. Ehkä kyseessä on digitaalimittari,

Lisätiedot