Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.
|
|
|
- Ahti Nurminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet.
2 Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Sopimuksia: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota usein kutsutaan muuttujaksi. Symbolin :n sovitaan tarkoittavan ääretöntä negatiivista lukua, jolle pätee < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + =, ja + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty!
3 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n.
4 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi.
5 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on.
6 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on. Vakiopolynomin P(X ) = a 0 0 aste = 0.
7 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on. Vakiopolynomin P(X ) = a 0 0 aste = 0. Kaikkien R-kertoimisten polynomien joukkoa merkitään R [X ]:llä.
8 Määritelmä (10.1. jatkoa) Olkoot P(X ) = n k=0 a kx k ja Q = m k=0 b kx k R-kertoimisia polynomeja, n m. Olkoot b m+1 = b m+2 = = b n = 0, jos n>m. Polynomien summa ja tulo määritellään asettamalla ja P(X ) + Q(X ) = k=0 n (a k + b k )X k k=0 n+m (10) P(X )Q(X ) = ( a i b j )X k i+j=k
9 Määritelmä (10.1. jatkoa) Olkoot P(X ) = n k=0 a kx k ja Q = m k=0 b kx k R-kertoimisia polynomeja, n m. Olkoot b m+1 = b m+2 = = b n = 0, jos n>m. Polynomien summa ja tulo määritellään asettamalla ja P(X ) + Q(X ) = k=0 n (a k + b k )X k k=0 n+m (10) P(X )Q(X ) = ( a i b j )X k i+j=k Polynomi P(X ) = n k=0 a kx k R [X ] määrittelee polynomifunktion P : R R, X n k=0 a kx k. Merkitään polynomifunktiota P(x):llä erotuksena polynomista P(X ).
10 Propositio (10.2.) R [X ] on kommutatiivinen rengas. Todistus. Selvästi vakiopolynomit P(X ) = 0 ja P(X ) = 1 ovat yhteenlaskun ja kertolaskun neutraalialkiot. Muut ominaisuudet seuraavat (suoraviivainen tarkastus) siitä, että R on kommutatiivinen rengas.
11 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine.
12 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset.
13 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset. 3 Polynomit voi halutessaan kirjoittaa myös kasvavien X :n potenssien mukaan, sillä R [X ]:n summaoperaatio on kommutatiivinen.
14 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset. 3 Polynomit voi halutessaan kirjoittaa myös kasvavien X :n potenssien mukaan, sillä R [X ]:n summaoperaatio on kommutatiivinen. 4 Kuvaus P(X ) (P : R R) on rengashomomorfismi polynomirenkaasta R [X ] kuvausrenkaaseen F (R, R).
15 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3.
16 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3. Lemma (10.4.) Polynomirenkaassa R [X ] on (11) deg(p(x )Q(X )) degp(x ) + degq(x ) kaikille P(X ), Q(X ) R [X ].
17 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3. Lemma (10.4.) Polynomirenkaassa R [X ] on (11) deg(p(x )Q(X )) degp(x ) + degq(x ) kaikille P(X ), Q(X ) R [X ]. Todistus. Olkoot P(X ) = n k=1 a kx k ja Q = m k=1 b kx k, a n 0, b m 0. Tulopolynomin P(X )Q(X ) korkeimman asteen termi on a n b m X n+m, jos a n b m 0, muuten aste on alempi.
18 Propositio (10.5.) Jos K on kokonaisalue, niin K [X ] on kokonaisalue. Tällöin deg(p(x )Q(X )) = deg(p(x )) + deg(q(x )).
19 Propositio (10.5.) Jos K on kokonaisalue, niin K [X ] on kokonaisalue. Tällöin deg(p(x )Q(X )) = deg(p(x )) + deg(q(x )). Todistus. Käytämme Lemman 10.4 merkintöjä. Tulopolynomin korkeimman asteen termin kerroin on a n b m 0, sillä a n, b m 0 ja K on kokonaisalue (eli siinä ei ole nollan jakajia).
20 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois.
21 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ).
22 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1).
23 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1). Siis aina, kun x Z 2 on P(x) = Q(x).
24 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1). Siis aina, kun x Z 2 on P(x) = Q(x). Kuitenkin polynomeina P(X ) Q(X ).
25 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0.
26 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1.
27 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1. Nyt kuitenkaan kaikilla nollasta poikkeavilla vakiopolynomeilla ei ole käänteisalkiota; esimerkiksi P(X ) = 2 on tällainen Z 4 [X ]:n vakiopolynomi.
28 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1. Nyt kuitenkaan kaikilla nollasta poikkeavilla vakiopolynomeilla ei ole käänteisalkiota; esimerkiksi P(X ) = 2 on tällainen Z 4 [X ]:n vakiopolynomi. Johtopäätös: Polynomirengas R [X ] ei ole koskaan kunta
29 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ).
30 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta:
31 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1.
32 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1. (2) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa Z 2 [X ], nim. 1 = 1 renkaassa Z 2, joten (X 1)(X + 1) = X 2 1 = X renkaassa Z 2.
33 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1. (2) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa Z 2 [X ], nim. 1 = 1 renkaassa Z 2, joten (X 1)(X + 1) = X 2 1 = X renkaassa Z 2. Kaikissa polynomirenkaissa näin ei kuitenkaan ole.
34 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ].
35 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ]. (3) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa C [X ]: Jos olisi niin, että (X + 1) (X 2 + 1), niin silloin olisi C [X ]:n polynomi AX + B siten, että (X + 1)(AX + B) = X 2 + 1
36 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ]. (3) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa C [X ]: Jos olisi niin, että (X + 1) (X 2 + 1), niin silloin olisi C [X ]:n polynomi AX + B siten, että (X + 1)(AX + B) = X Siten AX 2 + (A + B)X + B = X Pitäisi olla A = B = 1 ja A + B = 0, mikä on mahdotonta.
37 Jos kokonaisluvut a, b jakavat toisensa, a b ja b a, niin a = ±b. Polynomeille ei voi päätellä näin. (Harjoitustehtävässä 103 nähdään, mitä voidaan päätellä).
38 Jos kokonaisluvut a, b jakavat toisensa, a b ja b a, niin a = ±b. Polynomeille ei voi päätellä näin. (Harjoitustehtävässä 103 nähdään, mitä voidaan päätellä). Olemme käyttäneet tällä kurssilla muutamia kertoja kokonaislukujen jakoyhtälöä: Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin on yksikäsitteiset q, r Z, joille a = qb + r ja 0 r < b. Kaikissa polynomirenkaissa tämä ei ole voimassa, mutta joissakin kyllä, niistä käytetään nimeä UFD (unique factorization domain) Todistamme vastaavan tuloksen polynomeille kolmena hieman erikoisena versiona:
39 Propositio (10.9. Polynomien jakoyhtälö) Olkoon R [X ] polynomirengas. Olkoot A(X ), B(X ) R [X ] siten, että B(X ) 0 ja 1 B(X ):n korkeimman asteen termin kerroin on 1, tai 2 B(X ):n korkeimman asteen termin kerroin on yksikkö, tai 3 R on kunta. Tällöin on yksikäsitteiset Q(X ), J(X ) R [X ], joille A(X ) = Q(X )B(X ) + J(X ) ja deg J(X ) < deg B(X ). Jakoyhtälö on siis käytössä.
40 Todistus. (1) Jos B(X ) jakaa polynomin A(X ), ei ole mitään todistettavaa.
41 Todistus. (1) Jos B(X ) jakaa polynomin A(X ), ei ole mitään todistettavaa. Muuten merkitään S = A(X ) D(X )B(X ) : D(X ) R [X ] }{{}. =P(X ) Selvästi S. Olkoon T = deg S = {degp(x ) : P(X ) S} N { }. Koska B(X ) A(X ), niin 0 / S, joten t = mint 0 (ja jollekin polynomille P(X ) S on degp(x ) = t; tämä saadaan Peano aksiominen seurauksena!)
42 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ).
43 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!),
44 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!), mutta tämä on mahdotonta, koska polynomin J(X ) aste on minimaalinen.
45 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!), mutta tämä on mahdotonta, koska polynomin J(X ) aste on minimaalinen. Johtopäätös: väitetyt polynomit Q(X ) ja J(X ) ovat olemassa. Todistus niiden olemassaololle on kuitenkin epäkonstruktiivinen.
46 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys:
47 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ).
48 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ). Jos Q(X ) Q(X ), niin vasemmalla puolen aste on vähintään d, kuitenkin deg( J(X ) J(X )) t < d. Siis Q(X ) = Q(X ) ja J(X ) = J(X ).
49 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ). Jos Q(X ) Q(X ), niin vasemmalla puolen aste on vähintään d, kuitenkin deg( J(X ) J(X )) t < d. Siis Q(X ) = Q(X ) ja J(X ) = J(X ). (2) Harjoitustehtävä 104. (3) Seuraa kohdasta (2), koska kaikki nollasta poikkeavat kunnan alkiot ovat yksiköitä.
50 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä!
51 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä! Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = X 2 2 renkaassa Z [X ] pätee 2X 3 + X 2 X 1 = (2X + 1)(X 2 2) + 3X + 1, joten Q(X ) = 2X + 1 ja J(X ) = 3X + 1.
52 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä! Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = X 2 2 renkaassa Z [X ] pätee 2X 3 + X 2 X 1 = (2X + 1)(X 2 2) + 3X + 1, joten Q(X ) = 2X + 1 ja J(X ) = 3X + 1. Renkaassa Z 3 [X ] samoilla polynomeilla A(X ) ja B(X ) (12) 2X 3 +X 2 X 1 = (2X +1)(X 2 2)+1 = (2X +1)(X 2 +1)+1.
53 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!)
54 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!) Sen sijaan renkaassa Z 3 [X ] voidaan jatkaa, koska Z 3 on kunta. Nyt X 1 = 2X + 2 = (2X + 1) + 1 ja päädytään yhtälöön (12) (totea tämäkin!)
55 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!) Sen sijaan renkaassa Z 3 [X ] voidaan jatkaa, koska Z 3 on kunta. Nyt X 1 = 2X + 2 = (2X + 1) + 1 ja päädytään yhtälöön (12) (totea tämäkin!) Renkaassa Q [X ] jakoa voi myös jatkaa, ja saadaan 2X 3 + X 2 X 1 = (X )(2X + 1) 1 2.
56 Tarkastelemme nyt yhden muuttujan polynomiyhtälöitä. Tämä kanssa on yhtäpitävää tarkastella polynomien (tai niitä vastaavien polynomifunktioiden) nollakohtia. Määritelmä (10.11.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, ja olkoon P(X ) R [X ]. Alkio c R on polynomin P(X ) juuri eli nollakohta, jos P(c) = 0.
57 Tarkastelemme nyt yhden muuttujan polynomiyhtälöitä. Tämä kanssa on yhtäpitävää tarkastella polynomien (tai niitä vastaavien polynomifunktioiden) nollakohtia. Määritelmä (10.11.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, ja olkoon P(X ) R [X ]. Alkio c R on polynomin P(X ) juuri eli nollakohta, jos P(c) = 0. Jakoyhtälö antaa seuraavan perustuloksen: Propositio (10.12.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, jossa on voimassa yksikäsitteinen jakoyhtälö (esim Q). Olkoon P(X ) R [X ], ja c R. Tällöin P(c) = 0 täsmälleen silloin, kun (X c) P(X ).
58 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ).
59 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ). Siis J(X ) on vakiopolynomi b R, jolle J(a) = b kaikilla a R. Erityisesti 0 = P(c) = Q(c)(c c) + J(c) = b, joten b = 0. Siis X c jakaa polynomin P(X ).
60 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ). Siis J(X ) on vakiopolynomi b R, jolle J(a) = b kaikilla a R. Erityisesti 0 = P(c) = Q(c)(c c) + J(c) = b, joten b = 0. Siis X c jakaa polynomin P(X ). Jos kääntäen P(X ) = (X c)q(x ) jollain polynomilla Q(X ) R [X ], niin erityisesti P(c) = (c c)q(c) = 0 eli c R on polynomin P(X ) juuri.
61 Propositio (10.13.) Olkoon K kunta. Olkoon P(X ) K [X ] polynomi, ja olkoot c 1, c 2,..., c k K polynomin P(X ) k eri juurta. Tällöin on olemassa polynomi Q(X ) K [X ], jolle P(X ) = (X c 1 )(X c 2 ) (X c k )Q(X ). Todistus. Harjoitustehtävä 105.
62 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta.
63 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k.
64 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k. Propositio (10.15.) Olkoon K ääretön kokonaisalue (ts. ei nollan jakajia). Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K [X ].
65 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k. Propositio (10.15.) Olkoon K ääretön kokonaisalue (ts. ei nollan jakajia). Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K [X ]. Todistus. Olkoot P(X ), Q(X ) K [X ] siten, että P(c) = Q(c) kaikilla c K. Tällöin polynomilla P(X ) Q(X ) on äärettömän monta juurta. Ainoa tällainen polynomi on 0. Siis P(X ) = Q(X ).
66 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan.
67 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan. Sen sijaan polynomilla X C [X ] on kaksi nollakohtaa: (X + i)(x i) = (X 2 + 1).
68 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan. Sen sijaan polynomilla X C [X ] on kaksi nollakohtaa: (X + i)(x i) = (X 2 + 1). Jos (X c) k jakaa polynomin P(X ) renkaassa R [X ] on c P(X ):n k-kertainen juuri. Yleensä, kun lasketaan polynomin juuria, k-kertaiset juuret huomioidaan laskussa k kertaa. Esimerkiksi 0 on polynomin X 2 kaksinkertainen nollakohta, ja kertaluku huomioiden polynomilla X 2 on siis kaksi nollakohtaa.
69 Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokaisella polynomilla P(X ) K [X ], joka ei ole vakiopolynomi, on juuri K. Edellä esitettyjen tulosten mukaan algebrallisesti suljetussa kunnassa on n:n asteen polynomilla (kertaluvun huomioiden) n juurta. Lause ( Algebran peruslause) Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Todistus. Tässä todistuksessa tarvitsemme tietoja Euklidisten avaruuksien jatkuvuudesta ja kompakteista joukoista. Sivuutetaan.
70 Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokaisella polynomilla P(X ) K [X ], joka ei ole vakiopolynomi, on juuri K. Edellä esitettyjen tulosten mukaan algebrallisesti suljetussa kunnassa on n:n asteen polynomilla (kertaluvun huomioiden) n juurta. Lause ( Algebran peruslause) Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Todistus. Tässä todistuksessa tarvitsemme tietoja Euklidisten avaruuksien jatkuvuudesta ja kompakteista joukoista. Sivuutetaan. Lauseen seurauksena saadaan astetta n olevalle polynomille P(X ) P(X ) = a n (X X 1 )(X X 2 ) (X X n ). Reaali- tai kompleksiluvut X 1, X 2,, X n ovat polynomin nollakohdat, ts. polynomiyhtälön P(X ) = 0 juuret. Astetta n olevalla polynomilla on siis aina n juurta, mutta jotkut näistä voivat olla yhtä suuria.
k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
TOOLS. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO TOOLS 1 / 28
TOOLS Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 2018 TOOLS 1 / 28 Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. TOOLS
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita
802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Merkintöjä ja Algebrallisia rakenteita Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 25 Lukujoukkoja N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset
H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,
2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään
kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja
Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,
on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi
Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................
1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.
11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä
Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32
1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
![[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko](/thumbs/59/42897527.jpg "[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko")
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,
14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
a b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
ja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.
18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x
8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta
2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];
![2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];](/thumbs/97/131422104.jpg "2 1/ /2 ; (a) Todista, että deg P (x)q(x) = deg P (x) + deg Q(x). (b) Osoita, että jos nolla-polynomille pätisi. deg 0(x) Z, Z 10 ; Z 10 [x];")
802656S ALGEBRALLISET LUVUT Harjoituksia 2017 1. Näytä, että (a) (b) (c) (d) (e) 2 1/2, 3 1/2, 2 1/3 ; 2 1/2 + 3 1/2 ; 2 1/3 + 3 1/2 ; e iπ/m, m Z \ {0}; sin(π/m), cos(π/m), tan(π/m), m Z \ {0}; ovat algebrallisia
g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
Esko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
d Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)
Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut
PERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I
802656S ALGEBRALLISET LUVUT OSA I ALGEBRAIC NUMBERS PART I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN 802656S ALGEBRALLISET YLIOPISTO LUVUT
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Algebra 1. Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019
Algebra 1 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa talvella 2019 Sisältö I Renkaat ja kunnat 1 1 Laskutoimitukset 3 1.1 Laskutoimitus.................................. 3 1.2 Indusoitu laskutoimitus.............................
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
Algebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Algebra 2. Syksy Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Algebra 2 Syksy 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á ÂÓ ÒØÓ Ð Ö Ý ØĐ ÐĐÓØ 1. Koulualgebrasta algebraan Koulun matematiikan opetuksen suurimpia abstraktiohyppäyksiä on
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.)
Suurin yhteinen tekijä (s.y.t.) ja pienin yhteinen monikerta (p.y.m.) LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Määritelmä, yhteinen tekijä ja suurin yhteinen tekijä: Annettujen lukujen a ja b yhteinen tekijä
LUKUTEORIA johdantoa
LUKUTEORIA johdantoa LUKUTEORIA JA TODISTAMINEN, MAA11 Lukuteorian tehtävä: Lukuteoria tutkii kokonaislukuja, niiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Kokonaislukujen maailma näyttää yksinkertaiselta,
MAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on
0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset
800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä
800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio
a ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.
Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y
Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
Rollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
2.4 Korkeamman asteen yhtälö
.4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,...,
Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku
Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,
Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Kokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
Esko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
![1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ](/thumbs/67/57751673.jpg "1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ")
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
[E : F ]=[E : K][K : F ].
![[E : F ]=[E : K][K : F ].](/thumbs/61/46040569.jpg "[E : F ]=[E : K][K : F ].")
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Kompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Lukuteorian kertausta
Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +
ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Funktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
Polynomifunktioiden juuret
Polynomifunktioiden juuret Heli Mattila Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Elokuu 2018 Tiivistelmä: Heli Mattila, Polynomifunktioiden juuret (engl. Roots
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y