Matematiikan peruskurssi 2

Transkriptio

1 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi lauseke on oikein laskemalla (f f )(x) x ja (f f)(x) x. Ratkaisu. Funktio f on määritelty kaikilla x ja laajin mahdollinen määrittelyjoukko A on (, ). x 0, eli x. Siispä Väitetään, että f(a) (0, ). Ensinnäkin f saa vain positiivisia arvoja, eli f(a) (0, ). Toisaalta, millä tahansa y > 0 on alkukuva joukossa A: y f(x) y x y>0 y x y x y + x, missä y + >. Toisin sanoen, luvulla y > 0 on (yksikäsitteinen) alkukuva x >. Tässä saatiin samalla käänteisfunktion lauseke. Tarkistetaan (f f)(x) x (kaikilla x > ), ja (f f )(x) x (kaikilla x > 0). Nyt (f f)(x) f (f(x)) f(x) + + x + x x (f f )(x) f(f (x)) f (x) + x x x>0 x x Toinen tapa olisi ollut huomata, että f g h, missä g(x) x ja h(x) x, jolloin määrittely- ja arvojoukkojen löytäminen mahdollisesti helpottuu.. Olkoon annettuna bijektio f : R + R +. Merkitään g : R + (0, ], g(x) x+. Osoita, että funktio g f : R + (0, ] on myös bijektio. Ratkaisu. Osoitetaan, että g f on injektio ja surjektio. Se on injektio, sillä (g f)(x ) (g f)(x ) f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x ) f inj. x x

2 Yhdistetty funktio on surjektio: Olkoon y (0, ]. (g f)(x) y f(x) + y f(x) y. Koska 0 < y niin y 0. Edelleen, koska f : R + R + on surjektio, niin on olemassa sellainen x R +, jolla yllä oleva yhtälö toteutuu. Yhdistetty funktio g f on injektiona ja surjektiona bijektio. Ratkaisu. Osoitetaan ensin, että g : R + (0, ] on bijektio. g on injektio: g(x ) g(x ) x + x + x + x + x x. g on surjektio: Olkoon y (0, ]. y g(x) y x + y x + y x. Koska 0 < y, niin y. Näin ollen x R +, ja y:llä on siten alkukuva. Väite seuraa nyt yleisemmästä lauseesta: Lause. Olkoot k : A B ja h : B C bijektioita. Silloin h k : A C on bijektio. Todistus. h k on injektio, sillä h(k(x )) h(k(x )) h inj. k(x ) k(x ) k inj. x x. h k on surjektio: Olkoon c C mielivaltainen. Koska h on surjektio, niin on olemassa jokin b B, jolla h(b) c. Koska k on surjektio, on olemassa jokin a A, jolla k(a) b. Nyt saadaan (h k)(a) h(k(a)) h(b) c. Osoitimme siis, että mielivaltaisella arvojoukon C alkiolla c on alkukuva h k:n suhteen. Siis h k on surjektio. Koska h k on injektio ja surjektio, se on bijektio. Sovelletaan lausetta funktioihin g ja f, jotka ovat molemmat bijektioita.. Sievennä / ratkaise (Huom. c)-kohdassa kaksi ratkaisua.) ( a ) a) log x (x log y y ) b) log log a log a c) x x x d) x x 4 > 8.

3 Ratkaisu. a) log x (x log y y ) log x (x log y y) log x (x) log x (x) + log x () + log x b) ( a ) ( ( log log a a log a log log a log (a ) log () + log ) ) ( log ( ) a + 4 log a ) a log a ( ) log a log a c) Eräs ratkaisu on x, sillä. Jos x, niin inj. x x x log x log x x x log x x x log x x log x x x. d) x x 4 > 8 x x 4 > 8 x x > 8 x+ > 8. Koska funktio x log x on aidosti kasvava (aidosti kasvavan funktion käänteisfunktiona), niin x+ > 8 log x+ > log x + > x <. 4. Kulmasta x tiedetään, että sin x 5 ja π < x < π. Mitkä ovat cos x, tan x ja cot x? Anna tarkat arvot. Ratkaisu. Kulma sijaitsee siis kolmannessa neljänneksessä. Niinpä cos x on negatiivinen, tan x ja cot x positiivisia. Tarkastellaan kolmiota, jossa sin α. Silloin saadaan suorakulmainen kolmio, jossa sivujen 5 pituuksien suhteet ovat 5 : : 5 (ks. kuva). Α 5 Saadaan siis cos α 5, tan α, ja cot α. Kun vielä muistetaan merkit, saadaan cos x 5, tan x ja cot x. 5. Olkoon h mielivaltainen funktio h : R R. Osoita, että on olemassa sellaiset funktiot f ja g, missä f on parillinen ja g pariton, että h(x) f(x) + g(x) kaikilla x R. (Ks. määritelmät monisteen s.8.) Opastus: tarkastele ensin tilannetta, jossa h voidaan näin esittää. Mitä voit sanoa f:stä ja g:stä?

4 Ratkaisu. Oletetaan ensin, että funktiolla h on väitetty esitys. Silloin { { h(x) f(x) + g(x) h(x) + h( x) f(x) h( x) f( x) + g( x) f(x) g(x) h(x) h( x) g(x) { h(x)+h( x) f(x) h(x) h( x) g(x) Mielivaltaiselle funktiolle h saadaan vastaavanlainen esitys: h(x) h(x) + h( x) h( x) h(x) + h( x) + h(x) h( x). Merkitään f(x) h(x)+h( x) ja g(x) h(x) h( x), jolloin h(x) f(x) + g(x). Nyt jos f ja g toteuttavat vaaditut ehdot, väite on todistettu. Totta tosiaan, f on parillinen funktio: f( x) h( x) + h( ( x)) h( x) + h(x) f(x). Edelleen, g(x) on pariton funktio: g( x) h( x) h( ( x)) h( x) h(x) h(x) h( x) Löysimme vaaditunlaisen esityksen mielivaltaiselle funktiolle h. g(x). 6. a) Olkoon ratakisko kuten tehtävässä demo II, teht. a). Osoita, että kaaren korkeuden ratkaiseminen johtaa yhtälön sin x 000 x ratkaisun etsimiseen. 00 b) Perustele niin hyvin kuin osaat, että yhtälöllä sin x 000 x on ratkaisu x 00 (0, π). (Aivan tarkkaa todistusta ei tässä vaiheessa vielä pystytä toteuttamaan.) Opastus: Tarkastele a)-kohdassa pidennetyn ratakiskon (ympyrän kaaren) ja alkuperäisen ratakiskon (ympyrän jänteen) pituuksien suhdetta. Ratkaisu. Piirretään tilanteesta kuva. Tässä r ja α ovat tarkastelun kohteena, sillä kysytty korkeus on h r r cos α r( cos α ). h 500 r sin Α Nythän rα 00, jolloin edellinen sieventyy muotoon h 00 α ( cos α ). Α r Yritetään vielä ratkaista α tietomme perusteella. Tarkastellaan alkuperäisen ja 4

5 pidennetyn kiskon pituuksien suhdetta rα r sin α α sin α. Merkitään α/ x, jolloin edellinen saadaan muotoon sin x x. b) Verrataan funktioiden sin x ja 000 x kuvaajia välillä (0, π). Nyt π > sin π 0, joten välin loppupäässä on sin x < x. Kun x 000, saadaan sin x , ja 0 00 piste, jossa sin x > x Löydettiin Koska kummankin funktion kuvaajat ovat jatkuvia niin väliltä (, π) löytyy piste 0 x, jossa kuvaajat leikkaavat. Tämä on yhtälön ratkaisu. Tietokone antaa likiarvoksi x 0,0774, jolloin h 00 ( cos x) 9,6m. x Huomautus. Kuvaajien jatkuvuus pitäisi todistaa tarkasti. Tämä tehdään kurssin loppuosassa. Itseasiassa voidaan näyttää, että yhtälöllä sin x cx on ratkaisu välillä (0, π) kaikilla 0 < c <. Tämäkin todistetaan kurssin loppupuolella. 7. a) Ratkaise yhtälö sin x sin x. b) Piirrä funktioiden sin x ja sin x kuvaajat samaan kuvioon välillä 0 x < π ja näytä siitä löytämäsi ratkaisut. c) Ratkaise yhtälö cos x + sin x + 0. Ratkaisu. a) Käytetään identiteettiä sin x sin x cos x, jolloin sin x sin x sin x cos x sin x 0 sin x( cos x ) 0 sin x 0 tai cos x. Nyt sin x 0 x nπ, n Z. Katsotaan yksikköympyrästä, milloin cos x. Huomataan erikoiskolmio, josta nähdään x π + nπ tai x 5π + nπ, n Z. Vastaus: x nπ, x π + nπ, tai x 5π + nπ, n Z. v u π u 5

6 b) c) Käytetään identiteettiä cos x cos x sin x sin x, jolloin cos x + sin x + 0 sin x + sin x + 0 sin x sin x 0. Huomataan toisen asteen yhtälö jossa ratkaistavana on sin x: sin x sin x 0 sin x ± 9 4 ( ) ± 5 4. Saadaan siis sin x tai sin x. Koska sin x kaikilla x, hylätään 4 ensimmäinen ratkaisu. Toinen ratkaisu; sin x. v Katsotaan yksikköympyrästä suoran y ja yksikköympyrän leikkauspisteet. Huomataan, että kyseessä erikoiskolmio, siis x 7π 6 π + nπ tai x + nπ. 6 π/6 u v Vastaus: x 7π 6 π + nπ tai x + nπ, n Z. 6 Bonus Ratkaise/laske a) cos x 0 b) tan x > cos x c) arccos(cos ) d) arcsin (cos 4π 5 ). 6

7 Ratkaisu. a) v u cos x 0 cos x. Piirretään kuva tilanteesta, josta huomataan jälleen kerran erikoiskolmio. Näh- π dään vastaus: π + nπ x 5π + nπ, n Z. u b)huomataan nimittäijien nollakohta: cos x 0 x π + nπ, n Z. tan x > cos x sin x cos x cos x > 0 sin x cos x > 0. v Muodostetaan merkkikaavio yksikköympyrään. Tässä sisimmäinen ympyrä vastaa luvun sin x merkkiä, seuraava ympyrä luvun cos x merkkiä ja uloin ympyrä osamäärän merkkiä. Negatiiviset välit väritetty harmaalla. π/6 v u Saadaan π 6 + nπ < x < π + nπ tai 5π 6 + nπ < x < π c) Koska [0, π] niin arccos(cos ). + nπ, n Z. d) Nythän cos 4π sin( π 4π 5π ) sin( 5 5 [ π, π ]. Näin ollen arcsin(cos 4π 5 8π 0 0 ) arcsin(sin( π 0 π π ) sin( ). On voimassa 0 )) π