1 Lukujen jaollisuudesta

Transkriptio

1 Matematiikan mestariluokka, syksy Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun jatkossa puhutaan luvuista, niin ilman eri mainintaa tarkoitetaan kokonaislukuja. 1.1 Jaollisuus Määritelmä 1.1 Sanotaan, että kokonaisluku a on jaollinen luvulla b, jos a = kb, jollakin luvulla k. Tällöin sanotaan myös, että b on luvun a tekijä tai että b jakaa luvun a. Merkintä. Jos b on luvun a tekijä, niin merkitään b a. Jos b ei ole luvun a tekijä, merkitään b a. Esimerkki. 3 12, ( 5) 45 ja Luvun 6 tekijät ovat ±1, ±2, ±3 ja ±6. Esimerkki. Todista: a) Jos a b ja b c, niin a c. b) Jos c a ja c b, niin c (a + b). Ratkaisu. a) Jos a b ja b c, niin b = ka ja c = lb, joten c = l(ka) = (kl)a. Siis a c. b) Jos c a ja c b, niin a = kc ja b = lc, joten a + b = kc + lc = (k + l)c. Siis c (a + b). Lause 1.2 Jos c a ja c b, niin c (ax + by) kaikilla x, y Z. Todistus. Jos c a ja c b, niin a = kc ja b = lc, joillakin k, l Z. Tällöin ax + by = (kc)x + y(lc)y = (kx + ly)c, joten c (ax + by). Esimerkki. a) Jos c a ja c b, niin c (a + b). Nimittäin, jos olisi c a ja c (a + b), niin a = kc ja a + b = lc, joten b = lc a = lc kc = (l k)c eli c b, mikä on ristiriita. b) Vastaavasti päättelemällä saadaan: Jos c a ja c b, niin c (a b). 1 Pitävätkö seuraavat väitteet paikkansa? Perustele vastauksesi! a) Jos b a ja d c, niin bd ac. b) Jos b a ja d c, niin (b + d) (a + c). 2 Pitävätkö seuraavat väitteet paikkansa? Perustele vastauksesi! a) Jos c ab, niin c a tai c b. b) Jos c (a + b), niin c a tai c b. 3 Onko olemassa sellaisia kokonaislukuja a, b ja c, että a bc, mutta a b ja a c?

2 Matematiikan mestariluokka, syksy Jakoyhtälö Tarkastellaan lukuja a ja b, missä b > 0. Voidaan todistaa, että b:n peräkkäisen luvun joukossa {a, a 1, a 2,..., a (b 1)} on täsmälleen yksi b:llä jaollinen luku. Käytetään tälle luvulle merkintää a r. Tällöin siis on olemassa sellainen yksikäsitteinen luku q, että a r = qb eli a = qb + r. On päätelty: Lause 1.3 (Jakoyhtälö) Lukuja a ja b > 0 kohti on olemassa yksikäsitteiset luvut q ja r, joille pätee a = qb + r, missä 0 r < b. Jakoyhtälön lukua a sanotaan jaettavaksi, lukua b jakajaksi, lukua q osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi. Esimerkki. a) Parillinen luku on muotoa 2k ja pariton luku on muotoa 2k + 1, k Z. b) Kolmella jaollinen luku on muotoa 3k ja luku, joka ei ole jaollinen kolmella, on muotoa 3k + 1 tai 3k + 2, k Z. Esimerkki. Osoita, että kahden peräkkäisen luvun tulo on aina parillinen. Ratkaisu. Tutkitaan tuloa a(a + 1). Jos a on parillinen eli a = 2k, niin a(a + 1) = 2k(a + 1), joka on parillinen luku. Jos a on pariton eli a = 2k + 1, niin a + 1 = (2k + 1) + 1 = 2(k + 1), jolloin a(a + 1) = 2a(k + 1), joka myös on parillinen luku. Esimerkki. Todista, että a 2 on parillinen, jos ja vain jos a on parillinen. Ratkaisu. Oletetaan ensin, että a on parillinen, eli että a = 2k. Tällöin a 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), joten a 2 on parillinen. Oletetaan sitten, että a on pariton, eli että a = 2k + 1. Tällöin a 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1, joten a 2 on pariton. Siis a 2 on parillinen ainoastaan silloin, kun a on parillinen. 4 Osoita, että jos a on pariton, niin a 2 1 on jaollinen luvulla 8. 5 Todista, että a 3 a on aina kolmella jaollinen. Opastus: Jakoyhtälön mukaan a on muotoa 3k, 3k + 1 tai 3k Osoita, että luku on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen luvuilla 2 ja 3. 7 Osoita, että kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo on aina jaollinen luvulla 6. Opastus. Edellinen tehtävä.

3 Matematiikan mestariluokka, syksy Lukujärjestelmät Kokonaisluvut esitetään tavallisesti kymmenjärjestelmässä. Lukuja on mahdollista esittää myös lukujärjestelmissä, joissa kantaluku on jokin muu luku kuin kymmenen. Tämä perustuu seuraavaan tulokseen. Lause 1.4 Olkoon b 2. Jokainen positiivinen kokonaisluku a voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa missä 0 a i < b, kaikilla i = 0,..., n. a = a n b n + a n 1 b n a 2 b 2 + a 1 b + a 0, Todistus. Olkoon a > 0 ja b 2. Jakoyhtälön nojalla on olemassa sellaiset luvut q 0 ja a 0, että a = q 0 b + a 0, 0 a 0 < b. Jos q 0 = 0, niin a = a 0 ja tarkastelu voidaan lopettaa. Jos q > 0, niin sovelletaan jakoyhtälöä lukuihin q 0 ja b. On siis olemassa sellaiset luvut q 1 ja a 1, että q 0 = q 1 b + a 1, 0 a 1 < b. Jos q 1 = 0, niin a = a 1 b + a 0 ja tarkastelu voidaan lopettaa. Jos q > 0, niin jatketaan jakoyhtälön soveltamista, kunnes jollain indeksillä n saadaan q n = 0. Lukujen q 0,..., q n 1 esityksistä saadaan a = q 0 b + a 0 = (q 1 b + a 1 )b + a 0 = q 1 b 2 + a 1 b + a 0 =... = a n b n + a n 1 b n a 1 b + a 0. Jakoyhtälön antamat luvut a 0,..., a n ovat yksikäsitteisiä, joten esitys on yksikäsitteinen. Esimerkki. Esitä 5-järjestelmässä ja 8-järjestelmässä luku 93. Ratkaisu. 5-järjestelmässä saadaan 93 = = ( ) = = ja 8-järjestelmässä saadaan 93 = = ( ) = = Esitä 5- ja 7-järjestelmissä luku Esitä kymmenjärjestelmässä a) 8-järjestelmän luku 427 8, b) 5-järjestelmän luku , c) 3-järjestelmän luku

4 Matematiikan mestariluokka, syksy Suurin yhteinen tekijä ja Eukleideen algoritmi Määritelmä 1.5 Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä syt(a, b) on näiden lukujen yhteisistä tekijöistä suurin. Esimerkki. Tarkastamalla lukujen 114 ja 42 tekijät huomataan, että syt(114, 42) = 6. Kahden luvun suurin yhteinen tekijä saadaan selville Eukleideen algoritmilla. Sen periaate selviää seuraavasta esimerkistä. Esimerkki. Tarkastellaan lukuja 114 ja 42. Muodostetaan jakoyhtälö 114 = Sovelletaan jakoyhtälöä edelleen lukuihin 42 ja 30, jolloin saadaan 42 = Edelleen jakoyhtälöä soveltamalla lukuihin 30 ja 12 saadaan Tämän jälkeen jako meneekin tasan, eli 30 = = Viimeisen yhtälön jakaja on suurin yhteinen tekijä, eli syt(114, 42) = 6. Perustellaan, että suurin yhteinen tekijä löydetään edellisen esimerkin menetelmällä. Ensiksikin kulkemalla yhtälöitä lopusta alkuun saadaan 12 = 2 6, 30 = 2 (2 6) + 6 = 5 6, 42 = 1 (5 6) = 7 6, 114 = 2 (7 6) = Luku 6 on siis lukujen 114 ja 42 yhteinen tekijä. Toisaalta tarkastelemalla jakojännöksiä lopusta alkuun saadaan 6 = = 30 2 (42 30) = = ( ) = Koska löydettiin luvut x = 3 ja y = 8, joille pätee 6 = 114x + 42y, niin Lauseen 1.2 mukaan jokainen lukujen 114 ja 42 yhteinen tekijä on myös luvun 6 tekijä. Yhdistämällä nämä kaksi huomiota saadaan, että syt(114, 42) = 6.

5 Matematiikan mestariluokka, syksy Esimerkki. Etsitään Eukleideen algoritmillä syt(7695, 2205). Siis syt(7695, 2205) = = = = Esimerkki. Etsitään sellaiset x ja y, että 7695x y = 45. Kulkemalla edellisen esimerkin yhtälöitä lopusta alkuun päin saadaan 45 = = ( ) = Siis x = 2 ja y = 7. Todistetaan seuraavaksi Eukleideen algoritmi täsmällisesti. Sitä varten kirjataan: Huomautus. c = syt(a, b), jos ja vain jos c toteuttaa seuraavat ehdot: 1) c a ja c b. 2) Jos d a ja d b, niin d c. Käytetään tätä huomiota seuraavan tuloksen todistuksessa. Apulause 1.6 Jos a = qb + r, niin syt(a, b) = syt(b, r). Todistus. Merkitään c = syt(a, b). On siis todistettava, että syt(b, r) = c. 1) Koska c a ja c b, niin c ( qb) ja siis c (a qb) eli c r. Näin ollen c on lukujen b ja r yhteinen tekijä. 2) Jos nyt d b ja d r, niin Lauseen 1.2 perusteella on d (qb + r) eli d a. Koska nyt d a, d b ja c = syt(a, b), niin d c. Siis c on lukujen b ja r tekijöistä suurin. Nyt on helppo todistaa Eukleideen algoritmi: Lause 1.7 (Eukleideen algoritmi) Positiivisille luvuille a ja b voidaan kirjoittaa Tällöin syt(a, b) = r k. a = q 1 b + r 1, 0 < r 1 < b, b = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, 0 < r k < r k 1 r k 1 = q k+1 r k + 0. Todistus. Koska jakojäännöksille pätee r 1 > r 2 >..., niin prosessi todella jossain vaiheessa pysähtyy, eli r k+1 = 0. Apulauseen nojalla on syt(a, b) = syt(b, r 1 ) = = syt(r k, 0) = r k.

6 Matematiikan mestariluokka, syksy Kulkemalla Eukleideen algoritmi lopusta alkuun saadaan: Lause 1.8 On olemassa sellaiset luvut x ja y, että syt(a, b) = ax + by. Esimerkki. Todista, että jos c a ja c b, niin c syt(a, b). Ratkaisu. Edellinen lause antaa esityksen syt(a, b) = ax + by. Koska c a ja c b, niin Lauseen 1.2 perusteella on c (ax + by) eli c syt(a, b). Lauseen 1.8 avulla voidaan todistaa myös: Lause 1.9 (Eukleideen lemma) Jos a bc ja syt(a, b) = 1, niin a c. Todistus. Lauseen 1.8 mukaan on 1 = ax + by, joten c = axc + byc. Koska a axc ja oletuksen mukaan a byc, niin a (axc + byc) eli a c. Jos syt(a, b) = 1, niin luvut a ja b ovat keskenään jaottomia. Sanotaan myös, että luvut a ja b ovat suhteellisia alkulukuja. 10 Osoita, että kaksi peräkkäistä lukua ovat aina keskenään jaottomia. 11 Laske syt(162, 138) ja esitä se muodossa 162x + 138y. 12 Laske syt(1769, 2378) ja esitä se muodossa 1769x y. 13 Olkoon k > 0. Osoita, että syt(ka, kb) = k syt(a, b). 14 Olkoon c = syt(a, b). Osoita, että c d, jos ja vain jos d = ax + by joillakin luvuilla x ja y. 15 Osoita, että jos b a ja c a, missä b ja c ovat keskenään jaottomia, niin bc a. 16 Olkoon syt(a, b) = ax + by. Osoita, että x ja y ovat keskenään jaottomia.