Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a."

Transkriptio

1 Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet.

2 Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Sopimuksia: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota usein kutsutaan muuttujaksi. Symbolin :n sovitaan tarkoittavan ääretöntä negatiivista lukua, jolle pätee < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + =, ja + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty!

3 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n.

4 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi.

5 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on.

6 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on. Vakiopolynomin P(X ) = a 0 0 aste = 0.

7 Määritelmä (10.1.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, #R 2. Olkoon n N, ja olkoot a n, a n 1,..., a 1, a 0 R. Lauseke P(X ) = n a k X k = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 k=0 on yhden muuttujan R-kertoiminen polynomi, missä a n 0 ja polynomin P(X ) aste on deg(p(x )) = n. a n X n on polynomin P(X ) johtavatermi. Nollapolynomin P(X ) = a 0 = 0 aste on. Vakiopolynomin P(X ) = a 0 0 aste = 0. Kaikkien R-kertoimisten polynomien joukkoa merkitään R [X ]:llä.

8 Määritelmä (10.1. jatkoa) Olkoot P(X ) = n k=0 a kx k ja Q = m k=0 b kx k R-kertoimisia polynomeja, n m. Olkoot b m+1 = b m+2 = = b n = 0, jos n>m. Polynomien summa ja tulo määritellään asettamalla ja P(X ) + Q(X ) = k=0 n (a k + b k )X k k=0 n+m (10) P(X )Q(X ) = ( a i b j )X k i+j=k

9 Määritelmä (10.1. jatkoa) Olkoot P(X ) = n k=0 a kx k ja Q = m k=0 b kx k R-kertoimisia polynomeja, n m. Olkoot b m+1 = b m+2 = = b n = 0, jos n>m. Polynomien summa ja tulo määritellään asettamalla ja P(X ) + Q(X ) = k=0 n (a k + b k )X k k=0 n+m (10) P(X )Q(X ) = ( a i b j )X k i+j=k Polynomi P(X ) = n k=0 a kx k R [X ] määrittelee polynomifunktion P : R R, X n k=0 a kx k. Merkitään polynomifunktiota P(x):llä erotuksena polynomista P(X ).

10 Propositio (10.2.) R [X ] on kommutatiivinen rengas. Todistus. Selvästi vakiopolynomit P(X ) = 0 ja P(X ) = 1 ovat yhteenlaskun ja kertolaskun neutraalialkiot. Muut ominaisuudet seuraavat (suoraviivainen tarkastus) siitä, että R on kommutatiivinen rengas.

11 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine.

12 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset.

13 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset. 3 Polynomit voi halutessaan kirjoittaa myös kasvavien X :n potenssien mukaan, sillä R [X ]:n summaoperaatio on kommutatiivinen.

14 HUOMAUTUKSIA: 1 Toinen, vähemmän havainnollinen tapa määritellä polynomit on korvata edellä lauseke n k=1 a kx k jonolla (a 0, a 1,..., a n, 0, 0,...), ja määritellä yhteenlasku kuten jonoille on tapana ja kertolasku kaavan (10) mukaisesti. Tällöin jono (0, 1, 0, 0, 0,...) on symbolin X vastine. 2 Polynomien laskutoimitukset ovat siis tavanomaiset. 3 Polynomit voi halutessaan kirjoittaa myös kasvavien X :n potenssien mukaan, sillä R [X ]:n summaoperaatio on kommutatiivinen. 4 Kuvaus P(X ) (P : R R) on rengashomomorfismi polynomirenkaasta R [X ] kuvausrenkaaseen F (R, R).

15 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3.

16 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3. Lemma (10.4.) Polynomirenkaassa R [X ] on (11) deg(p(x )Q(X )) degp(x ) + degq(x ) kaikille P(X ), Q(X ) R [X ].

17 Esimerkki (10.3.) Olkoot P(X ), Q(X ) Z [X ], P(X ) = 2X 2 + 2, Q(X ) = 1 + 2X. Tällöin P(X )Q(X ) = 4X 3 + 2X 2 + 4X + 2. Nyt deg(p(x )) = 2, deg(q(x )) = 1 ja deg(p(x )Q(X )) = 3. Lemma (10.4.) Polynomirenkaassa R [X ] on (11) deg(p(x )Q(X )) degp(x ) + degq(x ) kaikille P(X ), Q(X ) R [X ]. Todistus. Olkoot P(X ) = n k=1 a kx k ja Q = m k=1 b kx k, a n 0, b m 0. Tulopolynomin P(X )Q(X ) korkeimman asteen termi on a n b m X n+m, jos a n b m 0, muuten aste on alempi.

18 Propositio (10.5.) Jos K on kokonaisalue, niin K [X ] on kokonaisalue. Tällöin deg(p(x )Q(X )) = deg(p(x )) + deg(q(x )).

19 Propositio (10.5.) Jos K on kokonaisalue, niin K [X ] on kokonaisalue. Tällöin deg(p(x )Q(X )) = deg(p(x )) + deg(q(x )). Todistus. Käytämme Lemman 10.4 merkintöjä. Tulopolynomin korkeimman asteen termin kerroin on a n b m 0, sillä a n, b m 0 ja K on kokonaisalue (eli siinä ei ole nollan jakajia).

20 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois.

21 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ).

22 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1).

23 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1). Siis aina, kun x Z 2 on P(x) = Q(x).

24 Esimerkki (10.6.) 1 Kun tarkastellaan polynomirengasta Z p [X ], polynomien kertoimista jätetään yleensä ekvivalessiluokan sulut pois. 2 Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, kaavassa (11) voi olla erisuuruus: Polynomi 2X on nollan jakaja renkaassa Z 4 [X ], (2X )(2X ) = 4X 2 = 0, siis = deg((2x )(2X )) < 2 = deg(2x ) + deg(2x ). 3 Joillakin renkailla R kaksi eri polynomia polynomirenkaassa R [X ] voi määrätä saman polynomifunktion (ks. Propositio 10.15): Olkoot Q(X ), P(X ) Z 2 [X ], Q(X ) = X 2, P(X ) = X. Tällöin P(0) = 0 = 0 2 = Q(0), ja P(1) = 1 = 1 2 = Q(1). Siis aina, kun x Z 2 on P(x) = Q(x). Kuitenkin polynomeina P(X ) Q(X ).

25 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0.

26 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1.

27 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1. Nyt kuitenkaan kaikilla nollasta poikkeavilla vakiopolynomeilla ei ole käänteisalkiota; esimerkiksi P(X ) = 2 on tällainen Z 4 [X ]:n vakiopolynomi.

28 HUOMAA: Jos R on kokonaisalue, niin Proposition 10.5 mukaan ainoat R [X ]:n polynomit P(X ), joilla voi olla käänteisalkio kertolaskun suhteen (siis sellainen R [X ]:n polynomi Q(X ), että P(X )Q(X ) on vakiopolynomi 1), ovat nollasta poikkeavia vakiopolynomeja; nimittäin kokonaisalueessa kahden ei-vakiopolynomin tulon aste on > vakiopolynomin V (X ) = 1 aste, joka = 0. Jos kerroinrengas R ei ole kokonaisalue, muillakin polynomeilla voi olla käänteisalkioita: Esimerkiksi renkaassa Z 4 [X ] pätee (2X + 1)(2X + 1) = 4X 2 + 4X + 1 = 1. Nyt kuitenkaan kaikilla nollasta poikkeavilla vakiopolynomeilla ei ole käänteisalkiota; esimerkiksi P(X ) = 2 on tällainen Z 4 [X ]:n vakiopolynomi. Johtopäätös: Polynomirengas R [X ] ei ole koskaan kunta

29 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ).

30 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta:

31 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1.

32 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1. (2) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa Z 2 [X ], nim. 1 = 1 renkaassa Z 2, joten (X 1)(X + 1) = X 2 1 = X renkaassa Z 2.

33 Esimerkki (10.7.) Polynomirenkaassa R [X ] määritellään jaollisuus luonnollisella tavalla: P(X ) Q(X ) jos on sellainen R [X ]:n polynomi S(X ), että Q(X ) = P(X )S(X ). Samalla lausekkeella annettujen polynomien jaollisuus riippuu kuitenkin tarkasteltavasta polynomirenkaasta: (1) (X 1) (X 2 1) ja (X + 1) (X 2 1) kaikissa polynomirenkaissa R [X ], sillä (X 1)(X + 1) = X 2 + (1 1)X 1 = X 2 1. (2) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa Z 2 [X ], nim. 1 = 1 renkaassa Z 2, joten (X 1)(X + 1) = X 2 1 = X renkaassa Z 2. Kaikissa polynomirenkaissa näin ei kuitenkaan ole.

34 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ].

35 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ]. (3) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa C [X ]: Jos olisi niin, että (X + 1) (X 2 + 1), niin silloin olisi C [X ]:n polynomi AX + B siten, että (X + 1)(AX + B) = X 2 + 1

36 Esimerkki (10.7. jatkoa) Oletetaan kompleksilukujen C lukualue tunnetuksi. On helppoa näyttää, että C on kommutatiivinen rengas, joten voidaan puhua polynomirenkaasta C [X ]. (3) (X + 1) (X 2 + 1) renkaassa C [X ]: Jos olisi niin, että (X + 1) (X 2 + 1), niin silloin olisi C [X ]:n polynomi AX + B siten, että (X + 1)(AX + B) = X Siten AX 2 + (A + B)X + B = X Pitäisi olla A = B = 1 ja A + B = 0, mikä on mahdotonta.

37 Jos kokonaisluvut a, b jakavat toisensa, a b ja b a, niin a = ±b. Polynomeille ei voi päätellä näin. (Harjoitustehtävässä 103 nähdään, mitä voidaan päätellä).

38 Jos kokonaisluvut a, b jakavat toisensa, a b ja b a, niin a = ±b. Polynomeille ei voi päätellä näin. (Harjoitustehtävässä 103 nähdään, mitä voidaan päätellä). Olemme käyttäneet tällä kurssilla muutamia kertoja kokonaislukujen jakoyhtälöä: Olkoot a, b Z ja b 0. Tällöin on yksikäsitteiset q, r Z, joille a = qb + r ja 0 r < b. Kaikissa polynomirenkaissa tämä ei ole voimassa, mutta joissakin kyllä, niistä käytetään nimeä UFD (unique factorization domain) Todistamme vastaavan tuloksen polynomeille kolmena hieman erikoisena versiona:

39 Propositio (10.9. Polynomien jakoyhtälö) Olkoon R [X ] polynomirengas. Olkoot A(X ), B(X ) R [X ] siten, että B(X ) 0 ja 1 B(X ):n korkeimman asteen termin kerroin on 1, tai 2 B(X ):n korkeimman asteen termin kerroin on yksikkö, tai 3 R on kunta. Tällöin on yksikäsitteiset Q(X ), J(X ) R [X ], joille A(X ) = Q(X )B(X ) + J(X ) ja deg J(X ) < deg B(X ). Jakoyhtälö on siis käytössä.

40 Todistus. (1) Jos B(X ) jakaa polynomin A(X ), ei ole mitään todistettavaa.

41 Todistus. (1) Jos B(X ) jakaa polynomin A(X ), ei ole mitään todistettavaa. Muuten merkitään S = A(X ) D(X )B(X ) : D(X ) R [X ] }{{}. =P(X ) Selvästi S. Olkoon T = deg S = {degp(x ) : P(X ) S} N { }. Koska B(X ) A(X ), niin 0 / S, joten t = mint 0 (ja jollekin polynomille P(X ) S on degp(x ) = t; tämä saadaan Peano aksiominen seurauksena!)

42 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ).

43 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!),

44 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!), mutta tämä on mahdotonta, koska polynomin J(X ) aste on minimaalinen.

45 Olkoon Q(X ) R [X ] jokin sellainen polynomi, että deg(a(x ) Q(X )B(X )) = degj(x ) = t. Tarkastellaan polynomia J(X ) = a t X t + + a 0. Osoitamme, että t < d = degb(x ). Jos olisi t d ja koska B(X ):n korkeimman asteen termi =1, niin olisi myös J(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) Q(X )B(X ) a t X t d B(X ) = A(X ) (Q(X ) + a t X t d )B(X ) S, jolloin deg(j(x ) a t X t d B(X )) < t (ekat termit supistuvat!), mutta tämä on mahdotonta, koska polynomin J(X ) aste on minimaalinen. Johtopäätös: väitetyt polynomit Q(X ) ja J(X ) ovat olemassa. Todistus niiden olemassaololle on kuitenkin epäkonstruktiivinen.

46 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys:

47 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ).

48 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ). Jos Q(X ) Q(X ), niin vasemmalla puolen aste on vähintään d, kuitenkin deg( J(X ) J(X )) t < d. Siis Q(X ) = Q(X ) ja J(X ) = J(X ).

49 Q(X ):n ja J(X ):n yksikäsitteisyys: Jos Q(X ) ja J(X ) ovat polynomeja, joilla on samat ominaisuudet kuin polynomeilla Q(X ) jaj(x ), niin J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), joten J(X ) = A(X ) Q(X )B(X ), (Q(X ) Q(X ))B(X ) = J(X ) J(X ). Jos Q(X ) Q(X ), niin vasemmalla puolen aste on vähintään d, kuitenkin deg( J(X ) J(X )) t < d. Siis Q(X ) = Q(X ) ja J(X ) = J(X ). (2) Harjoitustehtävä 104. (3) Seuraa kohdasta (2), koska kaikki nollasta poikkeavat kunnan alkiot ovat yksiköitä.

50 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä!

51 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä! Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = X 2 2 renkaassa Z [X ] pätee 2X 3 + X 2 X 1 = (2X + 1)(X 2 2) + 3X + 1, joten Q(X ) = 2X + 1 ja J(X ) = 3X + 1.

52 Esimerkki (10.10.) Jakoyhtälö voidaan toteuttaa algoritmisesti jakokulman avulla kuten kokonaisluvuillekin. Tämä on konstruktiivinen menetelmä! Tällöin esimerkiksi polynomeille A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = X 2 2 renkaassa Z [X ] pätee 2X 3 + X 2 X 1 = (2X + 1)(X 2 2) + 3X + 1, joten Q(X ) = 2X + 1 ja J(X ) = 3X + 1. Renkaassa Z 3 [X ] samoilla polynomeilla A(X ) ja B(X ) (12) 2X 3 +X 2 X 1 = (2X +1)(X 2 2)+1 = (2X +1)(X 2 +1)+1.

53 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!)

54 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!) Sen sijaan renkaassa Z 3 [X ] voidaan jatkaa, koska Z 3 on kunta. Nyt X 1 = 2X + 2 = (2X + 1) + 1 ja päädytään yhtälöön (12) (totea tämäkin!)

55 Esimerkki ( jatkoa) Toisaalta, jos A(X ) = 2X 3 + X 2 X 1 ja B(X ) = 2X + 1, niin jakoyhtälö ei toimi renkaassa Z [X ]: jakokulmassa päädytään ongelmalliseen tilanteeseen 2X 3 + X 2 X 1 = X 2 (2X + 1) X 1, josta ei voi jatkaa (totea!) Sen sijaan renkaassa Z 3 [X ] voidaan jatkaa, koska Z 3 on kunta. Nyt X 1 = 2X + 2 = (2X + 1) + 1 ja päädytään yhtälöön (12) (totea tämäkin!) Renkaassa Q [X ] jakoa voi myös jatkaa, ja saadaan 2X 3 + X 2 X 1 = (X )(2X + 1) 1 2.

56 Tarkastelemme nyt yhden muuttujan polynomiyhtälöitä. Tämä kanssa on yhtäpitävää tarkastella polynomien (tai niitä vastaavien polynomifunktioiden) nollakohtia. Määritelmä (10.11.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, ja olkoon P(X ) R [X ]. Alkio c R on polynomin P(X ) juuri eli nollakohta, jos P(c) = 0.

57 Tarkastelemme nyt yhden muuttujan polynomiyhtälöitä. Tämä kanssa on yhtäpitävää tarkastella polynomien (tai niitä vastaavien polynomifunktioiden) nollakohtia. Määritelmä (10.11.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, ja olkoon P(X ) R [X ]. Alkio c R on polynomin P(X ) juuri eli nollakohta, jos P(c) = 0. Jakoyhtälö antaa seuraavan perustuloksen: Propositio (10.12.) Olkoon R kommutatiivinen rengas, jossa on voimassa yksikäsitteinen jakoyhtälö (esim Q). Olkoon P(X ) R [X ], ja c R. Tällöin P(c) = 0 täsmälleen silloin, kun (X c) P(X ).

58 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ).

59 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ). Siis J(X ) on vakiopolynomi b R, jolle J(a) = b kaikilla a R. Erityisesti 0 = P(c) = Q(c)(c c) + J(c) = b, joten b = 0. Siis X c jakaa polynomin P(X ).

60 Todistus. Jos P(c) = 0, niin jakamalla P(X ) polynomilla (X c) saadaan jakoyhtälön mukaan yksikäsitteiset polynomit Q(X ), J(X ), joille degj(x ) < 1 = deg(x c) ja P(X ) = Q(X )(X c) + J(X ). Siis J(X ) on vakiopolynomi b R, jolle J(a) = b kaikilla a R. Erityisesti 0 = P(c) = Q(c)(c c) + J(c) = b, joten b = 0. Siis X c jakaa polynomin P(X ). Jos kääntäen P(X ) = (X c)q(x ) jollain polynomilla Q(X ) R [X ], niin erityisesti P(c) = (c c)q(c) = 0 eli c R on polynomin P(X ) juuri.

61 Propositio (10.13.) Olkoon K kunta. Olkoon P(X ) K [X ] polynomi, ja olkoot c 1, c 2,..., c k K polynomin P(X ) k eri juurta. Tällöin on olemassa polynomi Q(X ) K [X ], jolle P(X ) = (X c 1 )(X c 2 ) (X c k )Q(X ). Todistus. Harjoitustehtävä 105.

62 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta.

63 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k.

64 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k. Propositio (10.15.) Olkoon K ääretön kokonaisalue (ts. ei nollan jakajia). Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K [X ].

65 Lause (10.14.) Olkoon K kunta, ja olkoon n N. Jos P(X ) K [X ] ja degp(x ) = n, niin polynomilla P(X ) on korkeintaan n juurta. Todistus. Propositioiden ja 10.5 mukaan, jos polynomilla P(X ) on k juurta, niin deg(p(x )) k. Propositio (10.15.) Olkoon K ääretön kokonaisalue (ts. ei nollan jakajia). Tällöin jokaista kokonaisalueen K polynomifunktiota vastaa yksikäsitteinen polynomi renkaassa K [X ]. Todistus. Olkoot P(X ), Q(X ) K [X ] siten, että P(c) = Q(c) kaikilla c K. Tällöin polynomilla P(X ) Q(X ) on äärettömän monta juurta. Ainoa tällainen polynomi on 0. Siis P(X ) = Q(X ).

66 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan.

67 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan. Sen sijaan polynomilla X C [X ] on kaksi nollakohtaa: (X + i)(x i) = (X 2 + 1).

68 Usein polynomeilla R [X ] on vähemmän nollakohtia R kuin niiden asteesta tuleva maksimimäärä. Esimerkiksi reaalilukukertoimisella polynomilla X 3 + X R [X ] on täsmälleen yksi nollakohta R ja polynomilla X R [X ] ei ole nollakohtia R lainkaan. Sen sijaan polynomilla X C [X ] on kaksi nollakohtaa: (X + i)(x i) = (X 2 + 1). Jos (X c) k jakaa polynomin P(X ) renkaassa R [X ] on c P(X ):n k-kertainen juuri. Yleensä, kun lasketaan polynomin juuria, k-kertaiset juuret huomioidaan laskussa k kertaa. Esimerkiksi 0 on polynomin X 2 kaksinkertainen nollakohta, ja kertaluku huomioiden polynomilla X 2 on siis kaksi nollakohtaa.

69 Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokaisella polynomilla P(X ) K [X ], joka ei ole vakiopolynomi, on juuri K. Edellä esitettyjen tulosten mukaan algebrallisesti suljetussa kunnassa on n:n asteen polynomilla (kertaluvun huomioiden) n juurta. Lause ( Algebran peruslause) Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Todistus. Tässä todistuksessa tarvitsemme tietoja Euklidisten avaruuksien jatkuvuudesta ja kompakteista joukoista. Sivuutetaan.

70 Kunta K on algebrallisesti suljettu, jos jokaisella polynomilla P(X ) K [X ], joka ei ole vakiopolynomi, on juuri K. Edellä esitettyjen tulosten mukaan algebrallisesti suljetussa kunnassa on n:n asteen polynomilla (kertaluvun huomioiden) n juurta. Lause ( Algebran peruslause) Kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu. Todistus. Tässä todistuksessa tarvitsemme tietoja Euklidisten avaruuksien jatkuvuudesta ja kompakteista joukoista. Sivuutetaan. Lauseen seurauksena saadaan astetta n olevalle polynomille P(X ) P(X ) = a n (X X 1 )(X X 2 ) (X X n ). Reaali- tai kompleksiluvut X 1, X 2,, X n ovat polynomin nollakohdat, ts. polynomiyhtälön P(X ) = 0 juuret. Astetta n olevalla polynomilla on siis aina n juurta, mutta jotkut näistä voivat olla yhtä suuria.

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.

(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R. 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ

Lisätiedot

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l,

R 1 = Q 2 R 2 + R 3,. (2.1) R l 2 = Q l 1 R l 1 + R l, 2. Laajennettu Eukleideen algoritmi Määritelmä 2.1. Olkoot F kunta ja A, B, C, D F [x]. Sanotaan, että C jakaa A:n (tai C on A:n jakaja), jos on olemassa K F [x] siten, että A = K C; tällöin merkitään

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi

Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Polynomien suurin yhteinen tekijä ja kongruenssi Pro gradu -tutkielma Outi Aksela 2117470 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Renkaat 3 1.1 Rengas...............................

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R.

11. Jaollisuudesta. Lemma Oletetaan, että a, b R. 11. Jaollisuudesta Edellisen luvun esimerkissä tarvittiin tietoa erään polynomin jaottomuudesta. Tämä on hyvin tavallista kuntalaajennosten yhteydessä. Seuraavassa tarkastellaan hieman jaollisuuskäsitettä

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

ja jäännösluokkien joukkoa

ja jäännösluokkien joukkoa 3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi

Lisätiedot

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin.

Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset alhaaltaylöspäin. 18 ALGEBRA II missä r n (x) =syt(f(x),g(x)). Lause 2.7. Olkoot f(x),g(x) K[x]. Silloin syt(f(x),g(x)) = a(x)f(x)+b(x)g(x), joillakin a(x),b(x) K[x]. Todistus. Eliminoidaan Euleideen algoritmissa jakojäännökset

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jukka Vilen. Polynomirenkaista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jukka Vilen Polynomirenkaista Informaatiotieteiden tiedekunta Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2005 Tampereen yliopisto Matematiikan,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

d Z + 17 Viimeksi muutettu

d Z + 17 Viimeksi muutettu 5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0

(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0 11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä

800333A Algebra I Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä 800333A Algebra I Luentorunko Kevät 2010 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä Sisältö 1 Lukuteorian alkeita 3 1.1 Kongruenssiin liittyviä perustuloksia.............. 7 2 Ekvivalenssirelaatio

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

2.4 Korkeamman asteen yhtälö

2.4 Korkeamman asteen yhtälö .4 Korkeamman asteen yhtälö.4.1 Eräitä erikoistapauksia Korkeamman asteen yhtälön yleinen normaalimuoto on a x + a x + a x + + a x + a x + a = n n n 1 n 1 n n... 1 o 0 (*), missä kertoimet an, an-1,...,

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 4: Modulaariaritmetiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Modulaariaritmetiikka Jakoyhtälö Määritelmä 1 Luku

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria

Avainsanat Nyckelord Keywords Nullstellensatz, Hilbertin nollajoukkolause, algebrallinen geometria HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Sampo

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua) Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Lukuteorian kertausta

Lukuteorian kertausta Lukuteorian kertausta Jakoalgoritmi Jos a, b Z ja b 0, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r, että a = qb+r, missä 0 r < b. Esimerkki 1: Jos a = 60 ja b = 11, niin 60 = 5 11 +

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista

Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista PRO GRADU -TUTKIELMA Teemu Ojansivu Polynomien resultanteista TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2015 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ojansivu,

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat

Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :

Lisätiedot

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ?

MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? MITEN RATKAISEN POLYNOMIYHTÄLÖITÄ? Polynomiyhtälön ratkaiseminen Eri lajin yhtälöiden ratkaisutavat poikkeavat toisistaan. Siksi on tärkeää tunnistaa yhtälötyyppi. Polynomiyhtälö on yhtälö, joka voidaan

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät

6. Tekijäryhmät ja aliryhmät 6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88

1 Kertausta algebran kurssilta 1. 4 Kuntalaajennukset Kuntalaajennuksen aste Harppi-viivoitin-konstruktiot Hajoituskunnat 88 Sisältö 1 Kertausta algebran kurssilta 1 2 Lisää polynomeista 10 3 Kertausta Q:n konstruktiosta; jakokunta 20 4 Kuntalaajennukset 27 5 Kuntalaajennuksen aste 49 6 Harppi-viivoitin-konstruktiot 64 7 Galois

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016

Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................

Lisätiedot

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen

Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D

Lisätiedot

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013

802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 802355A Renkaat, kunnat ja polynomit Luentorunko Syksy 2013 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Kertausta kurssilta Lukuteoria ja ryhmät

Lisätiedot

13.3. Transkendenttisuudesta. 14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.

13.3. Transkendenttisuudesta. 14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo. 13.3. Transkendenttisuudesta. Luvun todistamiseksi algebralliseksi riittää löytää polynomi, jonka juuri kyseinen luku on. Transkendenttisuuden todistaminen on sen sijaan työläämpää. Jotkut tapaukset ovat

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot